R2 Vår 2010
LK06 · 7 oppgaver· 5 timer ▶ Start fokusmodus
Del 1
— uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver Oppgave 1-1 : Derivasjon, integraler og differensiallikning og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
a)
Deriver funksjonen gitt ved f ( x ) = x 2 ⋅ cos ( 3 x ) f(x) = x^2 \cdot \cos(3x) f ( x ) = x 2 ⋅ cos ( 3 x )
b)
Bestem integralene
1)
∫ 5 x ⋅ e 2 x d x \int 5x \cdot e^{2x} \, dx ∫ 5 x ⋅ e 2 x d x
2)
∫ 6 x x 2 − 1 d x \int \dfrac{6x}{x^2 - 1} \, dx ∫ x 2 − 1 6 x d x
c)
Løs differensiallikningen
y ′ − 2 y = 3 n a ˚ r y ( 0 ) = 2 y' - 2y = 3 \qquad \text{når} \qquad y(0) = 2 y ′ − 2 y = 3 n a ˚ r y ( 0 ) = 2
d)
1) Bruk formlene
cos ( u − v ) = cos u ⋅ cos v + sin u ⋅ sin v \cos(u - v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v cos ( u − v ) = cos u ⋅ cos v + sin u ⋅ sin v cos ( u + v ) = cos u ⋅ cos v − sin u ⋅ sin v \cos(u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v cos ( u + v ) = cos u ⋅ cos v − sin u ⋅ sin v til å vise at
cos u ⋅ cos v = 1 2 ( cos ( u − v ) + cos ( u + v ) ) \cos u \cdot \cos v = \frac{1}{2}\bigl(\cos(u - v) + \cos(u + v)\bigr) cos u ⋅ cos v = 2 1 ( cos ( u − v ) + cos ( u + v ) )
2)
Bruk 1) til å finne et uttrykk for ( cos x ) 2 (\cos x)^2 ( cos x ) 2
∫ ( cos x ) 2 d x \int (\cos x)^2 \, dx ∫ ( cos x ) 2 d x
I denne oppgaven får du bruk for den generelle sammenhengen
∫ a b F ′ ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b F'(x) \, dx = F(b) - F(a) ∫ a b F ′ ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) Tabellen nedenfor viser noen funksjonsverdier for funksjonene f f f g g g h h h
x x x f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) h ( x ) h(x) h ( x ) − 3 -3 − 3 0 0 0 6 6 6 6 6 6 1 1 1 − 2 -2 − 2 − 7 2 -\dfrac{7}{2} − 2 7 − 4 -4 − 4 2 2 2 24 24 24 28 28 28 22 22 22
Det opplyses i tillegg at f ( x ) = g ′ ( x ) f(x) = g'(x) f ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) = g ′ ′ ( x ) h(x) = g''(x) h ( x ) = g ′′ ( x )
Bruk tabellen og tilleggsopplysningene til å finne integralene
e)
1) ∫ − 3 2 f ( x ) d x \displaystyle\int_{-3}^{2} f(x) \, dx ∫ − 3 2 f ( x ) d x
2)
∫ − 3 1 h ( x ) d x \int_{-3}^{1} h(x) \, dx ∫ − 3 1 h ( x ) d x
Oppgavedata
Kategori 2
Vanskegrad 2
Temaer Derivasjon, Integrasjon, Differensiallikning, Trigonometri, Delvis integrasjon, Bestemt integral Oppgave 1-2 : Pyramidevolum og plan gjennom tre punkter og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Vi har gitt punktene A ( 3 , 0 , − 2 ) A(3,\, 0,\, -2) A ( 3 , 0 , − 2 ) B ( 0 , 2 , 0 ) B(0,\, 2,\, 0) B ( 0 , 2 , 0 ) C ( 1 , − 1 , 4 ) C(1,\, -1,\, 4) C ( 1 , − 1 , 4 )
a)
Bestem A B → × A C → \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} A B × A C
b)
Finn en likning for planet α \alpha α A A A B B B C C C
En rett linje l l l P ( 5 , 4 , 4 ) P(5,\, 4,\, 4) P ( 5 , 4 , 4 ) α \alpha α
c)
Vis at en parameterframstilling for l l l
{ x = 5 + 2 t y = 4 + 2 t z = 4 + 2 t \begin{cases} x = 5 + 2t \\ y = 4 + 2t \\ z = 4 + \phantom{2}t \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = 5 + 2 t y = 4 + 2 t z = 4 + 2 t Finn skjæringspunktet mellom l l l x z xz x z
Vi lar Q Q Q l l l
d)
Bestem volumet av pyramiden A B C Q ABCQ A B C Q t t t
e)
Bestem koordinatene til Q Q Q A B C Q ABCQ A B C Q
Oppgavedata
Kategori 3
Vanskegrad 3
Temaer Vektorer, Romgeometri, Plan, Volum, Parameterframstilling
Del 2
— med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver Oppgave 2-3 : Andregrads differensiallikning dempet svingning og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Du skal studere løsningen til differensiallikningen
y ′ ′ + 2 5 y ′ + 26 25 y = 0 y'' + \frac{2}{5}\,y' + \frac{26}{25}\,y = 0 y ′′ + 5 2 y ′ + 25 26 y = 0
a)
Bruk løsningen til den karakteristiske likningen til å vise at den generelle løsningen til differensiallikningen er
y = e − 0,2 x ⋅ ( C sin x + D cos x ) y = e^{-0{,}2x} \cdot (C\sin x + D\cos x) y = e − 0 , 2 x ⋅ ( C sin x + D cos x ) der C C C D D D
b)
Du får oppgitt at y ( 0 ) = 5 y(0) = 5 y ( 0 ) = 5 y ( 3 π 4 ) = 0 y\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 0 y ( 4 3 π ) = 0
Forklar at løsningen av differensiallikningen da kan skrives
y = 5 e − 0,2 x ⋅ ( sin x + cos x ) y = 5e^{-0{,}2x} \cdot (\sin x + \cos x) y = 5 e − 0 , 2 x ⋅ ( sin x + cos x ) (Du kan få bruk for at sin 3 π 4 = 2 2 \sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} sin 4 3 π = 2 2 cos 3 π 4 = − 2 2 \cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} cos 4 3 π = − 2 2
Oppgavedata
Kategori 3
Vanskegrad 3
Temaer Differensiallikning, Eksponentialfunksjon, Trigonometri, Bevis Oppgave 2-4 : Funksjonsdrøfting av dempet sinusfunksjon og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Funksjonen f f f f ( x ) = 5 e − 0,2 x ⋅ ( sin x + cos x ) f(x) = 5e^{-0{,}2x} \cdot (\sin x + \cos x) f ( x ) = 5 e − 0 , 2 x ⋅ ( sin x + cos x ) x ∈ ⟨ 0 , 15 ⟩ \; x \in \langle 0,\, 15 \rangle x ∈ ⟨ 0 , 15 ⟩
b)
Bestem ved regning nullpunktene til f f f
c)
Vis ved regning at
f ′ ( x ) = 2 e − 0,2 x ⋅ ( 2 cos x − 3 sin x ) f'(x) = 2e^{-0{,}2x} \cdot (2\cos x - 3\sin x) f ′ ( x ) = 2 e − 0 , 2 x ⋅ ( 2 cos x − 3 sin x )
d)
Tegn fortegnslinjen til f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) 6,164 6{,}164 6 , 164 1,754 1{,}754 1 , 754 0,499 0{,}499 0 , 499
e)
Skriv f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = A e − 0,2 x ⋅ sin ( x + φ ) f(x) = A\,e^{-0{,}2x} \cdot \sin(x + \varphi) f ( x ) = A e − 0 , 2 x ⋅ sin ( x + φ ) der A A A φ \varphi φ
Funksjonene p p p q q q p ( x ) = A e − 0,2 x p(x) = Ae^{-0{,}2x} p ( x ) = A e − 0 , 2 x q ( x ) = − A e − 0,2 x q(x) = -Ae^{-0{,}2x} q ( x ) = − A e − 0 , 2 x A A A
f)
Forklar at q ( x ) ≤ f ( x ) ≤ p ( x ) q(x) \leq f(x) \leq p(x) q ( x ) ≤ f ( x ) ≤ p ( x ) p p p q q q f f f
Oppgavedata
Kategori 2
Vanskegrad 2
Temaer Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Trigonometri, Graf Oppgave 2-5 : Nullpunkter og toppunkter som rekker for dempet sinusfunksjon og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Vi vil studere flere egenskaper ved funksjonen
f ( x ) = 5 e − 0,2 x ⋅ ( sin x + cos x ) f(x) = 5e^{-0{,}2x} \cdot (\sin x + \cos x) f ( x ) = 5 e − 0 , 2 x ⋅ ( sin x + cos x ) når definisjonsmengden er ⟨ 0 , → ⟩ \langle 0,\, \to \rangle ⟨ 0 , → ⟩
a)
Forklar at det n n n f f f
x n = 2,356 + ( n − 1 ) ⋅ π x_n = 2{,}356 + (n-1) \cdot \pi x n = 2 , 356 + ( n − 1 ) ⋅ π der n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1
b)
Hva slags tallfølge danner nullpunktene? Hvor mange nullpunkter får vi hvis x ∈ ⟨ 0 , 30 ⟩ x \in \langle 0,\, 30 \rangle x ∈ ⟨ 0 , 30 ⟩
c)
De tre første funksjonsverdiene til toppunktene på grafen til f f f
Vi summerer y y y
d)
Vil den rekken vi får, konvergere når x → ∞ x \to \infty x → ∞
Oppgavedata
Kategori 3
Vanskegrad 3
Temaer Rekker, Tallfølger, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens Oppgave 2-6 : Dempet svingning i fjær og differensiallikning og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.
Alternativ I
Et lodd med masse m m m
Vi trekker loddet ut fra likevektsstillingen, gir det et puff bort fra likevektsstillingen, og setter dermed i gang en svingebevegelse fram og tilbake. Se figur 2 og figur 3.
Avstanden fra likevektsstillingen til loddet ved tidspunktet t t t y ( t ) y(t) y ( t )
Tida t t t y ( t ) y(t) y ( t )
I horisontal retning virker to krefter på loddet:
En kraft fra fjæren som er proporsjonal med y ( t ) y(t) y ( t )
En friksjonskraft fra underlaget som er proporsjonal med farten v ( t ) = y ′ ( t ) v(t) = y'(t) v ( t ) = y ′ ( t )
Akselerasjonen til klossen er a ( t ) = v ′ ( t ) a(t) = v'(t) a ( t ) = v ′ ( t )
Vi setter y ( t ) = y y(t) = y y ( t ) = y v ( t ) = v v(t) = v v ( t ) = v a ( t ) = a a(t) = a a ( t ) = a
Newtons 2. lov vil da gi følgende likning
− b ⋅ v − k ⋅ y = m ⋅ a -b \cdot v - k \cdot y = m \cdot a − b ⋅ v − k ⋅ y = m ⋅ a der b b b k k k m m m
a)
Vis at denne likningen kan omformes til
y ′ ′ + b m y ′ + k m y = 0 y'' + \frac{b}{m}\,y' + \frac{k}{m}\,y = 0 y ′′ + m b y ′ + m k y = 0
Vi setter b = 1,0 Ns/m b = 1{,}0 \; \text{Ns/m} b = 1 , 0 Ns/m k = 2,6 N/m k = 2{,}6 \; \text{N/m} k = 2 , 6 N/m m = 2,5 kg m = 2{,}5 \; \text{kg} m = 2 , 5 kg
b)
Vis at du får differensiallikningen
y ′ ′ + 2 5 y ′ + 26 25 y = 0 y'' + \frac{2}{5}\,y' + \frac{26}{25}\,y = 0 y ′′ + 5 2 y ′ + 25 26 y = 0 Bestem et uttrykk for y ( t ) y(t) y ( t ) y ( 0 ) = 5 y(0) = 5 y ( 0 ) = 5 y ( 3 π 4 ) = 0 y\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 0 y ( 4 3 π ) = 0
c)
Forklar at det går like lang tid mellom hver gang loddet passerer likevektsstillingen.
d)
Vis at det maksimale utslaget y y y 71,5 % 71{,}5\,\% 71 , 5 %
Oppgavedata
Kategori 3
Vanskegrad 3
Temaer Differensiallikning, Modellering, Trigonometri, Bevis Oppgave 2-6 : Induksjonsbevis for sum av kubikktall og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.
Alternativ II
Summen av de n n n
S n = ∑ k = 1 n k = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + n S_n = \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + n S n = k = 1 ∑ n k = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + n
a)
Forklar at S n = n ( n + 1 ) 2 S_n = \dfrac{n(n+1)}{2} S n = 2 n ( n + 1 ) S 8 S_8 S 8
Summen av de n n n
s n = ∑ k = 1 n k 3 = 1 + 8 + 27 + ⋯ + n 3 s_n = \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1 + 8 + 27 + \cdots + n^3 s n = k = 1 ∑ n k 3 = 1 + 8 + 27 + ⋯ + n 3
b)
Bruk digitalt verktøy til å undersøke hvor mange ledd rekken må ha for at summen av rekken skal være større enn 15 000.
Det er blitt påstått at
1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = 4 n 2 ( n + 1 ) 2
c)
Bevis formelen over ved induksjon. (Spørsmål c) teller som to delspørsmål.)
d)
Forklar at
1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = ( 1 + 2 + 3 + ⋯ + n ) 2 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \bigl(1 + 2 + 3 + \cdots + n\bigr)^2 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = ( 1 + 2 + 3 + ⋯ + n ) 2 Oppgavedata
Kategori 3
Vanskegrad 3
Temaer Induksjon, Bevis, Rekker ← Eldre eksamen H2010 Høst 2010 Alle eksamener R2 Nyere eksamen → H2011 Høst 2011 
