2P-Y Høst 2019

Vi sorterer de 20 verdiene i stigende rekkefølge:

Siden vi har 20 verdier (et partall), er medianen gjennomsnittet av den 10. og den 11. verdien. Vi har markert dem med grønt.

Den 10. verdien er $3$ og den 11. verdien er $4$, så medianen er:

Medianen er $\underline{\underline{3{,}5 \mathrm{~timer}}}$. Det betyr at halvparten av elevene bruker 3,5 timer eller mindre foran skjerm, og halvparten bruker 3,5 timer eller mer.

For gjennomsnittet legger vi sammen alle verdiene og deler på antallet:

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{3{,}7 \mathrm{~timer}}}$. Det betyr at elevene i snitt bruker 3,7 timer foran skjerm i løpet av en dag.

Vi teller opp fra den sorterte listen.

Relativ frekvens for 3 timer er andelen elever som svarte nettopp 3 timer. Det er 5 elever av 20 totalt:

Kumulativ frekvens for 3 timer er antall elever som bruker 3 timer eller mindre. Vi teller: to elever med 1 time, tre elever med 2 timer og fem elever med 3 timer:

Den kumulative frekvensen for 3 timer er $\underline{\underline{10}}$ (10 av 20 elever bruker 3 timer eller mindre foran skjerm). Den relative frekvensen for 3 timer er $\underline{\underline{25\,\%}}$ (en av fire elever bruker nøyaktig 3 timer foran skjerm).

Iris har en fast lønn på $60 \, \mathrm{kr}$ per time. For hvert produkt tjener hun $40 \, \mathrm{kr}$ ekstra. Kaller vi antall produkter hun selger per time for $x$, blir timelønnen:

Modellen er $\underline{\underline{L(x) = 60 + 40x}}$, der $x$ er antall produkter hun selger per time og $L(x)$ er timelønnen i kroner.

Vi setter opp ulikheten:

Trekker fra $60$ på begge sider:

Deler på $40$:

Siden $x$ må være et helt antall produkter, betyr dette at Iris må selge minst 4 produkter per time.

$\underline{\underline{x \geq 4}}$ — Iris må selge minst 4 produkter per time for å få en timelønn som er høyere enn $200 \, \mathrm{kr}$.

Vi setter opp en modell for hvert alternativ.

Alternativ 1: Fast lønn øker med $50 \, \mathrm{kr}$, provisjonen er fremdeles $40 \, \mathrm{kr}$ per produkt:

Alternativ 2: Fast lønn er fremdeles $60 \, \mathrm{kr}$, men provisjonen økes med $20\,\%$:

Vi finner ut når de to alternativene gir samme lønn ved å sette dem lik hverandre:

Det vil si at ved $6{,}25$ produkter per time er lønnen den samme. Siden man ikke kan selge et halvt produkt, sjekker vi for $x = 6$ og $x = 7$:

Råd til Iris:

• Selger hun vanligvis færre enn 7 produkter per time, bør hun velge Alternativ 1 (fast lønnspåslag).
• Selger hun vanligvis 7 eller flere produkter per time, bør hun velge Alternativ 2 (høyere provisjon).
• Er hun usikker, kan hun tenke på hva som er mest realistisk for henne å oppnå i løpet av en time.

Vi vet ikke nøyaktig lengden på hver film, bare hvilket intervall de tilhører. Vi bruker midtpunktet i hvert intervall som et anslag på filmenes lengde.

Gjennomsnittslengden er:

Gjennomsnittslengden er $\underline{\underline{106 \, \mathrm{min}}}$.

I et histogram er det frekvenstettheten (frekvens delt på intervallets bredde) som bestemmer høyden på søylene — ikke frekvensen direkte. Det er fordi intervallene her er ulike brede.

Histogrammet tegnes med filmenes lengde (minutter) langs den vannrette aksen og frekvenstetthet langs den loddrette aksen. Søylenes bredde tilsvarer intervallets bredde, og arealet av hver søyle er lik frekvensen i det intervallet.

Frekvens-
tetthet
  3 |
    |
2,5 |    +--------+
    |    |        |
  2 +----+        +--------+
    |    |        |        |
1,5 |    |        |        |
    |    |        |        |
  1 |    |        |        |
    |    |        |        |
0,5 |    |        |        +--------+
    |    |        |        |        |
  0 +----+--------+--------+--------+---
       60   80      120      140      180
                                (minutter)

Vi teller sirkler i de tre figurene for å finne mønsteret.

Hver figur består av én øverste rad (trekant-topp) og et rektangulært bunn-parti:

Vi ser at:

• Øverste rad har $n + 1$ sirkler i figur $n$
• Antall bunn-rader er $n$
• Sirkler per bunn-rad er $3n + 1$

Figur 4 får:

• Øverste rad: $4 + 1 = 5$ sirkler
• Bunn-rader: $4$ rader med $3 \cdot 4 + 1 = 13$ sirkler per rad

Det vil være $\underline{\underline{57}}$ sirkler i figur 4.

Vi bruker mønsteret vi fant over. I figur $n$ er antall sirkler:

Vi regner ut:

Vi sjekker med de tre første figurene:

• Figur 1: $3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6$ ✓
• Figur 2: $3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17$ ✓
• Figur 3: $3 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 + 1 = 27 + 6 + 1 = 34$ ✓

Uttrykket for antall sirkler i figur $n$ er $\underline{\underline{a_n = 3n^2 + 2n + 1}}$.

Vi setter inn $n = 100$ i uttrykket:

Det vil være $\underline{\underline{30\,201}}$ sirkler i figur 100.

Vi legger inn funksjonen $S(x) = -3x^4 + 305x^3 - 9000x^2 + 66000x + 495000$ i GeoGebra og tegner grafen for $0 \leq x \leq 50$.

Den oransje linjen viser $S(x) = 450\,000$, de røde punktene viser hvor kurven skjærer terskelverdien og minimum, det grønne punktet viser maksimum, og den blå linjen er tangenten ved $x = 10$ (år 1970).

Fra grafen leser vi av at $S(x) < 450\,000$ mellom $x \approx 12{,}15$ og $x \approx 37{,}16$.

Vi teller antall hele år der seibestanden var lavere enn 450 000 tonn. Det vil si fra $x = 13$ (år 1973) til $x = 37$ (år 1997):

Seibestanden var lavere enn 450 000 tonn i $\underline{\underline{25 \text{~år}}}$ (fra 1973 til og med 1997).

Fra grafen leser vi av at seibestanden var på sitt laveste omtrent ved $x \approx 24{,}93$ (år 1985), med verdi $S(24{,}93) \approx 113\,737$ tonn.

Seibestanden var på sitt høyeste omtrent ved $x \approx 46{,}59$ (år 2007), med verdi $S(46{,}59) \approx 743\,925$ tonn.

Den gjennomsnittlige vekstraten fra minimum til maksimum er:

Seibestanden steg i gjennomsnitt med $\underline{\underline{\approx 29\,100 \text{~tonn/år}}}$ fra den var på sitt laveste til den var på sitt høyeste.

Vi deriverer $S(x)$:

År 1970 tilsvarer $x = 10$ (10 år etter 1960). Vi setter inn:

Den momentane vekstfarten i 1970 var $\underline{\underline{S'(10) = -34\,500 \text{~tonn/år}}}$.

Dette betyr at seibestanden i Arktis ble redusert med omtrent 34 500 tonn per år i 1970. Bestanden var altså i sterk nedgang dette året.

Vi legger alderdataene inn i et regneark og bruker formlene GJENNOMSNITT, MEDIAN, MAKS−MIN og STDAVP.

Gjennomsnitt: Vi summerer alle 20 alderne og deler på 20.

Median: Vi sorterer de 20 verdiene i stigende rekkefølge:

Med 20 verdier er medianen gjennomsnittet av den 10. og 11. verdien (begge er $33$):

Variasjonsbredde:

Standardavvik (populasjonsstandardavvik, STDAVP i Excel / stdav i GeoGebra):

Vi sammenligner de statistiske verdiene:

De mannlige vinnerne er i gjennomsnitt eldre enn de kvinnelige. Gjennomsnittsalderen for menn er $44$ år mot $37{,}75$ år for kvinner, og medianen for menn ($43{,}5$ år) ligger mye høyere enn for kvinner ($33$ år). Det er altså en tendens til at menn vinner Oscar i høyere alder enn kvinner.

Aldersfordelingen er smalere blant de mannlige vinnerne. Standardavviket for menn er $8$ år, mot $\approx 12{,}4$ år for kvinner. Det betyr at alderen blant mannlige vinnere varierer mindre – de fleste befinner seg nærmere gjennomsnittet. Variasjonsbredden for menn ($31$ år) er også mindre enn for kvinner ($40$ år), noe som bekrefter at aldersfordelingen blant kvinner er mer spredt.

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og lar programmet finne den potensmodellen som passer best (regresjonsanalyse):

GeoGebra gir oss:

Modellen blir:

Vi kan kontrollere at modellen passer godt mot datapunktene (de røde punktene i figuren).

Vi skal finne når $B(x) = 30$, det vil si løse likningen:

Fra figuren ser vi at den grønne horisontale linjen $B = 30$ skjærer kurven ved $x \approx 7{,}85$.

Vi kan også løse likningen for hånd:

Det vil gå omtrent $\underline{\underline{7{,}85 \mathrm{~sekunder}}}$ fra Ronny begynner å blåse opp ballongen til den er 30 cm bred, ifølge modellen.

Vi bruker to avlesningspunkter fra grafen: $(20, 225{,}9)$ og $(40, 451{,}8)$.

Stigningstallet beregnes som:

Stigningstallet er $\underline{\underline{11{,}295}}$, det vil si at 1 landmil tilsvarer $11{,}295 \, \mathrm{km}$.

Posten brukte 4,5 døgn, og hvert døgn er 24 timer:

Med 2 timer per landmil blir postruten:

Vi leser av fra GeoGebra-grafen nedenfor: ved $x = 54$ landmil gir funksjonen $f(x) = 11{,}295 \cdot x$:

Postruten var $\underline{\underline{54 \mathrm{~landmil}}}$, noe som tilsvarer omtrent $\underline{\underline{609{,}9 \, \mathrm{km}}}$.

Gjennomsnittet for en havn tilsvarer gjennomsnittlig størrelse på de 12 verdiene i radardiagrammet – det vil si «hvor stor» figuren er totalt. Havn A (blå) har tydelig størst utstrekning i diagrammet: den blå figuren når ut til omtrent $25$ på nesten alle akser. Havn B (rød) ligger jevnt på omtrent $15$, og havn C (svart) ligger lavest, gjerne under $10$.

Havn A hadde i gjennomsnitt flest cruiseanløp i 2018.

Standardavviket sier noe om hvor mye verdiene varierer rundt gjennomsnittet. I radardiagrammet synes dette som formen på figuren: en perfekt sirkel tilsvarer lite variasjon (lite standardavvik), mens en uregelmessig, «krympet»-i-noen-retninger figur tilsvarer stor variasjon (stort standardavvik).

Havn A (blå) og havn B (rød) danner nær sirkelrunde figurer – verdiene er omtrent like store alle måneder, og standardavviket er lite for begge.

Havn C (svart) er klart mest uregelmessig: den er liten og flat om vinteren (januar–mars, november–desember), men strekker seg tydelig ut om sommeren (mai–september). Variasjonen mellom månedene er størst.

Havn C hadde størst standardavvik for antall cruiseanløp i 2018.

Havn B (rød) danner en nær perfekt sirkel i diagrammet: verdiene ligger omtrent på $15$ cruiseanløp hver eneste måned. Når alle månedsverdiene er nesten like, varierer de svært lite rundt gjennomsnittet.

Standardavviket for havn B var derfor svært lite, omtrent $\underline{\underline{0 \text{~cruiseanløp}}}$, i 2018.

Dette betyr at antall cruiseanløp per måned i havn B var nesten det samme hele året.

Eksponentiell vekst betyr at en størrelse øker med en fast prosent (eller fast faktor) per tidsenhet eller per skritt. Det vil si at man ikke legger til det samme beløpet/lengden hver gang, men at økningen selv vokser. Veksten skjer ved at man ganger med den samme faktoren om og om igjen.

Et eksempel: hvis noe dobles for hvert skritt, ganges det med $2$ hver gang – det er eksponentiell vekst med vekstfaktor $2$.

Det første skrittet er $0{,}5 \, \mathrm{m}$, og skrittlengden dobles for hvert skritt. Skritt nummer $n$ har da lengden:

For skritt nummer 30:

Vi regner om til kilometer:

Skritt nummer 30 vil være $\underline{\underline{268\,435\,456 \, \mathrm{m} \approx 268\,435 \, \mathrm{km}}}$ langt. Det er omtrent to tredjedeler av avstanden til månen.

Vi bruker regneark til å finne hvor langt det første skrittet må være.

La $s$ være lengden på det første skrittet. Da er lengden på skritt $n$ lik $s \cdot 2^{n-1}$.

Vi ønsker at summen av alle 30 skritt skal være $384\,400 \, \mathrm{km} = 384\,400\,000 \, \mathrm{m}$.

Oppsett av regneark:

Vi setter $s$ i celle B1, og skriver formler for hvert skritt:

Vi endrer verdien i B1 til regnearket viser $384\,400\,000 \, \mathrm{m}$ i B31.

Matematisk gjelder at summen av en geometrisk rekke med 30 ledd, første ledd $s$ og faktor 2, er:

Vi løser for $s$:

Det første skrittet må være ca. $\underline{\underline{0{,}358 \, \mathrm{m} \approx 36 \, \mathrm{cm}}}$ for at du skal ende opp på månen etter 30 skritt.

Vi finner antall måter å ta 2 epler uten at noen av dem er gule. Det er $10 - 2 = 8$ epler som ikke er gule (5 røde + 3 grønne).

Antall måter å velge 2 av disse 8:

Sannsynligheten er:

Sannsynligheten for at hun ikke tar noen gule epler er $\underline{\underline{\dfrac{28}{45} \approx 0{,}62}}$.

Det betyr at i omtrent 62 av 100 slike uttrekk vil hun ikke få noen gule epler.

Vi finner antall måter å velge 1 rødt og 1 grønt eple. Vi velger 1 av de 5 røde og 1 av de 3 grønne:

Sannsynligheten er:

Sannsynligheten for at hun tar ett rødt og ett grønt eple er $\underline{\underline{\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33}}$.

Det betyr at i omtrent 1 av 3 slike uttrekk vil hun få nettopp ett rødt og ett grønt eple.

Vi finner antall måter å ta to epler med samme farge. Det kan skje på tre måter: to røde, to grønne eller to gule.

• To røde: $\binom{5}{2} = 10$
• To grønne: $\binom{3}{2} = 3$
• To gule: $\binom{2}{2} = 1$

Totalt antall gunstige utfall:

Sannsynligheten er:

Sannsynligheten for at hun tar to epler med samme farge er $\underline{\underline{\dfrac{14}{45} \approx 0{,}31}}$.

Det betyr at i omtrent 31 av 100 slike uttrekk vil begge eplene ha samme farge.