R1 Høst 2011

Vi bruker regelen ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}(t^n)=n\cdot t^{n-1}$ ledd for ledd:

Vi skriver $g(x)={(x^2-1)}^{\frac{1}{2}}$ og bruker kjerneregelen med $u=x^2-1$:

Vi bruker produktregelen ${(uv)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ med $u=x^2$ og $v=e^{2x}$:

Vi setter $x=2$ inn i $P(x)$:

Siden $P(2)=0$, er $x=2$ et nullpunkt.

Siden $x=2$ er et nullpunkt, må $(x-2)$ være en faktor i $P(x)$. Polynomdivisjon gir

Andregradsuttrykket faktoriseres videre: vi søker to tall med sum $-2$ og produkt $-8$, som er $-4$ og $2$:

Dermed er

Nullpunktene er $x=-2$, $x=2$ og $x=4$. Vi setter opp en fortegnslinje for de tre faktorene:

$P(x)\le 0$ når $x\le -2$ eller $2\le x\le 4$:

Vi isolerer $b^x$ og bruker deretter logaritme for å isolere $x$:

For alle $x$ er $b^x>0$ (en eksponentialfunksjon er alltid positiv). Da må

Altså er $\underline{\underline{y<a}}$ for alle $x$.

Vektorene finnes ved å trekke koordinatene til $A$ fra koordinatene til henholdsvis $B$ og $C$:

$\angle A=90°$ betyr at $\overrightarrow{AB}⟂\overrightarrow{AC}$, altså at skalarproduktet er null:

Midtpunktet på $AB$ er sentrum $S$ i sirkelen:

Radien er halve lengden av $AB$:

Likningen til sirkelen blir dermed

Av fortegnslinjene ser vi at $f^{\prime }(x)=0$ for $x=-1$ og $x=3$, og at $f^{\prime \prime }(x)=0$ for $x=1$.

$f^{\prime }$ er negativ for $x<-1$, positiv for $-1<x<3$ og negativ for $x>3$. Dermed

Siden $f^{\prime }$ skifter fortegn fra negativ til positiv i $x=-1$, er dette et bunnpunkt. Siden $f^{\prime }$ skifter fortegn fra positiv til negativ i $x=3$, er dette et toppunkt. Siden $f^{\prime \prime }$ skifter fortegn i $x=1$, er dette et vendepunkt.

Grafen synker fra venstre ned til et bunnpunkt i $x=-1$, flater ut i krumning (vendepunkt) i $x=1$ mens den fortsatt stiger, og stiger opp til et toppunkt i $x=3$, før den synker igjen mot høyre. Grafen er konveks (krummer oppover) for $x<1$ og konkav (krummer nedover) for $x>1$.

Vi bruker definisjonen av den deriverte med $f(x)=x^2+1$:

Når $\mathrm{\Delta }x\to 0$ går $2x+\mathrm{\Delta }x\to 2x$, altså

Vinkelen $\angle ADB$ er en periferivinkel som spenner over buen $AB$ (buen som ikke inneholder $D$). Periferivinkelen er halvparten av buen den spenner over:

Vinkelen $\angle DBE$ er en periferivinkel som spenner over buen $DE$:

Punktene $A$, $D$, $C$ ligger på en rett linje, og punktene $B$, $E$, $C$ ligger på en annen rett linje. Da er $\angle ADB$ en ytre vinkel av trekant $BDC$ i hjørnet $D$ (siden $A$, $D$, $C$ er kolineære). Etter ytre vinkelsetningen er en ytre vinkel lik summen av de to andre (ikke tilstøtende) vinklene i trekanten:

Siden $E$ ligger på linjestykket $BC$, er $\angle DBC=\angle DBE=10°$. Vi løser for $\angle DCB=\angle ACB$:

Vi faktoriserer $f(x)$ ved å sette $x$ utenfor parentes:

Uttrykket i parentesen er et fullstendig kvadrat, $x^2-4x+4={(x-2)}^2$, slik at

Nullpunktene finner vi ved å sette hver faktor lik null:

Grafen til $f$ har altså nullpunkter i $\underline{\underline{x=0\text{ og }x=2}}$.

I $x=2$ opptrer faktoren $(x-2)$ i andre potens (dobbel rot). Det betyr at $f(x)\ge 0$ på begge sider av $x=2$ (faktoren ${(x-2)}^2$ er aldri negativ, og $x>0$ nær $x=2$), slik at grafen ikke skifter fortegn der. Dette er nettopp kjennetegnet på at grafen tangerer $x$-aksen i $x=2$, i stedet for å skjære den.

Vi deriverer $f$:

Nullpunktene til $f^{\prime }$ finner vi med abc-formelen (bekreftet med CAS, se r1-h11-2-2-cas2.png):

Siden $f^{\prime }$ er en oppoverbøyd parabel (positiv ledende koeffisient), er $f^{\prime }(x)>0$ utenfor røttene og $f^{\prime }(x)<0$ mellom røttene. Fortegnslinjen til $f^{\prime }$ på $⟨-1,3⟩$ blir da:

Dette gir toppunkt i $x=\frac{2}{3}$ og bunnpunkt i $x=2$. Vi regner ut funksjonsverdiene:

Grafen til $f$ har altså toppunkt $\underline{\underline{(\frac{2}{3},\frac{32}{27})}}$ og bunnpunkt $\underline{\underline{(2,0)}}$.

Vi deriverer $f^{\prime }$ for å finne $f^{\prime \prime }$:

Nullpunktet til $f^{\prime \prime }$ er

Siden $f^{\prime \prime }$ er en rett linje med positiv stigning, er $f^{\prime \prime }(x)<0$ for $x<\frac{4}{3}$ og $f^{\prime \prime }(x)>0$ for $x>\frac{4}{3}$:

Funksjonsverdien i vendepunktet er

Grafen til $f$ har altså vendepunkt i $\underline{\underline{(\frac{4}{3},\frac{16}{27})}}$.

Alle deriverte og nullpunkter over er bekreftet med CAS, se skjermbildet under.

Vi trenger $f(1)$ og $f^{\prime }(1)$. Fra $f(x)=x^3-4x^2+4x$ og $f^{\prime }(x)=3x^2-8x+4$:

Tangentlikningen i punktet $P(1,f(1))=P(\mathrm{1,1})$ er gitt ved $y=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)$:

Vi har dermed vist at tangenten i $P$ er $\underline{\underline{y=-x+2}}$.

Grafen til $f$ (grønn) og tangenten $t(x)=-x+2$ (rød) er tegnet i GeoGebra, med $P(\mathrm{1,1})$ og $Q(\mathrm{2,0})$ markert:

Skjæringspunktene mellom $f$ og tangenten $t$ finner vi ved å løse $f(x)=t(x)$:

Vi flytter alt over på venstre side:

Dette er likningen som skal løses for å finne $x$-verdien til $Q$.

Siden $P(\mathrm{1,1})$ er et tangeringspunkt, må $x=1$ være en dobbeltrot i likningen. CAS gir faktoriseringen (se r1-h11-2-2-cas.png)

med løsninger $x=1$ (dobbel, svarer til $P$) og $x=2$ (svarer til $Q$). Vi setter $x=2$ inn i $f$ (eller $t$):

Skjæringspunktet er dermed $\underline{\underline{Q(2,0)}}$ — som vi kjenner igjen som nullpunktet der grafen tangerer $x$-aksen fra a).

1) At $\angle GHE=90°$

Siden $S$ er sentrum i den innskrevne sirkelen, er $S$ skjæringspunktet mellom vinkelhalveringslinjene i $△ABC$. Linjen $AS$ er dermed vinkelhalveringslinja fra $A$, og den halverer $\angle DAE$ (vinkelen mellom sidene $AC$ og $AB$).

Vi vet at $AD=AE$, så $△ADE$ er likebeint med toppunkt $A$. I en likebeint trekant er vinkelhalveringslinja fra toppunktet også midtnormalen på grunnlinja. Altså er $AS$ midtnormalen på $DE$, som betyr at $AS⟂DE$.

$H$ er skjæringspunktet mellom $AS$ og $ED$, så

Siden $G$ ligger på samme rette linje $AS$, er $\angle GHE$ samme vinkel (eller vertikalvinkel til den), og dermed

2) $\angle HEG$ og $\angle HGE$

Siden $\angle ACB=90°$, og $CD$, $CF$ er tangentstykker fra $C$, er $CD=CF=r$ (radius). Radiene $SD$ og $SF$ står vinkelrett på tangentene $CA$ og $CB$, så firkanten $CDSF$ har rette vinkler i $C$, $D$ og $F$. Vinkelsummen i en firkant er $360°$, så

$\angle DSF$ er sentralvinkelen for buen $DF$ som ikke inneholder $E$. Etter periferivinkelsetningen er periferivinkelen $\angle DEF$ (med toppunkt $E$ på den andre buen) halvparten av sentralvinkelen for samme bue:

Siden $H$ ligger på $ED$ og $G$ ligger på $EF$, er $\angle HEG$ den samme vinkelen som $\angle DEF$:

I trekant $EHG$ er $\angle GHE=90°$ (fra deloppgave 1), og vinkelsummen i en trekant er $180°$:

For å finne sentrum $S$ i en sirkel når vi kjenner to korder, bruker vi at midtnormalen til enhver korde går gjennom sirkelens sentrum (sentrum har lik avstand til kordens to endepunkter, og alle punkt med lik avstand til to punkt ligger på midtnormalen mellom dem).

Konstruksjonen gjøres slik med passer og linjal:

1. Sett passerspissen i det ene endepunktet til en korde, og slå en sirkelbue med radius litt større enn halve kordelengden — én bue over korden og én under.
2. Flytt passerspissen til det andre endepunktet av samme korde, behold samme radius, og slå to nye buer som skjærer de første.
3. Trekk en rett linje gjennom de to skjæringspunktene mellom buene. Denne linja er midtnormalen til korden.
4. Gjenta steg 1–3 for den andre korden.
5. De to midtnormalene skjærer hverandre i sentrum $S$.

Vi fullfører kvadratet i begge sirkellikningene.

Sirkelen med sentrum i $A$:

Dette er en sirkel med sentrum $A(-3,-2)$ og radius $r=5$.

Sirkelen med sentrum i $B$:

Dette er en sirkel med sentrum $B(3,6)$ og radius $r=5$.

Begge sirklene har altså sentrum i de oppgitte punktene.

Siden sirklene tangerer hverandre i $P$, er tangentlinjen i $P$ felles for begge sirklene. Radien inn til et tangeringspunkt står alltid vinkelrett på tangentlinjen. Det betyr at både $\overrightarrow{AP}$ og $\overrightarrow{BP}$ står vinkelrett på den samme tangentlinjen, og dermed er $\overrightarrow{AP}$ og $\overrightarrow{BP}$ parallelle. Siden de i tillegg har punktet $P$ felles, må $A$, $P$ og $B$ ligge på samme rette linje.

Vi finner avstanden mellom sentrene:

Siden $AB=10=5+5=r_A+r_B$, tangerer sirklene hverandre utvendig, og $P$ ligger da midt mellom $A$ og $B$ (like langt fra begge sentrene, siden radiene er like store). $P$ er derfor midtpunktet på $AB$:

Dette stemmer med $P(0,2)$.

En retningsvektor for $l$ er

som kan forkortes til $\overrightarrow{v}=(3,4)$. En parameterframstilling for $l$ gjennom $A(-3,-2)$ er da

altså

Vi setter parameterframstillingen fra c) inn i likningen for sirkelen med sentrum $B$:

Dette forenkles til (kontrollert i GeoGebra CAS, se utklipp)

$t=1$ gir $x=-3+3=0$, $y=-2+4=2$, altså tangeringspunktet $P(0,2)$ – som forventet, siden $P$ ligger på både linjen og sirkelen.

$t=3$ gir det andre skjæringspunktet:

Dermed er $C(6,10)$.

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev går med bukse er antall elever med bukse delt på totalt antall elever:

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev går med bukse er $\underline{\underline{P(B)=\mathrm{0,7}}}$.

$P(B|J)$ er sannsynligheten for at eleven går med bukse, gitt at eleven er en jente. Av de $120$ jentene går $60$ med bukse:

Vi sammenligner med $P(B)=\mathrm{0,7}$ fra a). Siden

er hendelsene $J$ og $B$ ikke uavhengige. At en elev er jente, endrer sannsynligheten for at eleven går med bukse.

$\underline{\underline{P(B|J)=\mathrm{0,5}}}$, og $J$ og $B$ er ikke uavhengige hendelser.

Bayes’ setning gir

Vi setter inn $P(B|J)=\mathrm{0,5}$, $P(J)={\displaystyle \frac{120}{200}}=\mathrm{0,6}$ og $P(B)=\mathrm{0,7}$:

(Dette stemmer også direkte med tabellen: av de $140$ elevene med bukse er $60$ jenter, altså $\frac{60}{140}=\frac{3}{7}$.)

Sannsynligheten for at en elev med bukse er en jente er $\underline{\underline{P(J|B)={\displaystyle \frac{3}{7}}\approx \mathrm{0,43}}}$.

Faktorene til $28$, uten å ta med $28$ selv, er

Summen av disse er

Siden summen av faktorene er lik tallet selv, er $28$ et perfekt tall.

Faktorene til $284$, uten å ta med $284$ selv, finner vi ved å primtallsfaktorisere: $284=2^2\cdot 71$. Faktorene blir dermed

Summen av disse er

Vi ser at summen av faktorene i $220$ er $284$, og summen av faktorene i $284$ er $220$. Tallene «peker» altså på hverandre, og $220$ og $284$ kalles derfor et amikabelt (vennskapelig) tallpar.