R1 Vår 2018

LK06 12 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2018 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av polynom produkt og sammensatt eksponentialfunksjon	—
2	Brøk og logaritmeuttrykk med forenkling	—
3	Vektorer og vinkelrett betingelse med punkter	—
4	Polynomdivisjon og rasjonale ulikheter	—
5	Defekte ladere og betinget sannsynlighet	—
6	Drøfting av eksponentialfunksjon med substitusjonsvinkel	—
7	Formlike trekanter og Pytagoras bevis	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 24 poeng
1	Firkant innskrevet i sirkel og sentrivinkel	—
2	Sirkellikning med tre punkter og CAS	—
3	Binomisk fordeling og flyoverbooking	—
4	Minste veilengde mellom fire byer med CAS	—
5	Parameterframstilling og banefart for partikkel	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av polynom produkt og sammensatt eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x^4 - x + 2

g(x) = x^3 \cdot \ln(x)

h(x) = e^{2x^2+x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen

Oppgave 1-2 : Brøk og logaritmeuttrykk med forenkling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\dfrac{1}{2x-2} + \dfrac{2}{x-3} - \dfrac{x-2}{x^2-4x+3}

2\ln(x \cdot y^3) - \dfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{x^4}{y^2}\right)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Algebra, Brøk, Logaritmer

Oppgave 1-3 : Vektorer og vinkelrett betingelse med punkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(-2,\,-1)$ , $B(-1,\,-3)$ , $C(3,\,-1)$ og $D(t,\,t^2+2)$ er gitt, der $t \in \mathbb{R}$ .

Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{BC}$ .

Bruk vektorregning til å vise at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}$ .

Bestem $t$ slik at $\overrightarrow{CD} \parallel \overrightarrow{AB}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Geometri

Oppgave 1-4 : Polynomdivisjon og rasjonale ulikheter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + k \cdot x + 12

Bestem $k$ slik at divisjonen $f(x):(x-1)$ går opp.

Sett inn verdien for $k$ fra oppgave a), og bruk blant annet polynomdivisjon til å skrive $f(x)$ som et produkt av lineære faktorer.

Løs ulikheten

\frac{x^2 + x - 12}{x-1} \geq 0

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter, Rasjonale funksjoner

Oppgave 1-5 : Defekte ladere og betinget sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En butikk kjøper samme type ladere fra to leverandører. Av disse kommer

40 % fra leverandør A
60 % fra leverandør B

Det viser seg at

3 % av laderne fra A er defekte
2 % av laderne fra B er defekte

Vi tenker oss at vi velger ut en lader tilfeldig.

Bestem sannsynligheten for at laderen kommer fra leverandør A og er defekt.

Bestem sannsynligheten for at en lader som er defekt, kommer fra leverandør A.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 1-6 : Drøfting av eksponentialfunksjon med substitusjonsvinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = e^{2x} - 4e^x + 3

I denne oppgaven kan du få bruk for følgende tilnærmingsverdier:

$\ln 2 \approx 0{,}69$ og $\ln 3 \approx 1{,}10$

Bestem nullpunktene til $f$ .

Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjoner, Nullpunkter, Derivasjon

Oppgave 1-7 : Formlike trekanter og Pytagoras bevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rettvinklet trekant har sidene $a$ , $b$ og $c$ , slik figuren nedenfor viser.

Rettvinklet trekant med sider a, b og c

Vi kan lage tre nye trekanter med utgangspunkt i denne trekanten. Dette gjør vi ved å multiplisere hver av sidene med henholdsvis $c$ , $b$ og $a$ . Figurene viser de tre nye trekantene og den sammensatte figuren.

Begrunn at de tre trekantene er formlike.

Vi setter sammen de tre trekantene som vist på figuren ovenfor.

Begrunn at $E$ , $D$ og $C$ ligger på en rett linje.

Forklar at firkanten $ABCE$ er et rektangel. Hvordan viser dette at Pytagoras’ setning gjelder?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Geometri, Bevis, Rettvinklet trekant, Argumentasjon

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Firkant innskrevet i sirkel og sentrivinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren viser en sirkel med sentrum i $S$ og en firkant $ABCD$ som er innskrevet i sirkelen. La $u = \angle BSD$ .

Firkant ABCD innskrevet i sirkel med sentrum S

Forklar at $\angle DCB = 180° - \dfrac{1}{2}u$

Vis at $\angle BAD + \angle DCB = \angle CBA + \angle ADC = 180°$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Sirkel, Bevis, Argumentasjon

Oppgave 2-2 : Sirkellikning med tre punkter og CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Likningen til en sirkel kan skrives på formen

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \text{ , der } a\text{, } b \text{ og } c \text{ er konstanter.}

Punktene $A(3,\,8)$ , $B(9,\,6)$ og $C(13,\,-2)$ ligger på sirkelperiferien.

Sett opp et likningssystem som svarer til opplysningene ovenfor.

Bruk CAS til å bestemme $a$ , $b$ og $c$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sirkel, Likningssystem, Cas

Oppgave 2-3 : Binomisk fordeling og flyoverbooking

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang, er 6 %.

Vi lar $X$ være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.

Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?

I resten av denne oppgaven går vi ut fra at $X$ er binomisk fordelt.

Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.

Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.

Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Minste veilengde mellom fire byer med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fire byer $A$ , $B$ , $C$ og $D$ ligger plassert slik at de danner et kvadrat med side 10. Vi skal lage veiforbindelse mellom disse fire byene. Det viser seg at den samlede veilengden blir minst når veiene legges slik skissen nedenfor viser. De enkelte veistrekningene er markert med blått. Alle mål er gitt i kilometer.

Veinettverk mellom fire byer A, B, C, D i kvadrat med knutepunkter E og F

Vi lar avstanden mellom $E$ og $F$ være $x$ .

Vis at den samlede veilengden er gitt ved

g(x) = x + 2\sqrt{(x-10)^2 + 10^2}

Bruk CAS til å bestemme $x$ slik at den samlede veilengden blir minst mulig. Hva blir den samlede veilengden da?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Cas, Geometri

Oppgave 2-5 : Parameterframstilling og banefart for partikkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonsvektoren til en partikkel ved et tidspunkt $t$ er gitt ved

\vec{r}(t) = [t^3 - 2t,\ t^2 + 1] \quad , \quad t \in \mathbb{R}

Bruk graftegner til å tegne grafen til $\vec{r}$ for $t \in [-2,\ 2]$

Bestem fartsvektoren $\vec{v}(-1)$ og banefarten $|\vec{v}(-1)|$ . Tegn fartsvektoren inn på grafen i det aktuelle punktet.

Bruk CAS til å bestemme $t$ slik at banefarten til partikkelen blir 2.

Vis at banefarten til partikkelen har ekstremalverdi i de punktene på kurven der fartsvektoren står normalt på akselerasjonsvektoren.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Parameterframstilling, Vektorer, Derivasjon, Vekstfart

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2018

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av polynom produkt og sammensatt eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2 : Brøk og logaritmeuttrykk med forenkling

Oppgave 1-3 : Vektorer og vinkelrett betingelse med punkter

Oppgave 1-4 : Polynomdivisjon og rasjonale ulikheter

Oppgave 1-5 : Defekte ladere og betinget sannsynlighet

Oppgave 1-6 : Drøfting av eksponentialfunksjon med substitusjonsvinkel

Oppgave 1-7 : Formlike trekanter og Pytagoras bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Firkant innskrevet i sirkel og sentrivinkel

Oppgave 2-2 : Sirkellikning med tre punkter og CAS

Oppgave 2-3 : Binomisk fordeling og flyoverbooking

Oppgave 2-4 : Minste veilengde mellom fire byer med CAS

Oppgave 2-5 : Parameterframstilling og banefart for partikkel

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave