2P-Y Høst 2019 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Skjermtid median og frekvens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Arne har spurt 20 elever i videregående skole hvor mange timer de bruker foran en skjerm i løpet av en vanlig dag. Resultatene ser du nedenfor.

8 4 3 2 5 6 1 1 2 2 3 4 3 4 3 4 3 5 5 6

Bestem medianen og gjennomsnittet for dette datamaterialet.

Bestem den kumulative frekvensen og den relative frekvensen for 3 timer foran skjerm i løpet av en vanlig dag blant disse elevene.

Fasit

Median $= 3,5 t i m e r$ , gjennomsnitt $= 3,7 t i m e r$

Kumulativ frekvens $= 10$ , relativ frekvens $= 25 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi sorterer de 20 verdiene i stigende rekkefølge:

1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 8

Siden vi har 20 verdier (et partall), er medianen gjennomsnittet av den 10. og den 11. verdien. Vi har markert dem med grønt.

Den 10. verdien er $3$ og den 11. verdien er $4$ , så medianen er:

median = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2} = 3,5

Medianen er $3,5 t i m e r$ . Det betyr at halvparten av elevene bruker 3,5 timer eller mindre foran skjerm, og halvparten bruker 3,5 timer eller mer.

For gjennomsnittet legger vi sammen alle verdiene og deler på antallet:

\overline{x} = \frac{8 + 4 + 3 + 2 + 5 + 6 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 3 + 4 + 3 + 5 + 5 + 6}{20} = \frac{74}{20} = 3,7

Gjennomsnittet er $3,7 t i m e r$ . Det betyr at elevene i snitt bruker 3,7 timer foran skjerm i løpet av en dag.

Vi teller opp fra den sorterte listen.

Relativ frekvens for 3 timer er andelen elever som svarte nettopp 3 timer. Det er 5 elever av 20 totalt:

relativ frekvens = \frac{5}{20} = 0,25 = 25 %

Kumulativ frekvens for 3 timer er antall elever som bruker 3 timer eller mindre. Vi teller: to elever med 1 time, tre elever med 2 timer og fem elever med 3 timer:

kumulativ frekvens = 2 + 3 + 5 = 10

Den kumulative frekvensen for 3 timer er $10$ (10 av 20 elever bruker 3 timer eller mindre foran skjerm). Den relative frekvensen for 3 timer er $25 %$ (en av fire elever bruker nøyaktig 3 timer foran skjerm).

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Diagram
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Hvite og røde terninger i eske

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en eske ligger det hvite og røde terninger. Av disse er 15 hvite og 40 % røde.

Hvor mange terninger er det totalt i esken?

Fasit

$25 terninger totalt$

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at $40 %$ av terningene er røde. Da må de hvite terningene utgjøre resten:

100 % - 40 % = 60 %

Så $60 %$ av terningene er hvite. Vi vet at det er 15 hvite terninger. Vi lar $T$ være det totale antallet terninger og setter opp likningen:

60 % \cdot T = 15

0,60 \cdot T = 15

T = \frac{15}{0,60} = 25

Det er $25 terninger totalt$ i esken. (15 hvite og 10 røde, siden $40 % \cdot 25 = 10$ .)

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Brøk med standardform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret på standardform

\frac{1,2 \cdot 10^{7} - 6,5 \cdot 10^{6}}{0,0005}

Fasit

$1,1 \cdot 10^{10}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi begynner med telleren. For å trekke fra må vi skrive begge tallene med samme potens. Vi skriver $6,5 \cdot 10^{6}$ om til $0,65 \cdot 10^{7}$ :

1,2 \cdot 10^{7} - 6,5 \cdot 10^{6} = 1,2 \cdot 10^{7} - 0,65 \cdot 10^{7} = (1,2 - 0,65) \cdot 10^{7} = 0,55 \cdot 10^{7} = 5,5 \cdot 10^{6}

Vi skriver nevneren på potensform:

0,0005 = 5 \cdot 10^{- 4}

Nå deler vi:

\frac{5,5 \cdot 10^{6}}{5 \cdot 10^{- 4}} = \frac{5,5}{5} \cdot \frac{10^{6}}{10^{- 4}} = 1,1 \cdot 10^{6 - (- 4)} = 1,1 \cdot 10^{10}

Svaret er $1,1 \cdot 10^{10}$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Standardform, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Sorter potenser i stigende rekkefølge

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og sorter tallene i stigende rekkefølge, fra minste verdi til største verdi

75^{0} 2^{3} \cdot 2^{2} {(2^{3})}^{2} 2^{- 3} \frac{1}{4^{2}}

Fasit

$\frac{1}{4^{2}} 2^{- 3} 75^{0} 2^{3} \cdot 2^{2} {(2^{3})}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut verdien av hvert uttrykk:

Uttrykk	Utregning	Verdi
$75^{0}$	Et tall i nullte potens er alltid 1	$1$
$2^{3} \cdot 2^{2}$	$2^{3 + 2} = 2^{5}$	$32$
${(2^{3})}^{2}$	$2^{3 \cdot 2} = 2^{6}$	$64$
$2^{- 3}$	$\frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$	$0,125$
$\frac{1}{4^{2}}$	$\frac{1}{16}$	$0,0625$

Vi sorterer verdiene fra minst til størst:

\frac{1}{16} < \frac{1}{8} < 1 < 32 < 64

Sortert i stigende rekkefølge:

\frac{1}{4^{2}} 2^{- 3} 75^{0} 2^{3} \cdot 2^{2} {(2^{3})}^{2}

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Potenser, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Iris telefonselger lønn og alternativ

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Iris jobber som telefonselger noen kvelder i uka. Hun har en fast lønn på 60 kroner per time. I tillegg tjener hun 40 kroner for hvert produkt hun selger.

Lag en modell som viser sammenhengen mellom antall produkter Iris selger i løpet av én time, og timelønnen hennes denne timen.

Hvor mange produkter må Iris selge for å få en timelønn som er høyere enn 200 kroner?

Iris har forhandlet om høyere lønn og fått to alternative tilbud.


Alternativ 1:	Hun får 50 kroner mer i fast lønn per time, men fremdeles 40 kroner for hvert produkt hun selger.
Alternativ 2:	Hun får fremdeles en fast lønn på 60 kroner per time, men beløpet hun får for hvert produkt hun selger, økes med 20 %.

Gjør beregninger, og gi Iris noen råd om hvilket alternativ hun bør velge.

Fasit

$L (x) = 60 + 40 x$

Iris må selge minst 4 produkter per time.

Alternativ 1 lønner seg når hun selger færre enn 7 produkter per time. Alternativ 2 lønner seg når hun selger 7 eller flere produkter per time.

LøsningsforslagKI-generert

Iris har en fast lønn på $60 kr$ per time. For hvert produkt tjener hun $40 kr$ ekstra. Kaller vi antall produkter hun selger per time for $x$ , blir timelønnen:

L (x) = 60 + 40 x

Modellen er $L (x) = 60 + 40 x$ , der $x$ er antall produkter hun selger per time og $L (x)$ er timelønnen i kroner.

Vi setter opp ulikheten:

60 + 40 x > 200

Trekker fra $60$ på begge sider:

40 x > 140

Deler på $40$ :

x > 3,5

Siden $x$ må være et helt antall produkter, betyr dette at Iris må selge minst 4 produkter per time.

$x \geq 4$ — Iris må selge minst 4 produkter per time for å få en timelønn som er høyere enn $200 kr$ .

Vi setter opp en modell for hvert alternativ.

Alternativ 1: Fast lønn øker med $50 kr$ , provisjonen er fremdeles $40 kr$ per produkt:

L_{1} (x) = 110 + 40 x

Alternativ 2: Fast lønn er fremdeles $60 kr$ , men provisjonen økes med $20 %$ :

40 \cdot 1,2 = 48 k r per produkt

L_{2} (x) = 60 + 48 x

Vi finner ut når de to alternativene gir samme lønn ved å sette dem lik hverandre:

110 + 40 x = 60 + 48 x

50 = 8 x

x = 6,25

Det vil si at ved $6,25$ produkter per time er lønnen den samme. Siden man ikke kan selge et halvt produkt, sjekker vi for $x = 6$ og $x = 7$ :

Antall produkter ( $x$ )	Alternativ 1: $L_{1} (x)$	Alternativ 2: $L_{2} (x)$
6	$110 + 40 \cdot 6 = 350 kr$	$60 + 48 \cdot 6 = 348 kr$
7	$110 + 40 \cdot 7 = 390 kr$	$60 + 48 \cdot 7 = 396 kr$

Råd til Iris:

Selger hun vanligvis færre enn 7 produkter per time, bør hun velge Alternativ 1 (fast lønnspåslag).
Selger hun vanligvis 7 eller flere produkter per time, bør hun velge Alternativ 2 (høyere provisjon).
Er hun usikker, kan hun tenke på hva som er mest realistisk for henne å oppnå i løpet av en time.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering, Ulikheter, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Filmlengder gjennomsnitt og histogram

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tone samler på filmer. Tabellen nedenfor viser hvor lange filmene hennes er.

Lengde i minutter	Frekvens
$[60, 80 ⟩$	40
$[80, 120 ⟩$	100
$[120, 140 ⟩$	40
$[140, 180 ⟩$	20

Bestem gjennomsnittslengden for filmene.

Lag et histogram som viser fordelingen av lengden på filmene.

Fasit

$106 \min$

Se histogram i løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet ikke nøyaktig lengden på hver film, bare hvilket intervall de tilhører. Vi bruker midtpunktet i hvert intervall som et anslag på filmenes lengde.

Intervall	Midtpunkt	Frekvens	Midtpunkt × Frekvens
$⟨ 60, 80 ⟩$	$70$	$40$	$70 \cdot 40 = 2 800$
$⟨ 80, 120 ⟩$	$100$	$100$	$100 \cdot 100 = 10 000$
$⟨ 120, 140 ⟩$	$130$	$40$	$130 \cdot 40 = 5 200$
$⟨ 140, 180 ⟩$	$160$	$20$	$160 \cdot 20 = 3 200$
Sum		$200$	$21 200$

Gjennomsnittslengden er:

\overline{x} = \frac{21 200}{200} = 106

Gjennomsnittslengden er $106 \min$ .

I et histogram er det frekvenstettheten (frekvens delt på intervallets bredde) som bestemmer høyden på søylene — ikke frekvensen direkte. Det er fordi intervallene her er ulike brede.

Frekvenstetthet = \frac{Frekvens}{Bredde}

Intervall	Frekvens	Bredde	Frekvenstetthet
$⟨ 60, 80 ⟩$	$40$	$20$	$40 / 20 = 2,0$
$⟨ 80, 120 ⟩$	$100$	$40$	$100 / 40 = 2,5$
$⟨ 120, 140 ⟩$	$40$	$20$	$40 / 20 = 2,0$
$⟨ 140, 180 ⟩$	$20$	$40$	$20 / 40 = 0,5$

Histogrammet tegnes med filmenes lengde (minutter) langs den vannrette aksen og frekvenstetthet langs den loddrette aksen. Søylenes bredde tilsvarer intervallets bredde, og arealet av hver søyle er lik frekvensen i det intervallet.

Histogram over filmlengder, med frekvenstetthet på andreaksen

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Diagram, Tabeller og diagrammer
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Figurmønster med sirkler triangel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre figurer satt sammen av blå sirkler i trapesform

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Dina vil fortsette å tegne figurer etter samme mønster.

Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4?

Bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur $n$ uttrykt ved $n$ .

Hvor mange små sirkler vil det være i figur 100?

Fasit

$57$ sirkler

$a_{n} = 3 n^{2} + 2 n + 1$

$30 201$ sirkler

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller sirkler i de tre figurene for å finne mønsteret.

Hver figur består av én øverste rad (trekant-topp) og et rektangulært bunn-parti:

Figur	Øverste rad	Bunn-rader	Sirkler per bunn-rad	Totalt
1	$2$	$1$	$4$	$2 + 1 \cdot 4 = 6$
2	$3$	$2$	$7$	$3 + 2 \cdot 7 = 17$
3	$4$	$3$	$10$	$4 + 3 \cdot 10 = 34$

Vi ser at:

Øverste rad har $n + 1$ sirkler i figur $n$
Antall bunn-rader er $n$
Sirkler per bunn-rad er $3 n + 1$

Figur 4 får:

Øverste rad: $4 + 1 = 5$ sirkler
Bunn-rader: $4$ rader med $3 \cdot 4 + 1 = 13$ sirkler per rad

5 + 4 \cdot 13 = 5 + 52 = 57

Det vil være $57$ sirkler i figur 4.

Vi bruker mønsteret vi fant over. I figur $n$ er antall sirkler:

a_{n} = (n + 1) + n \cdot (3 n + 1)

Vi regner ut:

a_{n} = n + 1 + 3 n^{2} + n = 3 n^{2} + 2 n + 1

Vi sjekker med de tre første figurene:

Figur 1: $3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6$ ✓
Figur 2: $3 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17$ ✓
Figur 3: $3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1 = 27 + 6 + 1 = 34$ ✓

Uttrykket for antall sirkler i figur $n$ er $a_{n} = 3 n^{2} + 2 n + 1$ .

Vi setter inn $n = 100$ i uttrykket:

a_{100} = 3 \cdot 100^{2} + 2 \cdot 100 + 1 = 3 \cdot 10 000 + 200 + 1 = 30 000 + 200 + 1 = 30 201

Det vil være $30 201$ sirkler i figur 100.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Figurtall, Mønstre, Tallfølger
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 2-1Seibestand i Arktis polynomfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal vi bruke funksjonen $S$ gitt ved

S (x) = - 3 x^{4} + 305 x^{3} - 9000 x^{2} + 66000 x + 495000, 0 \leq x \leq 50

som en modell for seibestanden $S (x)$ tonn i Arktis $x$ år etter 1960.

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $S$ .

Krever PC

I hvor mange år var seibestanden lavere enn 450 000 tonn?

Krever PC

Hvor mange tonn steg seibestanden i gjennomsnitt med per år fra den var på sitt laveste, til den var på sitt høyeste?

Krever PC

Bestem den momentane vekstfarten til $S$ i 1970. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Se graf under.

$25 år$

$\approx 29100 tonn/år$

$S^{'} (10) = - 34 500 tonn/år$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn funksjonen $S (x) = - 3 x^{4} + 305 x^{3} - 9000 x^{2} + 66000 x + 495000$ i GeoGebra og tegner grafen for $0 \leq x \leq 50$ .

Graf over seibestanden S(x) med terskelverdi 450 000, minimumspunkt, maksimumspunkt og tangent i 1970

Den oransje linjen viser $S (x) = 450 000$ , de røde punktene viser hvor kurven skjærer terskelverdien og minimum, det grønne punktet viser maksimum, og den blå linjen er tangenten ved $x = 10$ (år 1970).

Fra grafen leser vi av at $S (x) < 450 000$ mellom $x \approx 12,15$ og $x \approx 37,16$ .

Vi teller antall hele år der seibestanden var lavere enn 450 000 tonn. Det vil si fra $x = 13$ (år 1973) til $x = 37$ (år 1997):

37 - 13 + 1 = 25

Seibestanden var lavere enn 450 000 tonn i $25 år$ (fra 1973 til og med 1997).

Fra grafen leser vi av at seibestanden var på sitt laveste omtrent ved $x \approx 24,93$ (år 1985), med verdi $S (24,93) \approx 113 737$ tonn.

Seibestanden var på sitt høyeste omtrent ved $x \approx 46,59$ (år 2007), med verdi $S (46,59) \approx 743 925$ tonn.

Den gjennomsnittlige vekstraten fra minimum til maksimum er:

\frac{S (46,59) - S (24,93)}{46,59 - 24,93} = \frac{743 925 - 113 737}{21,66} \approx 29 100

Seibestanden steg i gjennomsnitt med $\approx 29 100 tonn/år$ fra den var på sitt laveste til den var på sitt høyeste.

Vi deriverer $S (x)$ :

S^{'} (x) = - 12 x^{3} + 915 x^{2} - 18 000 x + 66 000

År 1970 tilsvarer $x = 10$ (10 år etter 1960). Vi setter inn:

S^{'} (10) = - 12 \cdot 10^{3} + 915 \cdot 10^{2} - 18 000 \cdot 10 + 66 000

= - 12 000 + 91 500 - 180 000 + 66 000 = - 34 500

Den momentane vekstfarten i 1970 var $S^{'} (10) = - 34 500 tonn/år$ .

Dette betyr at seibestanden i Arktis ble redusert med omtrent 34 500 tonn per år i 1970. Bestanden var altså i sterk nedgang dette året.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Funksjonsdrøfting, Graf, Derivasjon, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Oscar-vinnere alder statistikk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du en liste over skuespillere som har vunnet Oscar for beste kvinnelige hovedrolle de siste 20 årene.

År	Navn	Alder	År	Navn	Alder
2018	Olivia Colman	44	2008	Kate Winslet	33
2017	Frances McDormand	60	2007	Marion Cotillard	32
2016	Emma Stone	28	2006	Helen Mirren	61
2015	Brie Larson	26	2005	Reese Witherspoon	29
2014	Julianne Moore	54	2004	Hilary Swank	30
2013	Cate Blanchett	44	2003	Charlize Theron	28
2012	Jennifer Lawrence	22	2002	Nicole Kidman	35
2011	Meryl Streep	62	2001	Halle Berry	35
2010	Natalie Portman	29	2000	Julia Roberts	33
2009	Sandra Bullock	45	1999	Hilary Swank	25

Kalkulator

Bestem gjennomsnittet, medianen, variasjonsbredden og standardavviket for alderen til de kvinnelige prisvinnerne disse 20 årene.

Tabellen nedenfor viser tilsvarende verdier for skuespillere som har vunnet Oscar for beste mannlige hovedrolle de siste 20 årene.


Gjennomsnitt	44 år
Median	43,5 år
Variasjonsbredde	31 år
Standardavvik	8 år

Kalkulator

Hva kan du si om aldersfordelingen blant de mannlige skuespillerne sammenliknet med de kvinnelige ut fra disse verdiene og resultatene fra oppgave a)?

Fasit

Gjennomsnitt: $37,75 år$ , median: $33 år$ , variasjonsbredde: $40 år$ , standardavvik: $\approx 12,4 år$

De mannlige vinnerne er i gjennomsnitt eldre ( $44$ mot $37,75$ år), og aldersfordelingen er smalere (standardavvik $8$ mot $\approx 12,4$ år).

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger alderdataene inn i et regneark og bruker formlene GJENNOMSNITT, MEDIAN, MAKS−MIN og STDAVP.

År	Navn	Alder
2018	Olivia Colman	44
2017	Frances McDormand	60
2016	Emma Stone	28
2015	Brie Larson	26
2014	Julianne Moore	54
2013	Cate Blanchett	44
2012	Jennifer Lawrence	22
2011	Meryl Streep	62
2010	Natalie Portman	29
2009	Sandra Bullock	45
2008	Kate Winslet	33
2007	Marion Cotillard	32
2006	Helen Mirren	61
2005	Reese Witherspoon	29
2004	Hilary Swank	30
2003	Charlize Theron	28
2002	Nicole Kidman	35
2001	Halle Berry	35
2000	Julia Roberts	33
1999	Hilary Swank	25

Gjennomsnitt: Vi summerer alle 20 alderne og deler på 20.

\overline{x} = \frac{44 + 60 + 28 + \dots + 33 + 25}{20} = \frac{755}{20} = 𝟑𝟕,𝟕𝟓 år

Median: Vi sorterer de 20 verdiene i stigende rekkefølge:

22, 25, 26, 28, 28, 29, 29, 30, 32, 33, 33, 35, 35, 44, 44, 45, 54, 60, 61, 62

Med 20 verdier er medianen gjennomsnittet av den 10. og 11. verdien (begge er $33$ ):

Median = \frac{33 + 33}{2} = 𝟑𝟑 år

Variasjonsbredde:

V = x_{\max} - x_{\min} = 62 - 22 = 𝟒𝟎 år

Standardavvik (populasjonsstandardavvik, STDAVP i Excel / stdav i GeoGebra):

s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}{20}} \approx 𝟏𝟐,𝟒 år

Vi sammenligner de statistiske verdiene:

	Kvinner	Menn
Gjennomsnitt	$37,75$ år	$44$ år
Median	$33$ år	$43,5$ år
Variasjonsbredde	$40$ år	$31$ år
Standardavvik	$\approx 12,4$ år	$8$ år

De mannlige vinnerne er i gjennomsnitt eldre enn de kvinnelige. Gjennomsnittsalderen for menn er $44$ år mot $37,75$ år for kvinner, og medianen for menn ( $43,5$ år) ligger mye høyere enn for kvinner ( $33$ år). Det er altså en tendens til at menn vinner Oscar i høyere alder enn kvinner.

Aldersfordelingen er smalere blant de mannlige vinnerne. Standardavviket for menn er $8$ år, mot $\approx 12,4$ år for kvinner. Det betyr at alderen blant mannlige vinnere varierer mindre – de fleste befinner seg nærmere gjennomsnittet. Variasjonsbredden for menn ( $31$ år) er også mindre enn for kvinner ( $40$ år), noe som bekrefter at aldersfordelingen blant kvinner er mer spredt.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål, Tolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Ballongbredde potensmodell regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ronny lager ballongdekorasjoner. Han har undersøkt hvor lang tid det tar å blåse opp en ballong. Tabellen nedenfor viser hvor bred en ballong i gjennomsnitt er hvert sekund de fem første sekundene etter at han begynner å blåse den opp.

Tid (sekunder)	1	2	3	4	5
Bredde (cm)	13,5	17,9	20,3	23,3	25,2

Ronny antar at sammenhengen mellom tiden $x$ sekunder og bredden $B$ cm kan beskrives med en modell av typen

B (x) = p \cdot x^{q}

Krever PC

Bruk datamaterialet i tabellen til å bestemme tallene $p$ og $q$ .

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor lang tid vil det gå fra han begynner å blåse opp en ballong, til den er 30 cm bred, ifølge modellen i oppgave a)?

Fasit

$B (x) \approx 13,52 \cdot x^{0,3867}$

$x \approx 7,85 s e k u n d e r$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og lar programmet finne den potensmodellen som passer best (regresjonsanalyse):

B (x) = p \cdot x^{q}

Potensmodell tilpasset datapunktene for ballongbredde

GeoGebra gir oss:

p \approx 13,52 q \approx 0,3867

Modellen blir:

𝐁 (𝐱) \approx 𝟏𝟑,𝟓𝟐 \cdot 𝐱^{𝟎,𝟑𝟖𝟔𝟕}

Vi kan kontrollere at modellen passer godt mot datapunktene (de røde punktene i figuren).

Vi skal finne når $B (x) = 30$ , det vil si løse likningen:

13,52 \cdot x^{0,3867} = 30

Fra figuren ser vi at den grønne horisontale linjen $B = 30$ skjærer kurven ved $x \approx 7,85$ .

Vi kan også løse likningen for hånd:

x^{0,3867} = \frac{30}{13,52} \approx 2,219

x = {2,219}^{1 / 0,3867} \approx 7,85

Det vil gå omtrent $7,85 s e k u n d e r$ fra Ronny begynner å blåse opp ballongen til den er 30 cm bred, ifølge modellen.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Landmil og kilometer lineær funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Landmil er en gammel norsk målenhet. Den grafiske framstillingen nedenfor viser sammenhengen mellom landmil og kilometer.

Graf som viser lineær sammenheng mellom landmil og kilometer med punktene (20, 225.9) og (40, 451.8)

Kalkulator

Bestem stigningstallet til den rette linjen.

Ved utgangen av 1600-tallet skulle posten bruke 4,5 døgn mellom Christiania (Oslo) og København. Transporttiden svarte til at posten i gjennomsnitt skulle bruke 2 timer per landmil.

Kalkulator

Hvor mange landmil var denne postruten? Hvor mange kilometer tilsvarer dette?

Fasit

$a = 11,295$

$54 l a n d m i l \approx 609,9 km$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker to avlesningspunkter fra grafen: $(20, 225,9)$ og $(40, 451,8)$ .

Stigningstallet beregnes som:

a = \frac{451,8 - 225,9}{40 - 20} = \frac{225,9}{20} = 11,295

Stigningstallet er $11,295$ , det vil si at 1 landmil tilsvarer $11,295 km$ .

Posten brukte 4,5 døgn, og hvert døgn er 24 timer:

4,5 \cdot 24 = 108 t i m e r

Med 2 timer per landmil blir postruten:

\frac{108}{2} = 54 l a n d m i l

Vi leser av fra GeoGebra-grafen nedenfor: ved $x = 54$ landmil gir funksjonen $f (x) = 11,295 \cdot x$ :

f (54) = 11,295 \cdot 54 \approx 609,9 km

GeoGebra-graf som viser f(x) = 11,295x med punkt markert ved (54, 609,9)

Postruten var $54 l a n d m i l$ , noe som tilsvarer omtrent $609,9 km$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineære funksjoner, Graftolkning, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Aksjeverdi prosentvis fall regneark

Krever PC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Verdien av en aksje har falt med 8,5 % hver måned siden januar 2019. I oktober 2019 var aksjen verd 1 500 kroner. Anta at verdien av aksjen vil fortsette å avta med 8,5 % hver måned.

Bruk regneark til å lage en tabell som viser verdien av aksjen hver måned fra januar 2019 til mai 2020.

Regnearket skal også vise hvor mange prosent verdien av aksjen totalt har falt med i denne perioden.

Fasit

Verdien i januar 2019 er ca. $3 336,58 kr$ , i mai 2020 ca. $805,45 kr$ . Samlet prosentvis fall: $75,9 %$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at aksjen var verd $1 500 kr$ i oktober 2019, og at den faller med $8,5 %$ per måned. Vekstfaktoren er

0,915

siden vi beholder $100 % - 8,5 % = 91,5 %$ av verdien hver måned.

Finne startverdi i januar 2019

Fra januar til oktober er det 9 måneder (vi teller januar som måned 0, februar som måned 1, …, oktober som måned 9). Startverdien $V_{0}$ i januar 2019 finner vi ved:

V_{0} \cdot {0,915}^{9} = 1 500

V_{0} = \frac{1 500}{{0,915}^{9}} \approx 3 336,58 kr

Oppsett av regneark

Vi setter opp regnearket slik:

Celle	Innhold	Forklaring
A1	`Jan 2019`	Månedsnavn
B1	`3336.58`	Startverdi januar 2019
A2	`Feb 2019`	Neste måned
B2	`=B1*0,915`	Forrige verdi ganget med vekstfaktoren
…	…	Fortsetter ned til mai 2020
A17	`Mai 2020`	Siste rad
B17	`=B16*0,915`	Verdi mai 2020

I en celle under tabellen beregner vi prosentvis fall med formelen:

=(B1-B17)/B1*100

Dette gir samlet fall i prosent fra januar 2019 til mai 2020.

Tabell over aksjeverdien

Måned	Verdi (kr)
Jan 2019	$3 336,58$
Feb 2019	$3 052,97$
Mar 2019	$2 793,47$
Apr 2019	$2 556,02$
Mai 2019	$2 338,76$
Jun 2019	$2 139,97$
Jul 2019	$1 958,07$
Aug 2019	$1 791,63$
Sep 2019	$1 639,34$
Okt 2019	$1 500,00$
Nov 2019	$1 372,50$
Des 2019	$1 255,84$
Jan 2020	$1 149,09$
Feb 2020	$1 051,42$
Mar 2020	$962,05$
Apr 2020	$880,27$
Mai 2020	$805,45$

Samlet prosentvis fall

Fra januar 2019 til mai 2020 er det 16 måneder. Vekstfaktoren over hele perioden er ${0,915}^{16} \approx 0,241$ , så verdien er redusert til ca. $24,1 %$ av startverdien.

Samlet prosentvis fall:

\frac{3 336,58 - 805,45}{3 336,58} \cdot 100 \approx 𝟕𝟓,𝟗 %

Svaret er at aksjen har falt med $75,9 %$ totalt fra januar 2019 til mai 2020.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vekstfaktor, Verdifall, Prosentregning, Tabeller og diagrammer
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Cruiseanløp radardiagram standardavvik

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Radardiagram som viser antall cruiseanløp per måned i 2018 for havn A (blå), havn B (rød) og havn C (svart)

Diagrammet ovenfor viser antall cruiseanløp hver måned i 2018 i tre ulike havner, havn A, havn B og havn C.

Svar på oppgave a), b) og c) ved å argumentere ut fra diagrammet, uten å utføre beregninger.

For hånd

Hvilken havn hadde i gjennomsnitt flest cruiseanløp i 2018?

For hånd

Hvilken havn hadde størst standardavvik for antall cruiseanløp i 2018?

For hånd

Omtrent hvor stort vil du anslå at standardavviket for antall cruiseanløp i havn B var i 2018?

Fasit

$Havn A$

$Havn C$

Standardavviket for havn B er $svært lite, omtrent 0 cruiseanløp$

LøsningsforslagKI-generert

Gjennomsnittet for en havn tilsvarer gjennomsnittlig størrelse på de 12 verdiene i radardiagrammet – det vil si «hvor stor» figuren er totalt. Havn A (blå) har tydelig størst utstrekning i diagrammet: den blå figuren når ut til omtrent $25$ på nesten alle akser. Havn B (rød) ligger jevnt på omtrent $15$ , og havn C (svart) ligger lavest, gjerne under $10$ .

Havn A hadde i gjennomsnitt flest cruiseanløp i 2018.

Standardavviket sier noe om hvor mye verdiene varierer rundt gjennomsnittet. I radardiagrammet synes dette som formen på figuren: en perfekt sirkel tilsvarer lite variasjon (lite standardavvik), mens en uregelmessig, «krympet»-i-noen-retninger figur tilsvarer stor variasjon (stort standardavvik).

Havn A (blå) og havn B (rød) danner nær sirkelrunde figurer – verdiene er omtrent like store alle måneder, og standardavviket er lite for begge.

Havn C (svart) er klart mest uregelmessig: den er liten og flat om vinteren (januar–mars, november–desember), men strekker seg tydelig ut om sommeren (mai–september). Variasjonen mellom månedene er størst.

Havn C hadde størst standardavvik for antall cruiseanløp i 2018.

Havn B (rød) danner en nær perfekt sirkel i diagrammet: verdiene ligger omtrent på $15$ cruiseanløp hver eneste måned. Når alle månedsverdiene er nesten like, varierer de svært lite rundt gjennomsnittet.

Standardavviket for havn B var derfor svært lite, omtrent $0 cruiseanløp$ , i 2018.

Dette betyr at antall cruiseanløp per måned i havn B var nesten det samme hele året.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Statistikk, Spredningsmål, Diagram, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Eksponentiell vekst skritt til månen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For hånd

Forklar hva eksponentiell vekst er.

Nedenfor ser du et utdrag fra en artikkel der eksponentiell vekst blir forklart med et eksempel.

«Om du kunne ta 30 eksponentielle skritt, der skrittlengden blir doblet for hvert skritt, ville du endt opp på månen.»

Anta at det første skrittet er på $0,5 m$ .

Kalkulator

Hvor langt vil skritt nummer 30 da være ifølge utdraget fra artikkelen?

Avstanden fra jorda til månen er $384 400 k m$ .

Kalkulator

Bruk regneark til å undersøke hvor langt det første skrittet må være for at du skal ende opp på månen etter 30 skritt.

Fasit

Eksponentiell vekst: størrelsene øker med en fast prosentandel (eller fast faktor) for hvert skritt/tidsenhet.

$268 435 456 m \approx 268 435 km$

Første skritt må være ca. $0,358 m \approx 36 cm$

LøsningsforslagKI-generert

Eksponentiell vekst betyr at en størrelse øker med en fast prosent (eller fast faktor) per tidsenhet eller per skritt. Det vil si at man ikke legger til det samme beløpet/lengden hver gang, men at økningen selv vokser. Veksten skjer ved at man ganger med den samme faktoren om og om igjen.

Et eksempel: hvis noe dobles for hvert skritt, ganges det med $2$ hver gang – det er eksponentiell vekst med vekstfaktor $2$ .

Det første skrittet er $0,5 m$ , og skrittlengden dobles for hvert skritt. Skritt nummer $n$ har da lengden:

ℓ_{n} = 0,5 \cdot 2^{n - 1}

For skritt nummer 30:

ℓ_{30} = 0,5 \cdot 2^{29} = 0,5 \cdot 536 870 912 = 268 435 456 m

Vi regner om til kilometer:

268 435 456 m = 268 435,5 km

Skritt nummer 30 vil være $268 435 456 m \approx 268 435 km$ langt. Det er omtrent to tredjedeler av avstanden til månen.

Vi bruker regneark til å finne hvor langt det første skrittet må være.

La $s$ være lengden på det første skrittet. Da er lengden på skritt $n$ lik $s \cdot 2^{n - 1}$ .

Vi ønsker at summen av alle 30 skritt skal være $384 400 km = 384 400 000 m$ .

Oppsett av regneark:

Vi setter $s$ i celle B1, og skriver formler for hvert skritt:

Celle	Innhold
A1	`Skritt 1`
B1	`0,5` (prøveverdi for første skritt, juster denne)
A2	`Skritt 2`
B2	`=B1*2`
…	… (kopier B2 ned til B30)
B31	`=SUMMER(B1:B30)` (total distanse)

Vi endrer verdien i B1 til regnearket viser $384 400 000 m$ i B31.

Matematisk gjelder at summen av en geometrisk rekke med 30 ledd, første ledd $s$ og faktor 2, er:

S = s \cdot \frac{2^{30} - 1}{2 - 1} = s \cdot (2^{30} - 1)

Vi løser for $s$ :

s = \frac{384 400 000}{2^{30} - 1} = \frac{384 400 000}{1 073 741 823} \approx 0,358 m

Det første skrittet må være ca. $0,358 m \approx 36 cm$ for at du skal ende opp på månen etter 30 skritt.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Epler i kjøleskap kombinatorisk sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Embla har ti epler i kjøleskapet. Fem av dem er røde, tre er grønne, og to er gule.

Hun tar tilfeldig to epler.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at hun ikke tar noen gule epler.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at hun tar ett rødt og ett grønt eple.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at hun tar to epler med samme farge.

Fasit

$P = \frac{28}{45}$

$P = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$

$P = \frac{14}{45}$

LøsningsforslagKI-generert

Det er 10 epler totalt: 5 røde, 3 grønne og 2 gule. Embla tar 2 epler tilfeldig.

Det totale antallet måter å velge 2 epler fra 10 er:

(\binom{10}{2}) = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45

Vi finner antall måter å ta 2 epler uten at noen av dem er gule. Det er $10 - 2 = 8$ epler som ikke er gule (5 røde + 3 grønne).

Antall måter å velge 2 av disse 8:

(\binom{8}{2}) = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28

Sannsynligheten er:

P (ingen gule) = \frac{28}{45}

Sannsynligheten for at hun ikke tar noen gule epler er $\frac{28}{45} \approx 0,62$ .

Det betyr at i omtrent 62 av 100 slike uttrekk vil hun ikke få noen gule epler.

Vi finner antall måter å velge 1 rødt og 1 grønt eple. Vi velger 1 av de 5 røde og 1 av de 3 grønne:

(\binom{5}{1}) \cdot (\binom{3}{1}) = 5 \cdot 3 = 15

Sannsynligheten er:

P (1 rød og 1 grønn) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}

Sannsynligheten for at hun tar ett rødt og ett grønt eple er $\frac{1}{3} \approx 0,33$ .

Det betyr at i omtrent 1 av 3 slike uttrekk vil hun få nettopp ett rødt og ett grønt eple.

Vi finner antall måter å ta to epler med samme farge. Det kan skje på tre måter: to røde, to grønne eller to gule.

To røde: $(\binom{5}{2}) = 10$
To grønne: $(\binom{3}{2}) = 3$
To gule: $(\binom{2}{2}) = 1$

Totalt antall gunstige utfall:

10 + 3 + 1 = 14

Sannsynligheten er:

P (samme farge) = \frac{14}{45}

Sannsynligheten for at hun tar to epler med samme farge er $\frac{14}{45} \approx 0,31$ .

Det betyr at i omtrent 31 av 100 slike uttrekk vil begge eplene ha samme farge.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Skjermtid median og frekvens

Oppgave 1-2·Hvite og røde terninger i eske

Oppgave 1-3·Brøk med standardform

Oppgave 1-4·Sorter potenser i stigende rekkefølge

Oppgave 1-5·Iris telefonselger lønn og alternativ

Oppgave 1-6·Filmlengder gjennomsnitt og histogram

Oppgave 1-7·Figurmønster med sirkler triangel

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Seibestand i Arktis polynomfunksjon

Oppgave 2-2·Oscar-vinnere alder statistikk

Oppgave 2-3·Ballongbredde potensmodell regresjon

Oppgave 2-4·Landmil og kilometer lineær funksjon

Oppgave 2-5·Aksjeverdi prosentvis fall regneark

Oppgave 2-6·Cruiseanløp radardiagram standardavvik

Oppgave 2-7·Eksponentiell vekst skritt til månen

Oppgave 2-8·Epler i kjøleskap kombinatorisk sannsynlighet

Temaer

Oppgave 1-1Skjermtid median og frekvens

Oppgave 1-2Hvite og røde terninger i eske

Oppgave 1-3Brøk med standardform

Oppgave 1-4Sorter potenser i stigende rekkefølge

Oppgave 1-5Iris telefonselger lønn og alternativ

Oppgave 1-6Filmlengder gjennomsnitt og histogram

Oppgave 1-7Figurmønster med sirkler triangel

Oppgave 2-1Seibestand i Arktis polynomfunksjon

Oppgave 2-2Oscar-vinnere alder statistikk

Oppgave 2-3Ballongbredde potensmodell regresjon

Oppgave 2-4Landmil og kilometer lineær funksjon

Oppgave 2-5Aksjeverdi prosentvis fall regneark

Oppgave 2-6Cruiseanløp radardiagram standardavvik

Oppgave 2-7Eksponentiell vekst skritt til månen

Oppgave 2-8Epler i kjøleskap kombinatorisk sannsynlighet