R1 Høst 2015

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2015 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av tre funksjoner R1 H15	—
2	Fortegnslinje for derivert av eksponentialfunksjon	—
3	Kubisk polynom med delbarhet og ulikhet	—
4	Forenkling av logaritmeuttrykk	—
5	Funksjonsdrøfting av fjerdegradspolynom	—
6	Vinkler i sirkel med diameter og periferivinkel	—
7	Sannsynlighet med blå øyne og kjønn	—
8	Konstruksjon av trekant og innskrevet sirkel	—
9	Logaritmilikning med potenser	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Verdensbefolkning med eksponentialfunksjon	—
2	Vektorer og trekant i koordinatsystem	—
3	Rektangel under kurve og maksimalt areal	—
4	Tredjegradsfunksjon og linje med CAS	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R1 H15

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 3x^2 + 5x - 2

g(x) = 3 \cdot (x^2 - 2)^4

h(x) = x \cdot \ln(x^2 + 3)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Kjederegelen, Produktregelen, Logaritmefunksjoner

Oppgave 1-2 : Fortegnslinje for derivert av eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x \cdot e^{-x} \qquad , \qquad D_f = \mathbb{R}

Tegn fortegnslinjen til $f'(x)$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjoner, Fortegnslinje

Oppgave 1-3 : Kubisk polynom med delbarhet og ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 2x^2 - kx + 6 \qquad , \qquad D_f = \mathbb{R}

Bestem $k$ slik at divisjonen $f(x) : (x - 1)$ går opp.

I resten av oppgaven bruker vi denne $k$ -verdien.

Faktoriser $f(x)$ i lineære faktorer.

Løs ulikheten $f(x) \geq 0$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter

Oppgave 1-4 : Forenkling av logaritmeuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\lg(a^2 \cdot b^3) + \lg\!\left(\frac{1}{b^2}\right) - \lg\!\left(\frac{b}{a}\right)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Algebra

Oppgave 1-5 : Funksjonsdrøfting av fjerdegradspolynom

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = -x^4 + 4x^3 \qquad , \qquad x \in \langle -2,\, 4 \rangle

Bestem eventuelle nullpunkter til $f$ .

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Funksjonsdrøfting, Nullpunkter, Derivasjon, Graf

Oppgave 1-6 : Vinkler i sirkel med diameter og periferivinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skissen viser en sirkel med sentrum i $S$ .

Punktene $A$ , $B$ , $C$ og $D$ ligger på sirkelen. $BD$ er en diameter.

Vi setter $\angle BDC = 50°$ , $\angle BAC = u$ og $\angle CBD = v$ .

Sirkel med punkter A, B, C, D og sentrum S

Bruk et geometrisk resonnement til å bestemme størrelsen på vinklene $u$ og $v$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Sirkel, Trigonometri

Oppgave 1-7 : Sannsynlighet med blå øyne og kjønn

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en skole er 60 % av elevene jenter. 70 % av jentene og 55 % av guttene har blå øyne. Vi trekker ut en tilfeldig valgt elev ved skolen.

Bestem sannsynligheten for at eleven har blå øyne.

Eleven som er trukket ut, har ikke blå øyne. Bestem sannsynligheten for at eleven er en gutt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 1-8 : Konstruksjon av trekant og innskrevet sirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Konstruer en $\triangle ABC$ slik at $AB = 10{,}0 \mathrm{~cm}$ , $BC = 7{,}0 \mathrm{~cm}$ og $AC = 11{,}0 \mathrm{~cm}$ .

En skjæringssetning sier at halveringslinjene til de tre vinklene i trekanten skjærer hverandre i ett punkt.

Demonstrer denne setningen ved å konstruere halveringslinjene til vinklene i $\triangle ABC$ .

Halveringslinjene skjærer hverandre i punktet $S$ .

Konstruer normalene fra $S$ ned på hver av sidekantene i $\triangle ABC$ . Fotpunktene til normalene kaller vi $D$ , $E$ og $F$ .

Forklar at $SD = SE = SF$ . Konstruer den innskrevne sirkelen i $\triangle ABC$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Geometri, Konstruksjon, Sirkel

Oppgave 1-9 : Logaritmilikning med potenser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

\lg(x + 2)^2 = \lg x^4

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Likninger

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Verdensbefolkning med eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 1960 var folketallet på jorden $3{,}0$ milliarder. I 2013 var folketallet $7{,}1$ milliarder. En god modell for utviklingen av folketallet er funksjonen $f$ gitt ved

f(t) = c \cdot e^{k \cdot t}

der $c$ og $k$ er konstanter og tiden $t$ er antall år etter 1960.

Bestem konstantene $c$ og $k$ .

Når vil folketallet passere 10 milliarder ifølge denne modellen?

Forklar at folketallet stiger med en fast prosent hvert år ifølge modellen. Bestem denne faste, årlige prosenten.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Eksponentiell vekst, Modellering, Logaritmer

Oppgave 2-2 : Vektorer og trekant i koordinatsystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et koordinatsystem er punktene $A(-1,\, 0)$ , $B(7,\, -1)$ og $C(5,\, 8)$ gitt.

Bestem $\overrightarrow{CB}$ , $\overrightarrow{CA}$ og $\angle ACB$ .

Bestem arealet til $\triangle ABC$ .

Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til et punkt $E$ på $x$ -aksen slik at $\overrightarrow{CE} \perp \overrightarrow{AB}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Geometri, Areal

Oppgave 2-3 : Rektangel under kurve og maksimalt areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 4 - 0{,}125x^3 \qquad , \qquad 0 < x < 2\sqrt[3]{4}

Graf av f med rektangel OABC der B ligger på grafen

Rektangelet $OABC$ er laget slik at $B$ ligger på grafen til $f$ .

Vis at arealet $G$ til rektangelet kan skrives som

G(x) = 4x - 0{,}125x^4

Bestem $x$ slik at rektangelet får areal lik $5{,}0$ .

Bestem det største arealet rektangelet kan ha.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Optimering, Derivasjon, Funksjoner, Areal

Oppgave 2-4 : Tredjegradsfunksjon og linje med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 4x^2 - 9x + 28 \qquad , \qquad D_f = \mathbb{R}

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

En linje skjærer grafen til $f$ i punktene $(-3,\, -8)$ og $(2,\, 2)$ .

Bestem det tredje skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og linjen. Hva blir summen av $x$ -koordinatene til de tre skjæringspunktene?

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

En linje $\ell$ går gjennom punktene $(s,\, g(s))$ og $(t,\, g(t))$ .

Bruk CAS til å bestemme likningen for linjen $\ell$ , uttrykt ved $s$ , $t$ , $a$ , $b$ og $c$ .

Bruk CAS til å bestemme $x$ -koordinaten til det tredje skjæringspunktet mellom grafen til $g$ og linjen $\ell$ . Bestem summen av $x$ -koordinatene til de tre skjæringspunktene.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Funksjoner, Cas, Likninger, Graf

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2015

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R1 H15

Oppgave 1-2 : Fortegnslinje for derivert av eksponentialfunksjon

Oppgave 1-3 : Kubisk polynom med delbarhet og ulikhet

Oppgave 1-4 : Forenkling av logaritmeuttrykk

Oppgave 1-5 : Funksjonsdrøfting av fjerdegradspolynom

Oppgave 1-6 : Vinkler i sirkel med diameter og periferivinkel

Oppgave 1-7 : Sannsynlighet med blå øyne og kjønn

Oppgave 1-8 : Konstruksjon av trekant og innskrevet sirkel

Oppgave 1-9 : Logaritmilikning med potenser

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Verdensbefolkning med eksponentialfunksjon

Oppgave 2-2 : Vektorer og trekant i koordinatsystem

Oppgave 2-3 : Rektangel under kurve og maksimalt areal

Oppgave 2-4 : Tredjegradsfunksjon og linje med CAS

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave