2P-Y Vår 2011

Oppgave 1-1Standardform, fotballmål, tallsystemer og sommerferie

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv på standardform

36 200

0,000 642

53 millioner

0,034 \cdot 10^{- 2}

Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din og fyll inn det som mangler.

Prosentvis endring	Vekstfaktor
$+ 2 %$
$- 68 %$
	$0,25$
	$2$

Regn ut

\frac{2^{- 3} \cdot 4^{3}}{8^{2}}

Nedenfor ser du hvor mange mål som ble scoret i fotballkampene mellom Rosenborg og Brann i Eliteserien i årene fra 2005 til 2009:

5 5 0 4 3 5 2 0 2 2

Finn gjennomsnittet og medianen for dette datamaterialet.

Sett opp resultatene i en tabell. Tabellen skal vise frekvens og kumulativ frekvens.

Hva er den kumulative frekvensen for to mål, og hva betyr dette?

En vare selges i to forskjellige butikker. Prisen er den samme i begge butikkene. I butikk A settes prisen opp med 20 %. I butikk B settes prisen først opp med 10 % og så etter noen dager med 10 % til.

Marit påstår at prisen da fremdeles er den samme i begge butikkene.

Forklar Marit hvorfor dette ikke er riktig. Bruk gjerne et eksempel når du forklarer.

I en 2P-gruppe er det 10 elever. Læreren har undersøkt hvor mye tid elevene bruker på matematikkleksene i løpet av en uke.

Resultatene er gitt i tabellen nedenfor.

Antall minutter	Antall elever
$[0, 30 ⟩$	1
$[30, 60 ⟩$	3
$[60, 120 ⟩$	5
$[120, 240 ⟩$	1

Finn gjennomsnittet for dette grupperte datamaterialet.

I tallsystemet som vi vanligvis bruker, er grunntallet 10. I totallsystemet er grunntallet 2. Det finnes også tallsystemer med andre grunntall.

Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, gjør beregninger og fyll inn det som mangler.

Tallsystem med grunntall 10	Tallsystem med grunntall 2	Tallsystem med grunntall 4
$27$		$123_{4}$
	$101010_{2}$

De 20 elevene i klasse 1A planlegger sommerferien.

16 elever har fått sommerjobb.
10 av elevene som har fått sommerjobb, skal også på ferie.
2 elever har ikke fått sommerjobb og skal heller ikke på ferie.

Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.

Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra klasse 1A skal på ferie.

Fasit

$3,62 \cdot 10^{4}$ , $6,42 \cdot 10^{- 4}$ , $5,3 \cdot 10^{7}$ , $3,4 \cdot 10^{- 4}$

$1,02$ , $0,32$ , $- 75 %$ , $+ 100 %$

$\frac{1}{8} = 0,125$

Gjennomsnitt $2,8$ , median $2,5$ ; kumulativ frekvens for to mål er $5$

$100 \cdot 1,10 \cdot 1,10 = 121$ , ikke $120$ — prisen blir høyere i butikk B

$78 m i n u t t e r$

$27 = 11011_{2}$ ; $101010_{2} = 42 = 222_{4}$

$P (ferie) = \frac{12}{20} = 60 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver hvert tall på standardform, altså som $a \cdot 10^{n}$ der $1 \leq a < 10$ .

$36 200 = 3,62 \cdot 10^{4}$

$0,000 642 = 6,42 \cdot 10^{- 4}$

$53$ millioner $= 53 000 000 = 5,3 \cdot 10^{7}$

Her må vi rydde opp tallet foran potensen først, siden $0,034$ ikke ligger mellom $1$ og $10$ :

0,034 \cdot 10^{- 2} = 3,4 \cdot 10^{- 2} \cdot 10^{- 2} = 3,4 \cdot 10^{- 4}

Svar:

36 200 = 3,62 \cdot 10^{4}, 0,000 642 = 6,42 \cdot 10^{- 4}, 53 mill. = 5,3 \cdot 10^{7}, 0,034 \cdot 10^{- 2} = 3,4 \cdot 10^{- 4}

Sammenhengen mellom prosentvis endring og vekstfaktor er

vekstfaktor = 1 + \frac{prosentvis endring}{100}

$+ 2 %$ : vekstfaktor $= 1 + 0,02 = 1,02$

$- 68 %$ : vekstfaktor $= 1 - 0,68 = 0,32$

Vekstfaktor $0,25$ : prosentvis endring $= (0,25 - 1) \cdot 100 % = - 75 %$

Vekstfaktor $2$ : prosentvis endring $= (2 - 1) \cdot 100 % = + 100 %$

Prosentvis endring	Vekstfaktor
+2 %	1,02
-68 %	0,32
-75 %	0,25
+100 %	2

Svar: $1,02, 0,32, - 75 %, + 100 %$

Vi regner ut hver del for seg og bruker at $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ :

2^{- 3} = \frac{1}{8}, 4^{3} = 64, 8^{2} = 64

Setter vi dette inn i uttrykket, får vi

\frac{2^{- 3} \cdot 4^{3}}{8^{2}} = \frac{\frac{1}{8} \cdot 64}{64} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}

Svar: $\frac{1}{8} = 0,125$

Målene i de ti kampene, sortert fra minst til størst:

0, 0, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5

1) Gjennomsnittet finner vi ved å summere alle verdiene og dele på antall kamper:

\overline{x} = \frac{5 + 5 + 0 + 4 + 3 + 5 + 2 + 0 + 2 + 2}{10} = \frac{28}{10} = 2,8

Medianen er midt mellom den 5. og 6. verdien i den sorterte lista:

median = \frac{2 + 3}{2} = 2,5

2) Frekvenstabell med kumulativ frekvens:

Antall mål	Frekvens	Kumulativ frekvens
0	2	2
2	3	5
3	1	6
4	1	7
5	3	10

3) Den kumulative frekvensen for to mål er $5$ . Dette betyr at det i $5$ av de $10$ kampene ble scoret $2$ mål eller færre.

Svar: $\overline{x} = 2,8, median = 2,5, kumulativ frekvens for 2 mål = 5$

Marit tar feil. To prisøkninger på $10 %$ etter hverandre gir ikke det samme som én økning på $20 %$ , fordi den andre økningen på $10 %$ regnes av en pris som allerede er økt.

Vi bruker et eksempel med startpris $100 kr$ .

Butikk A (én økning på $20 %$ ), vekstfaktor $1,20$ :

100 kr \cdot 1,20 = 120 kr

Butikk B (to økninger på $10 %$ ), vekstfaktor $1,10 \cdot 1,10 = 1,21$ :

100 kr \cdot 1,10 \cdot 1,10 = 121 kr

Prisen i butikk B blir $121 kr$ , mens prisen i butikk A blir $120 kr$ . Prisene er altså ikke like — to økninger på $10 %$ gir til sammen en økning på $21 %$ , ikke $20 %$ , siden den andre økningen også regnes av rentetillegget fra den første.

Svar: $100 \cdot 1,10 \cdot 1,10 = 121 kr \neq 120 kr$ — prisen blir høyere i butikk B.

Siden vi ikke kjenner de enkelte verdiene i hver klasse, bruker vi midtpunktet i hver klasse som en tilnærmet verdi for elevene i klassen.

Antall minutter	Midtpunkt	Antall elever	Midtpunkt $\cdot$ antall
$[0, 30 ⟩$	$15$	$1$	$15$
$[30, 60 ⟩$	$45$	$3$	$135$
$[60, 120 ⟩$	$90$	$5$	$450$
$[120, 240 ⟩$	$180$	$1$	$180$
Sum		$10$	$780$

Gjennomsnittet blir da

\overline{x} = \frac{780}{10} = 78

Svar: $\overline{x} \approx 78 m i n u t t e r$

Vi bruker at $123_{4}$ og $101010_{2}$ er oppgitt, og regner ut de manglende verdiene.

Første rad: Tallet $123_{4}$ betyr

1 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4^{1} + 3 \cdot 4^{0} = 16 + 8 + 3 = 27

Dette stemmer med $27$ i grunntall-10-kolonnen. Vi omgjør så $27$ til totallsystemet ved å trekke fra de største toerpotensene som går opp:

27 = 16 + 8 + 2 + 1 = 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 11011_{2}

Andre rad: Tallet $101010_{2}$ betyr

1 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} = 32 + 8 + 2 = 42

Vi omgjør så $42$ til grunntall $4$ ved å dele gjentatte ganger på $4$ og notere restene:

42 = 4 \cdot 10 + 2, 10 = 4 \cdot 2 + 2, 2 = 4 \cdot 0 + 2

Restene lest bakfra gir $222_{4}$ . Kontroll: $2 \cdot 16 + 2 \cdot 4 + 2 = 32 + 8 + 2 = 42$ .

Grunntall 10	Grunntall 2	Grunntall 4
27	11011	123
42	101010	222

Svar: $27 = 11011_{2}, 101010_{2} = 42 = 222_{4}$

1) Vi systematiserer opplysningene i en krysstabell. Av de $20$ elevene har $16$ fått sommerjobb, og av disse skal $10$ også på ferie. Da er det $16 - 10 = 6$ som har jobb, men ikke skal på ferie. De $4$ elevene uten sommerjobb ( $20 - 16 = 4$ ) fordeler seg på $2$ som ikke skal på ferie (oppgitt) og dermed $4 - 2 = 2$ som skal på ferie uten å ha jobb.

	Ferie	Ikke ferie	Totalt
Jobb	10	6	16
Ikke jobb	2	2	4
Totalt	12	8	20

2) Totalt skal $10 + 2 = 12$ elever på ferie, av $20$ elever i alt. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra klasse 1A skal på ferie er da

P (ferie) = \frac{12}{20} = 0,6 = 60 %

Svar: $P (ferie) = \frac{12}{20} = 60 %$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 20
Temaer: Standardform, Vekstfaktor, Potenser, Statistikk, Tallregning, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Gradestokk med celsius og fahrenheit for kakesteking

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Stig har fått en kakeoppskrift fra tante Mathilde i Amerika. I oppskriften står det at kaken skal stekes på $350 ° F$ . Han lurer på hvor mange grader celsius dette tilsvarer.

Stig har en gradestokk utenfor kjøkkenvinduet som viser både celsiusgrader og fahrenheitgrader. Se bildet til høyre.

Gradestokk med celsiusskala til venstre og fahrenheitskala til høyre

Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk gradestokken til høyre og fyll ut tabellen.

$° F$	$0$		$100$
$° C$		$10$

Tegn et koordinatsystem med grader fahrenheit langs $x$ -aksen og grader celsius langs $y$ -aksen. Marker verdiene fra tabellen i a) som punkter i koordinatsystemet.

Tegn en rett linje som går gjennom punktene. Bruk linjen til å finne ut hvor mange grader celsius Stig skal steke kaken på.

Fasit

$50 ° F \to 10 ° C$ ; $0 ° F \approx - 18 ° C$ ; $100 ° F \approx 38 ° C$

Se punktene i koordinatsystemet i løsningsforslaget

$\approx 177 ° C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av gradestokken der de to skalaene står ved siden av hverandre. Merket $10 ° C$ på celsiusskalaen står ved siden av $50$ på fahrenheitskalaen. På samme måte leser vi av at $0 ° F$ svarer til omtrent $- 18 ° C$ , og at $100 ° F$ svarer til omtrent $38 ° C$ .

$° F$	$0$	$50$	$100$
$° C$	$- 18$	$10$	$38$

b og c

Vi setter av de tre punktene $(0, - 18)$ , $(50, 10)$ og $(100, 38)$ i et koordinatsystem med fahrenheit langs $x$ -aksen og celsius langs $y$ -aksen. Punktene ligger tilnærmet på en rett linje, som vi tegner gjennom dem og forlenger.

For å finne celsiusverdien til $350 ° F$ forlenger vi linja til $x = 350$ og leser av $y$ -verdien der.

Koordinatsystem med punktene fra tabellen, en rett linje gjennom dem og avlesning ved 350 grader fahrenheit

Ved $x = 350 ° F$ leser vi av at linja treffer omtrent $y \approx 177$ .

Stig bør altså steke kaken på omtrent $177 ° C$ .

Avlesning på en håndtegnet linje er ikke eksakt: avhengig av nøyaktigheten i avlesningen av de tre punktene og av linja, vil svaret typisk havne et sted mellom $177 ° C$ og $178 ° C$ . Til sammenligning gir den eksakte omregningsformelen $(350 - 32) \cdot \frac{5}{9} \approx 176,7 ° C$ , som stemmer godt med avlesningen.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 1P, 2P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Lineære funksjoner, Graftolkning, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 2-3CO2-utslipp for bil ved 60 og 80 km i timen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Antall gram CO₂ en bil slipper ut per kilometer er gitt ved

f (x) = 0,046 x^{2} - 6,7 x + 386

der $x$ er farten til bilen målt i km/h.

Kalkulator

Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem for $x$ -verdier fra 20 til 100.

Kalkulator

Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer, dersom den holder en fart på 60 km/h?

Krever PC

Hvilken fart gir minst CO₂-utslipp per kilometer? Hvor stort er CO₂-utslippet per kilometer da?

Bilen kjører i 80 km/h i en halv time.

Kalkulator

Hvor mye CO₂ slipper bilen ut i løpet av denne halvtimen?

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$f (60) = 149,6 g / k m$

$x \approx 72,8 k m / h, f (72,8) \approx 142,0 g / k m$

$5776 g = 5,776 kg {CO}_{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $f (x) = 0,046 x^{2} - 6,7 x + 386$ for $x$ -verdier fra $20$ til $100$ i GeoGebra.

Graf av CO₂-utslipp som funksjon av farten

Grafen er en parabel som synker fra ca. $270 g / k m$ ved $20 k m / h$ ned til et bunnpunkt rundt $73 k m / h$ , og stiger deretter igjen.

Vi setter $x = 60$ inn i funksjonsuttrykket:

\begin{matrix} f (60) & = 0,046 \cdot 60^{2} - 6,7 \cdot 60 + 386 \\ = 0,046 \cdot 3600 - 402 + 386 \\ = 165,6 - 402 + 386 \\ = 149,6 \end{matrix}

Ved en fart på $60 k m / h$ slipper bilen ut $149,6 g$ CO₂ per kilometer.

Bunnpunktet på grafen viser hvilken fart som gir minst CO₂-utslipp per kilometer. Fra grafen (punktet $A$ ) leser vi av bunnpunktet

A = (72,8, 142,0)

En fart på omtrent $72,8 k m / h$ gir minst CO₂-utslipp, og utslippet er da omtrent $142,0 g / k m$ .

Bilen kjører i $80 k m / h$ i en halv time, og tilbakelegger dermed

s = 80 k m / h \cdot 0,5 h = 40 km

Utslippet per kilometer ved $80 k m / h$ finner vi ved å sette $x = 80$ inn i funksjonsuttrykket:

\begin{matrix} f (80) & = 0,046 \cdot 80^{2} - 6,7 \cdot 80 + 386 \\ = 0,046 \cdot 6400 - 536 + 386 \\ = 294,4 - 536 + 386 \\ = 144,4 \end{matrix}

Totalt utslipp på turen blir da utslippet per kilometer multiplisert med antall kilometer:

144,4 g / k m \cdot 40 km = 5776 g

I løpet av denne halvtimen slipper bilen ut $5776 g = 5,776 kg$ CO₂.

Oppgavedata

Delt med: 1P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Andregradsfunksjon, Modellering, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Fartskontroller på veistrekninger med fartsgrense 50 og 80

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Politiet har gjennomført fartskontroller på to veistrekninger. Den ene veistrekningen har fartsgrense $50 k m / h$ og den andre $80 k m / h$ . Nedenfor ser du resultatene fra hver av de to kontrollene.

Fartsgrense $50 k m / h$

Fart	Antall biler
$[45, 50 ⟩$	25
$[50, 55 ⟩$	26
$[55, 60 ⟩$	23
$[60, 65 ⟩$	3
$[65, 70 ⟩$	2
$[70, 75 ⟩$	1

Fartsgrense $80 k m / h$

Fart	Antall biler
$[70, 75 ⟩$	7
$[75, 80 ⟩$	43
$[80, 85 ⟩$	17
$[85, 90 ⟩$	8
$[90, 95 ⟩$	0
$[95, 125 ⟩$	5

Kalkulator

Presenter dataene fra tabellene ovenfor i hvert sitt stolpediagram.

Kalkulator

Hvor mange prosent av bilførerne kjører 10 % eller mer over fartsgrensen i hver av de to kontrollene?

Kalkulator

Finn gjennomsnittsfarten til bilene i hver av de to kontrollene.

Kalkulator

Hvor mange prosent over fartsgrensen er gjennomsnittsfarten til bilene i hver av de to kontrollene?

Kalkulator

Bruk svarene i a), b), c) og d) til å vurdere om bilførerne kjører mest lovlydig på veistrekningen med fartsgrense $50 k m / h$ eller på veistrekningen med fartsgrense $80 k m / h$ .

Fasit

Se stolpediagrammer i løsningsforslaget

$50 k m / h$ : $36,25 %$ , $80 k m / h$ : $\approx 10 %$

$50 k m / h$ : $53,4 k m / h$ , $80 k m / h$ : $81,2 k m / h$

$50 k m / h$ : $6,75 %$ , $80 k m / h$ : $\approx 1,4 %$

$Bilførerne kjører mest lovlydig på strekningen med fartsgrense 80 k m / h$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lager ett stolpediagram for hver av de to tabellene, med fartsintervallene langs den vannrette aksen og antall biler langs den loddrette.

Stolpediagram for fartskontrollen med fartsgrense 50 km/h

Stolpediagram for fartskontrollen med fartsgrense 80 km/h

Det er totalt $25 + 26 + 23 + 3 + 2 + 1 = 80$ biler i hver av de to kontrollene.

Fartsgrense $50 k m / h$ . Å kjøre $10 %$ eller mer over fartsgrensen betyr en fart på minst

50 + 0,10 \cdot 50 = 55 k m / h

Grensen $55 k m / h$ er nettopp klassegrensen mellom $[50,55 ⟩$ og $[55,60 ⟩$ , så vi kan telle klassene direkte. Dette treffer klassene $[55,60 ⟩$ , $[60,65 ⟩$ , $[65,70 ⟩$ og $[70,75 ⟩$ , med til sammen

23 + 3 + 2 + 1 = 29 biler

Andelen blir

\frac{29}{80} \cdot 100 % = 36,25 %

Fartsgrense $80 k m / h$ . Å kjøre $10 %$ eller mer over fartsgrensen betyr en fart på minst

80 + 0,10 \cdot 80 = 88 k m / h

Grensen på $88 k m / h$ ligger denne gangen midt inne i klassen $[85,90 ⟩$ , ikke på en klassegrense. Tar vi med hele klassen $[85,90 ⟩$ (8 biler) i tillegg til klassen over, får vi

\frac{8 + 0 + 5}{80} \cdot 100 % = 16,25 %

men det blir for høyt, siden ikke alle de $8$ bilene i klassen faktisk kjørte $88 k m / h$ eller mer. Vi antar at bilene er jevnt fordelt utover klassen $[85,90 ⟩$ , og regner bare med den andelen av klassen som ligger over $88 k m / h$ . Klassen har bredde $5$ , og $88$ ligger $2$ over nedre grense, altså dekker $88$ til $90$ en andel

\frac{90 - 88}{90 - 85} = \frac{2}{5}

av klassen. Det tilsvarer

8 \cdot \frac{2}{5} = 3,2 \approx 3 biler

Sammen med de $0 + 5 = 5$ bilene i klassene $[90,95 ⟩$ og $[95,125 ⟩$ , som uansett kjørte over $88 k m / h$ , gir dette

\frac{3 + 5}{80} \cdot 100 % = 10 %

Vi finner gjennomsnittsfarten ved å bruke midtpunktet i hver klasse som representativ fart, multiplisere med antall biler i klassen, summere og dele på totalt antall biler.

Fartsgrense $50 k m / h$ :

\overline{x} = \frac{47,5 \cdot 25 + 52,5 \cdot 26 + 57,5 \cdot 23 + 62,5 \cdot 3 + 67,5 \cdot 2 + 72,5 \cdot 1}{80} = 53,4 k m / h

Fartsgrense $80 k m / h$ : her er midtpunktet i den siste klassen $\frac{95 + 125}{2} = 110$ .

\overline{x} = \frac{72,5 \cdot 7 + 77,5 \cdot 43 + 82,5 \cdot 17 + 87,5 \cdot 8 + 92,5 \cdot 0 + 110 \cdot 5}{80} = 81,2 k m / h

Fartsgrense $50 k m / h$ :

\frac{53,4 - 50}{50} \cdot 100 % = 6,75 %

Fartsgrense $80 k m / h$ :

\frac{81,2 - 80}{80} \cdot 100 % \approx 1,4 %

Alle fire svarene peker i samme retning:

Stolpediagrammene (a) viser at farten på $80$ -strekningen samler seg tett rundt fartsgrensen, mens farten på $50$ -strekningen sprer seg mer og har en klar “hale” av biler godt over grensen.
Andelen som kjører minst $10 %$ for fort (b) er mye høyere på $50$ -strekningen ( $36,25 %$ ) enn på $80$ -strekningen (ca. $10 %$ ).
Gjennomsnittsfarten (c) og hvor mange prosent den ligger over fartsgrensen (d) viser det samme: på $50$ -strekningen ligger gjennomsnittet $6,75 %$ over grensen, mens det på $80$ -strekningen bare ligger ca. $1,4 %$ over.

Konklusjonen er at $bilførerne kjører mest lovlydig på veistrekningen med fartsgrense 80 k m / h$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 9
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Diagram, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Potensregresjon for diameter og volum til kuler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Per prøver å finne en sammenheng mellom diameteren og volumet til kuler.

Han måler diameter og volum for noen kuler av ulik størrelse. Se tabellen nedenfor.

Diameter ( $cm$ )	$3,0$	$6,0$	$10,0$	$16,0$	$26,0$
Volum ( $c m^{3} = mL$ )	$14$	$113$	$525$	$2 145$	$9 200$

Krever PC

Bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = 0,52 \cdot x^{3,0}$ er en god modell for sammenhengen mellom diameteren, $x$ , og volumet, $f (x)$ , til kuler.

Tegn grafen til funksjonen $f$ .

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Finn diameteren til en kule med volum $1000 m L$ .

Per lærte allerede i grunnskolen at formelen for volumet av en kule er $V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}$ , der $r$ er radius i kulen.

Kalkulator

Stemmer resultatet fra a) med denne formelen? Forklar.

Fasit

$f (x) = 0,52 \cdot x^{3,0}$ stemmer godt med måleverdiene

$x \approx 12,4 cm$

Ja, resultatet stemmer med kuleformelen

LøsningsforslagKI-generert

Vi utfører potensregresjon på de fem måleverdiene (diameter, volum):

(3,0; 14), (6,0; 113), (10,0; 525), (16,0; 2145), (26,0; 9200)

Regresjonen gir

f (x) = 0,526 \cdot x^{2,999} \approx 0,52 \cdot x^{3,0}

Dette er tilnærmet lik funksjonsuttrykket vi skulle vise, så $f (x) = 0,52 \cdot x^{3,0}$ er en god modell for sammenhengen mellom diameteren og volumet til kulene.

Grafen til $f$ sammen med måleverdiene ser slik ut:

Punktene fra tabellen (rødt) og grafen til f (blått)

Vi ser at kurven til $f$ går tett inntil alle de fem målepunktene, noe som bekrefter at potensmodellen passer godt.

Vi skal finne diameteren $x$ når volumet er $f (x) = 1000 mL$ . Vi setter opp likningen med modellen fra a) og løser med hensyn på $x$ :

\begin{matrix} 0,52 \cdot x^{3} & = 1000 \\ x^{3} & = \frac{1000}{0,52} \\ x & = \sqrt[3]{\frac{1000}{0,52}} \\ x & \approx 12,4 \end{matrix}

Svar: Diameteren til en kule med volum $1000 mL$ er omtrent $x \approx 12,4 cm$ .

Kuleformelen fra grunnskolen er

V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}

der $r$ er radius. Siden diameteren er $x = 2 r$ , er radiusen $r = \frac{x}{2}$ . Vi setter dette inn i formelen:

\begin{matrix} V & = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {(\frac{x}{2})}^{3} \\ = \frac{4}{3} \cdot π \cdot \frac{x^{3}}{8} \\ = \frac{π}{6} \cdot x^{3} \end{matrix}

Vi regner ut koeffisienten:

\frac{π}{6} \approx 0,524

Dette gir $V \approx 0,524 \cdot x^{3}$ , som har nøyaktig samme form som modellen fra a), $f (x) = 0,52 \cdot x^{3,0}$ : en tredjegradssammenheng mellom diameter og volum, med tilnærmet lik koeffisient ( $0,524$ mot $0,52$ ) og eksponent $3$ .

Svar: Ja, resultatet fra a) stemmer godt med kuleformelen. Det lille avviket mellom $0,524$ og $0,52$ skyldes avrunding og målefeil i Pers data.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Regresjon, Potensfunksjon, Kule, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Antibiotika i kroppen med tablett hver åttende time

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vibeke har fått en bakterieinfeksjon og tar tabletter med antibiotika. En tablett inneholder $220 m g$ antibiotika. Antall milligram antibiotika i kroppen reduseres med 11 % hver time.

Kalkulator

Vibeke tar en tablett. Hvor mange milligram antibiotika er det igjen i kroppen hennes

etter én time?

etter åtte timer?

Vibeke tar en tablett hver åttende time.

Kalkulator

Hvor mange milligram antibiotika har hun i kroppen rett etter at hun har tatt sin

andre tablett?

tredje tablett?

Kalkulator

Skisser grafen som viser hvor mange milligram antibiotika Vibeke til enhver tid har i kroppen det første døgnet etter at hun begynte å ta tablettene.

Fasit

1) $195,8 mg$ 2) $86,6 mg$

1) $306,6 mg$ 2) $340,7 mg$

Sagtannformet graf, se skisse i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Mengden antibiotika reduseres med $11 %$ hver time. Det betyr at vekstfaktoren per time er

1 - 0,11 = 0,89

1) Etter én time er det igjen

220 \cdot 0,89 = 195,8 mg

2) Etter åtte timer er mengden redusert med faktoren $0,89$ åtte ganger, altså ${0,89}^{8}$ :

220 \cdot {0,89}^{8} \approx 86,6 mg

Hver gang Vibeke tar en ny tablett, legges $220 mg$ til den mengden som allerede er igjen i kroppen fra tidligere tabletter.

1) Rett før hun tar den andre tabletten (etter åtte timer), er det $86,6 mg$ igjen fra den første tabletten (jf. a2). Rett etter den andre tabletten er mengden

86,6 + 220 = 306,6 mg

2) Disse $306,6 mg$ reduseres i åtte nye timer med faktoren ${0,89}^{8}$ før hun tar den tredje tabletten:

306,6 \cdot {0,89}^{8} \approx 120,7 mg

Rett etter den tredje tabletten er mengden

120,7 + 220 = 340,7 mg

Grafen består av tre “tenner”: mengden antibiotika avtar eksponentielt (med vekstfaktor $0,89$ per time) mellom hver tablett, og hopper brått opp med $220 mg$ hver gang Vibeke tar en ny tablett (ved $t = 0$ , $t = 8$ og $t = 16$ ). Etter den tredje tabletten fortsetter kurven å avta fram til $t = 24$ , der mengden er kommet ned i ca. $134,1 mg$ .

Skisse av mengde antibiotika i kroppen det første døgnet, med brå hopp på 220 mg ved hver tablett og eksponentiell nedgang mellom tablettene

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

”Stein – saks – papir” er en konkurranse mellom to personer. Hver person bestemmer seg for enten stein, saks eller papir, og begge viser så samtidig, ved å bruke den ene hånden, hva de har valgt. Se figuren nedenfor.

Stein – saks – papir: saks vinner over papir, papir vinner over stein og stein vinner over saks

Reglene er slik:

Saks vinner over papir.
Papir vinner over stein.
Stein vinner over saks.

Dersom begge velger det samme (for eksempel stein), blir det uavgjort.

Bård og Lars skal spille ”Stein – saks – papir”. Ett mulig utfall kan da for eksempel bli at Bård velger stein og Lars velger papir.

For hånd

Lag en oversikt som viser alle de ni mulige utfallene når Bård og Lars spiller ”Stein – saks – papir” én gang.

La B bety seier til Bård, U uavgjort og L seier til Lars.

For hånd

Forklar at sannsynligheten for at Bård vinner, $P (B)$ , er $\frac{1}{3}$ .

Bård og Lars skal spille ”Stein – saks – papir” tre ganger. Et mulig resultat er da BUL, som betyr at Bård vinner første gang, at det blir uavgjort andre gang, og at Lars vinner tredje gang.

For hånd

Hvor mange ulike resultater kan vi få når Bård og Lars spiller tre ganger?

For hånd

Hva er sannsynligheten for at Bård vinner minst to av de tre gangene?

Når to personer spiller ”Stein – saks – papir”, er vinneren den som vinner flest av tre ganger. Dersom begge vinner like mange ganger, blir det uavgjort.

For hånd

Hva er sannsynligheten for at Bård vinner?

Fasit

Se tabell i løsningsforslaget.

$P (B) = \frac{1}{3}$

$27 resultater$

$P (minst 2 seiere til Bård) = \frac{7}{27} \approx 25,9 %$

$P (Bård vinner) = \frac{10}{27} \approx 37,0 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp en tabell med Bård sitt valg langs radene og Lars sitt valg langs kolonnene. $B$ betyr at Bård vinner, $L$ betyr at Lars vinner, og $U$ betyr uavgjort:

Bård \ Lars	Stein	Saks	Papir
Stein	$U$	$B$	$L$
Saks	$L$	$U$	$B$
Papir	$B$	$L$	$U$

Dette gir de ni mulige utfallene når Bård og Lars spiller én gang.

Av de $9$ likeverdige utfallene i tabellen i a) ser vi at Bård vinner ( $B$ ) i akkurat $3$ av rutene: stein mot saks, saks mot papir og papir mot stein. Siden alle ni utfall er like sannsynlige, er

P (B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Hvert enkelt spill kan ende på $3$ ulike måter ( $B$ , $U$ eller $L$ ). Siden Bård og Lars spiller tre uavhengige spill, gir multiplikasjonsprinsippet at antall mulige resultater (rekkefølger som BUL, BBB, ULL osv.) er

3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} = 27

Vi teller opp hvor mange av de $27$ resultatene som har minst to seiere til Bård, altså enten nøyaktig $2$ eller nøyaktig $3$ seiere til Bård.

Nøyaktig 3 seiere ( $B B B$ ): Det finnes bare $1$ slikt resultat.

Nøyaktig 2 seiere: Vi velger hvilke $2$ av de $3$ spillene Bård vinner. Det finnes $3$ måter å gjøre dette på. Det tredje spillet må da ikke være en seier til Bård, altså enten uavgjort ( $U$ ) eller tap ( $L$ ) — det gir $2$ muligheter for det siste spillet. Antall resultater med nøyaktig $2$ seiere til Bård blir dermed

3 \cdot 2 = 6

Totalt antall gunstige resultater er $6 + 1 = 7$ , av $27$ mulige. Dermed er

P (minst 2 seiere til Bård) = \frac{7}{27} \approx 0,259 = 25,9 %

Vinneren av kampen er den som vinner flest av de tre spillene. Legg merke til at situasjonen er symmetrisk mellom Bård og Lars, så

P (Bård vinner) = P (Lars vinner)

Det blir uavgjort i kampen når Bård og Lars vinner like mange spill hver (samme antall $B$ -er som $L$ -er blant de tre spillene). Vi teller opp hvilke av de $27$ resultatene som gir uavgjort:

Alle tre spill uavgjort ( $U U U$ ): $1$ resultat.
Nøyaktig én seier hver ( $1$ gang $B$ , $1$ gang $U$ og $1$ gang $L$ ): de tre bokstavene $B$ , $U$ , $L$ kan stå i $3! = 6$ ulike rekkefølger.

Det er ingen andre måter å få like mange $B$ -er som $L$ -er på tre spill (f.eks. kan man ikke ha $2$ hver, siden $2 + 2 = 4 > 3$ ). Dermed er antall resultater med uavgjort kamp $1 + 6 = 7$ , så

P (uavgjort) = \frac{7}{27}

De resterende $27 - 7 = 20$ resultatene fordeler seg likt mellom at Bård vinner kampen og at Lars vinner kampen (symmetri), så

P (Bård vinner) = \frac{20}{27} \div 2 = \frac{10}{27} \approx 0,370 = 37,0 %

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk, Binomisk fordeling
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1Standardform, fotballmål, tallsystemer og sommerferie

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Gradestokk med celsius og fahrenheit for kakesteking

b og c

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-3CO2-utslipp for bil ved 60 og 80 km i timen

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Fartskontroller på veistrekninger med fartsgrense 50 og 80

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Potensregresjon for diameter og volum til kuler

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Antibiotika i kroppen med tablett hver åttende time

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Standardform, fotballmål, tallsystemer og sommerferie

Oppgave 1-2·Gradestokk med celsius og fahrenheit for kakesteking

b og c

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-3·CO2-utslipp for bil ved 60 og 80 km i timen

Oppgave 2-4·Fartskontroller på veistrekninger med fartsgrense 50 og 80

Oppgave 2-5·Potensregresjon for diameter og volum til kuler

Oppgave 2-6·Antibiotika i kroppen med tablett hver åttende time

Oppgave 2-7·Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder

Temaer

Oppgave 1-1Standardform, fotballmål, tallsystemer og sommerferie

Oppgave 1-2Gradestokk med celsius og fahrenheit for kakesteking

Oppgave 2-3CO2-utslipp for bil ved 60 og 80 km i timen

Oppgave 2-4Fartskontroller på veistrekninger med fartsgrense 50 og 80

Oppgave 2-5Potensregresjon for diameter og volum til kuler

Oppgave 2-6Antibiotika i kroppen med tablett hver åttende time

Oppgave 2-7Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder