R1 Vår 2014

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2014 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon av ln, produkt og kjerneregel	—
2	Polynomfunksjon med nullpunkter og ulikhet	—
3	Vektorer med parallellitet og lengdebetingelse	—
4	Funksjonsdrøfting av fjerdegradsfunksjon	—
5	Innskrevet trekant i sirkel med sentervinkel	—
6	Oddetall og differanse mellom kvadrattall	—
7	Derivasjon av x opphøyd i x	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 36 poeng
1	Tre punkter og vektor til punkt på y-akse	—
2	Kombinatorikk med klasse og betinget sannsynlighet	—
3	Produktregel og kjerneregel for eksponentialfunksjon	—
4	Rett prisme uten lokk med fast overflate	—
5	Ball triller fra tak med posisjonsvektor	—
6	Logaritmisk likning med to løsninger	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av ln, produkt og kjerneregel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = \ln(x^2 + x)

g(x) = x \cdot e^x

h(x) = (x^2 + 3)^4

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen, Logaritmefunksjoner

Oppgave 1-2 : Polynomfunksjon med nullpunkter og ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 7x^2 + 14x - 8 \,, \quad D_P = \mathbb{R}

Det kan vises at alle heltallige løsninger av $P(x) = 0$ går opp i konstantleddet $(-8)$ . Bruk dette til å finne et nullpunkt.

Faktoriser $P(x)$ i førstegradsfaktorer.

Løs ulikheten $\dfrac{x^3 - 7x^2 + 14x - 8}{x^2 - 1} \geq 0$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Nullpunkter, Ulikheter

Oppgave 1-3 : Vektorer med parallellitet og lengdebetingelse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vektorene $\vec{a} = [-2, 1]$ , $\vec{b} = [3, 6]$ og $\vec{c} = [k - 1, 4]$ er gitt, der $k \in \mathbb{R}$ .

Bestem $-2\vec{a} + \vec{b}$ og $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ved regning.

Bestem $k$ slik at $\vec{b} \parallel \vec{c}$ .

Bestem $k$ slik at $|\vec{c}| = |2\vec{a}|$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Parallelle vektorer, Lengde av vektor, Prikkprodukt

Oppgave 1-4 : Funksjonsdrøfting av fjerdegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 3x^4 - 6x^2 \,, \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem nullpunktene til $f$ .

Bestem $f'(x)$ . Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Tegn en skisse av grafen til $f$ for $x \in \langle -2, 2 \rangle$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter, Graf

Oppgave 1-5 : Innskrevet trekant i sirkel med sentervinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En $\triangle ABC$ er innskrevet i en sirkel med sentrum $S$ der $\angle ABS = 27\degree$ .

Bestem $\angle ACB$ ved et geometrisk resonnement.

Trekant ABC innskrevet i sirkel med sentrum S

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Sirkel, Geometri, Trigonometri

Oppgave 1-6 : Oddetall og differanse mellom kvadrattall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

La $p$ være et oddetall større enn 1.

Forklar at $\dfrac{p+1}{2}$ og $\dfrac{p-1}{2}$ begge er hele tall.

Regn ut $\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{p-1}{2}\right)^2$ .

Bruk resultatet til å skrive 151 som differansen mellom to kvadrattall.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Algebra, Bevis, Argumentasjon

Oppgave 1-7 : Derivasjon av x opphøyd i x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $h$ er gitt ved

h(x) = x^x \,, \quad x > 0

Forklar at vi kan skrive

h(x) = e^{x \ln x}

Bestem $h'(x)$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmefunksjoner

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Tre punkter og vektor til punkt på y-akse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre punkter $A(1, 3)$ , $B(5, -1)$ og $C(4, 4)$ er gitt.

Bestem et punkt $D$ på $y$ -aksen slik at $\overrightarrow{CD} \parallel \overrightarrow{BA}$ .

La $M$ være midtpunktet på $BC$ . Bestem koordinatene til $M$ .

Punktet $P$ er gitt slik at $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{MP}$ .

Bestem ved regning koordinatene til $P$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Koordinatgeometri, Parallelle vektorer

Oppgave 2-2 : Kombinatorikk med klasse og betinget sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en klasse er det 12 gutter og 16 jenter. Det skal trekkes ut en gruppe på 5 elever på en tilfeldig måte.

Bestem sannsynligheten for at det blir med akkurat én gutt i gruppen.

Sannsynligheten er $\dfrac{44}{117}$ for at et bestemt antall gutter blir med i gruppen.

Hvor mange gutter blir det da med i gruppen?

Arne og Betsy går i klassen. Vi definerer følgende hendelser:

$A$ : Arne blir med i gruppen.

$B$ : Betsy blir med i gruppen.

Forklar at

P(A|B) = \dfrac{\binom{1}{1} \cdot \binom{26}{3}}{\binom{27}{4}}

og bestem sannsynligheten.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling

Oppgave 2-3 : Produktregel og kjerneregel for eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 6x \cdot e^{-\frac{x^2}{8}} \,, \quad D_f = \mathbb{R}

Bruk produktregelen og kjerneregelen til å vise at

f'(x) = \frac{3}{2}(4 - x^2) \cdot e^{-\frac{x^2}{8}}

Tegn grafen til $f'$ for $x \in \langle -6, 6 \rangle$ .

Bruk grafen til $f'$ til å bestemme eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Produktregelen, Kjerneregelen, Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon

Oppgave 2-4 : Rett prisme uten lokk med fast overflate

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal lage et kar med form som et rett prisme uten lokk. Grunnflaten skal være et kvadrat med side $x \mathrm{~dm}$ , og karet skal ha høyde $h \mathrm{~dm}$ . Vi vil lage karet slik at det samlede overflatearealet blir $12 \mathrm{~dm}^2$ .

Rett prisme uten lokk med kvadratisk grunnflate

Forklar at $x^2 + 4xh = 12$ . Bestem et uttrykk for $h$ .

Bestem hvilke verdier $x$ kan ha.

Bestem et uttrykk for volumet $V(x)$ av karet.

Vi ønsker å fylle vann i karet. Bestem ved regning $x$ slik at karet rommer mest mulig vann. Hvor mange liter blir det da plass til?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Volum, Areal, Derivasjon

Oppgave 2-5 : Ball triller fra tak med posisjonsvektor

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En liten ball triller horisontalt utfor et flatt tak, $15{,}0 \mathrm{~m}$ over bakken.

Koordinatsystem med bygning og ball på taket

Posisjonsvektoren til ballen $t$ sekunder etter at den har forlatt taket, er

\vec{r}(t) = \left[3t,\ 15 - 4{,}9t^2\right]

Hvor lang tid tar det før ballen treffer bakken?

Tegn grafen til $\vec{r}$ .

Bestem farten til ballen etter $0{,}8 \mathrm{~s}$ . Tegn inn fartsvektoren $\vec{v}(0{,}8)$ i det aktuelle punktet på grafen til $\vec{r}$ .

Bestem akselerasjonen $\vec{a}(t)$ . Tegn inn akselerasjonsvektoren $\vec{a}(0{,}8)$ i det aktuelle punktet på grafen til $\vec{r}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Derivasjon, Modellering

Oppgave 2-6 : Logaritmisk likning med to løsninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal løse likningen nedenfor med hensyn på $x$

n \cdot \left(\frac{x}{n}\right)^{\lg x} = x^n \,, \quad x > 0 \,, \quad n > 0

Vis at denne likningen kan omformes til

\lg\left(\frac{x}{n}\right)^{\lg x} = \lg\left(\frac{x}{n}\right)^n

Vis at likningen videre kan skrives

(\lg x - n) \cdot (\lg x - \lg n) = 0

Bruk likningen i oppgave b) til å bestemme $x$ uttrykt ved $n$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Logaritmer, Likninger, Algebra

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2014

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av ln, produkt og kjerneregel

Oppgave 1-2 : Polynomfunksjon med nullpunkter og ulikhet

Oppgave 1-3 : Vektorer med parallellitet og lengdebetingelse

Oppgave 1-4 : Funksjonsdrøfting av fjerdegradsfunksjon

Oppgave 1-5 : Innskrevet trekant i sirkel med sentervinkel

Oppgave 1-6 : Oddetall og differanse mellom kvadrattall

Oppgave 1-7 : Derivasjon av x opphøyd i x

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Tre punkter og vektor til punkt på y-akse

Oppgave 2-2 : Kombinatorikk med klasse og betinget sannsynlighet

Oppgave 2-3 : Produktregel og kjerneregel for eksponentialfunksjon

Oppgave 2-4 : Rett prisme uten lokk med fast overflate

Oppgave 2-5 : Ball triller fra tak med posisjonsvektor

Oppgave 2-6 : Logaritmisk likning med to løsninger

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave