R1 Eksempeloppgave 2015 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Deriver tre funksjoner med kjedel produktregel og kjedel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (t) = 0,02 t^{3} + 0,6 t^{2} + 4,1

g (x) = x^{2} \cdot e^{2 x}

h (x) = \ln (x^{3} + 1)

Fasit

$f^{'} (t) = 0,06 t^{2} + 1,2 t$

$g^{'} (x) = 2 x (1 + x) e^{2 x}$

$h^{'} (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen ${(x^{n})}^{'} = n \cdot x^{n - 1}$ .

f^{'} (t) = 0,02 \cdot 3 t^{2} + 0,6 \cdot 2 t + 0 = 0,06 t^{2} + 1,2 t

Funksjonen $g (x) = x^{2} \cdot e^{2 x}$ er et produkt av $u (x) = x^{2}$ og $v (x) = e^{2 x}$ . Vi bruker produktregelen $g^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .

Vi har $u^{'} (x) = 2 x$ . For $v (x) = e^{2 x}$ bruker vi kjerneregelen: $v^{'} (x) = 2 \cdot e^{2 x}$ .

g^{'} (x) = 2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x} = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x}

Vi faktoriserer ut $2 x e^{2 x}$ :

g^{'} (x) = 2 x e^{2 x} (1 + x) = 2 x (1 + x) e^{2 x}

Funksjonen $h (x) = \ln (x^{3} + 1)$ er en sammensatt funksjon med ytre funksjon $\ln (u)$ og indre funksjon $u (x) = x^{3} + 1$ . Kjerneregelen gir

h^{'} (x) = \frac{u^{'} (x)}{u (x)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Polynomfunksjon delelig og ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En polynomfunksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} + a x^{2} - 13 x + 15

Bestem $a$ slik at $f (x)$ blir delelig med $(x - 1)$

Løs ulikheten $f (x) \leq 0$ for denne $a$ -verdien.

Fasit

$a = - 3$

$x \leq - 3 eller 1 \leq x \leq 5$

LøsningsforslagKI-generert

Dersom $f (x)$ er delelig med $(x - 1)$ , må $x = 1$ være et nullpunkt, altså $f (1) = 0$ (nullpunktsetningen/faktorteoremet).

f (1) = 1^{3} + a \cdot 1^{2} - 13 \cdot 1 + 15 = 1 + a - 13 + 15 = a + 3

Vi setter $f (1) = 0$ :

a + 3 = 0

a = - 3

Med $a = - 3$ blir funksjonen

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15

Siden $(x - 1)$ er en faktor, utfører vi polynomdivisjon:

(x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15) : (x - 1) = x^{2} - 2 x - 15

Andregradsuttrykket $x^{2} - 2 x - 15$ faktoriseres ved å finne to tall som ganget gir $- 15$ og summert gir $- 2$ : tallene $- 5$ og $3$ .

x^{2} - 2 x - 15 = (x - 5) (x + 3)

Dermed er

f (x) = (x - 1) (x - 5) (x + 3)

Nullpunktene er $x = - 3$ , $x = 1$ og $x = 5$ . Vi undersøker fortegnet til $f (x)$ i hvert av de fire intervallene disse nullpunktene deler tallinja i, ved å sette inn en testverdi:

$x = - 4$ : $f (- 4) = (- 5) (- 9) (- 1) = - 45 < 0$
$x = 0$ : $f (0) = (- 1) (- 5) (3) = 15 > 0$
$x = 2$ : $f (2) = (1) (- 3) (5) = - 15 < 0$
$x = 6$ : $f (6) = (5) (1) (9) = 45 > 0$

Fortegnet til $f (x)$ er altså negativt for $x < - 3$ , positivt for $- 3 < x < 1$ , negativt for $1 < x < 5$ , og positivt for $x > 5$ . Siden nullpunktene $x = - 3$ , $x = 1$ og $x = 5$ er inkludert (ulikheten er $\leq$ ), blir løsningen

x \leq - 3 eller 1 \leq x \leq 5

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Sannsynlighet for representanter fra gruppe

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fra en gruppe på 7 jenter og 5 gutter skal det trekkes ut 3 representanter.

Bestem sannsynligheten for at 2 jenter og 1 gutt representerer gruppa hvis uttrekket er tilfeldig.

Fasit

$P = \frac{21}{44} \approx 0,477$

LøsningsforslagKI-generert

Gruppa består av totalt $7 + 5 = 12$ personer. Vi skal trekke ut $3$ representanter, og ønsker sannsynligheten for at nøyaktig $2$ av dem er jenter og $1$ er gutt.

Siden rekkefølgen på de uttrukne representantene ikke har betydning, bruker vi kombinasjoner. Antall måter å velge $2$ jenter av $7$ på er $(\binom{7}{2})$ , og antall måter å velge $1$ gutt av $5$ på er $(\binom{5}{1})$ . Totalt antall måter å velge $3$ representanter av $12$ på er $(\binom{12}{3})$ .

P (2 jenter og 1 gutt) = \frac{(\binom{7}{2}) \cdot (\binom{5}{1})}{(\binom{12}{3})}

Vi regner ut hver binomialkoeffisient:

(\binom{7}{2}) = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 (\binom{5}{1}) = 5 (\binom{12}{3}) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220

Dermed blir

P = \frac{21 \cdot 5}{220} = \frac{105}{220} = \frac{21}{44} \approx 0,477

Sannsynligheten for at $2$ jenter og $1$ gutt representerer gruppa er dermed omtrent $47,7 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Forenkle rasjonalt uttrykk med fellesnevner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{x + 2}{x^{2} - 16} + \frac{x}{x + 4} - \frac{2}{x - 4}

Fasit

$\frac{(x - 6) (x + 1)}{(x - 4) (x + 4)}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi starter med å faktorisere nevneren $x^{2} - 16$ som en konjugatsetning:

x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)

Uttrykket blir da

\frac{x + 2}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x}{x + 4} - \frac{2}{x - 4}

Fellesnevneren til alle tre bruddene er $(x - 4) (x + 4)$ . Vi utvider de to siste bruddene:

\frac{x + 2}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x (x - 4)}{(x - 4) (x + 4)} - \frac{2 (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)}

Vi setter sammen til én brøk og regner ut telleren:

\frac{(x + 2) + x (x - 4) - 2 (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} = \frac{x + 2 + x^{2} - 4 x - 2 x - 8}{(x - 4) (x + 4)}

Vi samler like ledd i telleren:

\frac{x^{2} - 5 x - 6}{(x - 4) (x + 4)}

Telleren faktoriseres ved å finne to tall som ganget gir $- 6$ og summert gir $- 5$ : tallene $- 6$ og $1$ .

x^{2} - 5 x - 6 = (x - 6) (x + 1)

Dermed blir det forenklede uttrykket

\frac{(x - 6) (x + 1)}{(x - 4) (x + 4)}

Uttrykket har ingen felles faktorer i teller og nevner, så dette er den enkleste formen. Uttrykket er definert for $x \neq 4$ og $x \neq - 4$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Algebra, Brøk, Faktorisering
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Forenkle potensuttrykk og logaritmeuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{a^{2} {(b^{2})}^{2}}{a^{- 3} b^{0}}

\lg (a^{2} \cdot b) + \lg (a \cdot b^{2}) + \lg (\frac{a}{b^{3}})

Fasit

$a^{5} b^{4}$

$4 \lg (a)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi forenkler $\frac{a^{2} {(b^{2})}^{2}}{a^{- 3} b^{0}}$ ved å bruke potensreglene ${(x^{m})}^{n} = x^{m \cdot n}$ , $x^{0} = 1$ og $\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m - n}$ .

I telleren er ${(b^{2})}^{2} = b^{4}$ . I nevneren er $b^{0} = 1$ .

\frac{a^{2} {(b^{2})}^{2}}{a^{- 3} b^{0}} = \frac{a^{2} \cdot b^{4}}{a^{- 3} \cdot 1} = \frac{a^{2}}{a^{- 3}} \cdot b^{4}

Vi bruker $\frac{a^{2}}{a^{- 3}} = a^{2 - (- 3)} = a^{5}$ :

= a^{5} b^{4}

Vi bruker logaritmereglene $\lg (p) + \lg (q) = \lg (p \cdot q)$ og $\lg (p) - \lg (q) = \lg (\frac{p}{q})$ til å samle alle tre leddene i én logaritme:

\lg (a^{2} b) + \lg (a b^{2}) + \lg (\frac{a}{b^{3}}) = \lg (a^{2} b \cdot a b^{2} \cdot \frac{a}{b^{3}})

Vi forenkler uttrykket inni logaritmen. For $a$ -eksponentene: $2 + 1 + 1 = 4$ . For $b$ -eksponentene: $1 + 2 - 3 = 0$ .

a^{2} b \cdot a b^{2} \cdot \frac{a}{b^{3}} = a^{4} b^{0} = a^{4}

Dermed blir

\lg (a^{4}) = 4 \lg (a)

der vi i siste steg brukte potensregelen for logaritmer, $\lg (p^{n}) = n \lg (p)$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Potensregning, Logaritmer, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Bestem n fra potenslikning med fire like ledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem tallet $n$ når

2^{3} + 2^{3} + 2^{3} + 2^{3} = 2^{n}

Fasit

$n = 5$

LøsningsforslagKI-generert

Venstre side består av fire like ledd $2^{3}$ , altså

2^{3} + 2^{3} + 2^{3} + 2^{3} = 4 \cdot 2^{3}

Vi skriver $4$ som en potens av $2$ , det vil si $4 = 2^{2}$ , slik at vi kan bruke potensregelen $a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$ :

4 \cdot 2^{3} = 2^{2} \cdot 2^{3} = 2^{2 + 3} = 2^{5}

Dermed er

2^{n} = 2^{5}

som gir

n = 5

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Potensregning, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv av og sett $\Rightarrow$ eller $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ mellom utsagnene nedenfor, og begrunn valget ditt.

x^{2} + 5 x + 6 = 0 □ x = - 2

Fasit

$x^{2} + 5 x + 6 = 0 \Leftarrow x = - 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser andregradslikningen $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ ved faktorisering:

x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0

Dette gir $x = - 2$ eller $x = - 3$ .

Vi ser altså at likningen har to løsninger, ikke bare $x = - 2$ .

Dersom $x = - 2$ , er det riktig at $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ . Altså medfører $x = - 2$ at likningen er oppfylt.
Dersom $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ , kan vi derimot ikke konkludere med at $x = - 2$ , fordi $x = - 3$ også er en løsning av likningen.

Pilen skal derfor peke fra $x = - 2$ mot likningen, altså

x^{2} + 5 x + 6 = 0 \Leftarrow x = - 2

Dette er en implikasjon, ikke en ekvivalens, fordi de to utsagnene ikke er logisk likeverdige.

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Argumentasjon, Andregradslikninger, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Vektorer mellom tre punkter ortogonal og parallell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (1, 0)$ , $B (3, 4)$ og $C (2, t)$ er gitt.

Bestem $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

Bestem $t$ slik at $\vec{A B} ⟂ \vec{A C}$

Bestem $t$ slik at $\vec{A B} ∥ \vec{A C}$

Fasit

$\vec{A B} = (2, 4), \vec{A C} = (1, t)$

$t = - \frac{1}{2}$

$t = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vektoren mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til endepunktet.

\vec{A B} = B - A = (3 - 1, 4 - 0) = (2, 4)

\vec{A C} = C - A = (2 - 1, t - 0) = (1, t)

To vektorer er ortogonale (står normalt på hverandre) når prikkproduktet er null:

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0

2 \cdot 1 + 4 \cdot t = 0

2 + 4 t = 0

4 t = - 2

t = - \frac{1}{2}

To vektorer $(a_{1}, a_{2})$ og $(b_{1}, b_{2})$ er parallelle når $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$ . Med $\vec{A B} = (2, 4)$ og $\vec{A C} = (1, t)$ får vi

2 \cdot t - 4 \cdot 1 = 0

2 t - 4 = 0

t = 2

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon på lukket intervall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 3 x^{2}, x \in ⟨ - 1, 4 ⟩

Bestem eventuelle null-, topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Tegn en skisse av grafen til $f$ .

Bestem likningen for tangenten i det punktet på grafen der $x = 1$ . Forklar hvorfor denne tangenten kalles en «vendetangent».

Fasit

Nullpunkter $(0, 0)$ og $(3, 0)$ , toppunkt $(0, 0)$ , bunnpunkt $(2, - 4)$

Se skisse i løsningsforslaget

$y = - 3 x + 1$

LøsningsforslagKI-generert

Nullpunkter. Vi faktoriserer $f (x)$ :

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} = x^{2} (x - 3)

Dette gir $f (x) = 0$ når $x = 0$ (dobbel rot) eller $x = 3$ . Begge ligger i intervallet $⟨ - 1, 4 ⟩$ , så nullpunktene er $(0, 0)$ og $(3, 0)$ .

Topp- og bunnpunkt. Vi deriverer:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)

Vi setter $f^{'} (x) = 0$ og finner de kritiske punktene $x = 0$ og $x = 2$ . Vi lager et fortegnsskjema for $f^{'} (x) = 3 x (x - 2)$ :

\begin{matrix} x & - 1 & 0 & 2 & 4 \\ f^{'} (x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f (x) & ↗ & ↘ & ↗ \end{matrix}

Siden $f^{'}$ går fra positiv til negativ i $x = 0$ , er dette et toppunkt. Siden $f^{'}$ går fra negativ til positiv i $x = 2$ , er dette et bunnpunkt.

f (0) = 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} = 0 f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} = 8 - 12 = - 4

Toppunkt $(0, 0)$ og bunnpunkt $(2, - 4)$ .

Grafen starter (for $x$ nær $- 1$ ) et stykke under $x$ -aksen og stiger opp til toppunktet $(0, 0)$ , faller deretter ned til bunnpunktet $(2, - 4)$ , og stiger så videre gjennom nullpunktet $(3, 0)$ og oppover mot $x = 4$ . Grafen krysser $x$ -aksen i $x = 0$ (og flater ut der, siden det er en dobbel rot) og i $x = 3$ .

Tangenten i punktet der $x = 1$ finner vi ved å bestemme $f (1)$ og $f^{'} (1)$ :

f (1) = 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} = 1 - 3 = - 2

f^{'} (1) = 3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 = 3 - 6 = - 3

Tangentlikningen er $y - f (1) = f^{'} (1) (x - 1)$ :

y - (- 2) = - 3 (x - 1)

y = - 3 x + 3 - 2

y = - 3 x + 1

Denne tangenten kalles en vendetangent fordi den er tangenten i vendepunktet til grafen. Vendepunktet finner vi der $f^{''} (x) = 0$ :

f^{''} (x) = 6 x - 6

6 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1

Siden $f^{''} (x) < 0$ for $x < 1$ og $f^{''} (x) > 0$ for $x > 1$ , skifter krumningen fra konkav til konveks i $x = 1$ . Dette bekrefter at $x = 1$ er et vendepunkt, og tangenten der er dermed en vendetangent.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graf
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Garfields bevis for Pytagoras med trapes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Den tidligere amerikanske presidenten James A. Garfield (1831–1881) er kjent for sitt bevis av Pytagoras-setningen.

På skissen har vi gitt et trapes $A B C D$ . $A B = E C = b$ , $B E = D C = a$ , og $A E = E D = c$ .

Trapes ABCD med diagonaler

Forklar hvorfor $∠ A E D = 90 °$

Bestem uttrykket for arealet av trapeset og arealet av $△ A B E$ , $△ D C E$ og $△ A E D$ gitt ved $a$ , $b$ og $c$ .

Bruk b) til å bevise Pytagoras-setningen.

Fasit

$∠ A E D = 90 °$

Areal trapes $= \frac{1}{2} {(a + b)}^{2}$ , Areal $△ A B E = \frac{1}{2} a b$ , Areal $△ D C E = \frac{1}{2} a b$ , Areal $△ A E D = \frac{1}{2} c^{2}$

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $E$ ligger på linjestykket $C B$ , ligger vinklene $∠ A E B$ , $∠ A E D$ og $∠ D E C$ på samme side av en rett linje, så de summerer til $180 °$ :

∠ A E B + ∠ A E D + ∠ D E C = 180 °

I den rettvinklede $△ A B E$ (rett vinkel i $B$ ) er vinkelsummen $180 °$ , så

∠ A E B = 90 ° - ∠ B A E

Trekantene $△ A B E$ og $△ D C E$ er kongruente, fordi begge har en rett vinkel og kateter $a$ og $b$ (henholdsvis $A B = b$ , $B E = a$ og $D C = a$ , $C E = b$ ). Vinkelen som ligger mot kateten $a$ er da lik i begge trekanter, altså

∠ B A E = ∠ D E C

Setter vi dette inn får vi

∠ A E B = 90 ° - ∠ D E C

Da blir

(90 ° - ∠ D E C) + ∠ A E D + ∠ D E C = 180 °

∠ A E D = 90 °

Trapeset $A B C D$ har parallelle sider $A B = b$ og $D C = a$ , og høyden mellom dem er $B C = a + b$ . Arealet av et trapes er $\frac{1}{2} \cdot (sum av parallelle sider) \cdot høyde$ :

A_{A B C D} = \frac{1}{2} (a + b) (a + b) = \frac{1}{2} {(a + b)}^{2}

$△ A B E$ er rettvinklet i $B$ med kateter $A B = b$ og $B E = a$ :

A_{△ A B E} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot a = \frac{1}{2} a b

$△ D C E$ er rettvinklet i $C$ med kateter $D C = a$ og $C E = b$ :

A_{△ D C E} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} a b

$△ A E D$ er rettvinklet i $E$ (vist i a)) med kateter $A E = E D = c$ :

A_{△ A E D} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot c = \frac{1}{2} c^{2}

Trapeset $A B C D$ er satt sammen av de tre trekantene $△ A B E$ , $△ D C E$ og $△ A E D$ , så summen av trekantarealene må være lik trapesarealet:

\frac{1}{2} a b + \frac{1}{2} a b + \frac{1}{2} c^{2} = \frac{1}{2} {(a + b)}^{2}

Ganger vi begge sider med $2$ :

2 a b + c^{2} = {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Trekker vi fra $2 a b$ på begge sider, står vi igjen med

a^{2} + b^{2} = c^{2}

som er Pytagoras-setningen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Bevis, Geometri, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Sirkel sentrum og radius ved fullstendige kvadraters metode

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En sirkel er gitt ved likningen

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0

Bestem sentrum og radius i sirkelen.

Fasit

$Sentrum (2, - 3), r = 5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ordner likningen slik at $x$ -ledd og $y$ -ledd står samlet hver for seg:

(x^{2} - 4 x) + (y^{2} + 6 y) = 12

Vi fullfører kvadratene. For $x$ -leddene: halvparten av $- 4$ er $- 2$ , og ${(- 2)}^{2} = 4$ . For $y$ -leddene: halvparten av $6$ er $3$ , og $3^{2} = 9$ . Vi legger til disse tallene på begge sider av likningen:

(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 6 y + 9) = 12 + 4 + 9

{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 25

Dette er sirkellikningen ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ med sentrum $(a, b)$ og radius $r$ . Vi leser av

Sentrum (2, - 3), r = \sqrt{25} = 5

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Sirkel, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 1-12Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant areal og radius

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en rettvinklet $△ A B C$ er det innskrevet en sirkel med radius $r$ . Trekantens sider tangerer sirkelen i $D$ , $E$ og $F$ . Vi setter $B E = α$ og $E C = β$ .

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant

Forklar at $C F = β$ og $B D = α$ , og at arealet av trekanten $A B C$ er gitt ved

A_{△ A B C} = (α + β) \cdot r + r^{2}

Pytagoras-setningen brukt på $△ A B C$ gir at ${(α + r)}^{2} + {(β + r)}^{2} = {(α + β)}^{2}$

Vis at denne likningen kan omformes til

r^{2} + (α + β) \cdot r = α \cdot β

og videre at

A_{△ A B C} = α \cdot β

Vi setter $α = 3$ og $β = 2$ . Bestem $A_{△ A B C}$ og $r$

Fasit

$A_{△ A B C} = (α + β) \cdot r + r^{2}$ (vist)

$A_{△ A B C} = α \cdot β$

$A_{△ A B C} = 6$ og $r = 1$

LøsningsforslagKI-generert

Tangentlinjer fra samme punkt utenfor en sirkel har lik lengde. Fra $B$ går det tangenter til sirkelen langs $A B$ (i punktet $D$ ) og langs $B C$ (i punktet $E$ ), så

B D = B E = α

Fra $C$ går det tilsvarende tangenter langs $A C$ (i punktet $F$ ) og langs $B C$ (i punktet $E$ ), så

C F = C E = β

Fra $A$ går det tangenter langs $A B$ (i $D$ ) og $A C$ (i $F$ ), og siden $∠ A = 90 °$ og radiene $S D$ og $S F$ står vinkelrett på henholdsvis $A B$ og $A C$ , er $A D S F$ et kvadrat med side $r$ . Altså $A D = A F = r$ .

Da blir sidene i trekanten

A B = A D + D B = r + α A C = A F + F C = r + β B C = B E + E C = α + β

Sirkelsenteret $S$ har avstand $r$ til alle tre sidene, så trekanten kan deles i tre deltrekanter $△ A S B$ , $△ B S C$ og $△ C S A$ , alle med høyde $r$ :

A_{△ A B C} = \frac{1}{2} (r + α) \cdot r + \frac{1}{2} (α + β) \cdot r + \frac{1}{2} (r + β) \cdot r

= \frac{r}{2} [(r + α) + (α + β) + (r + β)] = \frac{r}{2} [2 r + 2 α + 2 β]

A_{△ A B C} = (α + β) \cdot r + r^{2}

Pytagoras-setningen på $△ A B C$ (rett vinkel i $A$ , kateter $A B = r + α$ og $A C = r + β$ , hypotenus $B C = α + β$ ) gir

{(α + r)}^{2} + {(β + r)}^{2} = {(α + β)}^{2}

Vi utvider begge sider:

α^{2} + 2 α r + r^{2} + β^{2} + 2 β r + r^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}

Trekker vi fra $α^{2} + β^{2}$ på begge sider:

2 α r + r^{2} + 2 β r + r^{2} = 2 α β

2 r^{2} + 2 r (α + β) = 2 α β

Deler vi med $2$ :

r^{2} + (α + β) \cdot r = α \cdot β

Venstresiden av denne likningen er nøyaktig uttrykket for $A_{△ A B C}$ fra a), så

A_{△ A B C} = α \cdot β

Med $α = 3$ og $β = 2$ gir formelen fra b) direkte

A_{△ A B C} = α \cdot β = 3 \cdot 2 = 6

For å finne $r$ setter vi $α = 3$ og $β = 2$ inn i likningen $r^{2} + (α + β) \cdot r = α \cdot β$ :

r^{2} + 5 r = 6

r^{2} + 5 r - 6 = 0

Dette gir $(r + 6) (r - 1) = 0$ , altså $r = - 6$ eller $r = 1$ . Siden $r$ er en radius, må $r > 0$ , så

r = 1

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Sirkel, Geometri, Areal og omkrets, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 1-12 for seg selv

Oppgave 2-1Forenkle rasjonalt uttrykk med CAS og bestem deriverbarhet

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk CAS til å skrive funksjonsuttrykket enklere, og tegn grafen til $f$ med alle asymptoter

f (x) = \frac{2 x + 10}{x^{2} - 25} + \frac{x}{x + 5} - \frac{2}{x - 5}

Bestem hvor funksjonen er deriverbar og kontinuerlig.

Fasit

$f (x) = \frac{x}{x + 5}$ , for $x \neq - 5$ og $x \neq 5$ . Loddrett asymptote $x = - 5$ , vannrett asymptote $y = 1$ . $f$ er deriverbar og kontinuerlig for alle $x$ i definisjonsmengden, altså for $x \neq - 5$ og $x \neq 5$ .

LøsningsforslagKI-generert

Forenkling med CAS

Definisjonsmengden til $f$ er begrenset av nevnerne i uttrykket: $x^{2} - 25 \neq 0$ , $x + 5 \neq 0$ og $x - 5 \neq 0$ , altså $x \neq - 5$ og $x \neq 5$ .

Vi taster inn uttrykket i CAS og lar GeoGebra forenkle det:

f (x) = \frac{2 x + 10}{x^{2} - 25} + \frac{x}{x + 5} - \frac{2}{x - 5}

CAS-forenkling

CAS gir

f (x) = \frac{x}{x + 5}

For hånd (kontroll): fellesnevner er $(x - 5) (x + 5)$ :

f (x) = \frac{2 x + 10}{(x - 5) (x + 5)} + \frac{x (x - 5)}{(x - 5) (x + 5)} - \frac{2 (x + 5)}{(x - 5) (x + 5)} = \frac{2 x + 10 + x^{2} - 5 x - 2 x - 10}{(x - 5) (x + 5)} = \frac{x^{2} - 5 x}{(x - 5) (x + 5)} = \frac{x (x - 5)}{(x - 5) (x + 5)} = \frac{x}{x + 5}

Denne forkortingen er lovlig for $x \neq 5$ , siden vi da deler teller og nevner på faktoren $(x - 5) \neq 0$ .

Grafen med asymptoter

Etter forenkling ser vi at grafen til $f$ er grafen til $\frac{x}{x + 5}$ , men med et hull i $x = 5$ (siden $f$ ikke er definert der) og en vannrett asymptote $y = 1$ (siden $\frac{x}{x + 5} \to 1$ når $x \to \pm \infty$ ) i tillegg til den loddrette asymptoten $x = - 5$ (fra nullpunktet i nevneren).

Grafen til f med asymptoter

Det røde punktet i $x = 5$ markerer hullet i grafen — punktet der ligger på kurven $\frac{x}{x + 5}$ (verdien $\frac{5}{10} = 0,5$ ), men $f$ er ikke definert der.

Deriverbarhet og kontinuitet

Definisjonsmengden til $f$ er $ℝ ∖ {- 5, 5}$ . Overalt i definisjonsmengden er $f$ en rasjonal funksjon med kontinuerlig og deriverbar teller og nevner, og nevneren er forskjellig fra null — dermed er $f$ kontinuerlig og deriverbar for alle $x \neq - 5$ og $x \neq 5$ .

I $x = - 5$ og $x = 5$ er $f$ ikke definert, og da er den per definisjon verken kontinuerlig eller deriverbar der:

I $x = - 5$ har grafen en loddrett asymptote — funksjonsverdien går mot $\pm \infty$ .
I $x = 5$ har grafen et opphevbart bruddpunkt (hull) — grensverdien $\lim_{x \to 5} f (x) = \frac{1}{2}$ finnes, men $f (5)$ er ikke definert, så $f$ er ikke kontinuerlig i $x = 5$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, CAS, Derivasjon, Kontinuitet
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Radius i sirkel innskrevet i trekant babylonsk metode

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekant med innskrevet sirkel

Figuren ovenfor er fra en leirtavle fra Mesopotamia (ca. 1 700 f.Kr.).

Babylonerne regnet ut radius $r$ i sirkelen ovenfor ved å bruke Pytagoras-setningen. Dette er trolig verdens eldste bruk av Pytagoras-setningen, ca. 1 200 år før Pytagoras selv levde!

Bestem radius $r$ i sirkelen ved hjelp av Pytagoras-setningen.

Fasit

$r = 31,25$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten $A B C$ er likebeint med $A C = B C = 50$ og $A B = 60$ . Sirkelen går gjennom alle de tre hjørnene $A$ , $B$ og $C$ , med sentrum $O$ og radius $r = O A = O B = O C$ .

Steg 1: Finn høyden fra $C$

La $M$ være midtpunktet på $A B$ . Siden trekanten er likebeint, står $C M$ vinkelrett på $A B$ , og $M$ deler $A B$ i to like deler:

A M = M B = \frac{60}{2} = 30

I den rettvinklede trekanten $A C M$ gir Pytagoras-setningen høyden $h = C M$ :

h^{2} + 30^{2} = 50^{2}

h = \sqrt{50^{2} - 30^{2}} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40

Steg 2: Sett opp likning for $r$

Av symmetrigrunner ligger sentrum $O$ på linjen $C M$ . Siden $O C = r$ , er avstanden fra $O$ til $M$ lik

O M = h - r = 40 - r

I den rettvinklede trekanten $O M A$ (rettvinklet i $M$ ) gir Pytagoras-setningen:

O A^{2} = O M^{2} + M A^{2}

r^{2} = {(40 - r)}^{2} + 30^{2}

Steg 3: Løs likningen

Løst i GeoGebra CAS (se utklipp):

Løsning i GeoGebra CAS

r^{2} = 1600 - 80 r + r^{2} + 900 \Rightarrow 80 r = 2500 \Rightarrow r = \frac{2500}{80} = \frac{125}{4} = 31,25

Radius i sirkelen er dermed

r = 31,25

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sirkel, Geometri, Rettvinklet trekant
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Sannsynlighet bukse og jente med Bayes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en skole går det 60 % gutter og 40 % jenter. Alle guttene går med bukser. Halvparten av jentene går med bukser, mens den andre halvparten går med skjørt.

Vi definerer to hendelser:

$J$ : Eleven er en jente.
$B$ : Eleven går med bukse.

For hånd

Bestem sannsynlighetene $P (B | J)$ og $P (B)$ .

For hånd

Bestem sannsynligheten $P (J | B)$ .

Fasit

$P (B | J) = 0,5$ og $P (B) = 0,8$

$P (J | B) = 0,25$

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at $P (J) = 0,4$ og $P (G) = 0,6$ .

Halvparten av jentene går med bukse, så

P (B | J) = 0,5

For å finne $P (B)$ bruker vi setningen om total sannsynlighet. Siden alle guttene går med bukse, er $P (B | G) = 1$ . Da blir

P (B) = P (B | J) \cdot P (J) + P (B | G) \cdot P (G) = 0,5 \cdot 0,4 + 1 \cdot 0,6 = 0,2 + 0,6 = 0,8

Vi bruker Bayes’ setning:

P (J | B) = \frac{P (B | J) \cdot P (J)}{P (B)} = \frac{0,5 \cdot 0,4}{0,8} = \frac{0,2}{0,8} = 0,25

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev som går med bukse, er en jente, er altså $25 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Drakeform areal maksimering med graftegner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En drake har målene $5,0 d m$ og $12,0 d m$ . Se figuren nedenfor.

Drakeform med mål

Drake

For hånd

Vis at arealet av draken kan beskrives ved funksjonen $A$ gitt ved

A (x) = x (\sqrt{25 - x^{2}} + \sqrt{144 - x^{2}})

Oppsett for hånd

Bruk graftegner til å bestemme det største arealet draken kan ha.

Fasit

Vist i løsningsforslaget.

$A_{\max} = 60 {dm}^{2}$ ved $x \approx 4,6 dm$

LøsningsforslagKI-generert

Diagonalene $A C$ og $D B$ i draken står normalt på hverandre og deler draken inn i fire rettvinklede trekanter. La $x$ være halve lengden av diagonalen $D B$ , la $y$ være avstanden fra $A$ til skjæringspunktet mellom diagonalene, og la $h$ være den totale lengden av diagonalen $A C$ (se figuren).

I den øverste rettvinklede trekanten er $A B = 5,0 dm$ hypotenus, med kateter $x$ og $y$ . Pytagoras’ setning gir

x^{2} + y^{2} = 5^{2} = 25 \Rightarrow y = \sqrt{25 - x^{2}}

I den nederste rettvinklede trekanten er $C B = 12,0 dm$ hypotenus, med kateter $x$ og $h - y$ . Pytagoras’ setning gir

x^{2} + {(h - y)}^{2} = 12^{2} = 144 \Rightarrow h - y = \sqrt{144 - x^{2}}

Arealet av en firkant med diagonaler som står normalt på hverandre er halvparten av produktet av diagonalene:

A = \frac{1}{2} \cdot D B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot h = x \cdot h

Siden $h = y + (h - y)$ , får vi

A (x) = x \cdot (y + (h - y)) = x (\sqrt{25 - x^{2}} + \sqrt{144 - x^{2}})

som er det vi skulle vise. Definisjonsmengden er $0 < x < 5$ , siden $x$ ikke kan bli større enn den korteste halvdiagonalen (bestemt av siden $A B = 5,0 dm$ ).

Vi tegner grafen til $A (x) = x (\sqrt{25 - x^{2}} + \sqrt{144 - x^{2}})$ for $0 < x < 5$ i et graftegningsverktøy og finner toppunktet $T$ på grafen.

Graf av A(x) med toppunkt

Grafen viser at $A$ har et toppunkt (maksimum) i

T = (4,6; 60)

Det vil si at arealet er størst når $x \approx 4,6 dm$ , og det største arealet er

A_{\max} = 60 {dm}^{2}

Draken kan altså ha et areal på maksimalt $60 {dm}^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Geometri, Areal og omkrets, Graf
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5To fly vektorfunksjoner fart og kollisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonen til et fly A og posisjonen til et fly B beskrives av vektorfunksjonene $\vec{a} (t)$ og $\vec{b} (t)$ gitt ved

\vec{a} (t) = [\begin{matrix} 70 t + 2, 140 t^{2} \end{matrix}], t \in [0, t_{1}]

\vec{b} (t) = [\begin{matrix} - 204 t + 17, 432 t^{2} - 72 t + 3 \end{matrix}], t \in [0, t_{1}]

Fly A skal lette, mens fly B skal lande (ved tidspunkt $t_{1}$ ). Tiden måles i timer, og alle avstander måles i kilometer. Nedenfor ser du hvordan kursen er for de to flyene. $x$ -aksen ligger langs landingsbanen, mens høyden over landingsbanen måles langs $y$ -aksen.

Kursen til fly A og fly B

Kalkulator

Bestem tidspunktet $t_{1}$ for når fly B lander.

Kalkulator

Bestem farten til fly B når $t = 0,08$

Vi ser at flyenes kurs krysser hverandre i punkt $P$ .

Kalkulator

Avgjør om flyene vil kollidere.

Fasit

$t_{1} = \frac{1}{12} \approx 0,0833 t i m e r (5 m i n u t t e r)$

$v \approx 204,0 k m / h$

$Flyene kolliderer ikke$

LøsningsforslagKI-generert

Hele CAS-utregningen er samlet i skjermbildet under, og linjenumrene under viser til dette.

CAS-utregning for fly A og fly B

Fly B lander når høyden over bakken, altså $y$ -komponenten til $\vec{b} (t)$ , er lik null:

432 t^{2} - 72 t + 3 = 0

Fra linje 1 i CAS-utklippet ser vi at likningen har den doble løsningen

t = \frac{1}{12} \approx 0,0833

At løsningen er dobbel ( $diskriminanten er 0$ ) betyr at grafen til $y$ -komponenten bare tangerer $x$ -aksen — flyet lander «pent» uten å gå under bakken. Dermed er

t_{1} = \frac{1}{12} time \approx 0,0833 time = 5 min

$t_{1} = \frac{1}{12} \approx 0,0833 t i m e r$

Farten til fly B er størrelsen (lengden) av fartsvektoren $\vec{b}^{'} (t)$ . Vi deriverer komponentvis:

\vec{b}^{'} (t) = (- 204, 864 t - 72)

Dette er lagt inn som bDeriv(t) i linje 2. I linje 3 settes $t = 0,08$ inn:

\vec{b}^{'} (0,08) = (- 204, - 2,88)

Farten er lengden av denne vektoren, beregnet i linje 4:

v = | \vec{b}^{'} (0,08) | = \sqrt{{(- 204)}^{2} + {(- 2,88)}^{2}} \approx 204,02

$v \approx 204,0 k m / h$

Flyene kolliderer bare dersom de befinner seg i samme punkt til samme tid. Kursene til flyene (settet av punkter de passerer gjennom) kan derimot krysse hverandre i punktet $P$ uten at flyene er der samtidig. Vi bruker derfor to forskjellige tidsvariabler — $u$ for fly A og $v$ for fly B — og finner først hvor kursene krysser hverandre:

\vec{a} (u) = \vec{b} (v) \Rightarrow {\begin{matrix} 70 u + 2 = - 204 v + 17 \\ 140 u^{2} = 432 v^{2} - 72 v + 3 \end{matrix}

Fra den første likningen får vi $u = \frac{15 - 204 v}{70}$ . Setter vi dette inn i den andre likningen og løser med CAS (utenfor utklippet, se linje 5 for selve løsningen for $v$ ), får vi to løsninger for $v$ . Bare én av dem gir en $u$ -verdi som ligger i det gyldige tidsintervallet $[0, t_{1}]$ :

v = \frac{75 - \sqrt{105}}{1104} \approx 0,05865

Denne verdien for $v$ er lagt inn i linje 6 og 7 for å finne tidspunktet $u$ for fly A og koordinatene til skjæringspunktet $P$ :

u \approx 0,04336 P \approx (5,0354, 0,2632)

Fly A er altså i punkt $P$ ved $u \approx 0,0434$ timer, mens fly B er i samme punkt først ved $v \approx 0,0587$ timer — det vil si ca. $0,0153$ timer $\approx 55$ sekunder senere. Siden $u \neq v$ befinner flyene seg i punkt $P$ på to ulike tidspunkt: fly A har passert punktet lenge før fly B kommer dit.

$Flyene kolliderer ikke — fly A passerer P omtrent 55 sekunder før fly B.$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Derivasjon, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Vendepunkt mellom topp og bunn tredjegradsfunksjon CAS

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, D_{f} = ℝ

Graf av tredjegradsfunksjon med topp T, vendepunkt V og bunn B

Grafen til $f$ har toppunkt $T$ når $x = p$ og bunnpunkt $B$ når $x = q$ .

Bruk CAS til å vise at $x$ -koordinaten til vendepunktet $V$ (infleksjonspunktet) ligger midt mellom $x$ -koordinaten til toppunktet og $x$ -koordinaten til bunnpunktet.

Fasit

$x_{V} = \frac{p + q}{2}$ — vendepunktet ligger nøyaktig midt mellom toppunktet og bunnpunktet.

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $a$ , $b$ , $c$ og $d$ stå som symbolske parametere i CAS (ikke tall), og definerer

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

Topp- og bunnpunkt. Ekstremalpunktene finner vi der $f^{'} (x) = 0$ . CAS gir

f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

Å løse $f^{'} (x) = 0$ gir to løsninger, som er $x$ -koordinatene $p$ og $q$ til toppunktet og bunnpunktet (rekkefølgen avhenger av fortegnet til $a$ ). Gjennomsnittet av disse to $x$ -verdiene forenkles av CAS til

\frac{p + q}{2} = - \frac{b}{3 a}

Vendepunktet. Vendepunktet finner vi der $f^{''} (x) = 0$ . CAS gir

f^{''} (x) = 6 a x + 2 b

Å løse $f^{''} (x) = 0$ gir $x$ -koordinaten til vendepunktet:

x_{V} = - \frac{b}{3 a}

CAS-utregning i GeoGebra

Konklusjon. Vi ser at

\frac{p + q}{2} = x_{V} = - \frac{b}{3 a}

Siden dette gjelder for alle verdier av $a$ , $b$ , $c$ og $d$ (med $a \neq 0$ , og forutsatt at $f$ faktisk har et topp- og bunnpunkt), har vi vist algebraisk med CAS at $x$ -koordinaten til vendepunktet $V$ alltid ligger nøyaktig midt mellom $x$ -koordinatene til toppunktet $T$ og bunnpunktet $B$ , uavhengig av hvilke konkrete tall $a$ , $b$ , $c$ og $d$ har.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, CAS, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 12 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Deriver tre funksjoner med kjedel produktregel og kjedel

Oppgave 1-2·Polynomfunksjon delelig og ulikhet

Oppgave 1-3·Sannsynlighet for representanter fra gruppe

Oppgave 1-4·Forenkle rasjonalt uttrykk med fellesnevner

Oppgave 1-5·Forenkle potensuttrykk og logaritmeuttrykk

Oppgave 1-6·Bestem n fra potenslikning med fire like ledd

Oppgave 1-7·Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning

Oppgave 1-8·Vektorer mellom tre punkter ortogonal og parallell

Oppgave 1-9·Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon på lukket intervall

Oppgave 1-10·Garfields bevis for Pytagoras med trapes

Oppgave 1-11·Sirkel sentrum og radius ved fullstendige kvadraters metode

Oppgave 1-12·Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant areal og radius

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Forenkle rasjonalt uttrykk med CAS og bestem deriverbarhet

Oppgave 2-2·Radius i sirkel innskrevet i trekant babylonsk metode

Oppgave 2-3·Sannsynlighet bukse og jente med Bayes

Oppgave 2-4·Drakeform areal maksimering med graftegner

Oppgave 2-5·To fly vektorfunksjoner fart og kollisjon

Oppgave 2-6·Vendepunkt mellom topp og bunn tredjegradsfunksjon CAS

Temaer

Oppgave 1-1Deriver tre funksjoner med kjedel produktregel og kjedel

Oppgave 1-2Polynomfunksjon delelig og ulikhet

Oppgave 1-3Sannsynlighet for representanter fra gruppe

Oppgave 1-4Forenkle rasjonalt uttrykk med fellesnevner

Oppgave 1-5Forenkle potensuttrykk og logaritmeuttrykk

Oppgave 1-6Bestem n fra potenslikning med fire like ledd

Oppgave 1-7Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning

Oppgave 1-8Vektorer mellom tre punkter ortogonal og parallell

Oppgave 1-9Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon på lukket intervall

Oppgave 1-10Garfields bevis for Pytagoras med trapes

Oppgave 1-11Sirkel sentrum og radius ved fullstendige kvadraters metode

Oppgave 1-12Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant areal og radius

Oppgave 2-1Forenkle rasjonalt uttrykk med CAS og bestem deriverbarhet

Oppgave 2-2Radius i sirkel innskrevet i trekant babylonsk metode

Oppgave 2-3Sannsynlighet bukse og jente med Bayes

Oppgave 2-4Drakeform areal maksimering med graftegner

Oppgave 2-5To fly vektorfunksjoner fart og kollisjon

Oppgave 2-6Vendepunkt mellom topp og bunn tredjegradsfunksjon CAS