R1 Høst 2019

LK06 11 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 11 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2019 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av polynom logaritme og eksponential R1 H19	—
2	Logaritmeuttrykk forenklet	—
3	Polynom og ulikhet med P(x)	—
4	Vektorer i firkant ABCD	—
5	Komité fra to klasser kombinatorikk	—
6	Kvartsirkel og rektangelareal	—
7	Bevis for Pytagoras med innskrevet halvsirkel	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Betinget sannsynlighet søppelpost	—
2	Kubikkfunksjon med parameter k	—
3	To golfballer vektorfunksjoner	—
4	Parabol med brennpunkt og tangent	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av polynom logaritme og eksponential R1 H19

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x^4 - 2x + \ln x

g(x) = x^7 \cdot e^x

h(x) = \dfrac{\ln(2x)}{x^2}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Logaritmefunksjoner, Kjerneregelen, Produktregelen

Oppgave 1-2 : Logaritmeuttrykk forenklet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

4\ln(a \cdot b^3) - 3\ln(a \cdot b^2) - \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Algebra

Oppgave 1-3 : Polynom og ulikhet med P(x)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomet $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 + 6x^2 + k \cdot x - 30

Begrunn at $k$ må være lik $-1$ for at divisjonen $P(x) : (x-2)$ skal gå opp.

Faktoriser $x^3 + 6x^2 - x - 30$ i lineære faktorer.

Løs ulikheten $x^3 + 6x^2 \leq x + 30$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter

Oppgave 1-4 : Vektorer i firkant ABCD

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Firkanten $ABCD$ er gitt ved $A(-2,\, 1)$ , $B(2,\, -1)$ , $C(4,\, 2)$ og $D(t,\, 3)$ .

Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{BC}$ .

Avgjør om $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}$ .

Bruk vektorregning til å bestemme $t$ slik at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$ .

For hvilke verdier av $t$ er firkanten $ABCD$ et trapes?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Geometri

Oppgave 1-5 : Komité fra to klasser kombinatorikk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en R1-gruppe kommer 7 elever fra klasse A og 5 elever fra klasse B. Blant disse 12 elevene skal det velges tilfeldig en komité som skal bestå av 3 elever fra klasse A og 2 elever fra klasse B.

Hvor mange slike komiteer er det mulig å sette sammen?

Anne og Jens er elever i R1-gruppen. Anne går i klasse A, og Jens går i klasse B.

Bestem sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen.

Bestem sannsynligheten for at bare én av dem blir med i komiteen.

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling

Oppgave 1-6 : Kvartsirkel og rektangelareal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skissen nedenfor viser en kvartsirkel med radius 2. Firkanten $OABC$ er et rektangel, der $O$ er origo, $A$ ligger på $x$ -aksen, $B$ på kvartsirkelen og $C$ på $y$ -aksen.

Kvartsirkel med radius 2 og innskrevet rektangel OABC

Vis at arealet $F$ til det fargelagte området er gitt ved

F(x) = \pi - x\sqrt{4 - x^2}, \quad 0 \leq x \leq 2

Hva er det minste arealet det fargelagte området kan ha?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Areal, Derivasjon, Optimering, Integrasjon

Oppgave 1-7 : Bevis for Pytagoras med innskrevet halvsirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal vi bevise Pytagoras’ setning.

I en rettvinklet trekant $ABC$ med sidene $a$ , $b$ og $c$ har vi tegnet en innskrevet halvsirkel med sentrum i $D$ og radius $r = DC = DE$ . Halvsirkelen tangerer hypotenusen i punktet $E$ . Se figuren nedenfor.

Rettvinklet trekant ABC med innskrevet halvsirkel, sentrum D og radius r

Begrunn at $\triangle CEB$ er likebeint. Bruk dette til å vise at $EA = c - a$ .

Begrunn at $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ . Bruk dette til å vise at $r = \dfrac{a \cdot (c-a)}{b}$ .

Vi speiler hele figuren om $AC$ og får en trekant $ABF$ med en innskrevet sirkel.

Speilet trekant ABF med innskrevet sirkel

Vis ved arealbetraktninger at $a \cdot b = (a + c) \cdot r$ .

Bruk resultatene fra oppgave b) og c) til å bevise Pytagoras’ setning.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Bevis, Geometri, Areal, Trigonometri

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Betinget sannsynlighet søppelpost

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Av alle epostene som blir sendt til Arnt, er 80 % søppelpost (spam), det vil si uønsket reklame som blir sendt via epost. Det viser seg at 85 % av epostene som er søppelpost, inneholder ett eller flere ord fra en bestemt liste. Av eposter som ikke er søppelpost, er det bare 3 % som inneholder ett eller flere ord fra denne listen.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig epost sendt til Arnt inneholder ett eller flere ord fra listen.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig epost sendt til Arnt er søppelpost når den inneholder ett eller flere ord fra listen.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig epost sendt til Arnt er søppelpost selv om den ikke inneholder noen ord fra listen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 2-2 : Kubikkfunksjon med parameter k

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = -x^3 + x^2 + k \cdot x + 2

For hvilke verdier av $k$ har grafen til $f$ både et toppunkt og et bunnpunkt?

Bestem $k$ slik at grafen til $f$ har et toppunkt i $(2,\, f(2))$ . Bestem også koordinatene til bunnpunktet for denne verdien av $k$ .

Bestem koordinatene til vendepunktet til grafen, uttrykt ved $k$ . Bestem $k$ slik at største momentane vekstfart til $f$ er 2.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Andregradsfunksjon

Oppgave 2-3 : To golfballer vektorfunksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To golfballer blir slått ut samtidig fra et tak som er 20 meter over bakkenivå.

Posisjonen til ball 1 er gitt ved vektorfunksjonen

\vec{r}_1(t) = \left[17t,\; -5t^2 + 29t + 20\right]

Posisjonen til ball 2 er gitt ved vektorfunksjonen

\vec{r}_2(t) = \left[24t,\; -5t^2 + 25t + 20\right]

Her er $t$ tiden (målt i sekunder) etter at ballene ble slått ut fra taket, og koordinatene er gitt i meter. Førstekoordinaten er posisjon i horisontal retning, og andrekoordinaten er høyden til ballen over bakkenivå.

Hvor lang tid tar det før hver av golfballene treffer bakken?

Tegn grafene til $\vec{r}_1$ og $\vec{r}_2$ .

Bestem banefarten til hver av de to golfballene idet de forlater taket.

Ved et tidspunkt vil de to golfballene ha samme fartsretning.

Bestem dette tidspunktet. Hvilken vinkel danner da fartsvektorene med $x$ -aksen?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Derivasjon, Modellering

Oppgave 2-4 : Parabol med brennpunkt og tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figur 1 viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \frac{1}{4p}\,x^2

der $p > 0$ er et reelt tall. Vi kaller grafen til en slik funksjon for en parabel. Punktet $P(0,\, p)$ kaller vi for parabelens brennpunkt.

La $Q(q,\, f(q))$ være et generelt punkt på parabelen, og la $\ell$ være linjen som går gjennom $P$ og $Q$ . Linjen $\ell$ skjærer også parabelen i punktet $R$ . Se figur 2.

Parabel med brennpunkt P, punkt Q, skjæringspunkt R og linje ell — Figur 1, 2 og 3

Bruk CAS til å vise at $x$ -koordinaten til punktet $R$ er $-\dfrac{4p^2}{q}$ .

Bruk CAS til å vise at tangentene til grafen til $f$ i punktene $Q$ og $R$ står normalt på hverandre. Se figur 3.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Cas, Derivasjon, Andregradsfunksjon, Tangent

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2019

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av polynom logaritme og eksponential R1 H19

Oppgave 1-2 : Logaritmeuttrykk forenklet

Oppgave 1-3 : Polynom og ulikhet med P(x)

Oppgave 1-4 : Vektorer i firkant ABCD

Oppgave 1-5 : Komité fra to klasser kombinatorikk

Oppgave 1-6 : Kvartsirkel og rektangelareal

Oppgave 1-7 : Bevis for Pytagoras med innskrevet halvsirkel

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Betinget sannsynlighet søppelpost

Oppgave 2-2 : Kubikkfunksjon med parameter k

Oppgave 2-3 : To golfballer vektorfunksjoner

Oppgave 2-4 : Parabol med brennpunkt og tangent

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave