R2 Vår 2011

LK06 7 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 7 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2011 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 2 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon, integraler og vektorer	—
2	Differensiallikning med tangent og startbetingelse	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 36 poeng
3	Kontorstempel som omdreiningslegeme	—
4	Geometrisk rekke fra rettvinklet trekant	—
5	Vindskeive linjer med parameterframstilling	—
6	Trigonometrisk modell for lufttemperatur	—
7	Funksjonsdrøfting og grenseverdi for eksponentialfunksjon	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon, integraler og vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 2\sin(2x)

g(x) = x^2 \cdot \cos(2x)

h(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{x^2 - 4x}

Bestem integralene

\int x \cdot e^x \, \mathrm{d}x

\int \dfrac{5x + 3}{x^2 - 9} \, \mathrm{d}x

Figuren nedenfor viser en sirkel med sentrum i origo og radius lik 1.

Sirkel med sentrum i origo og radius 1

Bruk et geometrisk resonnement til å bestemme $\displaystyle\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, \mathrm{d}x$

Forklar hvordan du har tenkt.

Vi har gitt to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Forklar og tegn figurer som viser hvordan vektorene kan ligge i forhold til hverandre når

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}

Vi har gitt punktene $A(1, 1, -1)$ , $B(2, -1, 3)$ og $C(3, 2, 2)$ .

Vis ved regning at $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ står vinkelrett på både $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ .

Bevis formelen ved induksjon:

1 + 4 + 16 + \cdots + 4^{n-1} = \frac{4^n - 1}{3}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 18
Temaer: Derivasjon, Integrasjon, Vektorer, Induksjon

Oppgave 1-2 : Differensiallikning med tangent og startbetingelse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Finn den generelle løsningen til differensiallikningen

y' - 2y = 5

der $y$ er en funksjon av $x$ .

1. Bestem konstanten i den generelle løsningen når du får vite at $y(0) = 2$ .

2. Bestem $x$ når $y = \dfrac{49}{2}$ . (Du kan få bruk for at $\ln 6 \approx 1{,}8$ )

Grafen til $y$ har en tangent i punktet $(0, 2)$ .

Finn likningen for denne tangenten.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Eksponentialfunksjon, Logaritmer

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-3 : Kontorstempel som omdreiningslegeme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fabrikk lager skaft til et kontorstempel. Skaftet ser ut som det omdreiningslegemet vi får når vi dreier grafen til $f$ 360° om $x$ -aksen, der

f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} \cdot e^{-\frac{x}{3}}, \qquad x \in \left[0,\, 4\right]

Kontorstempel

Tegn grafen til $f$ . Finn diameteren til skaftet der skaftet er bredest.

Bestem volumet av skaftet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Omdreiningslegeme, Funksjonsdrøfting, Volum, Integrasjon

Oppgave 2-4 : Geometrisk rekke fra rettvinklet trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal se på en rettvinklet trekant $ABC$ der $AB = 8$ og $BC = 16$ . Punktet $A_1$ halverer $AC$ , $A_2$ halverer $A_1 C$ og så videre. Punktet $B_1$ halverer $BC$ , $B_2$ halverer $B_1 C$ og så videre. Se skissen nedenfor.

Rettvinklet trekant med inndelede punkter

1. Forklar at summen av arealene til trapesene $ABB_1A_1$ , $A_1B_1B_2A_2$ og så videre kan skrives

48 + 12 + 3 + \cdots

2. Forklar at dette er en geometrisk rekke, og at rekken konvergerer.

Finn summen til den uendelige rekken, både ved å bruke formelen for sum av en rekke og ved å bruke et geometrisk resonnement.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Rekker

Oppgave 2-5 : Vindskeive linjer med parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rett linje $l$ er gitt ved parameterframstillingen

l: \begin{cases} x = 5 - 2t \\ y = 3 + t \\ z = 4 + 2t \end{cases}

Linjen $l$ skjærer $xy$ -planet i punktet $A$ og $xz$ -planet i punktet $B$ .

Regn ut avstanden mellom $A$ og $B$ .

En annen rett linje $m$ er gitt ved parameterframstillingen

m: \begin{cases} x = s \\ y = 1 - s \\ z = 1 + s \end{cases}

Vis at linjene $l$ og $m$ ikke er parallelle.

To linjer i rommet som verken er parallelle eller skjærer hverandre, er vindskeive. For vindskeive linjer gjelder denne setningen:

Når to linjer $l$ og $m$ er vindskeive, fins det et punkt $P$ på $l$ og et punkt $Q$ på $m$ slik at $\overrightarrow{PQ}$ står vinkelrett på både $l$ og $m$ . Avstanden mellom $l$ og $m$ er definert som $\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ .

Vi lar $P$ være et tilfeldig valgt punkt på $l$ og $Q$ et tilfeldig valgt punkt på $m$ .

Vis at vi kan skrive $\overrightarrow{PQ} = \left[s + 2t - 5,\; -s - t - 2,\; s - 2t - 3\right]$

Finn koordinatene til $P$ og $Q$ når $\overrightarrow{PQ}$ står vinkelrett på både $l$ og $m$ .

Finn avstanden mellom linjene $l$ og $m$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 10
Temaer: Parameterframstilling, Vektorer, Romgeometri

Oppgave 2-6 : Trigonometrisk modell for lufttemperatur

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = -5\sin\!\left(\frac{\pi}{12}x\right) - 5\cos\!\left(\frac{\pi}{12}x\right), \qquad x \in \left[0,\, 24\right]

Tegn grafen til $f$ . Les av amplituden og perioden til $f$ .

Tegn fortegnslinjen til $f'$ og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Lufttemperaturen $g$ (målt i grader Celsius) gjennom et sommerdøgn er gitt ved

g(x) = 22 - 5\sin\!\left(\frac{\pi}{12}x\right) - 5\cos\!\left(\frac{\pi}{12}x\right)

der $x$ er antall timer etter midnatt.

Bestem høyeste og laveste temperatur dette døgnet. På hvilke tidspunkter inntreffer disse temperaturene?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Modellering

Oppgave 2-7 : Funksjonsdrøfting og grenseverdi for eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt funksjonen

f(x) = 5x^2 \cdot e^{-x}, \qquad x > 0

Tegn grafen til $f$ .

1. Vis at $f'(x) = 5\!\left(2x - x^2\right) \cdot e^{-x}$ . Hvilke derivasjonsregler har du brukt?

2. Tegn fortegnslinjen til $f'$ . Bruk denne til å finne ut hvor $f$ vokser, og hvor $f$ avtar. Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Vis ved derivasjon at

\int f(x)\, \mathrm{d}x = -5x^2 \cdot e^{-x} - 10x \cdot e^{-x} - 10e^{-x} + C

Du får vite at $\displaystyle\lim_{a \to \infty}\!\left(a^n \cdot e^{-a}\right) = 0$ for $n \in \mathbb{R}$ .

Bruk dette til å bestemme

\lim_{a \to \infty} \int_0^a f(x)\, \mathrm{d}x

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 10
Temaer: Funksjonsdrøfting, Integrasjon, Eksponentialfunksjon, Grenseverdi, Bestemt integral

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2011

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon, integraler og vektorer

Oppgave 1-2 : Differensiallikning med tangent og startbetingelse

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-3 : Kontorstempel som omdreiningslegeme

Oppgave 2-4 : Geometrisk rekke fra rettvinklet trekant

Oppgave 2-5 : Vindskeive linjer med parameterframstilling

Oppgave 2-6 : Trigonometrisk modell for lufttemperatur

Oppgave 2-7 : Funksjonsdrøfting og grenseverdi for eksponentialfunksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave