R1 Vår 2010

LK06 8 oppgaver 5 timer

0 av 8 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2010 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 2 oppgaver
1	Derivasjon eksponentiallikning vektorer og konstruksjon	—
2	Polynomfunksjon derivert vendepunkt og generelt bevis	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver
3	Tippekupong med kombinatorikk og sannsynlighet	—
4	Partikkel med kubikkbane fart og parallell y-akse	—
5	Tangent til kubikkfunksjon og parallell tangent	—
5	Ledning delt til kvadrat og likesidet trekant – optimering	—
6	Vinkler i sirkel med korde og tangent fra ekstern punkt	—
7	Bevis for at 4^n minus 1 er delelig med 3	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon eksponentiallikning vektorer og konstruksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

a) Derivasjon

Deriver funksjonene

1) $f(x) = x^3 \cdot \ln x$

2) $g(x) = 4e^{x^2-3x}$

b) Polynomdivisjon og ulikhet

Vi har polynomfunksjonen $P(x) = x^3 - 4x^2 - 4x + 16$ .

Regn ut $P(2)$ . Bruk polynomdivisjon til å faktorisere uttrykket $P(x)$ i førstegradsfaktorer.

Løs ulikheten $P(x) \leq 0$ .

c) Logisk implikasjon

Nedenfor er det gitt to utsagn. Skriv av utsagnene i besvarelsen. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn ett av symbolene $\Rightarrow$ , $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ .

Per er fra Bergen. $\quad\square\quad$ Per er fra Norge.

Forklar hvordan du har tenkt.

d) Vektorer

Vi har vektoren $\vec{a} = [3, 5]$ .

En vektor $\vec{b}$ er dobbelt så lang som $\vec{a}$ og har motsatt retning av $\vec{a}$ . Skriv $\vec{b}$ på koordinatform.

Finn koordinatene til en vektor $\vec{c}$ som står normalt på $\vec{a}$ .

e) Eksponentiallikning

Løs likningen $4 \cdot \left(1 + \dfrac{x}{100}\right)^4 = 64$ .

f) Konstruksjon

I en sirkel med radius $r$ er det innskrevet en trekant $ABC$ . Lengden til radien er gitt til høyre.

Siden $AB$ i trekanten er $\dfrac{3}{2}r$ , og $\angle ABC = 45°$ .

Konstruer trekanten. Forklar konstruksjonen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Polynomdivisjon, Ulikheter, Vektorer, Eksponentialfunksjoner, Konstruksjon

Oppgave 1-2 : Polynomfunksjon derivert vendepunkt og generelt bevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Den deriverte til en polynomfunksjon $f$ er gitt ved

f'(x) = 2(x+1)(x-3)

Bruk uttrykket over til å finne ut hvor funksjonen $f$ vokser, og hvor den avtar. Bestem også førstekoordinatene til topp- og bunnpunktet på grafen til $f$ .

Bestem $f''(x)$ . Bruk $f''(x)$ til å finne førstekoordinaten til vendepunktet på grafen til $f$ .

Den deriverte til en polynomfunksjon $g$ er gitt ved

g'(x) = a \cdot (x-b) \cdot (x-c)

der konstantene $a$ , $b$ og $c$ alle er positive. Vi antar at $b < c$ . Førstekoordinatene til topp- og bunnpunktet på grafen til $g$ er $x_{\text{maks}}$ og $x_{\text{min}}$ .

Forklar hvorfor grafen til $g$ bare kan ha ett vendepunkt. Vis at førstekoordinaten til dette vendepunktet ligger midt mellom $x_{\text{maks}}$ og $x_{\text{min}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Nullpunkter, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-3 : Tippekupong med kombinatorikk og sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en tippekupong er det 12 fotballkamper. Når man tipper en enkeltrekke, skal man tippe resultatet i hver av de 12 fotballkampene. Utfallet i en kamp er enten hjemmeseier (H), uavgjort (U) eller borteseier (B).

En ivrig tipper la merke til at det i en viss periode ofte var 5 hjemmeseire (H) blant de 12 kampene på tippekupongen.

Hvor mange ulike utvalg på 5 kamper kan velges ut blant 12 kamper?

Vi har fylt ut 5 kamper som vi tror ender med hjemmeseier. På hvor mange måter kan vi fylle ut de 7 resterende kampene når hver av dem skal fylles ut med enten uavgjort (U) eller borteseier (B)?

Hvor stor er sannsynligheten for at en tilfeldig utfylt tipperekke skal inneholde nøyaktig 5 hjemmeseire?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Partikkel med kubikkbane fart og parallell y-akse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonsvektoren til en partikkel er gitt ved

\vec{r}(t) = \left[t^3 + 3,\; t + 1\right]

det vil si

\begin{cases} x = t^3 + 3 \\ y = t + 1 \end{cases}

Tegn grafen til $\vec{r}$ når $t \in [-2, 2]$ .

Bestem fartsvektoren $\vec{v}(t)$ og akselerasjonsvektoren $\vec{a}(t)$ . Marker $\vec{v}(1)$ og $\vec{a}(1)$ på kurven til $\vec{r}$ .

Finn ved regning det punktet på kurven der $\vec{v}(t)$ er parallell med $y$ -aksen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Parameterframstilling, Vektorer, Derivasjon

Oppgave 2-5 : Tangent til kubikkfunksjon og parallell tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

På figuren ser du en skisse av grafen til funksjonen $f(x) = x^3$ og tangenten $T_1$ til grafen i punktet $P(1, 1)$ . På skissen har aksene ulik målestokk.

Graf av f(x)=x³ med tangent T₁ og punkter P og Q

Vis ved regning at likningen til tangenten $T_1$ er

y = 3x - 2

Punktet $Q$ på figuren er et annet fellespunkt mellom grafen til $f$ og $T_1$ .

Forklar at førstekoordinaten til $Q$ må være en løsning av likningen

x^3 - 3x + 2 = 0

Bruk polynomdivisjon og løs denne likningen ved regning. Finn koordinatene til $Q$ .

En annen tangent $T_2$ til grafen er parallell med tangenten $T_1$ .

Finn tangeringspunktet $R$ mellom grafen til $f$ og $T_2$ ved regning.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Tangent, Polynomdivisjon, Nullpunkter

Oppgave 2-5 : Ledning delt til kvadrat og likesidet trekant – optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

En ledning er 10 meter lang. Ledningen skal kuttes i to deler. Den ene delen skal formes til sidene i et kvadrat. Den andre delen skal formes til sidene i en likesidet trekant.

Den delen som brukes til å forme trekanten, er $x$ meter lang.

Eksempler på deling av ledning for x=2, x=5 og x=8

Forklar at arealet av kvadratet målt i kvadratmeter kan skrives som

F_1(x) = \frac{1}{16}(10-x)^2

Forklar at arealet av den likesidete trekanten målt i kvadratmeter kan skrives som

F_2(x) = \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot x^2

Undersøk hvordan ledningen må kuttes for at summen

F(x) = F_1(x) + F_2(x)

skal få sin minste verdi.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon, Areal

Oppgave 2-6 : Vinkler i sirkel med korde og tangent fra ekstern punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal studere en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$ .

Sirkel med sentrum S, radius r, og punkter A, B, C, D der AD=r

På figuren over setter vi $x = \angle SAD$ og $y = \angle BSC$ . Du skal vise at det er en sammenheng mellom $x$ og $y$ når $AD = r$ .

Forklar at $\angle ASD = x$ .

Vis at $\angle SDC = \angle SCD = 2x$ .

Vis at $y = 3x$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Sirkel, Geometri, Bevis, Argumentasjon

Oppgave 2-7 : Bevis for at 4^n minus 1 er delelig med 3

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi vil undersøke om tallet $\left(4^n - 1\right)$ er delelig med 3 når $n$ er et naturlig tall.

Kontroller at $\left(4^n - 1\right)$ er delelig med 3 når $n = 1$ , $n = 2$ , $n = 3$ og $n = 4$ .

Vis at $\left(4^n - 1\right) = \left(2^n - 1\right) \cdot \left(2^n + 1\right)$ .

Forklar at $\left(2^n - 1\right)$ , $2^n$ og $\left(2^n + 1\right)$ er tre hele tall som ligger etter hverandre på tallinjen. Forklar at ett av disse tallene er delelig med 3. Hvilket av tallene kan ikke være delelig med 3?

Bruk b) og c) over til å bevise at $\left(4^n - 1\right)$ er delelig med 3 for alle naturlige tall $n$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Bevis, Induksjon, Algebra

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2010

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon eksponentiallikning vektorer og konstruksjon

a) Derivasjon

b) Polynomdivisjon og ulikhet

c) Logisk implikasjon

d) Vektorer

e) Eksponentiallikning

f) Konstruksjon

Oppgave 1-2 : Polynomfunksjon derivert vendepunkt og generelt bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-3 : Tippekupong med kombinatorikk og sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Partikkel med kubikkbane fart og parallell y-akse

Oppgave 2-5 : Tangent til kubikkfunksjon og parallell tangent

Oppgave 2-5 : Ledning delt til kvadrat og likesidet trekant – optimering

Oppgave 2-6 : Vinkler i sirkel med korde og tangent fra ekstern punkt

Oppgave 2-7 : Bevis for at 4^n minus 1 er delelig med 3

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave