R1 Høst 2011

LK06 6 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2011 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 1 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjonsregler, polynom, vektorer og sirkelgeometri	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 36 poeng
2	Tredjegradsfunksjon drøfting og tangentskjæring	—
3	Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og konstruksjon av sentrum	—
4	To tangerende sirkler med parameterframstilling	—
5	Jenter og gutter med bukser – betinget sannsynlighet og Bayes	—
6	Perfekte tall og amikable tallpar	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 1 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjonsregler, polynom, vektorer og sirkelgeometri

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(t) = 0{,}02t^3 + 0{,}6t^2 + 4{,}1

g(x) = \sqrt{x^2 - 1}

h(x) = x^2 \cdot e^{2x}

Vi har gitt polynomfunksjonen

P(x) = x^3 - 4x^2 - 4x + 16

Vis at $x = 2$ er et nullpunkt.

Skriv $P(x)$ som et produkt av førstegradsfaktorer.

Løs ulikheten $P(x) \leq 0$

Lag en formel for $x$ når

y = a - b^x

Forklar hvorfor $y < a$

Vi har gitt punktene $A(1, 0)$ , $B(3, 4)$ og $C(2, t)$

Bestem vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ .

Bestem $t$ slik at $\angle A = 90°$

En sirkel har $AB$ som diameter. Bestem likningen til sirkelen.

Fortegnslinjene til $f'(x)$ og $f''(x)$ til en funksjon $f$ er gitt nedenfor.

Fortegnslinje for f' og f''

Bestem hvor grafen til $f$ stiger og synker.

Bestem $x$ -verdiene til eventuelle bunn-, topp- og vendepunkter på grafen til $f$ .

Tegn en skisse av hvordan grafen til $f$ kan se ut.

Funksjonen $f$ er gitt som $f(x) = x^2 + 1$

Bruk at $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ til å vise at $f'(x) = 2x$

En sirkel har sentrum i $O$ . $AB$ skjærer av en bue på $60°$ , mens $DE$ skjærer av en bue på $20°$ . Se skissen nedenfor.

Sirkel med buer AB og DE

Bestem $\angle ADB$

Bestem $\angle DBE$

Vis at $\angle ACB = 20°$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 24
Temaer: Derivasjon, Polynom, Vektorer, Sirkel, Fortegnslinje, Grenseverdi

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-2 : Tredjegradsfunksjon drøfting og tangentskjæring

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x, \quad x \in \langle -1,\, 3 \rangle

Bestem nullpunktene til $f$ ved regning. Forklar hvordan vi av utregningen kan se at grafen til $f$ tangerer $x$ -aksen i ett av nullpunktene.

Tegn fortegnslinjen til $f'$ , og bruk denne til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Tegn fortegnslinjen til $f''$ , og bruk denne til å bestemme eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Vis ved regning at likningen til tangenten i punktet $P\!\left(1,\, f(1)\right)$ er gitt ved

y = -x + 2

Tegn grafen til $f$ og tangenten i samme koordinatsystem.

Grafen til $f$ skjærer tangenten i et annet punkt $Q$ .

Forklar at $x$ -verdien til $Q$ kan bestemmes av likningen

x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0

Bestem koordinatene til $Q$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 12
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter, Tangent, Fortegnslinje

Oppgave 2-3 : Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og konstruksjon av sentrum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant ABC

En sirkel med sentrum i $S$ er innskrevet i en rettvinklet $\triangle ABC$ . Sidene i trekanten tangerer sirkelen i $D$ , $E$ og $F$ . Linjen $AS$ skjærer $EF$ i $G$ og $ED$ i $H$ .

En setning i geometrien sier at da er $AD = AE$ .

Forklar at $\angle GHE = 90°$

Bestem $\angle HEG$ og $\angle HGE$

I vedlegget er det tegnet en sirkel med to vilkårlige korder. Lag en konstruksjon på vedlegget med passer og linjal slik at du finner plasseringen til sentrum $S$ i sirkelen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Sirkel, Geometri, Konstruksjon, Vinkler i trekant

Oppgave 2-4 : To tangerende sirkler med parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To tangerende sirkler med linje l

To sirkler med samme radius har sentrum i henholdsvis $A$ og $B$ . Sirklene tangerer hverandre i punktet $P$ .

Sirkelen med sentrum i $A$ har likningen

x^2 + y^2 + 6x + 4y - 12 = 0

Sirkelen med sentrum i $B$ har likningen

x^2 + y^2 - 6x - 12y + 20 = 0

Vis ved regning at sentrum i sirklene har koordinatene $A(-3, -2)$ og $B(3, 6)$ .

Forklar at punktene $A$ , $P$ og $B$ alle ligger på en rett linje $l$ .

Vis at punktet $P$ har koordinatene $P(0, 2)$ .

Finn en parameterframstilling til $l$ .

Linjen $l$ skjærer sirkelen med sentrum i $B$ også i punktet $C$ .

Bestem koordinatene til punktet $C$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 9
Temaer: Sirkel, Parameterframstilling, Sirkellikning, Geometri

Oppgave 2-5 : Jenter og gutter med bukser – betinget sannsynlighet og Bayes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en skole går det 120 jenter og 80 gutter. Halvparten av jentene går med bukser, mens den andre halvparten går med skjørt. Alle guttene går med bukser.

Hendelsene $J$ og $B$ er definert ved:

$J$ : Eleven er en jente.

$B$ : Eleven går med bukse.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev går med bukse.

Bestem $P(B|J)$ . Avgjør om hendelsene $J$ og $B$ er uavhengige.

Bruk Bayes’ setning, og bestem $P(J|B)$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 2-6 : Perfekte tall og amikable tallpar

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi vil se på summen av alle faktorer som går opp i 12. Vi tar med 1, men ikke tallet 12 selv.

Faktorene til 12 blir da

1, 2, 3, 4 og 6.

Summen av faktorene blir

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

For tallet 6 får vi på samme måte

1 + 2 + 3 = 6

Når summen av faktorene er lik tallet selv, sier vi at tallet er perfekt.

Dermed er 6 et perfekt tall, mens 12 ikke er det.

Vis at 28 er et perfekt tall.

Summen av faktorene i 220 er

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Finn summen av faktorene i 284.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Tallteori, Utforskning

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2011

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 1 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjonsregler, polynom, vektorer og sirkelgeometri

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-2 : Tredjegradsfunksjon drøfting og tangentskjæring

Oppgave 2-3 : Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og konstruksjon av sentrum

Oppgave 2-4 : To tangerende sirkler med parameterframstilling

Oppgave 2-5 : Jenter og gutter med bukser – betinget sannsynlighet og Bayes

Oppgave 2-6 : Perfekte tall og amikable tallpar

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave