R1 Høst 2018

LK06 12 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2018 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Deriver tre funksjoner med produkt logaritme og kvotient	—
2	Løs likningene med eksponential og logaritme	—
3	Vektorer vektorsum og vinkel med prikkprodukt	—
4	Polynomdivisjon faktorisering og ulikhet	—
5	Juletrær edelgran og sannsynlighet med Bayes	—
6	Stykkevis funksjon med to uttrykk og kontinuitet	—
7	Logaritmefunksjon drøfting toppunkt og vendepunkt	—
8	Konstruksjon av trekant med innskrevet sirkel og firkant	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Binomisk fordeling og kombinatorikk med planter	—
2	Vinkelhalvering og formlike trekanter	—
3	Vektorfunksjon og avstand til linje	—
4	Vendetangent og arealforhold for kubikkfunksjon	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner med produkt logaritme og kvotient

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x^2 + 2x + e^x

g(x) = x^2 \cdot \ln x

h(x) = \dfrac{x-1}{e^{2x+1}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Kjederegelen, Produktregelen

Oppgave 1-2 : Løs likningene med eksponential og logaritme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

e^{2x} + 7e^x - 8 = 0

\ln(x^2 - 5x - 1) - \ln(3 - 2x) = 0

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Eksponentialfunksjoner, Logaritmefunksjoner, Likninger

Oppgave 1-3 : Vektorer vektorsum og vinkel med prikkprodukt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt vektorene $\vec{a} = [2, 3]$ og $\vec{b} = [-5, 3]$

Bestem vektorsummen $2\vec{b} - 3\vec{a}$

Avgjør om $|\vec{a}| > 4$

Avgjør ved hjelp av vektorregning om vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er spiss, rett eller stump.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Lengde av vektor

Oppgave 1-4 : Polynomdivisjon faktorisering og ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + 6x^2 - x - 30

Vis at divisjonen $f(x) : (x-2)$ går opp.

Faktoriser $f(x)$ i lineære faktorer.

Løs ulikheten $-2 \cdot f(x) \geq 0$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter, Nullpunkter

Oppgave 1-5 : Juletrær edelgran og sannsynlighet med Bayes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Andersen selger juletrær. Han selger edelgran og vanlig gran. Av erfaring vet han at 70 % av dem som kjøper juletrær, er menn. Han vet også at 60 % av mennene og 40 % av kvinnene kjøper edelgran.

Hva er sannsynligheten for at det første treet han selger en dag, er edelgran?

Alle som kjøper edelgran, får et lodd i et lotteri. På julaften trekkes vinneren av lotteriet.

Hva er sannsynligheten for at vinneren av lotteriet blir en kvinne?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 1-6 : Stykkevis funksjon med to uttrykk og kontinuitet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 3x - 2, & x \leq a \\ x^2 + x + 3, & x > a \end{cases}

For hvilke verdier av $a$ blir $f$ en kontinuerlig funksjon?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Kontinuitet, Delt forskrift, Andregradslikninger

Oppgave 1-7 : Logaritmefunksjon drøfting toppunkt og vendepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = x - 2\ln(x^2 + 3) \,, \quad x \in \mathbb{R}

Vis at $g'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2 + 3}$

Bestem $x$ -koordinaten til eventuelle toppunkt og $x$ -koordinaten til eventuelle bunnpunkt på grafen til $g$ .

Bestem $x$ -koordinaten til eventuelle vendepunkt på grafen til $g$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Logaritmefunksjoner

Oppgave 1-8 : Konstruksjon av trekant med innskrevet sirkel og firkant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I trekanten $ABC$ er $AB = 8 \text{ cm}$ , $AC = 5 \text{ cm}$ og $BC = 7 \text{ cm}$ .

Konstruer trekanten.

Konstruer den innskrevne sirkelen til trekanten $ABC$ .

Trekanten $ABC$ er del av firkanten $ABCD$ der $AD = 6 \text{ cm}$ , $AD < CD$ og $\angle ADC = 30\degree$ .

Konstruer firkanten. (Hint: Du kan få bruk for periferivinkler.)

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Konstruksjon, Geometri, Sirkel, Trigonometri

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Binomisk fordeling og kombinatorikk med planter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et gartneri produserer og selger en plante som får enten røde eller gule blomster. Sannsynligheten er $p = 0{,}4$ for at en tilfeldig valgt plante får gule blomster.

Astrid kjøper ti tilfeldige planter av denne typen.

Bestem sannsynligheten for at halvparten av plantene til Astrid får gule blomster.

Bestem sannsynligheten for at flere enn fem av plantene til Astrid får gule blomster.

Stian har fire like planter med gule blomster og seks like planter med røde blomster. Disse skal han plante på én rekke i en blomsterkasse.

På hvor mange ulike måter kan han plassere plantene i kassen?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Binomisk fordeling, Kombinatorikk, Sannsynlighet

Oppgave 2-2 : Vinkelhalvering og formlike trekanter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekanten $ABC$ har sidelengder $a$ , $b$ og $c$ . Vinkelhalveringslinjen til $\angle ACB$ skjærer linjestykket $AB$ i punktet $D$ .

En linje gjennom $A$ er parallell med linjestykket $BC$ . Linjen skjærer halveringslinjen i punktet $E$ . Se skissen til høyre.

Vinkelhalvering i trekant ABC med parallell linje gjennom A

Begrunn at $\angle DEA = \angle DCB$ .

Begrunn at trekantene $AED$ og $BCD$ er formlike.

Begrunn at trekant $AEC$ er likebeint.

Forklar at $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{b}{a}$

Sett $a = 6$ , $b = 7$ og $c = 10$ .

Bestem den eksakte verdien til lengden $AD$ i dette tilfellet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Argumentasjon, Bevis

Oppgave 2-3 : Vektorfunksjon og avstand til linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A(3, 0)$ og $B(5, 5)$ .

Bestem en parameterframstilling for den rette linjen $\ell$ gjennom punktene $A$ og $B$ .

Vektorfunksjonen $\vec{r}$ er gitt ved

\vec{r}(t) = [t+1,\ t^2+2]

Tegn grafen til $\vec{r}$ for $-3 \leq t \leq 3$ . Tegn linjen $\ell$ i samme koordinatsystem.

La $P$ være det punktet på grafen til $\vec{r}$ som ligger nærmest linjen $\ell$ .

Et resultat fra geometrien sier at tangenten til grafen til $\vec{r}$ i punktet $P$ er parallell med $\ell$ .

Bruk dette resultatet til å bestemme den eksakte verdien for den minste avstanden mellom linjen $\ell$ og grafen til $\vec{r}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Derivasjon, Geometri

Oppgave 2-4 : Vendetangent og arealforhold for kubikkfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x(x^2 - 4)

Skissen nedenfor viser grafen til $f$ sammen med vendetangenten $t$ i punktet $B(0, 0)$ . Punktet $A$ har koordinatene $(-2, 0)$ . Punktet $C$ er skjæringspunktet mellom linjen $t$ og linjen $x = -2$ . Punktet $D$ er toppunktet på grafen til $f$ .

Graf av f(x)=x(x²-4) med vendetangent og punktene A, B, C, D

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ sammen med vendetangenten og punktene $A$ , $B$ , $C$ og $D$ .

Bestem forholdet mellom arealene av trekantene $ABC$ og $ABD$ .

Vi ser nå på det generelle uttrykket

g(x) = x \cdot (x^2 - r^2) \,, \quad r > 0

Punktene $E$ , $F$ , $G$ og $H$ er definert ved at

$E$ er venstre nullpunkt
$F$ er origo
$G$ er skjæringspunktet mellom vendetangenten og den vertikale linjen gjennom $E$
$H$ er toppunktet på grafen til $g$

Bruk CAS til å vise at forholdet mellom arealene av trekantene $EFG$ og $EFH$ er uavhengig av $r$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Tangent, Areal, Cas, Funksjonsdrøfting

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2018

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner med produkt logaritme og kvotient

Oppgave 1-2 : Løs likningene med eksponential og logaritme

Oppgave 1-3 : Vektorer vektorsum og vinkel med prikkprodukt

Oppgave 1-4 : Polynomdivisjon faktorisering og ulikhet

Oppgave 1-5 : Juletrær edelgran og sannsynlighet med Bayes

Oppgave 1-6 : Stykkevis funksjon med to uttrykk og kontinuitet

Oppgave 1-7 : Logaritmefunksjon drøfting toppunkt og vendepunkt

Oppgave 1-8 : Konstruksjon av trekant med innskrevet sirkel og firkant

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Binomisk fordeling og kombinatorikk med planter

Oppgave 2-2 : Vinkelhalvering og formlike trekanter

Oppgave 2-3 : Vektorfunksjon og avstand til linje

Oppgave 2-4 : Vendetangent og arealforhold for kubikkfunksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave