R1 Vår 2019

LK06 12 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2019 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av polynom, produkt og kvotient	—
2	Forenkling av brøkuttrykk med logaritmer	—
3	Polynom med divisjon, faktorisering og ulikhet	—
4	Vektorer og sirkel med diameter AB	—
5	Kombinatorikk med kjønn i finale	—
6	Identifisere f og f' fra grafene	—
7	Korder i sirkel og formlike trekanter	—
8	Implikasjonsretning for ekstremalpunkt	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Frispark modellert med vektorfunksjon	—
2	Lotteri på arbeidsplass og binomisk fordeling	—
3	Tredjegradsfunksjon med toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt	—
4	Rettvinklet trekant med kvadrater og kongruens	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av polynom, produkt og kvotient

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x^3 + 2x^2 - \sqrt{x}

g(x) = x^2 \cdot \ln(2x-1)

h(x) = \dfrac{4x}{e^{2x}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen

Oppgave 1-2 : Forenkling av brøkuttrykk med logaritmer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\dfrac{1}{x^2-x} + \dfrac{1}{x^2+x} - \dfrac{1}{x^2-1}

\dfrac{(\ln e^3 + 1)^2}{(e^{\ln 3} + 1)^3}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Algebra, Logaritmer, Brøk

Oppgave 1-3 : Polynom med divisjon, faktorisering og ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6

Vis at divisjonen $f(x) : (2x-1)$ går opp.

Faktoriser $f(x)$ i lineære faktorer.

Løs ulikheten $f(x) \geq (2x-1)(x+2)$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter

Oppgave 1-4 : Vektorer og sirkel med diameter AB

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A(1,\, 3)$ og $B(5,\, -1)$ .

Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $|\overrightarrow{AB}|$ .

Bestem en likning for sirkelen som har $AB$ som diameter.

Et punkt $C$ ligger på linjen $x = 6$ .

Avgjør om det er mulig å plassere $C$ slik at trekanten $ABC$ får en rett vinkel i $C$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Sirkel, Geometri

Oppgave 1-5 : Kombinatorikk med kjønn i finale

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I TV-programmet «Mesternes mester» er det 10 deltakere. Det er 5 kvinner og 5 menn. Deltakerne konkurrerer mot hverandre og blir slått ut én etter én. Til slutt er det tre deltakere igjen. Disse tre er i finalen.

Hvor mange ulike grupper på tre deltakere kan komme til finalen?

Hvor mange av gruppene du fant i oppgave a), inneholder flere kvinner enn menn?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet

Oppgave 1-6 : Identifisere f og f' fra grafene

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du to grafer. Den ene grafen tilhører funksjonen $f$ , mens den andre tilhører funksjonen $f'$ .

Graf A Graf B

Avgjør hvilken av de to grafene som tilhører $f$ . Gjør rede for hvordan du kom fram til svaret.

Lag en skisse av fortegnslinjen til $f''$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Graf, Fortegnslinje, Graftolkning

Oppgave 1-7 : Korder i sirkel og formlike trekanter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I figuren nedenfor har vi en sirkel med to korder: $AB$ og $CD$ . Kordene skjærer hverandre i punktet $P$ .

Sirkel med korder AB og CD som skjærer hverandre i P

Begrunn at $\triangle APC$ og $\triangle BPD$ er formlike.

Vis at $AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Sirkel, Bevis

Oppgave 1-8 : Implikasjonsretning for ekstremalpunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er deriverbar og dobbelderiverbar for alle $x$ .

Nedenfor er det gitt noen utsagn. Skriv av utsagnene. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn et av symbolene $\Rightarrow$ , $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ . Husk å begrunne svarene.

$f'(2) = 0$ $\square$ Grafen til $f$ har et toppunkt i $(2,\, f(2))$

$f'(3) = 0$ og $f''(3) > 0$ $\square$ Grafen til $f$ har et bunnpunkt i $(3,\, f(3))$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Argumentasjon, Funksjonsdrøfting

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Frispark modellert med vektorfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fotballspiller tar frispark – ballbane vist i koordinatsystem

En fotballspiller tok et frispark. Han sparket ballen i retning av motstandernes mål. Ballens posisjon $t$ sekunder etter at frisparket ble tatt, er gitt ved vektorfunksjonen

\vec{r}(t) = \left[28t - 3t^2,\; 10t - 5t^2\right]

Enheten langs aksene er meter.

Bestem banefarten som ballen fikk da den ble sparket.

Hvor lang tid tok det fra ballen ble sparket, til den traff bakken?

Bestem ballens banefart da den var i sitt høyeste punkt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Derivasjon

Oppgave 2-2 : Lotteri på arbeidsplass og binomisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en arbeidsplass er det tolv kvinner og åtte menn. Hver måned arrangerer de et lotteri. Det går ut på at alle legger én lapp med navnet sitt i en eske. De trekker så ut tre tilfeldige lapper fra esken. Lappene legges ikke tilbake mellom hver gang de trekker. De tre som blir trukket ut, vinner en kinobillett hver.

Vis at sannsynligheten er $p \approx 0{,}2947$ for at nøyaktig to av de tre vinnerne er menn.

I løpet av et år arrangerer de tolv slike lotterier.

Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av vinnerne er menn i seks av de tolv lotteriene.

Bestem sannsynligheten for at de tre vinnerne har samme kjønn i minst ett av de tolv lotteriene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling, Binomisk fordeling

Oppgave 2-3 : Tredjegradsfunksjon med toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + 4x^2 + 4x + 2

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Bestem eksakte verdier for koordinatene til eventuelle toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt på grafen til $f$ .

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = x^3 + a \cdot x^2 + 4x + 2, \quad a \in \mathbb{R}

Bruk CAS til å avgjøre for hvilke verdier av $a$ grafen til $g$ har både et toppunkt og et bunnpunkt.

Funksjonen $h$ er gitt ved

h(x) = -2x^3 + 4x + 2

Bruk CAS til å vise at vendepunktet på grafen til $g$ ligger på grafen til $h$ for alle verdier av $a$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Funksjonsdrøfting, Cas, Derivasjon

Oppgave 2-4 : Rettvinklet trekant med kvadrater og kongruens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en rettvinklet trekant $ABC$ er $\angle ACB = 90\degree$ . La $H$ være midtpunktet på $AB$ . La videre $CBFG$ og $ACDE$ være kvadrater på de to katetene. Punktet $I$ er skjæringspunktet mellom forlengelsen av linjestykket $HC$ og linjestykket $DG$ . Se figuren nedenfor.

Rettvinklet trekant ABC med kvadrater CBFG og ACDE på katetene

Begrunn at $\triangle ABC \cong \triangle GDC$ (kongruente trekanter).

Begrunn at $\triangle AHC$ er likebeint.

Vis at $\angle CIG = 90\degree$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Geometri, Bevis, Konstruksjon

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2019

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av polynom, produkt og kvotient

Oppgave 1-2 : Forenkling av brøkuttrykk med logaritmer

Oppgave 1-3 : Polynom med divisjon, faktorisering og ulikhet

Oppgave 1-4 : Vektorer og sirkel med diameter AB

Oppgave 1-5 : Kombinatorikk med kjønn i finale

Oppgave 1-6 : Identifisere f og f' fra grafene

Oppgave 1-7 : Korder i sirkel og formlike trekanter

Oppgave 1-8 : Implikasjonsretning for ekstremalpunkt

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Frispark modellert med vektorfunksjon

Oppgave 2-2 : Lotteri på arbeidsplass og binomisk fordeling

Oppgave 2-3 : Tredjegradsfunksjon med toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt

Oppgave 2-4 : Rettvinklet trekant med kvadrater og kongruens

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave