2P Høst 2010

Vi runder av hver bordlengde til nærmeste hele meter (via nærmeste hundre centimeter) for å gjøre et overslag:

Vi runder prisen $\mathrm{8,95}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{m}$ opp til $9\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{m}$:

Andersen må betale omtrent $\underline{\underline{190\mathrm{kr}}}$.

Vi ganger tallfaktorene og potensene hver for seg:

Siden $15$ ikke er mellom $1$ og $10$, skriver vi om til standardform:

1) Av $30$ twistbiter liker Per $18$ av dem. Sannsynligheten for å trekke en Per liker, er

2) Sannsynligheten for at Ola liker en tilfeldig valgt twistbit, er $\mathrm{0,4}$. Antall twistbiter Ola liker, er da

Ett inntrinn pluss to opptrinn skal være omtrent $630\mathrm{mm}$, og inntrinnet er $340\mathrm{mm}$:

For å beholde samme kjøpekraft (reallønn) må den nominelle lønna i 2009 økes i samme takt som KPI har økt fra 2008 til 2009:

Sondre måtte altså tjene omtrent $1021100$ kroner i 2009 for å ha samme kjøpekraft som i 2008.

Den røde linja (far) er rett, som betyr at far holder jevn fart hele løpet. Far starter ved $t=0$ og bruker omtrent $17$–$18$ sekunder på de $100$ meterne.

Den blå kurven (Jens) starter først ved $t=3$ sekunder, i tråd med at far fikk et forsprang på $3$ sekunder. Kurven er buet og blir brattere utover i løpet, som betyr at Jens øker farten gjennom løpet (typisk for en sprinter). Rundt $t\approx 13$ sekunder og $s\approx 70$ meter krysser de to grafene hverandre — da har Jens tatt igjen far. Etter dette er den blå kurven brattere enn den røde linja, så Jens er raskere enn far resten av løpet.

Jens når $100$ meter etter om lag $16$ sekunder (altså etter ca. $13$ sekunder løping, siden han startet ved $t=3$), mens far bruker til sammen om lag $17$–$18$ sekunder. Selv om far fikk et forsprang på $3$ sekunder, vinner Jens løpet fordi han løper stadig raskere gjennom løpet, mens far holder jevn fart.

I ettpunktsperspektiv har vi bare ett forsvinningspunkt. Vi ser kassen skrått ovenfra, så vi tegner først den flaten av kassen som ligger nærmest oss, i sann størrelse (et rektangel). Deretter setter vi av forsvinningspunktet $F$ et stykke unna, og trekker hjelpelinjer (perspektivlinjer) fra hvert hjørne av det nære rektangelet til $F$. Den bakre, mindre flaten av kassen tegnes så et stykke inn på disse hjelpelinjene, med kanter parallelle med det nære rektangelets kanter.

Alle kantene som går “inn i” bildet (dybdekantene), skal — forlenget — gå gjennom det ene forsvinningspunktet $F$, mens kantene i det nære rektangelet tegnes i sann størrelse og form.

1) Vi skal finne det minste antallet elever $x$ slik at kostnaden per elev, ${\displaystyle \frac{6300}{x}}$, ikke blir mer enn $300$ kroner. Vi setter opp likningen for grensetilfellet:

Siden kostnaden per elev synker når antall elever øker, må minst $21$ elever bli med for at ingen skal betale mer enn $300$ kroner.

2) Kostnaden $K$ per elev når $x$ elever deler regningen på $6300$ kroner likt, er

1) Mette setter inn $10000$ kroner og får $4\%$ rente. Vekstfaktoren er $1+\mathrm{0,04}=\mathrm{1,04}$. Etter ett år har hun

2) Siden kontoen vokser med samme vekstfaktor $\mathrm{1,04}$ hvert år, får vi beløpet etter $x$ år ved å opphøye vekstfaktoren i $x$:

Pakken inneholder 13 kjøretimer og koster 16 900 kr. Anne hadde 21 kjøretimer, altså

ekstra timer utover pakken. Disse koster 550 kr per time, så tillegget blir

Totalprisen for Anne blir dermed

Anne betalte $\underline{\underline{21300\mathrm{kr}}}$ for kjøreopplæringen.

La $x$ være antall ekstra kjøretimer utover pakken. Totalprisen er da pakkeprisen pluss $550$ kr per ekstra time:

Vi løser likningen:

Jon hadde altså $22$ timer utover de $13$ som ligger i pakken:

Jon hadde $\underline{\underline{35\text{ kjøretimer}}}$.

Når verdien vokser med $5\%$ per måned, er vekstfaktoren $\mathrm{1,05}$.

1) Etter én måned:

2) Etter ett år (12 måneder) med samme vekstfaktor hver måned:

Etter én måned er aksjene verdt $\underline{\underline{10500\mathrm{kr}}}$, og etter ett år er de verdt $\underline{\underline{17\mathrm{958,56}\mathrm{kr}}}$.

Verdien endrer seg med tre ulike vekstfaktorer etter hverandre: $\mathrm{1,05}$ i 4 måneder, $\mathrm{1,03}$ i 3 måneder og $\mathrm{0,97}$ i 5 måneder. Sluttverdien blir da

Verdiøkningen i kroner blir

og i prosent av utgangsverdien

Verdien av aksjene steg altså med $\underline{\underline{\mathrm{1405,85}\mathrm{kr}}}$, tilsvarende $\underline{\underline{\mathrm{14,06}\%}}$.

Verdien i starten av det neste året er $V_b\approx 11\mathrm{405,85}\mathrm{kr}$, og den synker videre med vekstfaktor $\mathrm{0,97}$ per måned. Vi må finne antall måneder $n$ slik at verdien igjen er $10000\mathrm{kr}$:

Løser vi denne likningen, får vi $n\approx \mathrm{4,32}$. Etter 4 hele måneder er verdien fortsatt over $10000\mathrm{kr}$ ($\approx 10\mathrm{097,51}\mathrm{kr}$), mens den etter 5 måneder er under $10000\mathrm{kr}$ ($\approx \mathrm{9794,59}\mathrm{kr}$). Aksjene passerer derfor $10000\mathrm{kr}$ i løpet av den femte måneden.

Det gikk altså $\underline{\underline{5\text{ måneder}}}$ før Berits aksjer igjen var verdt $10000\mathrm{kr}$.

Vi bruker opplysningene til å fylle ut tabellen.

Det er $240$ medlemmer totalt. $45\%$ av dem er kvinner:

Av mennene ønsker $63$ ballbinge, altså ønsker $132-63=69$ menn ikke ballbinge. Til sammen ønsker $110$ av alle medlemmene ikke ballbinge, som gir $110-69=41$ kvinner som ikke ønsker ballbinge, og dermed $108-41=67$ kvinner som ønsker ballbinge.

Til sammen ønsker $63+67=130$ medlemmer ballbinge.

Av de $240$ medlemmene ønsker $130$ ballbinge:

Vi vet at det trukne medlemmet ønsker ballbinge, og skal finne sannsynligheten for at dette medlemmet er mann. Av de $130$ som ønsker ballbinge, er $63$ menn:

La $n$ være antall nye medlemmer som alle ønsker ballbinge, og som vil bli vervet. Da blir det totale antallet som ønsker ballbinge lik $130+n$, og det totale antallet medlemmer blir $240+n$. Kravet er at andelen som ønsker ballbinge, skal være minst $75\%$:

Fotballgruppa må derfor verve minst $\underline{\underline{200}}$ nye medlemmer som ønsker ballbinge, for at kravet fra styret skal innfris.

Vi framstiller de sju målingene $(0;\mathrm{1,00}),(1;\mathrm{1,25}),(2;\mathrm{1,55}),(3;\mathrm{1,94}),(4;\mathrm{2,46}),(5;\mathrm{3,04}),(6;\mathrm{3,83})$ i et koordinatsystem med antall år etter første måling på $x$-aksen og treets høyde i meter på $y$-aksen. Punktene er markert med rødt i figuren under (sammen med regresjonskurven fra c)).

Den prosentvise endringen fra året før regnes ut med formelen

For eksempel for år 1: ${\displaystyle \frac{\mathrm{1,25}-\mathrm{1,00}}{\mathrm{1,00}}}\cdot 100\%=\mathrm{25,0}\%$.

Tilsvarende utregning for de andre årene gir følgende tabell:

Den prosentvise endringen fra år til år er $\text{tilnærmet konstant}$, rundt $25\%$ hvert år. Når den prosentvise endringen er tilnærmet konstant fra periode til periode, vokser tallmaterialet eksponentielt (samme vekstfaktor hvert år). Jon bør derfor velge en $\text{eksponentiell modell}$, ikke for eksempel en lineær eller potensmodell.

Vi utfører eksponentiell regresjon på datapunktene fra tabellen i GeoGebra. Regresjonen gir modellen

der $x$ er antall år etter første måling, og $f(x)$ er treets høyde i meter. Startverdien $\mathrm{1,00}$ stemmer godt med at treet var $\mathrm{1,00}\mathrm{m}$ høyt ved første måling, og vekstfaktoren $\mathrm{1,25}$ svarer til den tilnærmet konstante årlige veksten på $25\%$ som vi fant i b).

Grafen til modellen er tegnet sammen med datapunktene i figuren i a) — kurven passer godt til punktene.

Modellen er laget ut fra data fra en periode på seks år ($x\in ⟨0,6⟩$), og kan derfor bare med sikkerhet brukes til å beskrive treets høyde $\text{i denne perioden}$.

Bakover i tid (før første måling, $x<0$) gir modellen at treets høyde nærmer seg, men aldri når, $0\mathrm{m}$ — funksjonen $f(x)\to 0$ når $x\to -\infty$, men blir aldri lik null. Dette er urimelig, siden et virkelig tre må ha startet å vokse fra en frø- eller spireplante med en bestemt (liten) starthøyde, ikke fra en uendelig fjern fortid.

Framover i tid (etter måleperioden, $x>6$) gir modellen urealistisk sterk vekst, fordi en eksponentiell modell øker uten grenser. For eksempel gir modellen $f(30)\approx 807\mathrm{m}$, noe som er helt urealistisk for et tre. I virkeligheten vil veksten avta etter hvert, og treets høyde vil flate ut mot en maksimal høyde (typisk for arten treet tilhører), ikke fortsette å øke med $25\%$ hvert år.

Modellen bør derfor ikke brukes til å si noe om treets vekst utenfor de seks årene den er basert på.

Vi velger to andre kvadrater enn Trines, og gjør de samme beregningene: kvadratets areal er side $\cdot$ side, rektangelets sider er $10\%$ mer og $10\%$ mindre enn kvadratets side, og forholdet er ${\displaystyle \frac{\text{areal rektangel}}{\text{areal kvadrat}}}$.

Kvadrat med side $5$ cm:

Rektangelets sider blir $5\cdot \mathrm{1,1}=\mathrm{5,5}$ og $5\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{4,5}$:

Kvadrat med side $10$ cm:

Rektangelets sider blir $10\cdot \mathrm{1,1}=11$ og $10\cdot \mathrm{0,9}=9$:

Den utfylte tabellen blir:

For et kvadrat med side $a$ er arealet

Rektangelets sider er $10\%$ mer og $10\%$ mindre enn $a$, altså $\mathrm{1,1}a$ og $\mathrm{0,9}a$:

Forholdet mellom arealene blir dermed

Resultatet er uavhengig av $a$. Uansett hvor stort kvadratet er, blir arealet av rektangelet alltid $1\%$ mindre enn arealet av kvadratet. Det er fordi den ene siden økes med $10\%$ og den andre reduseres med $10\%$ av samme utgangsverdi $a$ – økningen og reduksjonen “veier” ikke likt når de multipliseres sammen, siden $\mathrm{1,1}\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{0,99}\ne 1$.

Muren skulle opprinnelig være et kvadrat med side $x$. Øyvind reduserte høyden med $10\%$ til $\mathrm{0,9}x$ og økte lengden med $10\%$ til $\mathrm{1,1}x$. Vi bruker resultatet fra b): arealet av den nye sideflaten blir $\mathrm{0,99}\cdot x^2$, og dette er oppgitt til $\mathrm{8,91}{\mathrm{m}}^2$:

Da blir lengden og høyden til muren:

Kontroll: $\mathrm{3,3}\cdot \mathrm{2,7}=\mathrm{8,91}{\mathrm{m}}^2$, som stemmer med det oppgitte arealet.

Muren ble $\underline{\underline{\mathrm{3,3}\mathrm{m}}}$ lang og $\underline{\underline{\mathrm{2,7}\mathrm{m}}}$ høy.

Osten har form som en sylinder med diameter $\mathrm{34,0}$ cm, altså radius

og høyde $h=\mathrm{4,0}$ cm. Volumet av en sylinder er $V=\pi r^{2}h$:

Volumet av osten er $\underline{\underline{V\approx 3632\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}$.

Skorpen ligger som et $2$ mm $=\mathrm{0,2}$ cm tykt sjikt langs sideflaten av sylinderen. Den indre osten (uten skorpe) er da en sylinder med samme høyde, men med radius $\mathrm{0,2}$ cm mindre:

Volumet av den indre osten blir

Volumet av skorpen er differansen mellom det totale volumet og volumet uten skorpe:

Andelen av osten som er skorpe:

Skorpen utgjør altså $\underline{\underline{\approx \mathrm{2,3}\%}}$ av hele osten.

Osten veier $\mathrm{3,0}$ kg $=3000$ g totalt. Gunnar kjøper $250$ g, som er en brøkdel av hele osten:

Siden ostestykket er formet som en sirkelsektor av den runde osten, utgjør samme brøkdel av de $360°$ i en hel sirkel vinkelen til sektoren:

Sirkelsektoren er $\underline{\underline{30°}}$.