R1 Eksempeloppgave 2015

LK06 18 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 18 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Eksempeloppgave 2015 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 12 oppgaver · 36 poeng
1	Deriver tre funksjoner med kjedel produktregel og kjedel	—
2	Polynomfunksjon delelig og ulikhet	—
3	Sannsynlighet for representanter fra gruppe	—
4	Forenkle rasjonalt uttrykk med fellesnevner	—
5	Forenkle potensuttrykk og logaritmeuttrykk	—
6	Bestem n fra potenslikning med fire like ledd	—
7	Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning	—
8	Vektorer mellom tre punkter ortogonal og parallell	—
9	Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon på lukket intervall	—
10	Garfields bevis for Pytagoras med trapes	—
11	Sirkel sentrum og radius ved fullstendige kvadraters metode	—
12	Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant areal og radius	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 24 poeng
1	Forenkle rasjonalt uttrykk med CAS og bestem deriverbarhet	—
2	Radius i sirkel innskrevet i trekant babylonsk metode	—
3	Sannsynlighet bukse og jente med Bayes	—
4	Drakeform areal maksimering med graftegner	—
5	To fly vektorfunksjoner fart og kollisjon	—
6	Vendepunkt mellom topp og bunn tredjegradsfunksjon CAS	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 12 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner med kjedel produktregel og kjedel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(t) = 0{,}02t^3 + 0{,}6t^2 + 4{,}1

g(x) = x^2 \cdot e^{2x}

h(x) = \ln(x^3 + 1)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjoner, Logaritmer

Oppgave 1-2 : Polynomfunksjon delelig og ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En polynomfunksjon $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + ax^2 - 13x + 15

Bestem $a$ slik at $f(x)$ blir delelig med $(x-1)$

Løs ulikheten $f(x) \leq 0$ for denne $a$ -verdien.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter

Oppgave 1-3 : Sannsynlighet for representanter fra gruppe

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fra en gruppe på 7 jenter og 5 gutter skal det trekkes ut 3 representanter.

Bestem sannsynligheten for at 2 jenter og 1 gutt representerer gruppa hvis uttrekket er tilfeldig.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet

Oppgave 1-4 : Forenkle rasjonalt uttrykk med fellesnevner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{x+2}{x^2-16}+\frac{x}{x+4}-\frac{2}{x-4}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Algebra, Brøk, Faktorisering

Oppgave 1-5 : Forenkle potensuttrykk og logaritmeuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\dfrac{a^2(b^2)^2}{a^{-3}b^0}

\lg(a^2 \cdot b) + \lg(a \cdot b^2) + \lg\!\left(\dfrac{a}{b^3}\right)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Potensregning, Logaritmer, Algebra

Oppgave 1-6 : Bestem n fra potenslikning med fire like ledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem tallet $n$ når

2^3 + 2^3 + 2^3 + 2^3 = 2^n

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Potensregning, Likninger

Oppgave 1-7 : Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv av og sett $\Rightarrow$ eller $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ mellom utsagnene nedenfor, og begrunn valget ditt.

x^2 + 5x + 6 = 0 \quad \square \quad x = -2

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Argumentasjon, Andregradslikninger, Likninger

Oppgave 1-8 : Vektorer mellom tre punkter ortogonal og parallell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(1, 0)$ , $B(3, 4)$ og $C(2, t)$ er gitt.

Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ .

Bestem $t$ slik at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$

Bestem $t$ slik at $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri

Oppgave 1-9 : Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon på lukket intervall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 3x^2, \quad x \in \langle -1,\, 4 \rangle

Bestem eventuelle null-, topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Tegn en skisse av grafen til $f$ .

Bestem likningen for tangenten i det punktet på grafen der $x = 1$ . Forklar hvorfor denne tangenten kalles en «vendetangent».

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graf

Oppgave 1-10 : Garfields bevis for Pytagoras med trapes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Den tidligere amerikanske presidenten James A. Garfield (1831–1881) er kjent for sitt bevis av Pytagoras-setningen.

På skissen har vi gitt et trapes $ABCD$ . $AB = EC = b$ , $BE = DC = a$ , og $AE = ED = c$ .

Trapes ABCD med diagonaler

Forklar hvorfor $\angle AED = 90°$

Bestem uttrykket for arealet av trapeset og arealet av $\triangle ABE$ , $\triangle DCE$ og $\triangle AED$ gitt ved $a$ , $b$ og $c$ .

Bruk b) til å bevise Pytagoras-setningen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Bevis, Geometri, Areal

Oppgave 1-11 : Sirkel sentrum og radius ved fullstendige kvadraters metode

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En sirkel er gitt ved likningen

x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0

Bestem sentrum og radius i sirkelen.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Sirkel, Algebra

Oppgave 1-12 : Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant areal og radius

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en rettvinklet $\triangle ABC$ er det innskrevet en sirkel med radius $r$ . Trekantens sider tangerer sirkelen i $D$ , $E$ og $F$ . Vi setter $BE = \alpha$ og $EC = \beta$ .

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant

Forklar at $CF = \beta$ og $BD = \alpha$ , og at arealet av trekanten $ABC$ er gitt ved

A_{\triangle ABC} = (\alpha + \beta) \cdot r + r^2

Pytagoras-setningen brukt på $\triangle ABC$ gir at $(\alpha + r)^2 + (\beta + r)^2 = (\alpha + \beta)^2$

Vis at denne likningen kan omformes til

r^2 + (\alpha + \beta) \cdot r = \alpha \cdot \beta

og videre at

A_{\triangle ABC} = \alpha \cdot \beta

Vi setter $\alpha = 3$ og $\beta = 2$ . Bestem $A_{\triangle ABC}$ og $r$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Sirkel, Geometri, Areal, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Forenkle rasjonalt uttrykk med CAS og bestem deriverbarhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk CAS til å skrive funksjonsuttrykket enklere, og tegn grafen til $f$ med alle asymptoter

f(x) = \frac{2x+10}{x^2-25}+\frac{x}{x+5}-\frac{2}{x-5}

Bestem hvor funksjonen er deriverbar og kontinuerlig.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Cas, Derivasjon, Kontinuitet

Oppgave 2-2 : Radius i sirkel innskrevet i trekant babylonsk metode

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekant med innskrevet sirkel

Figuren ovenfor er fra en leirtavle fra Mesopotamia (ca. 1 700 f.Kr.).

Babylonerne regnet ut radius $r$ i sirkelen ovenfor ved å bruke Pytagoras-setningen. Dette er trolig verdens eldste bruk av Pytagoras-setningen, ca. 1 200 år før Pytagoras selv levde!

Bestem radius $r$ i sirkelen ved hjelp av Pytagoras-setningen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sirkel, Geometri, Rettvinklet trekant

Oppgave 2-3 : Sannsynlighet bukse og jente med Bayes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en skole går det 60 % gutter og 40 % jenter. Alle guttene går med bukser. Halvparten av jentene går med bukser, mens den andre halvparten går med skjørt.

Vi definerer to hendelser:

$J$ : Eleven er en jente.
$B$ : Eleven går med bukse.

Bestem sannsynlighetene $P(B|J)$ og $P(B)$ .

Bestem sannsynligheten $P(J|B)$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Oppgave 2-4 : Drakeform areal maksimering med graftegner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En drake har målene $5{,}0 \mathrm{~dm}$ og $12{,}0 \mathrm{~dm}$ . Se figuren nedenfor.

Drakeform med mål

Drake

Vis at arealet av draken kan beskrives ved funksjonen $A$ gitt ved

A(x) = x\!\left(\sqrt{25 - x^2} + \sqrt{144 - x^2}\right)

Bruk graftegner til å bestemme det største arealet draken kan ha.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Geometri, Areal, Graf

Oppgave 2-5 : To fly vektorfunksjoner fart og kollisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonen til et fly A og posisjonen til et fly B beskrives av vektorfunksjonene $\vec{a}(t)$ og $\vec{b}(t)$ gitt ved

\vec{a}(t) = \begin{bmatrix} 70t + 2,\ 140t^2 \end{bmatrix} \qquad ,\quad t \in \left[0,\, t_1\right]

\vec{b}(t) = \begin{bmatrix} -204t + 17,\ 432t^2 - 72t + 3 \end{bmatrix} \quad ,\quad t \in \left[0,\, t_1\right]

Fly A skal lette, mens fly B skal lande (ved tidspunkt $t_1$ ). Tiden måles i timer, og alle avstander måles i kilometer. Nedenfor ser du hvordan kursen er for de to flyene. $x$ -aksen ligger langs landingsbanen, mens høyden over landingsbanen måles langs $y$ -aksen.

Kursen til fly A og fly B

Bestem tidspunktet $t_1$ for når fly B lander.

Bestem farten til fly B når $t = 0{,}08$

Vi ser at flyenes kurs krysser hverandre i punkt $P$ .

Avgjør om flyene vil kollidere.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Derivasjon, Modellering

Oppgave 2-6 : Vendepunkt mellom topp og bunn tredjegradsfunksjon CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \qquad , \quad D_f = \mathbb{R}

Graf av tredjegradsfunksjon med topp T, vendepunkt V og bunn B

Grafen til $f$ har toppunkt $T$ når $x = p$ og bunnpunkt $B$ når $x = q$ .

Bruk CAS til å vise at $x$ -koordinaten til vendepunktet $V$ (infleksjonspunktet) ligger midt mellom $x$ -koordinaten til toppunktet og $x$ -koordinaten til bunnpunktet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Cas, Derivasjon

Sync på tvers av enheter

R1 Eksempeloppgave 2015

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 12 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner med kjedel produktregel og kjedel

Oppgave 1-2 : Polynomfunksjon delelig og ulikhet

Oppgave 1-3 : Sannsynlighet for representanter fra gruppe

Oppgave 1-4 : Forenkle rasjonalt uttrykk med fellesnevner

Oppgave 1-5 : Forenkle potensuttrykk og logaritmeuttrykk

Oppgave 1-6 : Bestem n fra potenslikning med fire like ledd

Oppgave 1-7 : Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning

Oppgave 1-8 : Vektorer mellom tre punkter ortogonal og parallell

Oppgave 1-9 : Funksjonsdrøfting tredjegradsfunksjon på lukket intervall

Oppgave 1-10 : Garfields bevis for Pytagoras med trapes

Oppgave 1-11 : Sirkel sentrum og radius ved fullstendige kvadraters metode

Oppgave 1-12 : Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant areal og radius

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Forenkle rasjonalt uttrykk med CAS og bestem deriverbarhet

Oppgave 2-2 : Radius i sirkel innskrevet i trekant babylonsk metode

Oppgave 2-3 : Sannsynlighet bukse og jente med Bayes

Oppgave 2-4 : Drakeform areal maksimering med graftegner

Oppgave 2-5 : To fly vektorfunksjoner fart og kollisjon

Oppgave 2-6 : Vendepunkt mellom topp og bunn tredjegradsfunksjon CAS

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave