R2 Høst 2012

LK06 14 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 14 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2012 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 24 poeng
1	Deriver eksponentialfunksjon og sinuspotens	—
2	Integral av sinuspotens og x ln x	—
3	Rettvinklet trekant og parallellogram i rommet	—
4	Andreordens differensiallikning med eksponentialløsning	—
5	Konvergens av geometrisk rekke med kvotient en tredel	—
6	Bestemme konstanter i periodisk sinusfunksjon	—
7	Ekstremalpunkter for x kvadrat ganger e i minus x	—
8	Induksjonsbevis for sum av n ganger n pluss tre	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 36 poeng
1	Areal under 8e opphøyd minus x ganger sin 2x	—
2	Differensiallikning for sprinterfart og distanse	—
3	Vektorprodukt og areal av trekant ABC	—
4	Aritmetisk og geometrisk rekke med sum	—
5	Volum av ellipsoide ved integrasjon	—
6	Tangent til kvadratrotfunksjon og areal	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 8 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver eksponentialfunksjon og sinuspotens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = e^x \cdot \cos x

g(x) = 5(1 + \sin x)^3

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Integral av sinuspotens og x ln x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int \cos x \cdot (1 + \sin x)^3 \, dx

\int_1^e x \cdot \ln x \, dx

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Integrasjon ved substitusjon, Delvis integrasjon

Oppgave 1-3 : Rettvinklet trekant og parallellogram i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A(1, 1, 1)$ , $B(2, 1, 5)$ og $C(3, 7, 3)$ .

Undersøk om $\triangle ABC$ er rettvinklet.

Bestem koordinatene til et punkt $D$ slik at $ABCD$ blir et parallellogram.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Rettvinklet trekant

Oppgave 1-4 : Andreordens differensiallikning med eksponentialløsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt differensiallikningen

y'' - y = 0 \quad \text{der } y \text{ er en funksjon av } x.

Vis at $y = C_1 \cdot e^x + C_2 \cdot e^{-x}$ er løsning av differensiallikningen, når $C_1$ og $C_2$ er konstanter.

Bestem $C_1$ og $C_2$ når $y(0) = 5$ og $y'(0) = -1$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-5 : Konvergens av geometrisk rekke med kvotient en tredel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt den uendelige rekken

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots

Forklar at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Geometrisk rekke, Konvergens, Uendelig rekke

Oppgave 1-6 : Bestemme konstanter i periodisk sinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En periodisk funksjon $f$ er gitt på formen

f(x) = a \sin(cx + \varphi) + d

Grafen til $f$ går gjennom punktet $A(0, 5)$ , den har bunnpunkt i $B(3, 2)$ og toppunkt i $T(5, 8)$ . Det er ingen andre ekstremalpunkter i intervallet $\langle 3, 5 \rangle$ .

Bestem verdier for konstantene $a$ , $c$ , $\varphi$ og $d$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Funksjoner, Modellering

Oppgave 1-7 : Ekstremalpunkter for x kvadrat ganger e i minus x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt funksjonen

f(x) = x^2 \cdot e^{-x}

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Tegn en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Graf

Oppgave 1-8 : Induksjonsbevis for sum av n ganger n pluss tre

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bevis påstanden ved induksjon

P(n): \; 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + \cdots + n \cdot (n+3) = \frac{n(n+1)(n+5)}{3} \,, \quad n \in \mathbb{N}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Areal under 8e opphøyd minus x ganger sin 2x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon er gitt ved

f(x) = 8e^{-x} \cdot \sin 2x

Tegn grafen til $f$ , og bestem eventuelle null-, topp-, bunn- og vendepunkter når $x \in \langle 0, \pi \rangle$ .

I en formelsamling for matematikk finner vi formelen

\int e^{ax} \cdot \sin bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}\,(a\sin bx - b\cos bx) + C

Bruk formelen til å bestemme $\displaystyle\int f(x) \, dx$ . Kontroller svaret ved derivasjon.

Bestem det samlede arealet av områdene som er avgrenset av $x$ -aksen og grafen til $f$ når $x \in [0, \pi]$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Areal, Funksjonsdrøfting

Oppgave 2-2 : Differensiallikning for sprinterfart og distanse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Farten $v$ til en sprinter måles i meter per sekund og er en funksjon av tiden $t$ . Tiden $t$ er målt i sekunder etter start. Farten $v$ er en løsning av differensiallikningen

v' = 12{,}0 - 1{,}15 \cdot v

Løs differensiallikningen og bestem $v(t)$ når du får vite at $v(0) = 0$ .

Strekningen $s$ måles i meter og er definert ved

s' = v \quad \text{og} \quad s(0) = 0

Bestem en formel for $s(t)$ .

Hvor lang tid vil sprinteren bruke på 100 m, ifølge modellen ovenfor?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Integrasjon

Oppgave 2-3 : Vektorprodukt og areal av trekant ABC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt vektorene $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$ . Ingen av vektorene er $\vec{0}$ .

Forklar hvordan vektorene ligger i forhold til hverandre

når $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

når $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$

når $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$

Bruk definisjonen av $\vec{a} \cdot \vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ til å vise

(\vec{a} \times \vec{b})^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2

Skisse 1 viser en trekant utspent av vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Skisse 1: trekant utspent av vektorene a og b med areal F

Forklar at arealet $F$ av trekanten er

F = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}

Kommenter hvert av de to tilfellene $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ og $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ .

Skisse 2: trekant ABC med A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) og C(3, 1, 5)

Bruk uttrykket i oppgave c) til å regne ut arealet av $\triangle ABC$ i skisse 2.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Areal, Bevis

Oppgave 2-4 : Aritmetisk og geometrisk rekke med sum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt rekken

1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)

Bestem et uttrykk for summen $S_n$ av de $n$ første leddene, og bestem hvor mange ledd vi må ta med for at $S_n$ skal bli $1\,600$ .

En uendelig rekke er gitt ved

1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2} + \cdots

Forklar at dette er en konvergent, geometrisk rekke. Bestem summen av rekken.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Rekker, Konvergens

Oppgave 2-5 : Volum av ellipsoide ved integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En såkalt ellipse med sentrum i origo $O$ er gitt ved likningen

\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1

Hvis vi dreier øvre halvdel av ellipsen $360\degree$ om $x$ -aksen, får vi et omdreiningslegeme som vi kaller en ellipsoide.

Øvre halvdel av en ellipse i et koordinatsystem med skjæringspunkter i -a og a på x-aksen og høyde b på y-aksen

Vis at likningen for ellipsen kan omformes til $y^2 = b^2 - \dfrac{b^2 x^2}{a^2}$

Bruk integrasjon for å vise at formelen for volumet av ellipsoiden er $\dfrac{4}{3}\pi a b^2$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Omdreiningslegeme, Volum, Integrasjon, Bevis

Oppgave 2-6 : Tangent til kvadratrotfunksjon og areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til f med tangenten i punktet P(a, f(a)); tangenten skjærer x-aksen i A, grafen starter i B og C ligger rett under P på x-aksen

Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \sqrt{x - 2}

På skissen er det også tegnet inn tangenten til grafen i punktet $P(a, f(a))$ .

Vis at likningen til tangenten er

y = \frac{1}{2\sqrt{a - 2}}\, x + \frac{a - 4}{2\sqrt{a - 2}}

Bestem koordinatene til punktene $A$ , $B$ og $C$ på figuren.

Vis at arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$ og $x$ -aksen fra $B$ til $C$ er

\frac{2}{3}(a - 2)^{\frac{3}{2}}

Bestem også arealet av $\triangle ACP$ .

Grafen til $f$ deler $\triangle ACP$ i to områder. Vis at arealet til det ene området er dobbelt så stort som arealet til det andre.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Derivasjon, Integrasjon, Areal, Bevis

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2012

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 8 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver eksponentialfunksjon og sinuspotens

Oppgave 1-2 : Integral av sinuspotens og x ln x

Oppgave 1-3 : Rettvinklet trekant og parallellogram i rommet

Oppgave 1-4 : Andreordens differensiallikning med eksponentialløsning

Oppgave 1-5 : Konvergens av geometrisk rekke med kvotient en tredel

Oppgave 1-6 : Bestemme konstanter i periodisk sinusfunksjon

Oppgave 1-7 : Ekstremalpunkter for x kvadrat ganger e i minus x

Oppgave 1-8 : Induksjonsbevis for sum av n ganger n pluss tre

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Areal under 8e opphøyd minus x ganger sin 2x

Oppgave 2-2 : Differensiallikning for sprinterfart og distanse

Oppgave 2-3 : Vektorprodukt og areal av trekant ABC

Oppgave 2-4 : Aritmetisk og geometrisk rekke med sum

Oppgave 2-5 : Volum av ellipsoide ved integrasjon

Oppgave 2-6 : Tangent til kvadratrotfunksjon og areal

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave