2P-Y Vår 2018

2P-Y Vår 2018 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 6 oppgaver · 24 poeng
1	Variasjonsbredde og gjennomsnitt for kortpoeng	KI
2	Prosentregning med 20 prosent av 25 elever	KI
3	Divisjon av tall på standardform	KI
4	BMI-fordeling med frekvens og kumulativ frekvens	KI
5	Figurtall med sirkler i sekskanter	KI
6	Dyrebestand med lineær og eksponentiell modell	KI
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 36 poeng
1	Havisdekke rundt Antarktis med kubikkfunksjon	KI
2	Bilverdi med fast prosentvis nedgang	KI
3	Histogram og søylediagram for aldersfordeling	KI
4	Verdensbefolkning med eksponentiell regresjon	KI
5	Karakterfordeling med regneark og gjennomsnitt	KI
6	Sannsynlighet for kuler med og uten tilbakelegging	KI

Oppgave 1-1 : Variasjonsbredde og gjennomsnitt for kortpoeng

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Markus og vennene hans spiller kort. Nedenfor ser du hvor mange poeng Markus fikk i hver av de siste åtte rundene.

Runde	Poengsum Markus
1	20
2	$-15$
3	5
4	15
5	$-8$
6	$-3$
7	$-24$
8	30

Bestem variasjonsbredden og gjennomsnittet for poengsummene.

Fasit

Variasjonsbredde: $\underline{\underline{54}}$

Gjennomsnitt: $\underline{\underline{2{,}5}}$

LøsningsforslagKI-generert

Variasjonsbredde

Vi finner den største og minste verdien i datasettet.

Størst verdi: $30$

Minst verdi: $-24$

\text{Variasjonsbredde} = 30 - (-24) = 30 + 24 = \mathbf{54}

Gjennomsnitt

Vi legger sammen alle poengsummene og deler på antall runder (8).

\bar{x} = \frac{20 + (-15) + 5 + 15 + (-8) + (-3) + (-24) + 30}{8}

Vi regner ut telleren steg for steg:

20 - 15 + 5 + 15 - 8 - 3 - 24 + 30 = 20

\bar{x} = \frac{20}{8} = \mathbf{2{,}5}

Svar: Variasjonsbredden er $\underline{\underline{54}}$ poeng, og gjennomsnittet er $\underline{\underline{2{,}5}}$ poeng per runde.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Statistikk, Sentralmål

Oppgave 1-2 : Prosentregning med 20 prosent av 25 elever

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I klassen til Mats er det 25 elever. 20 % av elevene har bodd i Norge i mindre enn fire år.

Hvor mange av elevene har bodd i Norge i mindre enn fire år?

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne $20 \,\%$ av $25$ elever.

$20 \,\%$ betyr $\frac{20}{100}$ , altså $0{,}20$ .

0{,}20 \cdot 25 = 5

Svar: $\underline{\underline{5 \mathrm{~elever}}}$ har bodd i Norge i mindre enn fire år.

Dette gir god mening: $20 \,\%$ av en gruppe er én av fem, og $\frac{25}{5} = 5$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning

Oppgave 1-3 : Divisjon av tall på standardform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut

\frac{5 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^{-8}}

LøsningsforslagKI-generert

Vi deler koeffisientene for seg og potensene for seg.

\frac{5 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^{-8}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{10^6}{10^{-8}}

Koeffisientene:

\frac{5}{2} = 2{,}5

Potensene (vi trekker eksponentene fra hverandre):

\frac{10^6}{10^{-8}} = 10^{6 - (-8)} = 10^{6 + 8} = 10^{14}

Svar:

\frac{5 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^{-8}} = \underline{\underline{2{,}5 \cdot 10^{14}}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Standardform, Potenser

Oppgave 1-4 : BMI-fordeling med frekvens og kumulativ frekvens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

BMI (Body Mass Index) er en internasjonal standard fra Verdens helseorganisasjon. Standarden indikerer om voksne over 19 år er undervektige, har normal vekt eller er overvektige. Se tabellen nedenfor.

BMI	Kategori
⟨←, 18,5⟩	Undervektig
[18,5, 25⟩	Normal vekt
[25, 30⟩	Overvektig
[30, →⟩	Fedme

Et år deltok 1000 personer i en undersøkelse av BMI. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

BMI	Frekvens	Kumulativ frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ relativ frekvens
[17, 18,5⟩	20
[18,5, 25⟩		520
[25, 30⟩			0,4	0,92
[30, 32⟩	80

Tegn av tabellen, og fyll inn tallene som mangler.

Fire av cellene i tabellen er grå.

Forklar hva hvert av tallene i disse grå cellene forteller om personene som deltok i undersøkelsen.

Forklar hvordan vi kan se at medianen ligger i kategorien «Normal vekt».

Fasit

Se utfylt tabell i løsningsforslaget.

520 har Undervektig eller Normal vekt. $0{,}4$ er andelen med Overvektig. $0{,}92$ er andelen med Undervektig, Normal vekt eller Overvektig. 80 har Fedme.

Kumulativ relativ frekvens passerer $0{,}5$ inne i Normal vekt-kategorien, så medianen ligger der.

LøsningsforslagKI-generert

Vi jobber oss gjennom tabellen rad for rad.

Rad 1: BMI [17, 18,5⟩ — Undervektig

Frekvens: $20$ (oppgitt)
Kumulativ frekvens: $20$ (bare én rad så langt)
Relativ frekvens: $\frac{20}{1000} = 0{,}02$
Kumulativ relativ frekvens: $0{,}02$

Rad 2: BMI [18,5, 25⟩ — Normal vekt

Kumulativ frekvens: $520$ (oppgitt, grå)
Frekvens: $520 - 20 = 500$
Relativ frekvens: $\frac{500}{1000} = 0{,}5$
Kumulativ relativ frekvens: $\frac{520}{1000} = 0{,}52$

Rad 3: BMI [25, 30⟩ — Overvektig

Relativ frekvens: $0{,}4$ (oppgitt, grå) → Frekvens: $0{,}4 \cdot 1000 = 400$
Kumulativ frekvens: $520 + 400 = 920$
Kumulativ relativ frekvens: $0{,}92$ (oppgitt, grå) — stemmer: $\frac{920}{1000} = 0{,}92$ ✓

Rad 4: BMI [30, 32⟩ — Fedme

Frekvens: $80$ (oppgitt, grå)
Kumulativ frekvens: $920 + 80 = 1000$
Relativ frekvens: $\frac{80}{1000} = 0{,}08$
Kumulativ relativ frekvens: $\frac{1000}{1000} = 1{,}0$

Fullstendig tabell:

BMI	Frekvens	Kumulativ frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ relativ frekvens
[17, 18,5⟩	20	20	$0{,}02$	$0{,}02$
[18,5, 25⟩	500	520	$0{,}5$	$0{,}52$
[25, 30⟩	400	920	$0{,}4$	$0{,}92$
[30, 32⟩	80	1000	$0{,}08$	$1{,}0$

De fire grå cellene forteller følgende:

520 (kumulativ frekvens, Normal vekt): 520 av de 1000 personene hadde enten Undervektig eller Normal vekt.
0,4 (relativ frekvens, Overvektig): 40 % av de 1000 personene, altså 400 personer, hadde BMI i kategorien Overvektig.
0,92 (kumulativ relativ frekvens, Overvektig): 92 % av de 1000 personene hadde BMI i kategoriene Undervektig, Normal vekt eller Overvektig (altså ikke Fedme).
80 (frekvens, Fedme): 80 av de 1000 personene hadde BMI i kategorien Fedme.

Medianen er den midterste verdien. Med 1000 personer er medianen et sted mellom person 500 og 501 når vi sorterer etter BMI.

Vi ser på den kumulative relative frekvensen:

Etter Undervektig: $0{,}02$ (bare $2 \,\%$ av personene)
Etter Normal vekt: $0{,}52$ (nå er $52 \,\%$ av personene telt opp)

Det betyr at de første $50 \,\%$ av personene (person 1–500) faller innenfor kategoriene Undervektig og Normal vekt. Siden $0{,}02 < 0{,}50 < 0{,}52$ , passerer vi $50 \,\%$ -grensen inne i Normal vekt-kategorien. Dermed ligger medianen i kategorien Normal vekt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Statistikk, Kumulativ frekvens, Diagram

Oppgave 1-5 : Figurtall med sirkler i sekskanter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figur 1–4 satt sammen av sirkler

Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Hans og Grete vil fortsette å lage figurer etter samme mønster. De vil også se på ulike sammenhenger mellom antall sirkler i figurene.

Hans starter med figur nummer 2 og ser på sirklene i de ytterste sekskantene. Han fargelegger disse sirklene blå og setter opp tabellen til høyre nedenfor.

Figur 1–4 med blå sirkler i ytterste sekskant

Figurnummer	Antall sekskanter	Antall sirkler i ytterste sekskant
2	1	6
3	2	12
4
5
$n$

Skriv av tabellen, og fyll ut det som mangler.

En figur har 246 sirkler i den ytterste sekskanten. Hvor mange sekskanter er det i denne figuren?

Grete ser at sirklene ligger på rader. Hun stipler linjer og fargelegger slik at alle sirklene på én rad har samme farge. Etterpå setter hun opp tabellen til høyre nedenfor.

Figur 1–4 med fargede rader

Figurnummer	Antall rader	Antall sirkler i hver rad	Antall sirkler i figuren
1	1	1	1
2	3	2	6
3	5	3	15
4
$n$

Skriv av tabellen, og fyll ut det som mangler.

Hvor mange sirkler vil det være i figur nummer 100?

Fasit

Figur 4: 3 sekskanter, 18 sirkler. Figur 5: 4 sekskanter, 24 sirkler. Figur $n$ : $(n-1)$ sekskanter, $6(n-1)$ sirkler.

$\underline{\underline{42}}$ sekskanter (figur 43)

Figur 4: 7 rader, 4 sirkler per rad, 28 sirkler. Figur $n$ : $(2n-1)$ rader, $n$ sirkler per rad, $n(2n-1)$ sirkler.

$\underline{\underline{19\,900 \mathrm{~sirkler}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på mønsteret fra tabellen:

Figur 2: 1 sekskant, 6 sirkler
Figur 3: 2 sekskanter, 12 sirkler

For hvert figurnummer øker antall sekskanter med 1, og antall sirkler i ytterste sekskant øker med 6.

En sekskant har 6 sider, og langs ytterste sekskant er det 6 sirkler per sekskant.

\text{Antall sekskanter} = n - 1

\text{Antall sirkler i ytterste sekskant} = 6 \cdot (n-1)

Figurnummer	Antall sekskanter	Antall sirkler i ytterste sekskant
2	1	6
3	2	12
4	3	18
5	4	24
$n$	$n-1$	$6(n-1)$

Vi setter antall sirkler i ytterste sekskant lik 246 og løser for $n$ :

6(n-1) = 246

n - 1 = \frac{246}{6} = 41

n = 42

Det er altså figur nummer 42, og den ytterste sekskanten har $n - 1 = 41$ sekskanter.

Svar: Det er $\underline{\underline{41 \mathrm{~sekskanter}}}$ i denne figuren (som er figur nummer 42).

Vi ser på mønsteret fra tabellen:

Figur 1: 1 rad, 1 sirkel per rad, 1 sirkel totalt
Figur 2: 3 rader, 2 sirkler per rad, 6 totalt
Figur 3: 5 rader, 3 sirkler per rad, 15 totalt

Antall rader: $1, 3, 5, \ldots$ — dette er odde tall. For figur $n$ er antall rader $2n - 1$ .

Antall sirkler per rad er lik figurnummeret $n$ .

Totalt antall sirkler:

n \cdot (2n - 1)

For figur 4:

\text{Antall rader} = 2 \cdot 4 - 1 = 7

\text{Sirkler per rad} = 4

\text{Totalt} = 4 \cdot 7 = 28

Figurnummer	Antall rader	Antall sirkler i hver rad	Antall sirkler i figuren
1	1	1	1
2	3	2	6
3	5	3	15
4	7	4	28
$n$	$2n-1$	$n$	$n(2n-1)$

Vi bruker formelen $n(2n-1)$ med $n = 100$ :

100 \cdot (2 \cdot 100 - 1) = 100 \cdot 199 = \mathbf{19\,900}

Svar: Det er $\underline{\underline{19\,900 \mathrm{~sirkler}}}$ i figur nummer 100.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Figurtall, Tallfølger, Rekursiv sammenheng

Oppgave 1-6 : Dyrebestand med lineær og eksponentiell modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En dyrebestand består i dag av 12 000 dyr. En gruppe forskere antar at bestanden vil avta lineært, og at det vil være 6 000 dyr igjen om 10 år.

Sett opp en modell som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år dersom antakelsen er riktig.

En annen gruppe forskere antar at bestanden vil avta eksponensielt, og at det vil være 11 400 dyr igjen om ett år.

Sett opp en modell som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år dersom denne antakelsen er riktig.

Ifølge hvilken av de to modellene ovenfor vil det være færrest dyr igjen i bestanden om 10 år?

Fasit

$\underline{\underline{f(x) = 12\,000 - 600x}}$

$\underline{\underline{g(x) = 12\,000 \cdot 0{,}95^x}}$

Den lineære modellen gir færrest dyr: $\underline{\underline{6\,000 \mathrm{~dyr}}}$ mot $\approx 7\,185 \mathrm{~dyr}$ for den eksponentielle.

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at bestanden starter på $12\,000$ dyr og at det vil være $6\,000$ dyr igjen om 10 år. Vi setter opp en lineær funksjon:

f(x) = 12\,000 + a \cdot x

Vi finner stigningstallet $a$ ved å bruke de to kjente punktene $(0, 12\,000)$ og $(10, 6\,000)$ :

a = \frac{6\,000 - 12\,000}{10 - 0} = \frac{-6\,000}{10} = -600

Modellen er:

\underline{\underline{f(x) = 12\,000 - 600x}}

Dette betyr at bestanden minker med 600 dyr per år.

Vi vet at bestanden starter på $12\,000$ dyr og at det vil være $11\,400$ dyr igjen etter ett år. Vi setter opp en eksponentiell funksjon:

g(x) = 12\,000 \cdot k^x

Vi setter inn $x = 1$ og $g(1) = 11\,400$ :

12\,000 \cdot k^1 = 11\,400

k = \frac{11\,400}{12\,000} = 0{,}95

Modellen er:

\underline{\underline{g(x) = 12\,000 \cdot 0{,}95^x}}

Dette betyr at bestanden minker med $5 \,\%$ per år.

Vi beregner bestanden om 10 år for begge modellene.

Lineær modell:

f(10) = 12\,000 - 600 \cdot 10 = 12\,000 - 6\,000 = 6\,000

Eksponentiell modell:

g(10) = 12\,000 \cdot 0{,}95^{10} \approx 7\,185

Den lineære modellen gir $6\,000$ dyr, mens den eksponentielle modellen gir omtrent $7\,185$ dyr.

Svar: Ifølge den lineære modellen vil det være færrest dyr igjen — $\underline{\underline{6\,000 \mathrm{~dyr}}}$ — mot omtrent $7\,185$ dyr i den eksponentielle modellen.

Det gir mening: en eksponentiell nedgang bremser etter hvert fordi den alltid tar en fast prosentandel av det som er igjen, mens en lineær nedgang fjerner like mange dyr hvert år uansett.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon

Oppgave 2-1 : Havisdekke rundt Antarktis med kubikkfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Havisen rundt Antarktis

Funksjonen $A$ gitt ved

A(x) = -0{,}08x^3 + 1{,}29x^2 - 3{,}9x + 6{,}2 \qquad , \qquad 0 \leq x \leq 12

viser hvor mange millioner kvadratkilometer $A(x)$ rundt Antarktis som var dekket av havis $x$ måneder etter 1. januar 2017.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $A$ .

Hvor lenge var mer enn 10 millioner kvadratkilometer dekket av havis?

Hvor mange kvadratkilometer økte området som var dekket av havis, i gjennomsnitt med per måned fra 1. mars til 1. september?

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $A$ når $x = 5$ . Gi en praktisk tolkning av dette svaret.

Fasit

Se graf under.

$\underline{\underline{\approx 6{,}2 \text{~måneder}}}$ (fra $x \approx 5{,}3$ til $x \approx 11{,}5$ )

$\underline{\underline{2{,}28 \text{~millioner km}^2 \text{ per måned}}}$

$\underline{\underline{A'(5) = 3}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $A(x) = -0{,}08x^3 + 1{,}29x^2 - 3{,}9x + 6{,}2$ for $0 \leq x \leq 12$ i GeoGebra.

Den røde linjen viser $A(x) = 10$ (10 millioner km²). De grønne punktene viser hvor grafen krysser denne linjen.

Havisdekke rundt Antarktis – graf med A(x) og grense ved 10 mill. km²

Fra grafen leser vi av at $A(x) = 10$ (den røde linjen) skjærer grafen i to punkter:

x_1 \approx 5{,}3 \qquad \text{og} \qquad x_2 \approx 11{,}5

Mer enn 10 millioner kvadratkilometer var dekket av havis i intervallet $5{,}3 \leq x \leq 11{,}5$ .

Varigheten er

11{,}5 - 5{,}3 = 6{,}2 \text{~måneder}

Mer enn 10 millioner kvadratkilometer var dekket av havis i omtrent $\underline{\underline{6{,}2 \text{~måneder}}}$ .

mars er 2 måneder etter 1. januar, altså $x = 2$ .
september er 8 måneder etter 1. januar, altså $x = 8$ .

Vi regner ut $A(2)$ og $A(8)$ :

A(2) = -0{,}08 \cdot 2^3 + 1{,}29 \cdot 2^2 - 3{,}9 \cdot 2 + 6{,}2 = -0{,}64 + 5{,}16 - 7{,}8 + 6{,}2 = 2{,}92

A(8) = -0{,}08 \cdot 8^3 + 1{,}29 \cdot 8^2 - 3{,}9 \cdot 8 + 6{,}2 = -40{,}96 + 82{,}56 - 31{,}2 + 6{,}2 = 16{,}6

Den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 2$ til $x = 8$ er

\frac{A(8) - A(2)}{8 - 2} = \frac{16{,}6 - 2{,}92}{6} = \frac{13{,}68}{6} = 2{,}28

Området dekket av havis økte i gjennomsnitt med $\underline{\underline{2{,}28 \text{~millioner km}^2 \text{ per måned}}}$ fra 1. mars til 1. september.

Det vil si at havisdekket vokste med omtrent 2 280 000 kvadratkilometer per måned i denne perioden.

Vi deriverer $A(x)$ :

A'(x) = -0{,}08 \cdot 3x^2 + 1{,}29 \cdot 2x - 3{,}9 = -0{,}24x^2 + 2{,}58x - 3{,}9

Vi setter inn $x = 5$ :

A'(5) = -0{,}24 \cdot 5^2 + 2{,}58 \cdot 5 - 3{,}9 = -6 + 12{,}9 - 3{,}9 = 3

$\underline{\underline{A'(5) = 3}}$

Praktisk tolkning: 5 måneder etter 1. januar (dvs. rundt 1. juni 2017) økte havisdekket rundt Antarktis med cirka $3 \text{~millioner km}^2$ per måned.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Funksjoner, Derivasjon, Graftolkning, Modellering

Oppgave 2-2 : Bilverdi med fast prosentvis nedgang

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Verdien av en bil har avtatt med 12 % hvert år siden den var ny. Vi antar at verdien vil fortsette å avta med 12 % hvert år framover. I dag er bilen verd 300 000 kroner.

Hvor mye vil bilen være verd om fem år?

Hvor mye var bilen verd for fem år siden?

Fasit

$\underline{\underline{\approx 158\,320 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{\approx 568\,470 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Verdien av bilen avtar med 12 % hvert år. Det betyr at vi ganger med vekstfaktoren $0{,}88$ for hvert år framover, eller deler med $0{,}88$ for hvert år bakover.

Vi lar $x = 0$ stå for i dag, slik at bilens verdi kan skrives som

f(x) = 300\,000 \cdot 0{,}88^x

Bilverdi med eksponentiell nedgang

Grafen viser bilens verdi som funksjon av antall år. Det grønne punktet er dagens verdi ( $x = 0$ ), det røde punktet er verdien om fem år ( $x = 5$ ), og det oransje punktet er verdien for fem år siden ( $x = -5$ ).

Om fem år tilsvarer $x = 5$ . Vi leser av det røde punktet i grafen, og bekrefter med utregning:

f(5) = 300\,000 \cdot 0{,}88^5 \approx 158\,320 \, \mathrm{kr}

Bilen vil være verd omtrent $\underline{\underline{158\,320 \, \mathrm{kr}}}$ om fem år.

Det betyr at bilen mister rundt 140 000 kr i verdi de neste fem årene.

For fem år siden tilsvarer $x = -5$ . Vi leser av det oransje punktet i grafen, og bekrefter med utregning:

f(-5) = 300\,000 \cdot 0{,}88^{-5} = \frac{300\,000}{0{,}88^5} \approx 568\,470 \, \mathrm{kr}

Bilen var verd omtrent $\underline{\underline{568\,470 \, \mathrm{kr}}}$ for fem år siden.

Det betyr at bilen var verdt nesten det dobbelte av dagens verdi for fem år siden.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Prosentregning, Vekstfaktor

Oppgave 2-3 : Histogram og søylediagram for aldersfordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Per og Kari vil lage et diagram som viser aldersfordelingen til innbyggerne i et boligområde. De diskuterer om de skal bruke et histogram eller et søylediagram.

Ut fra opplysningene de har fått, lager Per histogrammet nedenfor. Innbyggerne er delt inn i fem aldersgrupper.

Histogram over aldersfordeling i boligområdet

Hvor mange personer bor i boligområdet?

Kari lurer på om et søylediagram vil være bedre egnet.

Lag et søylediagram som viser hvor mange personer det er i hver aldersgruppe.

Mener du et søylediagram eller et histogram er best egnet til å illustrere dette datamaterialet?

Fasit

$\underline{\underline{270 \mathrm{~personer}}}$

Se søylediagram i løsningsforslag.

Søylediagram er best egnet.

LøsningsforslagKI-generert

I et histogram er y-aksen frekvenstetthet (frekvens delt på klassebredde). For å finne antall personer i en aldersgruppe multipliserer vi høyden på søylen med klassebredden.

Vi leser av histogrammet og fyller inn i en tabell:

Aldersgruppe	Høyde (frekvenstetthet)	Klassebredde	Antall personer
0–15	3	15	$3 \cdot 15 = 45$
15–20	5	5	$5 \cdot 5 = 25$
20–30	7	10	$7 \cdot 10 = 70$
30–50	5	20	$5 \cdot 20 = 100$
50–80	1	30	$1 \cdot 30 = 30$

Totalt antall personer:

45 + 25 + 70 + 100 + 30 = 270

Det bor $\underline{\underline{270 \mathrm{~personer}}}$ i boligområdet.

Vi bruker GeoGebra til å tegne søylediagrammet med antall personer per aldersgruppe:

Søylediagram over aldersfordeling i boligområdet

Søylediagrammet viser antall personer i hver aldersgruppe.

Et søylediagram er best egnet til å illustrere dette datamaterialet.

Grunnen er at aldersgruppene har ulik bredde (klassebredde). I et søylediagram viser høyden på søylen direkte antall personer i gruppen, noe som gjør det lettere å lese av og sammenligne gruppene.

Histogrammet er konstruert slik at arealet av søylene representerer antall personer – ikke høyden. Dette kan lett misforstås. Siden søylediagrammet viser antallet direkte på y-aksen, er det enklere å forstå for de fleste lesere.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Diagram, Presentasjon av data

Oppgave 2-4 : Verdensbefolkning med eksponentiell regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Årstall	1920	1940	1960	1980	2000	2010	2017
Folketall i millioner	1902	2285	2991	4401	6088	6889	7474

Tabellen ovenfor viser folketallet i verden noen utvalgte år i perioden fra 1920 til 2017.

La $x$ være antall år etter 1. januar 1920, og bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^x

er en modell som passer godt med tallene i tabellen.

Hvor mange prosent har folketallet økt med per år ifølge modellen i oppgave a)?

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ fra $x = 70$ til $x = 95$ . Gi en praktisk tolkning av dette svaret.

FN har utarbeidet prognoser som viser at folketallet i verden vil være 9,8 milliarder i år 2050 og 11,2 milliarder i år 2100.

Vurder om modellen i oppgave a) samsvarer med disse prognosene.

Fasit

Regresjonen i GeoGebra gir $f(x) \approx 1775{,}6 \cdot 1{,}015^x$ , som passer godt med datapunktene.

$\underline{\underline{1{,}5 \,\%}}$ per år

$\underline{\underline{\approx 90{,}8 \text{~millioner per år}}}$

Modellen overvurderer veksten kraftig: $f(130) \approx 12\,300 \mathrm{~mill.}$ mot FNs $9\,800 \mathrm{~mill.}$ i 2050, og $f(180) \approx 25\,900 \mathrm{~mill.}$ mot FNs $11\,200 \mathrm{~mill.}$ i 2100. Modellen samsvarer ikke med prognosene.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra, der $x$ er antall år etter 1920:

$x$	0	20	40	60	80	90	97
Befolkning (mill.)	1902	2285	2991	4401	6088	6889	7474

Vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra og får

f(x) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^x

Grafen nedenfor viser at kurven (blå) følger datapunktene (røde) godt gjennom hele perioden. Den grønne linjen er sekanten fra oppgave c).

Verdensbefolkning med eksponentiell regresjon

Modellen passer godt med dataene.

Vekstfaktoren i modellen er $1{,}015$ . Det betyr at befolkningen øker med

1{,}015 - 1 = 0{,}015 = 1{,}5 \,\%

per år.

Ifølge modellen har folketallet økt med $\underline{\underline{1{,}5 \,\%}}$ per år.

Den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 70$ til $x = 95$ er

\frac{f(95) - f(70)}{95 - 70}

Vi regner ut:

f(70) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^{70} \approx 5034{,}6 \mathrm{~mill.}

f(95) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^{95} \approx 7305{,}0 \mathrm{~mill.}

\frac{7305{,}0 - 5034{,}6}{95 - 70} = \frac{2270{,}4}{25} \approx 90{,}8 \text{~mill. per år}

Den gjennomsnittlige vekstfarten er $\underline{\underline{\approx 90{,}8 \text{~millioner per år}}}$ .

Perioden $x = 70$ til $x = 95$ svarer til årene 1990–2015. Tolkning: ifølge modellen økte verdensbefolkningen med gjennomsnittlig omtrent 90,8 millioner mennesker per år i denne perioden.

Vi bruker modellen til å beregne befolkningen i 2050 og 2100.

År 2050 svarer til $x = 2050 - 1920 = 130$ :

f(130) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^{130} \approx 12\,301 \mathrm{~mill.} \approx 12{,}3 \mathrm{~milliarder}

FNs prognose er $9{,}8 \mathrm{~milliarder}$ . Modellen gir altså $\approx 2{,}5 \mathrm{~milliarder}$ mer enn FNs prognose, noe som er ca. $25 \,\%$ for høyt.

År 2100 svarer til $x = 2100 - 1920 = 180$ :

f(180) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^{180} \approx 25\,896 \mathrm{~mill.} \approx 25{,}9 \mathrm{~milliarder}

FNs prognose er $11{,}2 \mathrm{~milliarder}$ . Modellen gir mer enn dobbelt så mye som FNs prognose.

Modellen samsvarer ikke med FNs prognoser. Avviket er allerede $25 \,\%$ for høyt i 2050, og hele $131 \,\%$ for høyt i 2100. Dette skyldes at den eksponentielle modellen forutsetter konstant prosentvis vekst for alltid, mens FN forventer at veksten vil avta etter hvert som jordens befolkning nærmer seg et metningsnivå. Modellen er ikke egnet til å spå befolkningsutviklingen langt inn i fremtiden.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Vekstfart, Modellering

Oppgave 2-5 : Karakterfordeling med regneark og gjennomsnitt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Karakteroversikt – horisontalt søylediagram

Diagrammet ovenfor viser karakterfordelingen ved en matematikkeksamen et år.

Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 4 eller bedre?

Lag et regneark som vist nedenfor. Legg inn verdier i de hvite cellene og formler i de blå cellene. Bruk regnearket til å bestemme gjennomsnittskarakteren og standardavviket til karakterfordelingen.

Regneark for karakterberegning

Året etter var det 180 elever som hadde eksamen. Gjennomsnittskarakteren dette året var 3,25.

Hva var gjennomsnittskarakteren dersom vi ser disse to årene under ett?

Fasit

$\underline{\underline{32{,}5 \,\%}}$

$\underline{\underline{\bar{x} \approx 3{,}05}}$ , $\underline{\underline{s \approx 1{,}18}}$

$\underline{\underline{\bar{x} \approx 3{,}14}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av søylediagrammet:

Karakter	Antall elever
1	15
2	55
3	65
4	40
5	20
6	5
Sum	200

Antall elever med karakter 4 eller bedre:

40 + 20 + 5 = 65 \text{ elever}

Prosentandel:

\frac{65}{200} \cdot 100 \,\% = \mathbf{32{,}5 \,\%}

$32{,}5 \,\%$ av elevene fikk karakteren 4 eller bedre.

Vi setter opp regnearket med frekvensene fra diagrammet. Kolonne C inneholder formelen $x \cdot f$ , og kolonne D inneholder formelen $(x - \bar{x})^2 \cdot f$ . Gjennomsnittet beregnes i celle B11, standardavviket i celle B13.

Karakter $x$	Frekvens $f$	$x \cdot f$	$(x - \bar{x})^2 \cdot f$
1	15	15	$( 1 - 3{,}05)^2 \cdot 15 = 63{,}0375$
2	55	110	$(2 - 3{,}05)^2 \cdot 55 = 60{,}7125$
3	65	195	$(3 - 3{,}05)^2 \cdot 65 = 0{,}1625$
4	40	160	$(4 - 3{,}05)^2 \cdot 40 = 36{,}1$
5	20	100	$(5 - 3{,}05)^2 \cdot 20 = 76{,}05$
6	5	30	$(6 - 3{,}05)^2 \cdot 5 = 43{,}5125$
Sum	200	610	279{,}5

Gjennomsnittskarakter:

\bar{x} = \frac{\sum x \cdot f}{\sum f} = \frac{610}{200} = 3{,}05

Standardavvik:

s = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2 \cdot f}{\sum f}} = \sqrt{\frac{279{,}5}{200}} = \sqrt{1{,}3975} \approx 1{,}18

Gjennomsnittskarakteren er $\underline{\underline{\bar{x} = 3{,}05}}$ og standardavviket er $\underline{\underline{s \approx 1{,}18}}$ .

Første år var det 200 elever med gjennomsnitt $\bar{x}_1 = 3{,}05$ . Andre år var det 180 elever med gjennomsnitt $\bar{x}_2 = 3{,}25$ .

Det samlede gjennomsnittet finner vi ved å legge sammen alle karakterpoengene og dele på totalt antall elever:

\bar{x} = \frac{n_1 \cdot \bar{x}_1 + n_2 \cdot \bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{200 \cdot 3{,}05 + 180 \cdot 3{,}25}{200 + 180} = \frac{610 + 585}{380} = \frac{1195}{380} \approx 3{,}14

Det samlede gjennomsnittet for de to årene er omtrent $\underline{\underline{3{,}14}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Statistikk, Gjennomsnitt, Varians, Excel

Oppgave 2-6 : Sannsynlighet for kuler med og uten tilbakelegging

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Maria vil legge to røde og to blå kuler i en kopp.

Hun vil trekke to kuler fra koppen tilfeldig.
Hun vil ikke legge tilbake den første kula før hun trekker den neste.

Tegn et valgtre, gjør beregninger, og avgjør hvilken av påstandene nedenfor som er riktig.

Påstand 1: Det er mest sannsynlig at hun kommer til å trekke to kuler med samme farge.

Påstand 2: Det er mest sannsynlig at hun kommer til å trekke to kuler med ulik farge.

Påstand 3: Sannsynligheten for at hun kommer til å trekke to kuler med samme farge, er like stor som sannsynligheten for at hun kommer til å trekke to kuler med ulik farge.

Gjør beregninger, og avgjør hvilken av påstandene ovenfor som er riktig dersom Maria i stedet legger tre røde og én blå kule i koppen og trekker to kuler på samme måte som beskrevet ovenfor.

Fasit

Påstand 2 er riktig: $P(\text{ulik farge}) = \dfrac{2}{3}$

Påstand 3 er riktig: $P(\text{samme farge}) = P(\text{ulik farge}) = \dfrac{1}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Det er 4 kuler i koppen: 2 røde (R) og 2 blå (B). Vi trekker 2 kuler uten tilbakelegging.

Vi setter opp et valgtre med alle mulige utfall:

Første trekk:

$P(\text{R}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
$P(\text{B}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

Andre trekk (etter rød): Det er nå 3 kuler igjen: 1 rød og 2 blå.

$P(\text{R} \mid \text{første = R}) = \dfrac{1}{3}$
$P(\text{B} \mid \text{første = R}) = \dfrac{2}{3}$

Andre trekk (etter blå): Det er nå 3 kuler igjen: 2 røde og 1 blå.

$P(\text{R} \mid \text{første = B}) = \dfrac{2}{3}$
$P(\text{B} \mid \text{første = B}) = \dfrac{1}{3}$

Sannsynligheter for hvert utfall:

P(\text{RR}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

P(\text{RB}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P(\text{BR}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P(\text{BB}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

Sannsynlighet for samme farge:

P(\text{samme farge}) = P(\text{RR}) + P(\text{BB}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Sannsynlighet for ulik farge:

P(\text{ulik farge}) = P(\text{RB}) + P(\text{BR}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Siden $\dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{3}$ , er det mest sannsynlig å trekke to kuler med ulik farge.

Påstand 2 er riktig: $\underline{\underline{P(\text{ulik farge}) = \dfrac{2}{3}}}$

Nå er det 4 kuler i koppen: 3 røde (R) og 1 blå (B). Vi trekker 2 kuler uten tilbakelegging.

Første trekk:

$P(\text{R}) = \dfrac{3}{4}$
$P(\text{B}) = \dfrac{1}{4}$

Andre trekk (etter rød): Det er nå 3 kuler igjen: 2 røde og 1 blå.

$P(\text{R} \mid \text{første = R}) = \dfrac{2}{3}$
$P(\text{B} \mid \text{første = R}) = \dfrac{1}{3}$

Andre trekk (etter blå): Det er nå 3 kuler igjen: 3 røde og 0 blå.

$P(\text{R} \mid \text{første = B}) = \dfrac{3}{3} = 1$
$P(\text{B} \mid \text{første = B}) = \dfrac{0}{3} = 0$

Sannsynligheter for hvert utfall:

P(\text{RR}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

P(\text{RB}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

P(\text{BR}) = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}

P(\text{BB}) = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0

Sannsynlighet for samme farge:

P(\text{samme farge}) = P(\text{RR}) + P(\text{BB}) = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}

Sannsynlighet for ulik farge:

P(\text{ulik farge}) = P(\text{RB}) + P(\text{BR}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Siden $P(\text{samme farge}) = P(\text{ulik farge}) = \dfrac{1}{2}$ , er sannsynlighetene like store.

Påstand 3 er riktig: $\underline{\underline{P(\text{samme farge}) = P(\text{ulik farge}) = \dfrac{1}{2}}}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Variasjonsbredde og gjennomsnitt for kortpoeng

Oppgave 1-2 : Prosentregning med 20 prosent av 25 elever

Oppgave 1-3 : Divisjon av tall på standardform

Oppgave 1-4 : BMI-fordeling med frekvens og kumulativ frekvens

Oppgave 1-5 : Figurtall med sirkler i sekskanter

Oppgave 1-6 : Dyrebestand med lineær og eksponentiell modell

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Havisdekke rundt Antarktis med kubikkfunksjon

Oppgave 2-2 : Bilverdi med fast prosentvis nedgang

Oppgave 2-3 : Histogram og søylediagram for aldersfordeling

Oppgave 2-4 : Verdensbefolkning med eksponentiell regresjon

Oppgave 2-5 : Karakterfordeling med regneark og gjennomsnitt

Oppgave 2-6 : Sannsynlighet for kuler med og uten tilbakelegging

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave