R1 Høst 2016

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2016 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Deriver tre funksjoner	—
2	Nullpunkter og ekstrema for kubikkfunksjon	—
3	Forenkle og løse rasjonale uttrykk og likninger	—
4	Løs eksponential- og logaritmelikninger	—
5	Parameterframstilling og vinkelrett punkt på linje	—
6	Defekte nøkler fra to maskiner	—
7	Rettvinklet trekant inscribed i sirkel og Pythagoras bevis	—
8	Identifiser graf, derivert og andrederiverte	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 24 poeng
1	Lottokulekombinatorikk og betinget sannsynlighet	—
2	To ortogonale sirkler	—
3	Korteste vei via punkt på vei til hytte	—
4	Partikkel i bane med vektorfunksjon	—
5	Punkter på parabel med avstand 5 fra origo	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 2x^2 - 5x - 6

g(x) = x \ln x

h(x) = \dfrac{e^{2x}}{x - 3}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Kjederegelen, Produktregelen

Oppgave 1-2 : Nullpunkter og ekstrema for kubikkfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = (x+1)^2(x-2)

Bestem nullpunktene til $f$ .

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Nullpunkter, Funksjonsdrøfting, Derivasjon

Oppgave 1-3 : Forenkle og løse rasjonale uttrykk og likninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{2x+10}{x^2-25}+\frac{x}{x+5}-\frac{4}{2x-10}

Løs ligningen

\frac{2x+10}{x^2-25}+\frac{x}{x+5}=\frac{4}{2x-10}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Algebra, Likninger

Oppgave 1-4 : Løs eksponential- og logaritmelikninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ligningene

2^{3x-2} - 13 = 3

(\lg x)^2 + \lg x - 2 = 0

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Eksponentialfunksjoner, Logaritmer, Likninger

Oppgave 1-5 : Parameterframstilling og vinkelrett punkt på linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et koordinatsystem har vi punktene $A(-3, -2)$ , $B(3, 4)$ og $C(-4, 5)$ . En linje $\ell$ går gjennom punktet $C$ og er parallell med $AB$ .

Sett opp en parameterframstilling for $\ell$ .

Linjen $\ell$ skjærer $x$ -aksen i punktet $D$ .

Bestem koordinatene til $D$ .

Bestem koordinatene til et punkt $E$ på linjen $\ell$ slik at $\angle BAE = 90°$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Parameterframstilling, Vektorer, Geometri

Oppgave 1-6 : Defekte nøkler fra to maskiner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en fabrikk er det to maskiner, maskin A og maskin B, som produserer samme type nøkler.

4 % av nøklene fra maskin A er defekte.
1 % av nøklene fra maskin B er defekte.
Maskin B produserer dobbelt så mange nøkler som maskin A.

En nøkkel blir valgt tilfeldig fra lageret.

Bestem sannsynligheten for at nøkkelen er defekt.

Det viser seg at den valgte nøkkelen er defekt.

Bestem sannsynligheten for at nøkkelen ble produsert av maskin A.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 1-7 : Rettvinklet trekant inscribed i sirkel og Pythagoras bevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rettvinklet $\triangle ACB$ med sidelengdene $BC = a$ , $AC = b$ og $AB = c$ er gitt. Vi tegner en sirkel med sentrum i $B$ og radius $a$ . Linjen gjennom $A$ og $B$ skjærer sirkelen i $E$ og $P$ . Vi setter $\angle BPC = v$ . Se figuren nedenfor.

Rettvinklet trekant med sirkel

Vis at $\angle ACE = v$ , og at $\triangle ACP \sim \triangle ACE$ .

Forklar at $AE = c - a$ , og at $AP = c + a$ .

Bruk formlikheten i oppgave a) til å vise at

\frac{c+a}{b} = \frac{b}{c-a}

Bruk resultatet i oppgave c) til å vise at Pytagoras’ setning gjelder.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Trigonometri, Bevis, Sirkel

Oppgave 1-8 : Identifiser graf, derivert og andrederiverte

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor er det laget skisser av grafene til en funksjon $f$ , den deriverte $f'$ og den andrederiverte $f''$ .

Tre grafskisser av f, f' og f''

Avgjør hva som er grafen til $f$ , hva som er grafen til $f'$ , og hva som er grafen til $f''$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Graftolkning, Funksjonsdrøfting

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Lottokulekombinatorikk og betinget sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I pengespillet Lotto legges 34 kuler i en beholder. Hver kule er nummerert med ett av tallene fra 1 til 34. Sju kuler trekkes tilfeldig uten tilbakelegging. Tallene på de sju kulene er vinnertallene.

Når du spiller Lotto, krysser du av sju av tallene fra 1 til 34 på en kupong.

På hvor mange måter kan du velge ut sju av de 34 tallene?

Tore har levert inn en lottokupong der han har krysset av tallene

3, 5, 11, 18, 21, 25, 32

Bestem sannsynligheten for at Tore får nøyaktig 5 rette.

Tore ser lottotrekningen på TV. Etter at det er trukket ut fire tall, går strømmen, og TV-en går i svart. Tallene som til da er trukket ut, er 5, 21, 3 og 11.

Bestem sannsynligheten for at Tore får sju rette på lottokupongen sin.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 2-2 : To ortogonale sirkler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To sirkler $c_1$ og $c_2$ med sentrum i henholdsvis $S_1$ og $S_2$ er gitt ved

c_1 : (x+5)^2 + y^2 = 80

c_2 : x^2 - 10x + y^2 + 5 = 0

Bestem sentrum og radius i sirklene $c_1$ og $c_2$ .

La $A$ være et av skjæringspunktene mellom sirklene. Sirklene $c_1$ og $c_2$ kalles ortogonale dersom $\overrightarrow{AS_1} \perp \overrightarrow{AS_2}$ . Se skissen nedenfor.

To sirkler med skjæringspunkt A og sentre S₁ og S₂

Bestem skjæringspunktene mellom sirklene $c_1$ og $c_2$ .

Undersøk ved å bruke vektorregning om sirklene $c_1$ og $c_2$ er ortogonale.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Sirkel, Geometri, Vektorer, Likningssystem

Oppgave 2-3 : Korteste vei via punkt på vei til hytte

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Anne skal på hytta. Hun må sette bilen sin på en parkeringsplass $P$ ved en rettlinjet vei. Punktet $C$ er det punktet på veien som ligger nærmest hytta $H$ . Avstanden fra $P$ til $C$ er $5{,}0 \text{ km}$ . Avstanden fra $C$ til $H$ er $2{,}0 \text{ km}$ .

Anne vurderer å følge veien fram til et punkt $B$ før hun svinger ut i terrenget og går rett mot hytta. Se figuren nedenfor.

Figur med P, B, C, H og distanser

Hun regner med å holde farten $5 \text{ km/h}$ på veien og farten $3 \text{ km/h}$ i terrenget.

Vi setter $PB = x \text{ km}$ . Tiden hun bruker fra parkeringsplassen til hytta, målt i timer, kaller vi for $t(x)$ .

Vis at

t(x) = \frac{x}{5} + \frac{\sqrt{2^2 + (5-x)^2}}{3}

Bestem hvor Anne må velge punktet $B$ for å komme raskest fram til hytta. Hva er den korteste tiden hun kan bruke?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Derivasjon, Modellering

Oppgave 2-4 : Partikkel i bane med vektorfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En partikkel beveger seg i en bane gitt ved

\vec{r}(t) = [t^3 - 3t + 3,\ t - 1], \quad -2 \leq t \leq 2

Bruk graftegner til å tegne grafen til $\vec{r}$ i et koordinatsystem.

Bestem posisjonen, banefarten og akselerasjonen når $t = 1$ .

Bestem de punktene på grafen der fartsvektoren $\vec{v}(t)$ er parallell med $y$ -aksen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Derivasjon, Parameterframstilling

Oppgave 2-5 : Punkter på parabel med avstand 5 fra origo

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^2 + 2x - 11

Noen punkter på grafen til $f$ har avstand 5 fra origo. Bruk CAS til å bestemme de eksakte verdiene for $x$ -koordinatene til disse punktene.

Bruk CAS til å bestemme de eksakte verdiene for $x$ -koordinatene til punktene på grafen til $f$ som har avstand 5 fra origo.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Cas, Andregradsfunksjon, Geometri

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2016

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner

Oppgave 1-2 : Nullpunkter og ekstrema for kubikkfunksjon

Oppgave 1-3 : Forenkle og løse rasjonale uttrykk og likninger

Oppgave 1-4 : Løs eksponential- og logaritmelikninger

Oppgave 1-5 : Parameterframstilling og vinkelrett punkt på linje

Oppgave 1-6 : Defekte nøkler fra to maskiner

Oppgave 1-7 : Rettvinklet trekant inscribed i sirkel og Pythagoras bevis

Oppgave 1-8 : Identifiser graf, derivert og andrederiverte

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Lottokulekombinatorikk og betinget sannsynlighet

Oppgave 2-2 : To ortogonale sirkler

Oppgave 2-3 : Korteste vei via punkt på vei til hytte

Oppgave 2-4 : Partikkel i bane med vektorfunksjon

Oppgave 2-5 : Punkter på parabel med avstand 5 fra origo

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave