2P Vår 2010

Vi gjør et overslag: $\mathrm{41,5}$ liter $\approx 40$ liter, og $\mathrm{509,62}$ kr $\approx 500$ kr.

Prisen på bildet er $\mathrm{12,28}$ kr/liter for bensin (95) og $\mathrm{10,91}$ kr/liter for diesel (D). Overslaget vårt på $\mathrm{12,5}$ kr/liter ligger tettest opp til bensinprisen.

$\underline{\underline{\text{Liv har en bil som bruker bensin (95).}}}$

Vi bruker regnerekkefølgen: parentes og potenser først, deretter multiplikasjon, til slutt subtraksjon.

$\underline{\underline{3}}$

$\underline{\underline{\mathrm{9,0}\cdot {10}^3}}$

Bilens verdi avtar med $14\%$ per år, så vekstfaktoren er $1-\mathrm{0,14}=\mathrm{0,86}$. Verdien om 3 år finner vi ved å multiplisere dagens verdi med vekstfaktoren 3 ganger:

$\underline{\underline{240000\cdot {\mathrm{0,86}}^3\mathrm{kr}}}$

1) Datamaterialet består av 20 karakterer. Vi teller opp hvor mange ganger hver verdi forekommer, og legger sammen frekvensene fortløpende for å få kumulativ frekvens:

2) Medianen er gjennomsnittet av den 10. og 11. verdien når de 20 verdiene sorteres. Av den kumulative frekvensen ser vi at både den 10. og den 11. verdien er 4 (siden verdiene fra og med den 9. til og med den 13. alle er 4).

Gjennomsnittet finner vi ved å summere alle karakterene og dele på antallet:

$\underline{\underline{\text{median}=4,\text{gjennomsnitt}=\mathrm{3,75}}}$

Trekant $ADB$ og trekant $BEC$ er formlike, fordi begge er rettvinklede trekanter med hypotenusen langs samme rette linje gjennom $A$, $B$ og $C$ (samme stigningsforhold).

1) I trekant $ADB$ bruker vi Pytagoras’ setning til å finne $AB$:

$\underline{\underline{AB=10\mathrm{m}}}$

2) Siden trekantene er formlike, er forholdet mellom katetene det samme i begge trekanter:

$\underline{\underline{BE=\mathrm{1,5}\mathrm{m}}}$

1) Vi leser av grafen ved $t=2$ minutter. Kurven går gjennom omtrent $(2;\mathrm{2,4})$.

Høyden til vannoverflaten etter 2 minutter er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{2,4}\mathrm{dm}}}$. (En avlesning i intervallet $\mathrm{2,2}$–$\mathrm{2,6}$ dm er også godkjent.)

2) Grafen har markert punktet $(\mathrm{5,8};\mathrm{6,0})$, altså at høyden er $\mathrm{6,0}$ dm etter $\mathrm{5,8}$ minutter. Vi gjør om desimaldelen av minuttallet til sekunder:

Det tar $\underline{\underline{5\text{ minutter og }48\text{ sekunder}}}$ før høyden til vannoverflaten er $\mathrm{6,0}$ dm.

Per: Kostnaden består av et fast beløp (uavhengig av bruk) pluss en kostnad som øker jevnt med antall minutter. Dette gir en rett linje som ikke går gjennom origo, siden det alltid må betales den faste kostnaden selv om man ringer 0 minutter.

Kari: Prisen er proporsjonal med antall kilo epler — dobbelt så mange kilo gir dobbelt så høy pris. Dette gir en rett linje gjennom origo: kjøper hun 0 kg, betaler hun 0 kr.

Grete: Jo flere personer som spleiser, jo mindre må hver enkelt betale. Totalprisen er konstant og deles på antall personer, så kostnaden per person avtar raskt først og flater deretter ut — en fallende kurve som aldri når 0.

En størrelse $y$ er proporsjonal med $x$ dersom $y=k\cdot x$ for en konstant $k$ — grafen er da en rett linje gjennom origo, og forholdet ${\displaystyle \frac{y}{x}}$ er konstant.

En størrelse $y$ er omvendt proporsjonal med $x$ dersom $y={\displaystyle \frac{k}{x}}$ for en konstant $k$ — da er produktet $x\cdot y$ konstant, og grafen er en fallende kurve.

• Kari sitt utsagn beskriver proporsjonale størrelser: prisen er lik antall kilo multiplisert med en fast literpris, altså $\text{pris}=k\cdot \text{kg}$.
• Grete sitt utsagn beskriver omvendt proporsjonale størrelser: kostnad per person multiplisert med antall personer er alltid lik den faste, totale gaveprisen, altså $\text{kostnad per person}\cdot \text{antall personer}=k$.
• Per sitt utsagn beskriver verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale størrelser, siden det er et konstantledd (den faste månedskostnaden) i tillegg til den delen som er proporsjonal med antall minutter.

$\underline{\underline{\text{Kari: proporsjonale størrelser}\text{Grete: omvendt proporsjonale størrelser}}}$

Sammenhengen mellom antall laks, totalvekt og gjennomsnittsvekt er

Felt 1) — totalvekten i 2002:

I 2002 er antallet $3142$ laks og gjennomsnittsvekten $\mathrm{5,51}\mathrm{kg}$. Da blir totalvekten

Felt 2) — gjennomsnittsvekten i 2004:

I 2004 er totalvekten $17979\mathrm{kg}$ og antallet $2928$ laks. Da blir gjennomsnittsvekten

Antall laks fanget per år egner seg godt til et søylediagram, siden dataene er knyttet til hvert enkelt år (kategorisk x-akse).

I regneark markeres kolonnene «År» og «Antall laks», og et søylediagram settes inn via Sett inn → Diagram. Diagrammet under er laget på tilsvarende måte:

Vi bruker totalvekten for hvert av de ti årene, med den utregnede verdien $17312\mathrm{kg}$ for 2002:

Med kalkulator/regneark (ett-variabel statistikk) finner vi gjennomsnittet

og standardavviket. Vi bruker her empirisk (utvalgs-) standardavvik, med $n-1$ i nevneren (samme som STDAV/stdev.s i regneark og GeoGebras $s_x$):

I gjennomsnitt ble det fanget omtrent $22566\mathrm{kg}$ laks per år i Gaula i perioden, med et standardavvik på omtrent $4824\mathrm{kg}$ — det vil si at totalvekten fra år til år typisk avvek med rundt $4800\mathrm{kg}$ fra gjennomsnittet.

Vi bruker personen på bildet som målestokk, siden vi vet at han er $184\mathrm{cm}=\mathrm{1,84}\mathrm{m}$ høy. Ved å se på hvor mange ganger personens høyde går opp i tankens høyde, kan vi anslå hvor høy tanken er.

Fra bakken og opp til toppen av veggen (der rekkverket starter) ser personen ut til å gå opp omtrent $6$ ganger. Det gir en høyde på

Siden dette er et overslag basert på et bilde, kan svar mellom omtrent $10$ og $12\mathrm{m}$ også godtas.

$\underline{\underline{h\approx 11\mathrm{m}}}$

Tanken er formet som en sylinder. Omkretsen til den sirkelrunde bunnen (og toppen) er $O=48\mathrm{m}$. Vi finner radien ved å bruke formelen for omkretsen av en sirkel, $O=2\pi r$:

Volumet av en sylinder er $V=\pi r^{2}h$. Med $r\approx \mathrm{7,6}\mathrm{m}$ og $h\approx 11\mathrm{m}$ fra a) får vi

Siden dette bygger på et overslag for høyden, runder vi av:

$\underline{\underline{V\approx 2000{\mathrm{m}}^3}}$

Tanken skal males utvendig på sideflaten (den buede veggen) og på taket (toppflaten). Vi regner ikke med bunnflaten, siden den står på bakken.

Sideflaten (mantelflaten) til en sylinder har areal lik omkrets ganger høyde:

Toppflaten er en sirkel med areal

Totalt areal som skal males:

Det går med $1$ liter maling per $10{\mathrm{m}}^2$, så antall liter blir

$\underline{\underline{\approx 71\text{liter maling}}}$

År 2050 tilsvarer $x=90$ (siden $2050-1960=90$). Vi setter dette inn i modellen fra b):

Punktet $G=(90,939)$ er markert i rødt på grafen over.

Svar: Ifølge modellen vil det være omtrent $\underline{\underline{939\mathrm{Gt}}}$ (gigatonn) karbon i atmosfæren i 2050.

Vi leser av grafen over de globale ${\text{CO}}_2$-utslippene at utslippet i 2010 var omtrent $\mathrm{8,9}\mathrm{Gt}$ karbon per år (kurven ender like under streken for $y=9$, litt over $\mathrm{8,5}$).

Siden utslippet skal gå ned med $\mathrm{1,8}\%$ per år, er vekstfaktoren

Med $x$ = antall år etter 2010 blir modellen for de årlige utslippene

Grafen tegnes fra $x=0$ (2010) til $x=40$ (2050):

Vi ser at utslippet ifølge denne modellen synker fra ca. $\mathrm{8,9}\mathrm{Gt}$ karbon per år i 2010 til ca. $\mathrm{4,3}\mathrm{Gt}$ karbon per år i 2050.

Totalt antall personer i aldersgruppen 30–39 år finner vi nederst til høyre i tabellen, der raden «Totalt» og kolonnen «Totalt» møtes.

Det bor $\underline{\underline{2468}}$ personer i denne aldersgruppen i kommunen.

Vi skal finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person bare har fullført grunnskole. Fra tabellen ser vi at $419$ personer har grunnskole som høyeste utdanning, av totalt $2468$ personer.

Nå ser vi bare på menn, siden vi har møtt en tilfeldig valgt mann. Det er totalt $1400$ menn i aldersgruppen. Av disse har $493$ menn universitets- eller høyskoleutdanning, så antall menn som ikke har slik utdanning er

Sannsynligheten for at mannen ikke har fullført universitets- eller høyskoleutdanning blir da

Vi trekker én kvinne og én mann uavhengig av hverandre. Sannsynligheten for at begge hendelser inntreffer samtidig finner vi ved å multiplisere enkeltsannsynlighetene.

Sannsynligheten for at kvinnen bare har grunnskole:

Sannsynligheten for at mannen bare har grunnskole:

Siden de to valgene er uavhengige av hverandre, multipliserer vi sannsynlighetene:

Diagrammet viser indeksen for husholdningsavfall, der $1997$ er satt til indeks $\mathrm{1,00}$. Vi leser av grafen for «Hushaldsavfall» ved $2008$: kurven ligger da på omtrent

En indeks på $\mathrm{1,65}$ betyr at avfallsmengden i $2008$ var $\mathrm{1,65}$ ganger så stor som i $1997$, altså en økning på

Avfallsmengden økte altså med omtrent $65\%$ fra $1997$ til $2008$.

$\underline{\underline{\approx 65\%}}$

Vi leser av indeksen for «Hushaldsavfall» ved $2001$:

Siden avfallsmengden i $1997$ var $1900000$ tonn, og indeksen forteller hvor mange ganger så stor mengden er sammenlignet med $1997$, finner vi avfallsmengden i $2001$ ved å multiplisere:

Avfallsmengden i $2001$ var altså omtrent $2280000$ tonn.

$\underline{\underline{\approx 2280000\text{tonn}}}$

Vi skal tegne grafen til

og finne toppunktet, siden det er der overskuddet er størst.

Vi legger inn funksjonen $O(x)$ i GeoGebra og bruker kommandoen Extremum(O, 0, 110) til å finne toppunktet på grafen.

Toppunktet på grafen er $T=(55,20250)$.

Bedriften må produsere og selge $55$ enheter per dag for at overskuddet skal bli størst mulig. Det største overskuddet blir da $20250$ kroner per dag.

For at bedriften ikke skal gå med underskudd, må overskuddet være større enn eller lik null, altså $O(x)\ge 0$.

Vi finner nullpunktene til grafen med kommandoen Root(O) (se grafen i a)). Nullpunktene er

Siden grafen til $O$ er en parabel som vender grenene nedover, ligger grafen over eller på x-aksen mellom de to nullpunktene. Bedriften går altså ikke med underskudd når produksjonen $x$ ligger mellom $10$ og $100$ enheter per dag.

Svar: Bedriften må produsere og selge minst $10$ og høyst $100$ enheter per dag for å unngå underskudd.

Vi bruker formelen for vinkelsummen i en mangekant med $n$ hjørner:

Tikant (10-kant). Vinkelsummen er $S=(10-2)\cdot 180°=1440°$. Siden tikanten er regulær (alle vinkler like store), er hver vinkel

Femkant (5-kant). Vinkelsummen er $S=(5-2)\cdot 180°=540°$, og hver vinkel i en regulær femkant er

Stjernen og romben er ikke regulære mangekanter, så vi må bruke figuren til å se hvordan de ulike delfigurene møtes i et hjørne. Rundt ethvert punkt i mønsteret må vinklene til figurene som møtes der, summere seg til $360°$ (en hel omdreining).

Ved tikantens hjørne ser vi av figuren at tikanten møtes av to femkanter. Dette stemmer med det vi allerede har regnet ut:

Ved romben ser vi av mønsteret at den spisse vinkelen i romben møtes av tre femkanter i samme punkt:

En romb er et parallellogram, så nabovinklene er supplementvinkler (summerer til $180°$). Den andre vinkelen i romben blir dermed

Romben har altså vinklene $36°$ og $144°$ (to og to like, som i en hvilken som helst romb).

Ved stjernens innbøyde hjørne (mellom to spisser) ser vi av mønsteret at bare én femkant møter stjernen:

Stjernen har 10 hjørner (5 spisse og 5 innbøyde), og siden vinkelsum-formelen gjelder for alle mangekanter (også ikke-konvekse), er vinkelsummen i stjernen

Med 5 like spisse vinkler og 5 like innbøyde vinkler på $252°$ får vi

Den spisse vinkelen i stjernen er altså $\underline{\underline{36°}}$.

For å utvide mønsteret med flere tikanter, må vi lete etter et hjørne i mønsteret der figurene som allerede er der, etterlater en åpning på nøyaktig $144°$ — det er jo dette som er vinkelen i en tikant.

Vi vet at et hjørne der to femkanter møtes, gir en sum på

Da gjenstår det $360°-216°=144°$ i åpningen. Dette er nøyaktig samme situasjon som i sentrum av mønsteret, der den opprinnelige tikanten er satt inn mellom to femkanter.

Konklusjon: Overalt langs ytterkanten av mønsteret der to femkanter møtes i et hjørne uten at noe fyller ut resten av vinkelen, kan man sette inn en ny tikant. Da vil tikanten passe perfekt sammen med de to femkantene ($144°+108°+108°=360°$), på samme måte som den midterste tikanten gjør i det opprinnelige mønsteret.