R1 Vår 2013

LK06 14 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 14 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2013 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon av sirkelareal og kulevolum	—
2	Derivere ln og brøk med eksponential	—
3	Polynomdivisjon og ulikhet med kubisk polynom	—
4	Forenkling av logaritmeuttrykk med ln	—
5	Kontinuitet og deriverbarhet fra graf	—
6	Vendetangent for kubikkfunksjon	—
7	Vektorer ortogonalitet og linearkombinasjon	—
8	Hippokrates-månen konstruksjon og arealbevis	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 36 poeng
1	Tredjegradsfunksjon nullpunkter og tangent	—
2	Trekant med medianer og tyngdepunkt	—
3	Partikkel med ln-posisjonsvektor og akselerasjon	—
4	Rektangel innskrevet i sirkel areal og omkrets	—
5	Sannsynlighet for kuler uten tilbakelegging	—
6	Logaritmisk likning med lgx og n	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av sirkelareal og kulevolum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Formlene for arealet $A$ av en sirkel og volumet $V$ av en kule med radius $r$ er gitt ved

A(r) = \pi r^2 \quad \text{og} \quad V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3

Bestem $A'(r)$ og $V'(r)$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Geometri

Oppgave 1-2 : Derivere ln og brøk med eksponential

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

g(x) = 3\ln(x^2 - 1)

h(x) = \dfrac{2x^2}{e^x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Kjerneregelen, Logaritmefunksjoner, Eksponentialfunksjoner

Oppgave 1-3 : Polynomdivisjon og ulikhet med kubisk polynom

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6

Vis at $P(1) = 0$

Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere $P(x)$ i førstegradsfaktorer.

Løs ulikheten $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \leq 0$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter

Oppgave 1-4 : Forenkling av logaritmeuttrykk med ln

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\ln(a^2 \cdot b) - 2\ln a - \ln\!\left(\frac{1}{b}\right)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Algebra

Oppgave 1-5 : Kontinuitet og deriverbarhet fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser grafen til en funksjon $f$ der $D_f = \langle -1, 4 \rangle$

Graf av f med domene fra -1 til 4

Avgjør for hvilke $x$ -verdier $f$ er kontinuerlig, og for hvilke $x$ -verdier $f$ er deriverbar.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Kontinuitet, Derivasjon, Graftolkning

Oppgave 1-6 : Vendetangent for kubikkfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + 6x^2 - 2

Vis at grafen til $f$ har en vendetangent i punktet $(-2, f(-2))$ med likning $y = -12x - 10$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Tangent, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-7 : Vektorer ortogonalitet og linearkombinasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vektorene $\vec{a} = [2, 3]$ , $\vec{b} = [-6, 4]$ og $\vec{c} = [3, 11]$ er gitt.

Undersøk om $\vec{a} \perp \vec{b}$

Bestem ved regning to tall $k$ og $t$ slik at $\vec{c} = k\vec{a} + t\vec{b}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Vektorer, Prikkprodukt

Oppgave 1-8 : Hippokrates-månen konstruksjon og arealbevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren nedenfor er $ACB$ en halvsirkel med sentrum i $O$ , og $AEC$ er en halvsirkel med sentrum i $D$ . $\angle CAB = \angle ABC = 45°$

Hippokrates-månen med halvsirkler og trekant

Konstruer figuren nedenfor når du setter $r = 5{,}0 \text{ cm}$ . Ta med konstruksjonsforklaring.

På figuren nedenfor har Hippokrates-månen blå farge.

Vis ved regning at arealet av Hippokrates-månen er lik arealet av $\triangle AOC$ når radien i halvsirkelen $ACB$ er $r$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Areal, Konstruksjon, Sirkel

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Tredjegradsfunksjon nullpunkter og tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ .

Graf av tredjegradsfunksjon f

Forklar at $f(x)$ er delelig med $(x-1)$ , $(x+1)$ og $(x-3)$ .

Begrunn at vi da kan skrive

f(x) = a(x^2 - 1)(x - 3) \text{, der } a \text{ er en konstant.}

Bestem $a$ når punktet $(0, 12)$ ligger på grafen til $f$ .

Bestem likningen til tangenten i punktet $(0, 12)$ .

Denne tangenten skjærer grafen til $f$ i et annet punkt.

Bestem ved regning koordinatene til dette punktet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Tangent, Nullpunkter

Oppgave 2-2 : Trekant med medianer og tyngdepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Se skissen nedenfor.

Trekant ABC med midtpunkter M1, M2, M3 og tyngdepunkt T

Midtpunktene på sidekantene i $\triangle ABC$ er $M_1$ , $M_2$ og $M_3$ .

Vis ved regning at $M_1$ har koordinatene $\left(3, \dfrac{3}{2}\right)$ . Bestem koordinatene til $M_2$ og $M_3$ ved regning.

Bestem en parameterframstilling til linjen gjennom $A$ og $M_2$ og en parameterframstilling til linjen gjennom $C$ og $M_1$ .

Tyngdepunktet $T$ i trekanten er skjæringspunktet mellom medianene. Bestem koordinatene til $T$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Geometri

Oppgave 2-3 : Partikkel med ln-posisjonsvektor og akselerasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En partikkel har posisjonsvektoren

\vec{r}(t) = \left[\ln t,\ t^2 - 4t\right], \quad t > 0

Tegn grafen til $\vec{r}$ og bestem skjæringspunktene med koordinataksene ved regning.

Bestem fartsvektoren $\vec{v}(t)$ og bruk denne til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $\vec{r}$ . Tegn inn $\vec{v}(1)$ på grafen.

Vis at akselerasjonsvektoren er $\vec{a}(t) = \left[-\dfrac{1}{t^2},\ 2\right]$ . Bestem $\vec{a}(t)$ når $t \to \infty$ .

Kommenter svaret.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Vektorer, Derivasjon, Parameterframstilling, Logaritmefunksjoner

Oppgave 2-4 : Rektangel innskrevet i sirkel areal og omkrets

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et rektangel med sider $x$ og $y$ er innskrevet i en sirkel med diameter $AB = 5$ .

Rektangel innskrevet i sirkel med diameter 5

Vis at arealet $T$ av rektangelet er gitt ved

T(x) = x \cdot \sqrt{25 - x^2}

Forklar hvilke verdier $x$ kan ha.

Bestem $x$ og $y$ når arealet er størst mulig. Kommenter svaret.

Vis at omkretsen til rektangelet er gitt ved

O(x) = 2 \cdot \sqrt{25 - x^2} + 2x

Bruk $O'(x)$ og bestem $x$ når omkretsen er størst mulig. Kommenter svaret.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Optimering, Derivasjon, Geometri, Areal

Oppgave 2-5 : Sannsynlighet for kuler uten tilbakelegging

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har røde og svarte kuler i en eske. Vi skal trekke tilfeldig to kuler uten tilbakelegging. Vi definerer følgende hendelser:

$A$ : Vi trekker to kuler med ulik farge.

$B$ : Vi trekker to kuler med samme farge.

Anta at vi har 6 røde og 4 svarte kuler i esken.

Bestem $P(A)$

Bestem $P(B)$

Anta at vi har 6 røde og et ukjent antall svarte kuler i esken, og at hendelsene $A$ og $B$ skal ha lik sannsynlighet.

Hvor mange svarte kuler kan det være i esken?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Oppgave 2-6 : Logaritmisk likning med lgx og n

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

n^2 \cdot \left(\frac{x}{n}\right)^{\lg x} = x^2 \,, \quad n \in \mathbb{N}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Likninger

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2013

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av sirkelareal og kulevolum

Oppgave 1-2 : Derivere ln og brøk med eksponential

Oppgave 1-3 : Polynomdivisjon og ulikhet med kubisk polynom

Oppgave 1-4 : Forenkling av logaritmeuttrykk med ln

Oppgave 1-5 : Kontinuitet og deriverbarhet fra graf

Oppgave 1-6 : Vendetangent for kubikkfunksjon

Oppgave 1-7 : Vektorer ortogonalitet og linearkombinasjon

Oppgave 1-8 : Hippokrates-månen konstruksjon og arealbevis

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Tredjegradsfunksjon nullpunkter og tangent

Oppgave 2-2 : Trekant med medianer og tyngdepunkt

Oppgave 2-3 : Partikkel med ln-posisjonsvektor og akselerasjon

Oppgave 2-4 : Rektangel innskrevet i sirkel areal og omkrets

Oppgave 2-5 : Sannsynlighet for kuler uten tilbakelegging

Oppgave 2-6 : Logaritmisk likning med lgx og n

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave