R1 Vår 2015

LK06 14 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 14 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2015 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av tre funksjoner R1 V15	—
2	Polynomdivisjon og grenseverdi for tredjegradsfunksjon	—
3	Addisjon av rasjonale brøkuttrykk	—
4	Sirkel ved kvadratfullføring	—
5	Vektorer i planet med parallellitet og ortogonalitet	—
6	Binomialkoeffisienter og kombinatorisk likning	—
7	Funksjonsdrøfting av xe^-x på lukket intervall	—
8	Omskrevet sirkel og bevis for sinusteoremet	—
9	Eksponentiallikning med 9^x og substitusjon	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 24 poeng
1	Sirkel med gitte egenskaper og likning	—
2	Bilkø og optimal gjennomstrømning	—
3	To båter og minste avstand med posisjonsvektorer	—
4	Fjerdegradsfunksjon med tre betingelser og CAS	—
5	Tangent til tredjegradsfunksjon med parameter	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R1 V15

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x

g(x) = \ln(x - 2)

h(x) = (2x^2 - 1)^3

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Kjerneregelen

Oppgave 1-2 : Polynomdivisjon og grenseverdi for tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6

Vis at $(x - 2)$ er en faktor i $P(x)$ .

Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere $P(x)$ med lineære faktorer.

Bestem $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x - 2}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Grenseverdi

Oppgave 1-3 : Addisjon av rasjonale brøkuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{x-2}{x^2+2x} + \frac{2}{x} + \frac{x+2}{x^2-2x} - \frac{3x}{x^2-4}

Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Algebra, Brøk, Rasjonale funksjoner

Oppgave 1-4 : Sirkel ved kvadratfullføring

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En sirkel er gitt ved likningen

x^2 - 2x + y^2 + 4y - 20 = 0

Bestem sentrum $S$ og radius $r$ i sirkelen.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Sirkel, Algebra

Oppgave 1-5 : Vektorer i planet med parallellitet og ortogonalitet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vektoren $\vec{v} = [3, 4]$ er gitt.

Bestem en vektor $\vec{u}$ som er parallell med $\vec{v}$ og motsatt rettet.

Bestem en vektor $\vec{w} \neq \vec{0}$ som står vinkelrett på $\vec{v}$ .

Bestem konstantene $k$ og $t$ slik at

\vec{v} = k \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{w}

Bestem en vektor $\vec{x}$ som har samme retning som $\vec{v}$ og som har lengde lik 7.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Geometri

Oppgave 1-6 : Binomialkoeffisienter og kombinatorisk likning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Binomialkoeffisientene er gitt ved

\binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}

Bestem $\dbinom{12}{2}$ . Vis at $\dbinom{n}{1} = n$ .

Bruk det du fant i oppgave a) til å løse likningen

\frac{\dbinom{x}{1} \cdot \dbinom{12-x}{1}}{\dbinom{12}{2}} = \frac{6}{11}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet

Oppgave 1-7 : Funksjonsdrøfting av xe^-x på lukket intervall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 3x \cdot e^{-x} \quad , \quad x \in \langle -1,\ 4 \rangle

Bruk $f'(x)$ til å avgjøre hvor $f(x)$ vokser og hvor $f(x)$ avtar. Bestem $x$ -verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter.

Bruk $f''(x)$ til å bestemme $x$ -verdien til eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Eksponentialfunksjoner

Oppgave 1-8 : Omskrevet sirkel og bevis for sinusteoremet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En vilkårlig $\triangle ABC$ er gitt. En sirkel har radius $R$ og sentrum i $S$ og omskriver $\triangle ABC$ . En normal fra $S$ til siden $AC$ har fotpunkt $D$ . Se skissen nedenfor.

Trekant ABC med omskrevet sirkel og sentrum S

Forklar at $\angle B = \angle DSA$ .

Vi setter $AC = b$ .

Vis at $\dfrac{b}{\sin B} = 2R$

Vi setter $BC = a$ og $AB = c$ .

Bruk tilsvarende resonnement som i oppgave b) til å vise at

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Geometri, Bevis

Oppgave 1-9 : Eksponentiallikning med 9^x og substitusjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

9^x - 3^x - 12 = 0

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjoner, Likninger, Substitusjon

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Sirkel med gitte egenskaper og likning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En sirkel har følgende egenskaper:

Sentrum i sirkelen ligger på linjen $y = x$
Sentrum i sirkelen ligger like langt fra origo som fra punktet $A(6, 0)$
Origo og punktet $A$ ligger begge på sirkelperiferien

Tegn sirkelen i et koordinatsystem.

Bestem en likning for sirkelen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sirkel, Geometri

Oppgave 2-2 : Bilkø og optimal gjennomstrømning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bilene i en bilkø holder en fart på $v$ km/h. Ifølge køteori vil antall biler $N$ som passerer et bestemt sted per minutt være gitt ved modellen

N(v) = \frac{16{,}7v}{4 + 0{,}25v + 0{,}006v^2}

Bruk graftegner til å tegne grafen til $N$ for $v \in [0,\ 120]$ .

Bestem grafisk hva farten bør være for at minst 25 biler skal kunne passere stedet per minutt.

Bestem grafisk hva farten må være for at flest mulig biler skal kunne passere stedet per minutt. Hvor mange biler passerer stedet per minutt da?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Optimering, Graf

Oppgave 2-3 : To båter og minste avstand med posisjonsvektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonen til to båter $A$ og $B$ er gitt ved

\vec{r}_A(t) = [18t - 8,\ 10 - 3t]

\vec{r}_B(t) = [10t,\ 20 - 6t]

Alle lengdemål er gitt i kilometer, og tiden $t$ er gitt i timer.

Bestem farten (banefarten) til hver av båtene.

Forklar at avstanden $d$ mellom båtene er gitt ved

d(t) = \sqrt{(8t - 8)^2 + (3t - 10)^2}

Når er denne avstanden minst? Hvor langt fra hverandre er båtene da?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Optimering

Oppgave 2-4 : Fjerdegradsfunksjon med tre betingelser og CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}

Om denne funksjonen vet vi at

$f$ har nullpunkt i $x = 1$
$x = 2$ er $x$ -koordinaten til vendepunktet på grafen til $f$
Grafen til $f$ går gjennom punktet $(3, 4)$

Sett opp tre likninger som svarer til opplysningene ovenfor.

Bruk CAS til å bestemme konstantene $a$ , $b$ og $c$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjoner, Cas, Derivasjon, Likningssystem

Oppgave 2-5 : Tangent til tredjegradsfunksjon med parameter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = ax^3 - x^2 \quad , \quad D_g = \mathbb{R}

Grafen til $g$ har en tangent i punktet $P(t,\, g(t))$ . Tangenten skjærer grafen til $g$ i et annet punkt $Q$ . Se skissen nedenfor.

Graf til g med tangent i P og skjæringspunkt Q

Vis at tangenten har likningen

y = (3at^2 - 2t)x + t^2 - 2at^3

Bruk CAS til å bestemme koordinatene til $Q$ , uttrykt ved $a$ og $t$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Tangent, Cas, Funksjonsdrøfting

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2015

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R1 V15

Oppgave 1-2 : Polynomdivisjon og grenseverdi for tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-3 : Addisjon av rasjonale brøkuttrykk

Oppgave 1-4 : Sirkel ved kvadratfullføring

Oppgave 1-5 : Vektorer i planet med parallellitet og ortogonalitet

Oppgave 1-6 : Binomialkoeffisienter og kombinatorisk likning

Oppgave 1-7 : Funksjonsdrøfting av xe^-x på lukket intervall

Oppgave 1-8 : Omskrevet sirkel og bevis for sinusteoremet

Oppgave 1-9 : Eksponentiallikning med 9^x og substitusjon

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Sirkel med gitte egenskaper og likning

Oppgave 2-2 : Bilkø og optimal gjennomstrømning

Oppgave 2-3 : To båter og minste avstand med posisjonsvektorer

Oppgave 2-4 : Fjerdegradsfunksjon med tre betingelser og CAS

Oppgave 2-5 : Tangent til tredjegradsfunksjon med parameter

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave