R2 Høst 2011

LK06 6 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2011 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 1 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon, integrasjon, rekker og vektorer	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 36 poeng
2	Sinusfunksjon parametere og graf	—
3	Uendelig geometrisk rekke med variabel	—
4	Areal mellom kurver f og g	—
5	Kule sentrum og tangentplan	—
6	Torricellis lov differensiallikning	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon, integrasjon, rekker og vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x \cdot e^x

g(x) = 2\sin 2x

h(x) = 2\sin^2 x

Bestem integralene

\int x \cdot \cos x \, dx

\int \dfrac{4}{x^2 - 4} \, dx

\int \sin x \cdot \cos^3 x \, dx

Vi har gitt rekken

1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + (2n-1)

Skriv opp $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ og bestem $S_{100}$

Vi har gitt rekken

1 + 7 + 19 + 37 + \cdots

Skriv opp $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ og bestem $S_{100}$

Grafen til en trigonometrisk funksjon av typen $f(x) = a \cdot \sin(cx + \varphi) + d$ er gitt nedenfor.

Graf

Bruk grafen til å bestemme amplituden, perioden og likevektslinjen til funksjonen.

Bestem et funksjonsuttrykk for $f(x)$ .

Løs differensiallikningen

y' - 3y = 5 \quad \text{når} \quad y(0) = 2

Vi har gitt punktene $A(1, 0, 1)$ , $B(2, 1, 3)$ og $C(7, 3, 5)$

Bestem $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

Vis ved regning at $\left(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right) \perp \overrightarrow{AB}$ og $\left(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right) \perp \overrightarrow{AC}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 24
Temaer: Derivasjon, Integrasjon, Rekker, Trigonometri, Differensiallikning, Vektorer

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-2 : Sinusfunksjon parametere og graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 4\sin(2x - 2) + 5

Tegn grafen til $f$ når $x \in \langle 0,\, 2\pi \rangle$

Bruk funksjonsuttrykket og egenskaper ved sinus til å forklare at maksimalverdien er lik $9$ . Bestem på samme måte minimalverdien. Finn de tilhørende $x$ -verdiene.

Bestem parametrene $a$ , $c$ , $\varphi$ og $d$ når vi skriver funksjonsuttrykket på formen

f(x) = a \cdot \cos(cx + \varphi) + d

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Trigonometri, Funksjoner, Graf

Oppgave 2-3 : Uendelig geometrisk rekke med variabel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt den uendelige rekken

2 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} + \cdots

Hva slags rekke er dette? Begrunn svaret ditt.

Bestem konvergensområdet til rekken.

Vis at summen av rekken er $S(x) = \dfrac{2x}{x-1}$

Tegn grafen til $S(x)$

Løs likningen $S(x) = -1$ og $S(x) = 3$ både grafisk og ved regning.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Uendelig rekke, Geometrisk rekke, Konvergens, Likninger

Oppgave 2-4 : Areal mellom kurver f og g

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f(x) = x^2 + 3 \quad \text{og} \quad g(x) = -x^3 + x^2 + 4x + 3

Tegn grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem.

Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom $f$ og $g$ ved regning.

To områder blir avgrenset av grafene til $f$ og $g$ .

Bestem arealene til hvert av disse områdene. Kommenter svaret ditt.

Vi har gitt funksjonen

h(x) = -x^3 + x^2 + cx + 3

Når $c > 0$ , vil grafene til $f$ og $h$ avgrense to områder.

Vis ved regning at arealene til disse to områdene er like store.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Funksjonsdrøfting, Bevis

Oppgave 2-5 : Kule sentrum og tangentplan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Likningen til en kule er gitt ved

x^2 - 4x + y^2 + 6y + z^2 - 6z - 14 = 0

Vis at kula har sentrum i $(2, -3, 3)$ . Bestem radien til kula.

En rett linje $l$ gjennom sentrum er gitt ved

l: \begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -3 + 4t \\ z = 3 + 4t \end{cases}

Bestem skjæringspunktene for $l$ og kula.

Planene $\alpha$ og $\beta$ tangerer kula i hvert sitt skjæringspunkt.

Bestem likningene til planene $\alpha$ og $\beta$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Kule, Romgeometri, Plan, Parameterframstilling

Oppgave 2-6 : Torricellis lov differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En tank inneholder vann. Vi vil undersøke hvor høyt vannet står i tanken $t$ minutter etter at vannet har begynt å renne ut. Vi lar vannstanden (vannhøyden) være $y(t)$ .

Tank med vannstand

Torricellis lov sier følgende:

Forklar at Torricellis lov gir differensiallikningen

y' = -k \cdot \sqrt{y} \,, \quad \text{der } k > 0

Bruk metoden for løsning av separable differensiallikninger til å vise at den generelle løsningen til likningen i oppgave 6 a) er gitt ved

y = \frac{1}{4}(-kt + C)^2

Du får vite at $y(0) = h$ og $y(10) = \dfrac{h}{4}$

Vis at én løsning for konstantene er $C = 2\sqrt{h}$ og $k = \dfrac{\sqrt{h}}{10}$

Bestem hvor lang tid det tar før tanken er tom.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Differensiallikning, Modellering

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2011

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon, integrasjon, rekker og vektorer

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-2 : Sinusfunksjon parametere og graf

Oppgave 2-3 : Uendelig geometrisk rekke med variabel

Oppgave 2-4 : Areal mellom kurver f og g

Oppgave 2-5 : Kule sentrum og tangentplan

Oppgave 2-6 : Torricellis lov differensiallikning

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave