R1 Vår 2008

LK06 6 oppgaver 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2008 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 2 oppgaver
1	Derivasjon polynomdivisjon grenseverdi og logaritme R1 V08	—
2	Ortosenter i trekant med vektorer og parameterframstilling	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver
3	Fem kort fra kortstokk kombinatorikk og betinget sannsynlighet	—
4	Polynomdrøfting fra derivertgraf med integrasjon	—
4	Likebeint trekant innskrevet i sirkel areal og optimering	—
5	Tre tangerende sirkler og sammenheng mellom radiene	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon polynomdivisjon grenseverdi og logaritme R1 V08

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonen

f(x) = x^2 \cdot \ln x

Utfør polynomdivisjonen

(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x - 2)

Bestem grenseverdien

\lim_{x \to 8} \frac{x^2 - 64}{2x - 16}

Skriv så enkelt som mulig

\lg(x \cdot y^2) - 2\lg y + \lg\!\left(\frac{x}{y^2}\right)

Vi har funksjonen $f(x) = x \cdot e^{-x}$

Vis at $f'(x) = (1 - x) \cdot e^{-x}$ . Bruk dette til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bruk $f''(x)$ til å finne eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

(I denne oppgaven kan du få bruk for $e^{-1} \approx 0{,}37$ , $e^{-2} \approx 0{,}14$ og $e^{-3} \approx 0{,}05$ )

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Polynomdivisjon, Grenseverdi, Logaritmer, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-2 : Ortosenter i trekant med vektorer og parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt vektorene $\vec{u} = [a,\, b]$ og $\vec{v} = [-b,\, a]$ . Vis at vektorene står vinkelrett på hverandre.

Punktene $A(1, 0)$ , $B(5, 1)$ og $C(3, 4)$ er hjørner i en trekant. Fotpunktene til høydene fra hjørnene $A$ , $B$ og $C$ er $F_1$ , $F_2$ og $F_3$ . Se skissen nedenfor.

Trekant ABC med høyder og fotpunkter

Forklar at

l: \begin{cases} x = 3 - t \\ y = 4 + 4t \end{cases}

er en parameterframstilling for linja gjennom $C$ og $F_3$ .

Finn en parameterframstilling for linja gjennom $A$ og $F_1$ .

Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene $CF_3$ og $AF_1$ .

Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja gjennom $B$ og $F_2$ . Hvilken setning fra geometrien er dette et eksempel på?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Geometri

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Fem kort fra kortstokk kombinatorikk og betinget sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kortstokk består av 52 kort: 13 spar, 13 hjerter, 13 ruter og 13 kløver. Spar og kløver er svarte kort. Hjerter og ruter er røde kort.

Fra en kortstokk trekker vi tilfeldig ut 5 kort. I flere kortspill kalles disse 5 kortene en hånd.

Hvor mange mulige korthender er det?

Vi definerer følgende hendelser:

A: Korthånden består av 5 spar.
B: Korthånden består av 5 svarte kort.

Bestem $P(A)$ og $P(B)$ .

Finn $P(A|B)$ . Er hendelsene $A$ og $B$ uavhengige?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Polynomdrøfting fra derivertgraf med integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten Alternativ I eller Alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

I denne oppgaven skal du drøfte en polynomfunksjon $f$ av tredje grad. På figuren har vi tegnet grafen til den deriverte av funksjonen.

Graf av f'(x)

Bruk grafen til $f'$ til å avgjøre hvor funksjonen $f$ vokser og hvor den avtar.

Bruk grafen til $f'$ til å finne førstekoordinaten til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$ .

Bruk grafen til $f'$ til å finne et funksjonsuttrykk for $f'$ .

Grafen til $f$ går gjennom origo. Forklar at

f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x

Tegn grafen til $f$ når $x \in \langle 0, 4 \rangle$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graftolkning

Oppgave 2-4 : Likebeint trekant innskrevet i sirkel areal og optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten Alternativ I eller Alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

Figuren nedenfor viser en likebeint trekant $ABC$ innskrevet i en sirkel med sentrum $S$ og radius 1. Linjestykket $CD$ er en høyde i trekanten. Vi setter $SD = x$ .

Likebeint trekant ABC innskrevet i enhetssirkel

Forklar at arealet $F$ av trekanten $ABC$ er gitt ved

F(x) = (1 + x)\sqrt{1 - x^2}

Tegn grafen til $F$ . Bruk grafen til å finne det største arealet av trekanten $ABC$ .

Vis at $x = \dfrac{1}{2}$ er en løsning av likningen $F'(x) = 0$ . Kommenter svaret.

Regn ut lengden av sidene i trekanten $ABC$ når $x = \dfrac{1}{2}$ . Kommenter svaret.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon, Geometri, Sirkel

Oppgave 2-5 : Tre tangerende sirkler og sammenheng mellom radiene

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre sirkler med sentre i $S_1$ , $S_2$ og $S_3$ har radiene $a$ , $b$ og $c$ . Alle sirklene tangerer linja $l$ . Tangeringspunktene er $A$ , $B$ og $C$ . Sirklene tangerer hverandre parvis i punktene $D$ , $E$ og $F$ , slik figur 1 viser.

Tre tangerende sirkler – figur 1

Forklar at $S_1S_2 = a + b$ . Finn også $S_1S_3$ og $S_2S_3$ uttrykt ved radiene.

Bruk Pytagoras og vis at $AC = 2\sqrt{ab}$ . Se figur 2.

Pytagoras-figur for AC – figur 2

Vis på tilsvarende måte at $AB = 2\sqrt{ac}$ og $BC = 2\sqrt{bc}$ .

Bruk resultatene fra b) og c) til å vise følgende sammenheng mellom radiene i sirklene:

\frac{1}{\sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}

Vi setter $a = b = r$ . Finn $c$ uttrykt ved $r$ .

Konstruer figuren når $r = 4 \mathrm{~cm}$ , enten med passer og linjal eller med dynamisk programvare. Forklar hvordan du har utført konstruksjonen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Sirkel, Bevis, Konstruksjon

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2008

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon polynomdivisjon grenseverdi og logaritme R1 V08

Oppgave 1-2 : Ortosenter i trekant med vektorer og parameterframstilling

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Fem kort fra kortstokk kombinatorikk og betinget sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Polynomdrøfting fra derivertgraf med integrasjon

Oppgave 2-4 : Likebeint trekant innskrevet i sirkel areal og optimering

Oppgave 2-5 : Tre tangerende sirkler og sammenheng mellom radiene

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave