Fysikk 2 Høst 2023

Massen regnes ut som et produkt og en kvotient av målte størrelser. Da legger vi sammen de relative usikkerhetene, også for $v$ som står i nevneren ($q$ er en kjent konstant uten usikkerhet):

Flytiden bestemmes av den vertikale bevegelsen. Kula bruker tiden ${\displaystyle \frac{v\sin \alpha }{g}}$ opp til toppunktet og like lang tid ned, så $t_0={\displaystyle \frac{2v\sin \alpha }{g}}$ og $t_1={\displaystyle \frac{2v\sin (2\alpha )}{g}}$. Forholdet er

Når $0°<\alpha <45°$, er $\cos \alpha >\cos 45°={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, så $2\cos \alpha >\sqrt{2}>1$. Altså er $t_1>t_0$: den største vinkelen gir større vertikal startfart og dermed lengre flytid.

Når ballen slippes, har den bilens fart $v$ i fartsretningen i tillegg til farten ut til siden. Uten luftmotstand virker bare tyngdekraften på ballen, og den er vertikal. Farten i bilens fartsretning holder seg derfor lik $v$, og ballen flytter seg like langt framover som bilen. Den lander rett ut til siden for bilen, som i C. For at ballen skulle havne foran bilen (D) eller bak den (A og B), måtte det virket en horisontal kraft i fartsretningen.

Det er vindstille, så i forhold til lufta beveger ballen seg framover med farten $v$ og ut til siden. Luftmotstanden virker mot fartsretningen og bremser farten framover, mens bilen holder konstant fart. Ballen kommer derfor kortere fram enn bilen og lander bak den. Luftmotstanden kan bare bremse, ikke snu bevegelsen framover, så ballen lander likevel foran stedet der den ble kastet. Det passer med B.

Vi velger positiv retning oppover skråplanet og kaller hellingsvinkelen $\alpha$. På vei opp virker både tyngdekraftkomponenten langs planet og friksjonen nedover planet. På vei ned virker friksjonen oppover planet, mot bevegelsen:

Begge akselerasjonene er konstante, så grafen består av to rette linjestykker (ikke krumme som i B og D). Siden $|a_1|>|a_2|$, er grafen brattest før klossen snur og slakere etter at farten har skiftet fortegn. Det passer med A. Graf C har brattheten motsatt vei.

Banefarten er konstant, men retningen på farten endrer seg hele tiden. Kula har derfor sentripetalakselerasjonen $a={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$ inn mot sentrum, og etter Newtons 2. lov er kraftsummen $\mathrm{\Sigma }F=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$ rettet inn mot sentrum. Kraftsummen kan ikke være null (A), for da ville kula gått rett fram, og en kraftkomponent parallelt med farten (D) ville endret banefarten.

Med konstant banefart må kraftkomponenten inn mot sentrum være ${\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$, like stor i alle posisjoner. Normalkraften peker alltid inn mot sentrum, mens tyngdekraften peker nedover. Normalkraften må derfor dekke det tyngdekraften ikke bidrar med inn mot sentrum:

• Posisjon 1 (toppen): tyngdekraften peker inn mot sentrum, så $N_1={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}-mg$.
• Posisjon 2 (mellom toppen og siden): bare en del av tyngdekraften peker inn mot sentrum, så $N_2={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}-mg\cos \phi$, der $\phi$ er vinkelen fra toppen. Dermed er $N_1<N_2<{\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$.
• Posisjon 4 (siden): tyngdekraften er tangentiell og bidrar ikke inn mot sentrum, så $N_4={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$.
• Posisjon 3 (bunnen): tyngdekraften peker ut fra sentrum, så $N_3={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}+mg$.

Fra minst til størst: 1, 2, 4, 3.

Gravitasjonskraften på astronauten er $G=\gamma {\displaystyle \frac{Mm}{d^2}}$ (alternativ C, som inneholder $m$). Gravitasjonsfeltstyrken er kraften per masse: $g={\displaystyle \frac{G}{m}}={\displaystyle \frac{\gamma M}{d^2}}$, altså A. Uttrykket har enheten $\mathrm{N}/\mathrm{k}\mathrm{g}$ og avhenger ikke av astronautens masse. Den potensielle energien er $E_p=-\gamma {\displaystyle \frac{Mm}{d}}$, og unnslipningsfarten er $\sqrt{{\displaystyle \frac{2\gamma M}{d}}}$.

Legemet er i ro i forhold til planeten, men følger rotasjonen i en sirkelbane med radius $R$. Kraftsummen er derfor ikke null (D), men peker inn mot sentrum. På legemet virker gravitasjonskraften $G=\gamma {\displaystyle \frac{mM}{R^2}}$ inn mot sentrum og normalkraften $N={\displaystyle \frac{1}{2}}G$ ut fra sentrum:

Kraften på partikkel A er gitt ved Coulombs lov, $F_{\mathrm{e}}=k_{\mathrm{e}}{\displaystyle \frac{Qq}{r^2}}$, og Newtons 2. lov gir akselerasjonen $a={\displaystyle \frac{F_{\mathrm{e}}}{m}}={\displaystyle \frac{k_{\mathrm{e}}qQ}{r^{2}m}}$. I Python blir det a = k*q*Q/(r**2*m). Begge ladningene er positive ($Q=2q$), så A frastøtes og $r$ øker fra $\mathrm{0,01}\mathrm{m}$, slik løkka forutsetter. Alternativ A og C bruker $r$ i stedet for $r^2$, og C og D mangler ladningen $q$ som kraften virker på.

Partikkelen bøyes av oppover, så den elektriske kraften på den peker oppover, motsatt av feltet. Siden ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{e}}=q\overrightarrow{E}$, må ladningen $q$ være negativ. Kraften peker oppover mens partikkelen flytter seg oppover, så kraften gjør et positivt arbeid og den kinetiske energien øker. Den horisontale farten er uendret, men partikkelen har fått en vertikal fartskomponent, så $v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}>v_0$.

Den elektriske kraften på elektronet er ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{e}}=-e\overrightarrow{E}$, altså konstant og rettet mot høyre. Den magnetiske kraften står alltid vinkelrett på farten og gjør derfor ikke noe arbeid (C er feil). Det er bare den elektriske kraften som endrer farten. Punktet R ligger lenger til venstre enn S, så mellom S og R flytter elektronet seg mot den elektriske kraften, og den gjør negativt arbeid. Elektronet har dermed mindre kinetisk energi og mindre fart i R enn i S, uansett hvilken vei det går (D).

Fordi farten endrer seg, endres også den magnetiske kraften $F=evB$ i størrelse og retning (B er feil), og den konstante elektriske kraften gjør at banen ikke blir en sirkel (A er feil).

Magnetfeltet peker ut av papirplanet, og begge partiklene kommer inn med fart mot høyre. For en positiv ladning gir høyrehåndsregelen for $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ en kraft nedover. Partikkel B bøyes nedover og er positiv, mens partikkel A bøyes oppover og må være negativ.

Den magnetiske kraften er sentripetalkraft: $|q|vB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$, så $r={\displaystyle \frac{mv}{|q|B}}$. Farten og feltet er like for begge, og banen til A har mye mindre radius enn banen til B. Med like store ladninger (som alternativene forutsetter) er radien proporsjonal med massen, så A har mindre masse enn $m$. Strengt tatt viser figuren bare at A har mindre $m/|q|$ enn B.

Alle fire punktene ligger på vinkelhalveringslinjene og er derfor like langt fra begge lederne. Med lik strøm gir lederne like sterke felt, $B=k_{\mathrm{m}}{\displaystyle \frac{I}{r}}$, i hvert punkt. Feltene er normale på planet, og feltet blir null der de peker motsatt vei. Etter høyrehåndsregelen peker feltet ut av planet på venstre side av en leder og inn i planet på høyre side, sett i strømretningen.

• Lederen som går fra nede til venstre mot oppe til høyre, har punkt 2 og 3 på venstre side og punkt 1 og 4 på høyre side.
• Lederen som går fra nede til høyre mot oppe til venstre, har punkt 1 og 2 på høyre side og punkt 3 og 4 på venstre side.

I punkt 2 og 4 peker feltene motsatt vei og opphever hverandre. I punkt 1 og 3 peker de samme vei og forsterker hverandre.

Etter Lenz’ lov går induksjonsstrømmen slik at magnetfeltet den lager, motvirker endringen i fluksen. Feltet peker inn i papirplanet. En strøm med klokka lager et felt inn i planet inni sløyfa, mens en strøm mot klokka lager et felt ut av planet.

• Situasjon 1: Sløyfa er på vei ut av feltet, så fluksen inn i planet minker. Den induserte strømmen lager felt inn i planet: med klokka.
• Situasjon 2: Lederen glir mot høyre, så arealet av kretsen og fluksen inn i planet øker. Den induserte strømmen lager felt ut av planet: mot klokka.
• Situasjon 3: Flukstettheten minker, så fluksen inn i planet minker. Den induserte strømmen lager felt inn i planet: med klokka.

En lengde er størst målt i systemet der den er i ro (egenlengden), og kortere målt av en observatør som beveger seg parallelt med den: $L={\displaystyle \frac{L_0}{\gamma }}$. Romskipet er i ro i forhold til romfareren, så $L_0$ er egenlengden og $L<L_0$. De to personene er i ro på jorda, så $D_0$ er egenlengden, og fra romskipet måles $D={\displaystyle \frac{D_0}{\gamma }}<D_0$. Situasjonen er symmetrisk: begge observatører måler den andres lengder forkortet.

Funksjonen returnerer

altså totalenergien minus hvileenergien, som er den kinetiske energien. Programmet plotter f_liste mot v_liste, altså kinetisk energi som funksjon av fart. Totalenergien (D) ville vært $\gamma m{c}^2$ uten å trekke fra $m{c}^2$, og bevegelsesmengden (C) er $\gamma mv$.

Ionet får kinetisk energi $E_k=qU$ fra spenningen. Større spenning gir større kinetisk energi, større fart og dermed større bevegelsesmengde $p$. De Broglie-bølgelengden er $\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}$, så den minker. Uten relativistiske effekter er $p=\sqrt{2mqU}$ og $\lambda ={\displaystyle \frac{h}{\sqrt{2mqU}}}$. Massen påvirker hvor stor bølgelengden er, men ikke at den minker når $U$ øker, så D er feil.

$|\mathrm{\Psi }{|}^2$ viser hvor sannsynlig det er å finne partikkelen ved ulike posisjoner. For partikkel A er sannsynligheten jevnt fordelt over hele området, mens den for partikkel B er samlet rundt midten av et like bredt område. Posisjonen til B er derfor bedre bestemt, og A har større uskarphet i posisjonen enn B. Påstand 1 er riktig.

Uskarphetsrelasjonen $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge {\displaystyle \frac{h}{4\pi }}$ sier at $\mathrm{\Delta }p$ ikke kan være null når $\mathrm{\Delta }x$ er endelig. Partikkel B har en begrenset uskarphet i posisjon, og må derfor også ha en uskarphet i bevegelsesmengde. Påstand 2 er feil.

Alfapartikkelen holdes inne av en energibarriere (fra den sterke kjernekraften og den elektriske frastøtingen) som er høyere enn energien den har. Klassisk kan den aldri komme over barrieren. I kvantefysikken strekker bølgefunksjonen seg gjennom barrieren, så det er en liten sannsynlighet for å finne partikkelen på utsiden. Dette kalles tunnelering. Comptoneffekt handler om fotoner som spres på elektroner, og lengdekontraksjon og tidsforlengelse hører til relativitetsteorien.

Hver kule påvirkes av tre krefter:

• tyngdekraften $\overrightarrow{G}$, rett nedover, med $G=mg$
• snordraget $\overrightarrow{S}$, langs snora mot opphengspunktet
• den elektriske kraften ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{e}}$ fra den andre kula, vannrett og bort fra den andre kula (like ladninger frastøter hverandre)

Kulene er i ro, så kraftsummen på hver kule er null. Hver snor danner vinkelen $\theta /2$ med loddlinja. Vi dekomponerer snordraget i en vertikal og en horisontal komponent:

Deler vi den andre likningen på den første, får vi $F_{\mathrm{e}}=mg\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$. Coulombs lov gir $F_{\mathrm{e}}=k_{\mathrm{e}}{\displaystyle \frac{Q^2}{r^2}}$, så

Hendelsen skjer på jorda, og Bror er i ro i forhold til den. Bror måler derfor egentiden $t_0$. Albert beveger seg i forhold til hendelsen og måler en forlenget tid $t=\gamma t_0$:

Bror måler at hendelsen tar $\underline{\underline{t_0=\mathrm{0,50}\mathrm{\mu }\mathrm{s}}}$.

Ifølge den generelle relativitetsteorien går klokker saktere jo sterkere gravitasjonsfelt de er i. Bror står på jordoverflaten i et sterkere gravitasjonsfelt enn Albert, som er langt unna jorda. Sett fra Albert går Brors klokke da saktere både på grunn av den relative farten og på grunn av gravitasjonen. Albert måler fortsatt $\mathrm{1,0}\mathrm{\mu }\mathrm{s}$, så forholdet mellom tidene blir større enn $\gamma$, og Bror måler en kortere tid enn $\mathrm{0,50}\mathrm{\mu }\mathrm{s}$.

Ifølge bølgemodellen for lys er energien spredt jevnt utover bølgen og øker med intensiteten. Da skulle vi vente at lys med hvilken som helst frekvens kan løsrive elektroner bare intensiteten er stor nok, og at elektronene får mer kinetisk energi når intensiteten øker. Forsøk viser noe annet:

• Det finnes en grensefrekvens. Lys med lavere frekvens løsriver ingen elektroner, uansett hvor sterkt det er.
• Den største kinetiske energien til elektronene avhenger bare av frekvensen. Sterkere lys gir flere elektroner, men ikke raskere elektroner.
• Elektronene løsrives med en gang lyset treffer, uten forsinkelse.

Dette kan bare forklares hvis lyset består av fotoner med energi $E_{\mathrm{f}}=hf$, der ett foton gir all energien sin til ett elektron. Einsteins likning $hf=W+E_k$ viser at bare fotoner med $hf\ge W$ kan løsrive elektroner, og at $E_k$ øker lineært med frekvensen. At lysets energi kommer i bestemte kvanter, er et kvantefysisk fenomen som klassisk fysikk ikke kan forklare.

Forsøket bygger på at en strømførende leder i et magnetfelt får en kraft $F=IlB$ som står normalt på både strømretningen og feltet.

• Oppsett: Koble den ene metallskinnen til plusspolen og den andre til minuspolen på spenningskilden (likespenning) med ledningene. Legg lederstaven på tvers over skinnene, slik at den lukker kretsen og strømmen går gjennom staven.
• Magnetfelt: Plasser en stavmagnet slik at feltet ved lederstaven står normalt på staven, helst vertikalt, for eksempel på høykant rett under staven med den ene polen opp (eller hold den over staven). Flere magneter med samme pol opp gir sterkere felt.
• Gjennomføring: Slå på spenningen kort og med lav spenning, siden kretsen nesten er en kortslutning. Staven begynner å rulle langs skinnene. Det viser at det virker en kraft på lederen.
• Kontroller:
  • Uten magnet blir staven liggende, så kraften skyldes magnetfeltet.
  • Bytter vi polene på spenningskilden eller snur magneten, ruller staven motsatt vei. Retningen stemmer med høyrehåndsregelen.
  • Større strøm eller sterkere felt gir større akselerasjon, altså større kraft.
  • Holder vi magneten slik at feltet går langs staven, blir det ingen kraft.

Den eneste kraften på satellitten er gravitasjonskraften fra jorda. Den peker inn mot sentrum av sirkelbanen og gir satellitten sentripetalakselerasjonen $a={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$. Newtons 2. lov gir

Med $r=12000\mathrm{k}\mathrm{m}=\mathrm{1,20}\cdot {10}^7\mathrm{m}$:

Farten økes i banens tangentretning, så farten står vinkelrett på radien i dette punktet. Da er $r_1=12000\mathrm{k}\mathrm{m}$ det nærmeste punktet i ellipsebanen, og det fjerneste punktet er $r_2=26000\mathrm{k}\mathrm{m}$.

I ellipsebanen virker bare gravitasjonskraften, som er konservativ, så den mekaniske energien er bevart. Den potensielle energien $E_{\text{p}}=-\gamma {\displaystyle \frac{Mm}{r}}$ er størst der $r$ er størst, så den kinetiske energien – og dermed farten – er minst i det fjerneste punktet:

Kontroll med Keplers 2. lov: I nærmeste og fjerneste punkt står farten vinkelrett på radien, så $v_1{r}_1=v_2{r}_2$ gir $v_2=\mathrm{6,74}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot {\displaystyle \frac{12000}{26000}}=\mathrm{3,11}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Satellitten starter i ro i avstanden $r=\mathrm{2,60}\cdot {10}^7\mathrm{m}$ fra jordsentrum og treffer jordoverflaten i avstanden $R=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6\mathrm{m}$. Uten luftmotstand er det bare gravitasjonskraften som gjør arbeid, så den mekaniske energien er bevart:

Merk at vi ikke kan bruke $v^2=2gh$ her, fordi gravitasjonsfeltstyrken endrer seg mye på veien ned.

Programmet bruker Eulers metode: tiden deles opp i små tidssteg $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{0,1}\mathrm{s}$, og i hvert steg regner vi som om akselerasjonen og farten er konstante.

Linje 9: Den eneste kraften på satellitten er gravitasjonskraften $G=\gamma {\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$, rettet mot jordsentrum. Newtons 2. lov gir akselerasjonen

Siden $a={\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}$, endrer farten seg med $\mathrm{\Delta }v\approx a\cdot \mathrm{\Delta }t$ i løpet av et kort tidssteg. Ny fart blir gammel fart pluss denne endringen: v = v + (gamma*M/r**2)*dt. Farten regnes positiv inn mot jorda. Akselerasjonen regnes ut på nytt i hvert steg fordi den øker når $r$ minker.

Linje 10: Her regnes den nye avstanden fra satellitten til jordsentrum ut. I løpet av tidssteget flytter satellitten seg strekningen $v\cdot \mathrm{\Delta }t$ inn mot jorda, så avstanden $r$ minker med $v\cdot \mathrm{\Delta }t$.

Løkka går så lenge $r>R$, det vil si til satellitten når jordoverflaten. Da skrives farten ut på linje 11.

Vi utvider programmet med en variabel t som øker med dt i hvert steg i løkka:

gamma = 6.67e-11
M = 5.974e24
R = 6371e3
r = 26000e3
v = 0
dt = 0.1
t = 0

while r > R:
    v = v + (gamma*M/r**2)*dt
    r = r - v*dt
    t = t + dt
print(v)
print(t)
print(t/60)

Utskrift:

9718.085490819298
6964.800000007806
116.08000000013011

Farten stemmer med svaret i c), så tidssteget er lite nok. Satellitten bruker

Med fast $\rho$ og $r$ er $P_{\text{maks}}=k\cdot v^3$, der $k$ er en konstant. Effekten er altså proporsjonal med tredje potens av vindfarten. Øker vindfarten med $10\%$, blir effekten

ganger så stor, altså $33\%$ større. Dobles vindfarten, blir effekten $2^3=8$ ganger så stor.

Fysisk kommer $v^3$ av to forhold: Den kinetiske energien per kilogram luft er proporsjonal med $v^2$, og massen av luft som passerer rotorflaten per sekund, $\rho \pi r^{2}v$, er proporsjonal med $v$.

Vi løser effektformelen for $v$:

Tuppen av rotorbladet går i en sirkel med radius $r=\mathrm{68,0}\mathrm{m}$. Tiden for én runde er

Energien som utvinnes i løpet av én runde, er

Siden $1\mathrm{k}\mathrm{W}\mathrm{h}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^6\mathrm{J}$, er dette

Verdien er

Skulle all den kinetiske energien i vinden tas ut, måtte lufta stå helt stille rett bak rotoren. Da ville lufta hope seg opp bak turbinen, og ny luft kunne ikke strømme gjennom rotorflaten – den ville i stedet strømme rundt turbinen. Lufta må derfor ha en viss fart igjen etter turbinen for å komme seg bort, og den tar med seg kinetisk energi. Teoretisk kan en vindturbin høyst hente ut omtrent $59\%$ av vindens kinetiske energi (Betz’ lov); faktoren $\mathrm{0,45}$ i formelen tar hensyn til dette.

I tillegg går noe av energien over til andre former på veien til elektrisk energi: friksjon i lagre og gir, varme i ledningene i generatoren (resistans) og virvler (turbulens) i lufta.

Ifølge Faradays induksjonslov er den induserte spenningen i én ledersløyfe ($N=1$)

Vi deriverer fluksen:

der $\epsilon$ er i volt. Den maksimale induserte spenningen er amplituden

Effektivverdien blir

For en ideell transformator uten energitap er forholdet mellom spenningene lik forholdet mellom antall vindinger:

Spenningen skal økes, så sekundærsiden har flest vindinger – omtrent 186 ganger så mange som primærsiden. (Med den uavrundede verdien $\mathrm{0,711}\mathrm{k}\mathrm{V}$ fra e) blir forholdet også $186$.)

Skråplanet ligger i $xy$-planet: $x$-aksen er vannrett langs foten av skråplanet, og $y$-aksen peker rett oppover skråplanet. Uten friksjon virker to krefter på klossen:

• tyngdekraften $\overrightarrow{G}$, rett nedover, med størrelse $mg$
• normalkraften $\overrightarrow{N}$, vinkelrett ut fra skråplanet

Vi dekomponerer tyngdekraften. Komponenten vinkelrett på skråplanet, $mg\cos \theta$, blir opphevet av normalkraften, siden klossen ikke akselererer ut av planet. Komponenten langs skråplanet, $mg\sin \theta$, peker nedover skråplanet, altså i negativ $y$-retning. Tyngdekraften har ingen komponent i $x$-retning, fordi $x$-aksen er vannrett.

Newtons 2. lov gir da akselerasjonen

rettet i negativ $y$-retning. Bevegelsen blir som et skrått kast, bare med $g/2$ i stedet for $g$.

Startfarten dekomponeres: $v_{0x}=v_0\cos \alpha$ og $v_{0y}=v_0\sin \alpha$. I $y$-retning er akselerasjonen $-{\displaystyle \frac{g}{2}}$, så

Klossen er nede igjen når $y=0$ og $t\ne 0$:

I $x$-retning er det ingen akselerasjon, så farten $v_0\cos \alpha$ er konstant:

Siden $y=0$ når klossen er nede, er avstanden fra startposisjonen lik $x$: $\underline{\underline{\mathrm{0,46}\mathrm{m}}}$.

Fra bevegelsen i $x$-retning har vi $x=v_0\cos \alpha \cdot t$, altså

Dette setter vi inn i uttrykket for $y(t)$ fra b):

Med $\alpha =45°$ er $\tan \alpha =1$ og ${\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$, så

Med $g=\mathrm{9,81}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ og $v_0=\mathrm{1,5}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ blir formelen $y=x-\mathrm{2,18}{x}^2$ (med $x$ og $y$ i meter). Vi regner ut formelverdiene og sammenligner med målingene: