Fysikk 2 Vår 2021

Magnetisk fluks er $\mathrm{\Phi }=BA$, altså flukstetthet (tesla) ganger areal (kvadratmeter), og har derfor enheten $\mathrm{T}{\mathrm{m}}^2=\mathrm{Wb}$. Magnetisk flukstetthet har enheten $\mathrm{T}$, spenning $\mathrm{V}$ og strøm $\mathrm{A}$.

For å strekke fjæra må vi bruke en kraft like stor som fjærkraften, $F=kx$. Arbeidet er integralet av kraften langs strekningen, fra forlengelsen $x=a$ til $x=b$: $W={\displaystyle {\int }_a^{b}kx\mathrm{d}x=\frac{1}{2}k(b^2-a^2)}$. Grensene i B gir et negativt arbeid, og i C og D integreres den potensielle energien $\frac{1}{2}k{x}^2$ i stedet for kraften.

Klossen påvirkes av tyngdekraften (loddrett ned), normalkraften (vinkelrett ut fra planet) og friksjonskraften. Friksjonen virker mot bevegelsesretningen, altså oppover langs skråplanet. Det finnes ingen egen kraft nedover langs planet; det er bare komponenten av tyngdekraften, som A og B dermed tegner to ganger. C har bare en kraft nedover langs planet og mangler friksjonskraften oppover. Figur D viser de tre kreftene. Siden farten avtar, peker kraftsummen oppover langs planet, så friksjonskraften må være større enn komponenten av tyngdekraften langs planet.

Ballen er i likevekt under tyngdekraften $mg$ (ned), kraften $F$ fra luftstrømmen (horisontal) og snordraget $S$ (langs snora). Loddrett: $S\cos \theta =mg$. Vannrett: $S\sin \theta =F$. Deler vi den andre likningen på den første, får vi $\tan \theta ={\displaystyle \frac{F}{mg}}$, altså $F=mg\tan \theta$.

Energibevaring fra slippunktet til bunnen: $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$ gir $v^2=2g\cdot \frac{1}{2}l=gl$. I bunnen virker snordraget oppover og tyngden nedover, og summen av dem er sentripetalkraften mot opphengspunktet: $S-mg={\displaystyle \frac{m{v}^2}{l}}=mg$. Dermed er $S=2mg$.

Feltet mellom platene er homogent med $E={\displaystyle \frac{U}{d}}$, så den elektriske kraften på kula er horisontal og har størrelsen $F_{\mathrm{e}}=qE={\displaystyle \frac{qU}{d}}$. Kula henger i ro under tyngden, snordraget og den elektriske kraften, så $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{F_{\mathrm{e}}}{mg}}={\displaystyle \frac{qU}{mgd}}$. Løser vi for $q$, får vi $q={\displaystyle \frac{mgd\tan \alpha }{U}}$.

Flytiden bestemmes bare av den vertikale bevegelsen, som er uavhengig av den horisontale. Jo større startfart oppover, desto lenger tid går det før steinen treffer bakken. Rett opp er hele $v_0$ vertikal fart oppover, ved $45°$ er den $v_0\sin 45°$, og horisontalt er den null. Kastet rett opp gir derfor lengst flytid.

Om prosjektilet unnslipper, avgjøres av den mekaniske energien: det unnslipper når $\frac{1}{2}m{v}^2-\gamma {\displaystyle \frac{Mm}{R}}\ge 0$. Både kinetisk og potensiell energi er skalarer som ikke avhenger av fartsretningen. Det horisontale prosjektilet starter på samme sted med samme fart, har dermed samme energi og unnslipper også. Banen krummer, men prosjektilet kommer ikke tilbake.

Feltet peker fra den positive nedre plata mot den negative øvre, så den elektriske kraften på den positive dråpen er rettet oppover. Dråpen går rett fram, så denne kraften balanserer tyngden: $q{\displaystyle \frac{U}{d}}=mg$. Banen bøyes nedover hvis den elektriske kraften blir mindre enn tyngden. Større avstand $d$ med samme spenning gir svakere felt og mindre kraft. Større ladning eller spenning gir større kraft oppover, og farten påvirker ikke kreftene.

Høyrehåndsregelen gir at begge lederne lager et felt ut av papirplanet i P: den venstre lederen (strøm nedover) har feltet ut av planet på sin høyre side, og den høyre lederen (strøm oppover) har feltet ut av planet på sin venstre side. Feltene er like store og har samme retning, så de adderes, og påstand 1 er feil. Ledere med motsatt rettet strøm frastøter hverandre, så påstand 2 er riktig.

Kraften på lederen er $\overrightarrow{F}=I\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$, som bare er forskjellig fra null når feltet har en komponent vinkelrett på strømmen. I A og B er feltet parallelt med ledningen (inn i eller ut av planet), så kraften er null. Med strømmen ut av planet og feltet mot høyre gir høyrehåndsregelen kraft oppover, som i D. I C peker feltet mot venstre, og da peker kraften nedover.

Protonet kommer inn mot venstre og bøyes nedover, så kraften i inngangspunktet peker nedover, mot sentrum av banen. Med $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ og positiv ladning krever det et felt inn i papirplanet. Den magnetiske kraften er sentripetalkraft: $qvB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$ gir $r={\displaystyle \frac{mv}{qB}}$. For den nye partikkelen blir $r={\displaystyle \frac{4m\cdot v}{2e\cdot B}}=2\cdot {\displaystyle \frac{mv}{eB}}$, altså dobbelt så stor radius som for protonet.

Feltlinjene går ut fra nordpolen og inn i sørpolen. Det samlede feltet i P peker opp mot venstre, så feltet fra den vannrette magneten må peke mot venstre og feltet fra den loddrette magneten må peke opp. Den vannrette magneten ligger til venstre for P, og feltet i P peker mot den når sørpolen er nærmest P. Den loddrette magneten ligger under P, og feltet peker opp (bort fra magneten) når nordpolen er nærmest P. Begge deler stemmer bare i B.

Den induserte spenningen er $\epsilon =-{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{\Phi }}{\mathrm{d}t}}$, så absoluttverdien er bratthetten til fluksgrafen ved $t_0$. A har et stort, konstant stigningstall. B har et bunnpunkt ved $t_0$, der stigningstallet er null. C er konstant og gir ingen indusert spenning, og D er nesten flat ved $t_0$. Graf A gir størst spenning.

Etter Lenz’ lov går den induserte strømmen slik at magnetfeltet fra strømmen motvirker endringen i fluksen. Pila på forsiden av sløyfa peker mot venstre i begge figurene, som betyr strøm med klokka sett ovenfra.

• På vei inn nærmer nordpolen seg, og fluksen nedover gjennom sløyfa øker. Strømmen må lage et felt oppover, altså gå mot klokka sett ovenfra. Figuren er feil.
• På vei ut er sørpolen under sløyfa og fjerner seg. Feltet gjennom sløyfa peker fortsatt nedover (inn mot sørpolen), men blir svakere. Strømmen må lage et felt nedover, altså gå med klokka sett ovenfra. Figuren er riktig.

Elektronene akselereres gjennom spenningen $U$ og får den kinetiske energien $eU$. Når de bremses opp i metallplata, sendes det ut røntgenfotoner (bremsestråling). Et foton kan høyst få hele energien til elektronet: $h{f}_{\text{maks}}=eU$, som gir $f_{\text{maks}}={\displaystyle \frac{eU}{h}}$. I A og B er det feil partikkel som treffer plata, og i B og D er brøken snudd.

I Einsteins forklaring gir hvert foton hele energien sin $hf$ til ett enkelt elektron, så påstand 1 er feil. Elektronet rives løs bare hvis fotonenergien er større enn løsrivingsarbeidet $W$, altså når frekvensen er større enn grensefrekvensen $f_0={\displaystyle \frac{W}{h}}$. Påstand 2 er riktig.

I fotoelektrisk effekt oppfører lyset seg som enkeltpartikler med energi $hf$ som hver løsriver ett elektron. I comptoneffekten støter et foton mot et elektron og overfører både energi og bevegelsesmengde, akkurat som i et støt mellom partikler. Interferens og avbøying av lys er derimot bølgefenomener.

Magnetisk resonans lages med radiobølger, ikke ultralyd: protoner i et sterkt magnetfelt absorberer fotoner med resonansfrekvensen, som ligger i radioområdet. Påstand 1 er feil. Når et proton absorberer et slikt foton, går spinnet over til den motsatte orienteringen i forhold til magnetfeltet, så magnetisk resonans påvirker spinnretningen. Påstand 2 er riktig.

Uskarpheten i bevegelsesmengden er $\mathrm{\Delta }p=\mathrm{0,50}\cdot \mathrm{5,0}\cdot {10}^{-26}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-26}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Uskarphetsrelasjonen $\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge {\displaystyle \frac{h}{4\pi }}$ gir $\mathrm{\Delta }x\ge {\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-35}\mathrm{J}\mathrm{s}}{\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-26}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{m}/\mathrm{s}}}=2\cdot {10}^{-9}\mathrm{m}$.

Se på reaksjonen i systemet der den samlede bevegelsesmengden til protonet og antiprotonet er null. Ett enkelt foton har alltid bevegelsesmengde $p={\displaystyle \frac{h}{\lambda }}\ne 0$, så bevegelsesmengden kan ikke være bevart. Ladning (0), baryontall ($1-1=0$) og leptontall (0) er bevart, og energien kan også bevares. Derfor dannes det minst to fotoner, som går i motsatt retning.

Ladning: $-1=-1+0+q_{\mathrm{x}}$ gir $q_{\mathrm{x}}=0$, som utelukker ${\mathrm{e}}^{+}$ og ${\tau }^{+}$. Elektronleptontallet er $1+(-1)=0$ etter henfallet, som før. Taulepton-tallet er $+1$ før henfallet og må være $+1$ etter, så x har taulepton-tall $+1$. Det er tau-nøytrinoet ${\nu }_{\tau }$ (antinøytrinoet ${\bar{\nu }}_{\tau }$ har $-1$).

I et treghetssystem gjelder Newtons 1. lov. Hannes pendel henger loddrett i ro, så snordraget og tyngden balanserer hverandre, og vogna har ingen akselerasjon: den er et treghetssystem. Andreas’ pendel henger skrått i ro, så snordraget har en horisontal komponent som gir kula (og vogna) en akselerasjon. Vogna hans akselererer og er ikke et treghetssystem.

Etter den generelle relativitetsteorien går klokker saktere jo dypere ned i et gravitasjonsfelt de er, så klokker på jordoverflata går saktere enn klokkene i satellittene. Aron har rett. Etter den spesielle relativitetsteorien går en klokke som beveger seg, saktere sett fra oss. Farten til satellittene gjør altså at satellittklokkene går saktere, ikke klokkene på jorda, så Noras forklaring er feil. For GPS-satellittene er gravitasjonseffekten størst, slik at klokkene i satellittene totalt sett går fortere.

Mens snora holder klossen i ro, virker det fire krefter: tyngdekraften $\overrightarrow{G}$ loddrett nedover, normalkraften $\overrightarrow{N}$ vinkelrett ut fra skråplanet, snordraget $\overrightarrow{S}$ oppover langs planet og friksjonskraften $\overrightarrow{R}$. Uten snor og friksjon ville klossen gli nedover, så den statiske friksjonen virker også oppover langs planet. Klossen er i ro, så kreftene langs planet balanserer: $S+R=G\sin 30°=\frac{1}{2}mg$. Med $S=R$ er hver av dem $\frac{1}{4}mg$, og normalkraften er $N=G\cos 30°$.

Etter at snora er klippet, virker $\overrightarrow{G}$, $\overrightarrow{N}$ og friksjonskraften $\overrightarrow{R}$, som nå er glidefriksjon rettet oppover planet. Klossen har ingen akselerasjon vinkelrett på planet, så

Newtons 2. lov langs planet, med positiv retning nedover:

Akselerasjonen er $\underline{\underline{a=\mathrm{2,5}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2}}$ nedover skråplanet.

Klossen starter fra ro og har konstant akselerasjon. Den tidløse bevegelseslikningen $v^2-v_0^2=2as$ med $v_0=0$ gir

Farten er $\underline{\underline{v=\mathrm{5,0}\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$.

Den eneste kraften på satellitten er gravitasjonskraften $\overrightarrow{G}$ fra planeten, rettet mot sentrum av planeten. Det er denne kraften som virker som sentripetalkraft; det finnes ingen egen kraft i fartsretningen eller utover.

Gravitasjonskraften er kraftsummen og gir satellitten sentripetalakselerasjonen ${\displaystyle \frac{v^2}{r}}$. For én runde er $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$:

Omløpstiden er $\underline{\underline{T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{\gamma M}}}}}$. Massen til satellitten faller bort.

Lyd er en kontinuerlig trykkvariasjon. En mikrofon gjør den om til et analogt elektrisk signal, og ved digitalisering måles signalet med jevne tidsmellomrom.

• Samplingsfrekvens er antall målinger (sampler) av signalet per sekund, målt i hertz. En CD bruker for eksempel $\mathrm{44,1}\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$, altså 44 100 målinger hvert sekund.
• For å gjengi en frekvens $f$ riktig må samplingsfrekvensen være større enn $2f$. Med $\mathrm{44,1}\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$ kan frekvenser opp til omtrent $22\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$ gjengis, som dekker det mennesker kan høre.
• Aliasing skjer når lyden inneholder frekvenser over halve samplingsfrekvensen. Da blir det for få målepunkter per svingning, og målepunktene passer like godt med en svingning med lavere frekvens. Den digitale lyden får en falsk, lavere tone som ikke fantes i den opprinnelige lyden. En tone på $30\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$ samplet med $\mathrm{44,1}\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$ blir for eksempel gjengitt som $\mathrm{44,1}\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}-30\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}=\mathrm{14,1}\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$.
• Aliasing unngås ved å filtrere bort frekvensene over halve samplingsfrekvensen før samplingen, eller ved å velge høy nok samplingsfrekvens.

Vi velger positiv retning mot høyre. Under støtet virker det ingen ytre krefter i horisontal retning, så den samlede bevegelsesmengden er bevart:

Fortegnet er negativt, så vogn A har snudd og beveger seg mot venstre: $\underline{\underline{v_{\mathrm{A}}^{\prime }=\mathrm{0,40}\mathrm{m}/\mathrm{s}\text{ mot venstre}}}$.

Støtet er elastisk bare hvis den kinetiske energien er bevart. Før støtet:

Etter støtet:

Den kinetiske energien minker fra $16\mathrm{J}$ til $\mathrm{6,4}\mathrm{J}$, så $\underline{\underline{\text{støtet er ikke elastisk}}}$. Den tapte energien går over til blant annet indre energi og lyd.

Uten friksjon er den mekaniske energien bevart. Når klossen forlater fjæra, er all elastisk energi i fjæra blitt kinetisk energi:

Farten på det horisontale underlaget er $\underline{\underline{v_0=\mathrm{3,4}\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$.

Øverst i loopen er klossen $2r$ over underlaget. Energibevaring gir farten der:

Øverst i loopen virker tyngdekraften $\overrightarrow{G}$ og en eventuell normalkraft $\overrightarrow{N}$ fra underlaget. Begge peker nedover, mot sentrum av sirkelen, og summen av dem er sentripetalkraften:

Tyngden alene er ikke stor nok til å holde klossen i sirkelbanen ($v^2/r=\mathrm{19,6}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2>g$). Underlaget må derfor presse på klossen med en kraft $N>0$, altså har klossen kontakt med underlaget øverst i loopen.

At klossen akkurat mister kontakten, betyr at normalkraften er null øverst. Da er tyngdekraften den eneste kraften, og den alene gir sentripetalkraften:

Med tall er $v=\sqrt{\mathrm{0,20}\mathrm{m}\cdot \mathrm{9,81}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2}=\mathrm{1,40}\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Energibevaring fra sammenpresset fjær til toppen av loopen, med $v^2=rg$ øverst:

Sammenpressingen var $\underline{\underline{\mathrm{\Delta }x=\mathrm{9,1}\mathrm{c}\mathrm{m}}}$.

Når klossen slipper underlaget øverst, har den farten $v=\sqrt{rg}$ horisontalt mot venstre, og bare tyngdekraften virker på den. Det er et horisontalt kast: konstant fart horisontalt og fritt fall vertikalt. Fallhøyden er $2r$:

Horisontal forflytning i løpet av denne tiden:

Toppen av loopen ligger rett over P, så klossen treffer underlaget en avstand $2r$ fra P.

Blinken ligger i samme høyde som S, altså $r$ over underlaget og $r$ under toppen av loopen, og $3r$ til venstre for S. Klossen skal derfor falle en høyde $r$ mens den flytter seg $3r$ horisontalt:

Denne farten er større enn $\sqrt{rg}=\mathrm{1,40}\mathrm{m}/\mathrm{s}$, så klossen holder kontakten helt til toppen av loopen. Med $v^2=\frac{9}{2}rg$ gir energibevaring

Sammenpressingen må være $\underline{\underline{\mathrm{\Delta }x=12\mathrm{c}\mathrm{m}}}$.

For at partikkelen skal gå i sirkel, må den magnetiske kraften hele tiden peke inn mot sentrum av banen. Øverst i banen går partikkelen mot høyre, så kraften må peke nedover. Kraften på en ladning i et magnetfelt er ${\overrightarrow{F}}_B=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$. For en positiv ladning med farten mot høyre gir høyrehåndsregelen en kraft nedover bare når $\overrightarrow{B}$ peker ut av papirplanet.

Den magnetiske kraften ${\overrightarrow{F}}_B=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ er alltid vinkelrett på fartsretningen. Kraften har derfor ingen komponent langs banen, og arbeidet den gjør er null ($W=Fs\cos {90}^{\circ }=0$). Andre krefter ser vi bort fra. Etter arbeid–energi-setningen er da den kinetiske energien, og dermed banefarten, konstant. Kraften endrer bare retningen på farten, ikke størrelsen.

Den magnetiske kraften er sentripetalkraften:

Omløpstiden er omkretsen delt på farten:

Omløpstiden er uavhengig av farten. Et helt omløp tar $\underline{\underline{T=\mathrm{2,6}\cdot {10}^{-6}\mathrm{s}}}$.

Partikkelen går rett fram når den elektriske kraften ${\overrightarrow{F}}_E=q\overrightarrow{E}$ og den magnetiske kraften ${\overrightarrow{F}}_B$ er like store og motsatt rettet. Magnetfeltet er det samme som før, ut av papirplanet. Går partikkelen mot høyre, peker ${\overrightarrow{F}}_B$ nedover, så ${\overrightarrow{F}}_E$ må peke oppover. Ladningen er positiv, så $\overrightarrow{E}$ har samme retning som ${\overrightarrow{F}}_E$: det elektriske feltet peker oppover, vinkelrett på både farten og magnetfeltet.

Farten finner vi fra baneradien i c:

Kreftene skal balansere:

Feltstyrken er $\underline{\underline{E=59\mathrm{V}/\mathrm{m}}}$.

Arealet av sløyfa er $A={(\mathrm{0,050}\mathrm{m})}^2=\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}}^2$. Magnetfeltet er vinkelrett på sløyfeplanet, så fluksen er $\mathrm{\Phi }=BA$. Etter Faradays induksjonslov er den gjennomsnittlige indusert ems lik fluksendringen per tid: