R1 Høst 2014

LK06 15 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 15 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2014 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon av polynom og produkt med eksponentialfunksjon	—
2	Faktorisering og ulikhet tredjegradsfunksjon	—
3	Lydstyrke desibel og lydintensitet	—
4	Rasjonal funksjon skisse derivasjon og tangent	—
5	Retningsvektor og vinkelrette linjer bevis	—
6	Eksponentiell likning med andregradseksponent	—
7	To kvadrater doblet areal og konstruksjon	—
8	Derivasjon fra definisjon for kubisk funksjon	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Kjemisk reaksjon konsentrasjon og reaksjonshastighet	—
2	Primtall og kombinatorisk sannsynlighet	—
3	Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant	—
4	Parallellogram innskrevet i kvadrat optimering	—
5	Trekant med høyder og ortosentrum	—
6	Tangentvinkel og innskrevet trekant i sirkel	—
7	Utlede kvotientregelen via logaritmederivasjon	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av polynom og produkt med eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 5

g(x) = x^2 \cdot e^x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Produktregelen, Eksponentialfunksjoner

Oppgave 1-2 : Faktorisering og ulikhet tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 + x^2 - 10x + 8 \quad , \quad D_P = \mathbb{R}

Faktoriser $P(x)$ i førstegradsfaktorer.

Løs ulikheten $P(x) \leq 0$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter

Oppgave 1-3 : Lydstyrke desibel og lydintensitet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sammenhengen mellom lydstyrken $L$ dB (desibel) og lydintensiteten $I \mathrm{~W/m^2}$ er gitt ved

L = 10 \cdot \lg \frac{I}{I_0}

$I_0 = 10^{-12}$ er en konstant.

Vis at formelen kan skrives som $L = 10 \cdot \lg I + 120$

På en arbeidsplass blir lydintensiteten målt til $10^{-4} \mathrm{~W/m^2}$ . Hvor mange desibel er lydstyrken på arbeidsplassen?

På en klassefest blir lydstyrken målt til 100 dB. Hvilken lydintensitet svarer det til?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Logaritmer, Modellering

Oppgave 1-4 : Rasjonal funksjon skisse derivasjon og tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{2x - 4}{x - 1} \quad , \quad D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Bestem $f'(x)$ .

Bestem likningen til tangenten i punktet $(2, 0)$ på grafen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rasjonale funksjoner, Derivasjon, Tangent, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-5 : Retningsvektor og vinkelrette linjer bevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To linjer er gitt ved likningene $y = a_1 \cdot x + b_1$ og $y = a_2 \cdot x + b_2$

Forklar at $\vec{v} = [1,\ a]$ er en retningsvektor til linjen $y = ax + b$ .

Bruk skalarprodukt til å vise at dersom linjene står vinkelrett på hverandre, er $a_1 \cdot a_2 = -1$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Vektorer, Stigningstall, Bevis, Prikkprodukt

Oppgave 1-6 : Eksponentiell likning med andregradseksponent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{x^2 - x} = \frac{3}{8}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjoner, Likninger, Potenser

Oppgave 1-7 : To kvadrater doblet areal og konstruksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren nedenfor har vi tegnet kvadratene $ABCD$ og $AEFC$ .

Vi setter siden i kvadratet $ABCD$ lik $a$ .

To kvadrater ABCD og AEFC

Vis at kvadratet $AEFC$ har dobbelt så stort areal som kvadratet $ABCD$ .

Konstruer et kvadrat med areal eksakt lik $50 \mathrm{~cm^2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Areal, Konstruksjon, Bevis

Oppgave 1-8 : Derivasjon fra definisjon for kubisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - x \quad , \quad D_f = \mathbb{R}

Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f'(x) = 3x^2 - 1$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Kjemisk reaksjon konsentrasjon og reaksjonshastighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en bestemt kjemisk reaksjon vil konsentrasjonen av et stoff være gitt ved

f(t) = 2{,}50 - 2{,}50 \cdot e^{-0{,}012 t}

der $f(t)$ er antall millimol per liter av stoffet, $t$ sekunder etter at reaksjonen startet.

Hva er konsentrasjonen etter 15 s? Hvor lang tid tar det før konsentrasjonen er $2{,}00$ millimol/L?

Tegn grafen til $f$ . Hva vil konsentrasjonen nærme seg dersom den kjemiske reaksjonen går veldig lenge?

Reaksjonshastigheten på et tidspunkt $t$ er $f'(t)$ .

Hva er reaksjonshastigheten når konsentrasjonen er $2{,}00$ millimol/L?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjoner, Derivasjon, Modellering, Funksjonsdrøfting

Oppgave 2-2 : Primtall og kombinatorisk sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

25 like kuler som er merket med tallene fra og med 1 til og med 25, ligger i en bolle. Vi trekker tilfeldig 5 kuler fra bollen uten tilbakelegging og leser av tallene.

Skriv opp alle primtallene fra og med 2 til og med 25.

Bestem sannsynligheten for at vi trekker ut akkurat 2 primtall.

Bestem sannsynligheten for at vi trekker ut minst 3 primtall.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Oppgave 2-3 : Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har punktene $A(2,\ 1)$ , $B(4,\ 5)$ og $C(t+3,\ t)$ .

Bruk vektorregning til å bestemme $t$ slik at punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje.

Bruk vektorregning til å bestemme $t$ slik at $\angle ACB = 90°$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Prikkprodukt, Geometri

Oppgave 2-4 : Parallellogram innskrevet i kvadrat optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et kvadrat $ABCD$ med side 4 er det innskrevet et parallellogram $EFGH$ . Vi setter $AE = CG = x$ og $BF = DH = 2x$ . Se skissen nedenfor.

Parallellogram EFGH innskrevet i kvadrat ABCD

Vis at arealet $T$ av parallellogrammet $EFGH$ er

T(x) = 4x^2 - 12x + 16 \quad , \quad x \in [0,\ 2]

Bestem $x$ slik at arealet av parallellogrammet $EFGH$ blir halvparten av arealet av kvadratet $ABCD$ .

Bestem $x$ slik at arealet av parallellogrammet $EFGH$ blir minst mulig. Bestem det minste arealet.

Vi legger figuren inn i et koordinatsystem slik at $A$ ligger i origo og $B$ på positiv $x$ -akse.

Bestem vektorene $\overrightarrow{HE}$ og $\overrightarrow{HG}$ uttrykt ved $x$ og bruk dette til å bestemme $x$ slik at parallellogrammet $EFGH$ blir et rektangel.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Optimering, Areal, Vektorer, Geometri

Oppgave 2-5 : Trekant med høyder og ortosentrum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$\triangle ABC$ har hjørnene $A(-1,\ -1)$ , $B(5,\ 2)$ og $C(1,\ 5)$ . Se figuren nedenfor.

Trekant ABC i koordinatsystem

Likningen for linjen gjennom $A$ og $B$ er $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ , og likningen for linjen gjennom $A$ og $C$ er $y = 3x + 2$ .

Bestem likningen for linjen gjennom $B$ og $C$ .

I oppgave 5 i Del 1 har du vist at dersom to linjer står vinkelrett på hverandre, er produktet av stigningstallene lik $-1$ .

Bruk denne egenskapen til å vise at linjen som går gjennom $C$ og som står vinkelrett på sidekanten $AB$ har likning $y = -2x + 7$ .

På samme måte kan det vises at linjen som går gjennom $A$ og som står vinkelrett på sidekanten $BC$ har likning $y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$ , og linjen som går gjennom $B$ og som står vinkelrett på $AC$ har likning $y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$ .

Vis ved regning at de tre høydene i $\triangle ABC$ skjærer hverandre i ett og samme punkt. Bestem koordinatene til dette skjæringspunktet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Lineære funksjoner, Vektorer, Bevis

Oppgave 2-6 : Tangentvinkel og innskrevet trekant i sirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en sirkel med sentrum $S$ er det innskrevet en $\triangle ABS$ der $\angle ASB = u$ . Sirkelen har en tangent i punktet $A$ . Vinkelen mellom tangenten og siden $AB$ er $v$ .

Sirkel med innskrevet trekant ABS og tangent i A

Vis at $\angle BAS = 90° - \dfrac{u}{2}$ .

Vis at $v = \dfrac{u}{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Sirkel, Bevis, Trigonometri

Oppgave 2-7 : Utlede kvotientregelen via logaritmederivasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{u}{v}

der $u$ og $v$ er funksjoner av $x$ . Vi antar i denne oppgaven at $u > 0$ og $v > 0$ .

Logaritmeregelen for en brøk gir $\ln(f(x)) = \ln u - \ln v$

Bruk logaritmeregelen og kjerneregelen til å bestemme $(\ln f(x))'$ uttrykt ved $u$ , $v$ , $u'$ og $v'$ .

Bruk uttrykket fra oppgave a) til å utlede derivasjonsregelen for en brøk.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Logaritmefunksjoner, Bevis, Kjerneregelen

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2014

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av polynom og produkt med eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2 : Faktorisering og ulikhet tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-3 : Lydstyrke desibel og lydintensitet

Oppgave 1-4 : Rasjonal funksjon skisse derivasjon og tangent

Oppgave 1-5 : Retningsvektor og vinkelrette linjer bevis

Oppgave 1-6 : Eksponentiell likning med andregradseksponent

Oppgave 1-7 : To kvadrater doblet areal og konstruksjon

Oppgave 1-8 : Derivasjon fra definisjon for kubisk funksjon

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Kjemisk reaksjon konsentrasjon og reaksjonshastighet

Oppgave 2-2 : Primtall og kombinatorisk sannsynlighet

Oppgave 2-3 : Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

Oppgave 2-4 : Parallellogram innskrevet i kvadrat optimering

Oppgave 2-5 : Trekant med høyder og ortosentrum

Oppgave 2-6 : Tangentvinkel og innskrevet trekant i sirkel

Oppgave 2-7 : Utlede kvotientregelen via logaritmederivasjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave