R1 Høst 2013

LK06 14 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 14 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2013 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon av tre funksjoner R1 H13	—
2	Polynomdivisjon og ulikhet for kubikkfunksjon	—
3	Konstruksjon av rettvinklet trekant med høyde	—
4	Eksponentlikning med potensuttrykk	—
5	Vektorer og ortogonalitet med prikkprodukt	—
6	Tredjegradsfunksjon med topp- og vendepunkt	—
7	To sirkler som tangerer hverandre	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Polynomfunksjoner med tangering til x-aksen	—
2	Rasjonale funksjoner asymptoter og skjæringspunkter	—
3	Rektangel innskrevet under parabel optimering	—
4	Halvsirkel vektorer og rett vinkel	—
5	Sannsynlighet matematikk og fysikk med Bayes	—
6	Koordinatgeometri med vektorer og parameterframstilling	—
7	Logaritmisk likning med eksponent	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 2 \cdot e^{3x}

g(x) = 2x \cdot \ln(3x)

h(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen, Rasjonale funksjoner

Oppgave 1-2 : Polynomdivisjon og ulikhet for kubikkfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6

Vis at divisjonen $P(x) : (x - 1)$ går opp, uten å utføre divisjonen.

Utfør polynomdivisjonen og løs ulikheten $P(x) \geq 0$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Ulikheter, Faktorisering

Oppgave 1-3 : Konstruksjon av rettvinklet trekant med høyde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I $\triangle ABC$ er $AB = 10{,}0 \mathrm{~cm}$ og $\angle C = 90°$ . Høyden $h$ fra $C$ til $AB$ er $4{,}0 \mathrm{~cm}$ .

Konstruer $\triangle ABC$ gitt at $BC$ er den lengste kateten. Forklar hva du har gjort.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Konstruksjon, Geometri, Rettvinklet trekant

Oppgave 1-4 : Eksponentlikning med potensuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En elev skulle løse en likning og begynte slik:

2^{3x-1} = 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2

\Downarrow

2^{3x-1} = 4 \cdot 2^2

Fullfør løsningen av likningen.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjoner, Likninger, Potenser

Oppgave 1-5 : Vektorer og ortogonalitet med prikkprodukt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt vektorene $\vec{a} = [1, 3]$ , $\vec{b} = [3, 2]$ og $\vec{c} = [-1, 2]$ .

Tegn vektorene $\vec{u} = \vec{a} + 2\vec{b}$ og $\vec{v} = \vec{b} - 2\vec{c}$ i et koordinatsystem.

Avgjør ved regning om $\vec{u} \perp \vec{v}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Prikkprodukt, Lengde av vektor

Oppgave 1-6 : Tredjegradsfunksjon med topp- og vendepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2, \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem $f'(x)$ og $f''(x)$ .

Bestem koordinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ . Bruk denne til å avgjøre for hvilke $x$ -verdier $f'(x) > 0$ og samtidig $f''(x) < 0$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter

Oppgave 1-7 : To sirkler som tangerer hverandre

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To sirkler $S_1$ og $S_2$ er gitt ved

S_1 : x^2 + y^2 = 25

S_2 : (x - a)^2 + y^2 = 9

Tegn sirklene i et koordinatsystem når $a = 6$ .

For hvilke verdier av $a$ vil sirklene tangere hverandre?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sirkel, Geometri, Likninger

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Polynomfunksjoner med tangering til x-aksen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Når grafen til en polynomfunksjon tangerer $x$ -aksen i $x = a$ , har funksjonen minst to like (sammenfallende) nullpunkter i $x = a$ .

Tre grafer med tangering til x-aksen

Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist på figur 1. Grafen tangerer $x$ -aksen i $x = 2$ .

Forklar at $f(x) = 2 \cdot (x - 2)^2$

Grafen til en tredjegradsfunksjon $g$ er vist på figur 2. Grafen tangerer $x$ -aksen i $x = 3$ .

Forklar at funksjonsuttrykket til $g$ kan skrives på formen $g(x) = k \cdot (x - 3)^2 \cdot (x + 1)$ . Bestem $k$ .

Grafen til en fjerdegradsfunksjon $h$ er vist på figur 3. Grafen tangerer $x$ -aksen i $x = -2$ og i $x = 2$ .

Bestem funksjonsuttrykket $h(x)$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Andregradsfunksjon, Nullpunkter, Funksjoner

Oppgave 2-2 : Rasjonale funksjoner asymptoter og skjæringspunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}, \quad D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}

Bestem asymptotene til $f$ . Tegn grafen til $f$ med asymptoter.

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = x - 1, \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem skjæringspunktene mellom grafene til $f$ og $g$ ved regning.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rasjonale funksjoner, Likninger, Graf

Oppgave 2-3 : Rektangel innskrevet under parabel optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren til høyre viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = x^2 + 21, \quad x \in \langle 0, \to \rangle

Rektangelet $PSRQ$ lages slik at $P$ ligger på grafen til $f$ , punktene $S$ og $R$ ligger på $x$ -aksen, og $R$ og $Q$ har førstekoordinat $x = 12$ . Punktet $S$ ligger mellom origo og $R$ .

Rektangel under parabelgraf med hjørner P, S, R, Q

Forklar at arealet av rektangelet $PSRQ$ kan skrives som

A(x) = -x^3 + 12x^2 - 21x + 252, \quad x \in \langle 0, 12 \rangle

Bestem $A'(x)$ og bruk denne til å bestemme største og minste verdi som arealet av rektangelet kan ha.

Tegn grafen til $A$ , og kontroller om svarene dine fra oppgave b) stemmer.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Derivasjon, Areal

Oppgave 2-4 : Halvsirkel vektorer og rett vinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En sirkel med radius $r$ og sentrum i origo er gitt ved

x^2 + y^2 = r^2

Punktet $P(x, y)$ er et vilkårlig punkt på den øvre halvsirkelen. Se skissen nedenfor.

Halvsirkel med punkt P på buen og linjer til A og B

Bestem koordinatene til punktene $A$ og $B$ uttrykt ved $r$ . Bestem vektorkoordinatene til $\overrightarrow{PA}$ og $\overrightarrow{PB}$ .

Vis ved vektorregning at $\angle APB = 90°$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Prikkprodukt, Sirkel, Bevis

Oppgave 2-5 : Sannsynlighet matematikk og fysikk med Bayes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en videregående skole skal elevene velge fag. Hendelsene $M$ og $F$ definerer vi slik:

$M$ : Eleven velger matematikk.

$F$ : Eleven velger fysikk.

Vi får opplyst at $P(M) = 0{,}64$ , $P(F) = 0{,}32$ og $P(\overline{M \cup F}) = 0{,}30$ .

Bestem $P(M \cap F)$ og $P(M \cap \bar{F})$ .

Bestem $P(F|M)$ . Undersøk om hendelsene $M$ og $F$ er uavhengige.

Bruk Bayes’ setning til å bestemme $P(M|F)$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 2-6 : Koordinatgeometri med vektorer og parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et koordinatsystem har vi gitt punktene $A(-3, -3)$ , $B(3, 1)$ og $D(-2, 2)$ .

Bestem $\angle BAD$ og arealet av $\triangle ABD$ .

Et punkt $C$ er gitt ved at $DC \parallel AB$ og $\angle ABC = 90°$ .

Bestem ved regning koordinatene til $C$ .

En parameterframstilling for linjen $l$ som går gjennom $C$ og $D$ , er gitt ved

l: \begin{cases} x = -2 + 3t \\ y = \phantom{-}2 + 2t \end{cases}

Et punkt $E$ har koordinatene $(s,\, 2s - 2)$ .

Bestem ved regning en verdi for $s$ slik at $E$ ligger på $l$ .

Bestem koordinatene til punktet $E$ når $|\overrightarrow{AE}| = |\overrightarrow{BE}|$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Geometri

Oppgave 2-7 : Logaritmisk likning med eksponent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen med hensyn på $x$

n^2 \cdot \left(\frac{x}{n}\right)^{\lg(x) - 2} = x^2, \quad x > 0 \land n > 0

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Likninger, Potenser

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2013

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R1 H13

Oppgave 1-2 : Polynomdivisjon og ulikhet for kubikkfunksjon

Oppgave 1-3 : Konstruksjon av rettvinklet trekant med høyde

Oppgave 1-4 : Eksponentlikning med potensuttrykk

Oppgave 1-5 : Vektorer og ortogonalitet med prikkprodukt

Oppgave 1-6 : Tredjegradsfunksjon med topp- og vendepunkt

Oppgave 1-7 : To sirkler som tangerer hverandre

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Polynomfunksjoner med tangering til x-aksen

Oppgave 2-2 : Rasjonale funksjoner asymptoter og skjæringspunkter

Oppgave 2-3 : Rektangel innskrevet under parabel optimering

Oppgave 2-4 : Halvsirkel vektorer og rett vinkel

Oppgave 2-5 : Sannsynlighet matematikk og fysikk med Bayes

Oppgave 2-6 : Koordinatgeometri med vektorer og parameterframstilling

Oppgave 2-7 : Logaritmisk likning med eksponent

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave