R1 Vår 2012

LK06 11 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 11 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2012 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 3 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon og logaritmeuttrykk med polynomdivisjon og vektorer	—
2	Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall	—
3	Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
4	Vinkler og parallellogram med tre punkter i planet	—
5	Sirkellikning for to punkter med diameter	—
6	Parameterframstilling linje skjæringspunkter og avstand til punkt	—
7	Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint	—
8	Firkant innskrevet i sirkel med innskrevet vinkel og nabovinkelbetingelse	—
9	Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf	—
10	Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal	—
11	Aktivitetsdag betinget sannsynlighet og værmelding	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon og logaritmeuttrykk med polynomdivisjon og vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene gitt ved

f(x) = 5x^3 + x - 4

g(x) = 5e^{3x}

Skriv så enkelt som mulig

2\ln\!\left(\frac{a^2}{b}\right) + \ln(ab) - 3\ln a

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 - 3x$

Bestem nullpunktene til $f$ .

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter til grafen til $f$ .

Tegn grafen til $f$ .

Polynomet $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$ er gitt. Heltallige løsninger av likningen $P(x) = 0$ går opp i konstantleddet.

Bruk dette til å finne en løsning av $P(x) = 0$ og polynomdivisjon til å finne de andre løsningene.

Posisjonsvektoren til en ball er gitt ved $\vec{r}(t) = \left[\, 3{,}0t \;,\; -4{,}9t^2 \,\right]$

Bestem fartsvektoren og akselerasjonsvektoren.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 12
Temaer: Derivasjon, Logaritmer, Polynomdivisjon, Vektorer

Oppgave 1-2 : Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Likningen for en rett linje er på formen $y = ax + b$

Forklar at $\left[\, 1,\, a \,\right]$ er en retningsvektor for linjen.

To rette linjer med stigningstall $a_1$ og $a_2$ står vinkelrett på hverandre. Vis at da er

a_1 \cdot a_2 = -1

Bestem likningen for en rett linje som står vinkelrett på $y = 2x - 1$ og som skjærer $y$ -aksen i $y = 5$ .

Tegn de to linjene fra c) inn i samme koordinatsystem.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Vektorer, Stigningstall, Lineære funksjoner

Oppgave 1-3 : Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til f(x)=1/x med tangent i punktet (a, f(a)) og akseskjæringspunktene A og B

Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f(x) = \dfrac{1}{x}$ og en tangent i punktet $\left(a,\, f(a)\right)$ .

Vis at likningen for tangenten er

y = -\frac{1}{a^2} \cdot x + \frac{2}{a}

Tangenten skjærer koordinataksene i $A$ og $B$ .

Bestem koordinatene til $A$ og $B$ .

Bestem arealet av $\triangle OAB$ . Kommenter svaret.

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Tangent, Derivasjon, Areal, Omvendt proporsjonalitet

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-4 : Vinkler og parallellogram med tre punkter i planet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A(-3,\,-2)$ , $B(6,\,3)$ og $C(2,\,4)$

Bestem $\angle BAC$ ved å bruke vektorregning.

Bestem koordinatene til et punkt $D$ slik at $\square ABCD$ blir et parallellogram.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Prikkprodukt, Geometri

Oppgave 2-5 : Sirkellikning for to punkter med diameter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(2,\,4)$ og $B(4,\,2)$ ligger på en sirkel slik at $AB$ er diameter til sirkelen.

Vis ved regning at likningen til sirkelen er $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 2$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Sirkel, Geometri, Bevis

Oppgave 2-6 : Parameterframstilling linje skjæringspunkter og avstand til punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem en parameterframstilling for en rett linje $l$ som går gjennom punktene $E(2,\,4)$ og $F(7,\,-1)$ .

Bestem skjæringspunktene mellom $l$ og koordinataksene.

Bestem ved regning avstanden fra punktet $G(6,\,3)$ til $l$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Parameterframstilling, Vektorer, Geometri

Oppgave 2-7 : Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til f(x) med trekanten OAB der A=(x,0) og B=(x, f(x))

Figuren viser en del av grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \frac{5}{2} e^{-\frac{x}{2}} \quad , \quad x > 0

Vis at arealet av $\triangle OAB$ er gitt ved

g(x) = \frac{5}{4} x \cdot e^{-\frac{x}{2}}

Bestem det største arealet som $\triangle OAB$ kan ha.

Bruk digitalt verktøy til å bestemme $x$ slik at trekanten er likebeint.

Hvor stort er arealet da?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Optimering, Areal

Oppgave 2-8 : Firkant innskrevet i sirkel med innskrevet vinkel og nabovinkelbetingelse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Firkanten ABCD innskrevet i sirkel med vinklene α og β markert

På skissen ovenfor er $\square ABCD$ innskrevet i en sirkel.

$\angle A = \alpha$ , og nabovinkelen til $\angle C$ kalles $\beta$ . Buen $BCD = x$

Forklar at $\alpha = \dfrac{x}{2}$

Forklar at $180° - \beta = \dfrac{1}{2}(360° - x)$

Vis at $\alpha = \beta$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Sirkel, Geometri, Bevis

Oppgave 2-9 : Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tegn grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 2(x+1)(x-1)(x-3)

På figur 1 er det tegnet en skisse av grafen til en annen funksjon $g$ .

Grafskisse av g med nullpunkter ved x=-2, 1, 3 og y-skjæring 12

Skriv funksjonsuttrykket $g(x)$ på samme form som i a).

På figur 2 er det tegnet en skisse av grafen til en tredje funksjon $h$ .

Grafskisse av h med nullpunkter ved x=-2 og x=2, og y-skjæring 4

Skriv funksjonsuttrykket $h(x)$ på samme form som ovenfor.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, Nullpunkter, Graf, Faktorisering

Oppgave 2-10 : Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kvartsirkel med radius 3 og kvadratet OABC der A er på x-aksen, B på kvartsirkelen og C på y-aksen

På skissen ovenfor er det tegnet en kvartsirkel med radius $3$ . $\square OABC$ er et kvadrat der $A$ ligger på $x$ -aksen, $B$ på kvartsirkelen og $C$ på $y$ -aksen.

Bestem lengden til diagonalen $AC$ .

Bestem arealet av det skraverte området.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sirkel, Areal, Geometri

Oppgave 2-11 : Aktivitetsdag betinget sannsynlighet og værmelding

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En skole vil arrangere aktivitetsdag. Det pleier å regne 8 % av dagene på denne tiden av året. Værmeldingen har vært korrekt 90 % av de dagene det faktisk regner. Når det har vært oppholdsvær, har meteorologene meldt regn 10 % av dagene.

Vi definerer hendelsene:

$A$ : Det regner på aktivitetsdagen

$B$ : Det er meldt regn på aktivitetsdagen

Bestem $P(A)$ og $P(\overline{A})$

Bestem $P(B \mid A)$ , $P(B \mid \overline{A})$ og $P(B)$

Det er meldt regn den dagen skolen ønsker å arrangere aktivitetsdag.

Bestem sannsynligheten for at det ikke regner denne dagen selv om det altså er meldt regn.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2012

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon og logaritmeuttrykk med polynomdivisjon og vektorer

Oppgave 1-2 : Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall

Oppgave 1-3 : Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-4 : Vinkler og parallellogram med tre punkter i planet

Oppgave 2-5 : Sirkellikning for to punkter med diameter

Oppgave 2-6 : Parameterframstilling linje skjæringspunkter og avstand til punkt

Oppgave 2-7 : Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint

Oppgave 2-8 : Firkant innskrevet i sirkel med innskrevet vinkel og nabovinkelbetingelse

Oppgave 2-9 : Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf

Oppgave 2-10 : Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal

Oppgave 2-11 : Aktivitetsdag betinget sannsynlighet og værmelding

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave