2P-Y Høst 2011

Vi flytter kommaet slik at vi får ett siffer foran komma, og teller hvor mange plasser vi har flyttet det.

Kommaet er flyttet $4$ plasser mot høyre, så eksponenten blir $-4$.

$\underline{\underline{\mathrm{0,000}533=\mathrm{5,33}\cdot {10}^{-4}}}$

Vi bruker at $2^{-2}={\displaystyle \frac{1}{2^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

$\underline{\underline{8\cdot 2^{-2}=2}}$

Vi regner ut hvert ledd for seg.

$\underline{\underline{2^3\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2=18}}$

For å finne gjennomsnittsfarten fra en gruppert tabell bruker vi midtpunktet i hvert intervall som representativ verdi, ganger med antallet biler i intervallet, summerer og deler på totalt antall biler.

$\underline{\underline{33\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}}}$

Vi leser av grafen. Når $x=0$ (Ivar plukker ingen moreller), er lønnen $50\mathrm{kr}$. Det betyr at Ivar har en fast grunnlønn på $50\mathrm{kr}$ per time, uansett hvor mye han plukker.

Vi leser videre av at grafen går gjennom punktene $(0,50)$ og $(20,150)$. Stigningstallet blir da

Lønnen øker altså med $5\mathrm{kr}$ for hver ekstra $\mathrm{kg}$ moreller Ivar plukker. Sammenhengen blir

Lønnen til Ivar blir beregnet som en fast grunnlønn på $50\mathrm{kr}$ pluss $5\mathrm{kr}$ per kilo moreller han plukker.

$\underline{\underline{y=5x+50}}$

Vi sorterer karakterene i stigende rekkefølge.

Median: Det er $10$ verdier, så medianen er gjennomsnittet av den $5.$ og $6.$ verdien.

Gjennomsnitt: Vi summerer alle karakterene og deler på antallet.

Variasjonsbredde: Differansen mellom høyeste og laveste verdi.

$\underline{\underline{\text{Median}=\mathrm{3,5},\text{gjennomsnitt}=\mathrm{3,6},\text{variasjonsbredde}=5}}$

Regnestykket viser verdiendringen til aksjene over $6$ måneder, delt inn i tre perioder med ulike vekstfaktorer:

• $\mathrm{1,05}$ betyr en økning på $5\%$ (én periode, f.eks. én måned).
• ${\mathrm{1,008}}^2$ betyr en økning på $\mathrm{0,8}\%$ i hver av to påfølgende perioder.
• ${\mathrm{0,85}}^3$ betyr en nedgang på $15\%$ i hver av tre påfølgende perioder.

Til sammen dekker periodene $1+2+3=6$ måneder. Verdien steg altså litt de første månedene, men falt kraftig ($15\%$ per måned) de tre siste månedene. Selv om aksjene økte i verdi i starten, endte de samlet sett med å synke i verdi, fra $25000\mathrm{k}\mathrm{r}$ til om lag $16380\mathrm{k}\mathrm{r}$.

$\underline{\underline{\text{Verdien steg først, men falt kraftig mot slutten – samlet et verditap fra }25000\text{ til ca. }16380\text{ kr}}}$

Eva har totalt $1+2+2+3=8$ pakker gelé, hvorav $2$ er kiwigelé og $1$ er blåbærgelé. Hun tar pakkene uten tilbakelegging.

Sannsynligheten for at den første pakken er kiwigelé:

$\underline{\underline{\frac{1}{4}}}$

Sannsynligheten for at begge pakkene er kiwigelé. Etter at én kiwipakke er tatt, er det $7$ pakker igjen, hvorav $1$ kiwi.

$\underline{\underline{\frac{1}{28}}}$

Sannsynligheten for én kiwi og én blåbær kan skje i to rekkefølger: kiwi først eller blåbær først.

Vi legger sammen sannsynlighetene for de to rekkefølgene:

$\underline{\underline{\frac{1}{14}}}$

Vi leser av grafene til Kine (blå) og Mina (rød).

Kine sin avstand fra start øker raskt og når toppunktet på ca. $25\mathrm{m}$ etter ca. $\mathrm{17,5}$ sekunder. Deretter avtar avstanden jevnt, og Kine er tilbake ved start etter ca. $56$ sekunder.

Mina sin avstand øker litt saktere enn Kines i starten, og hun når sitt toppunkt på ca. $25\mathrm{m}$ først etter ca. $24$ sekunder. Deretter svømmer hun raskere tilbake enn Kine, og er tilbake ved start allerede etter ca. $46$ sekunder.

Begge svømmer altså like langt ut (ca. $25\mathrm{m}$) før de snur. Kine er raskest ut, men Mina er raskere på veien tilbake. Siden Mina er tilbake ved start etter kortest tid totalt, vinner Mina svømmekonkurransen.

$\underline{\underline{\text{Kine er raskest ut, men Mina svømmer raskest tilbake og vinner}}}$

Vi finner først totalt salg per måned i andre kvartal:

Totalt salg i andre kvartal er $900+900+1800=3600$ pakker.

I sektordiagrammet for første kvartal viser hver sektor hvor stor andel av kvartalets totale salg som ble solgt i den aktuelle måneden. Vi bruker samme fremgangsmåte for andre kvartal: finner andelen til hver måned, og ganger med $360°$ for å finne sektorvinkelen.

Dette gir sektordiagrammet:

I regneark lages diagrammet ved å markere tabellen med månedene og totalsalget, og deretter sette inn et sektordiagram (kakediagram). Regnearket regner selv ut prosentandelene.

I det stablede stolpediagrammet for første kvartal viser hver søyle $100\%$ av salget i den måneden, delt opp i hvor stor andel hver av de tre selgerne stod for. Vi bruker samme fremgangsmåte for andre kvartal.

For hver måned regner vi ut hvor stor prosentandel av salget hver gutt hadde, ved å dele hans salg på månedens totalsalg:

Dette gir det stablede stolpediagrammet:

I regneark lages diagrammet ved å markere tabellen med salgstall for alle tre guttene fordelt på måned, og deretter sette inn et stablet stolpediagram med $100\%$-stabling. Regnearket regner selv ut prosentandelene og stabler søylene slik at hver søyle går opp til $100\%$.

Boka skulle vært levert $\mathrm{23.11.1911}$, og i dag (eksamensåret) er den omtrent $100$ år forsinket. Med $52$ uker i året tilsvarer dette

Modell 1 er en aritmetisk rekke med startledd $a_1=10$ øre (uke 1) og differanse $d=5$ øre per uke. Gebyret etter $n$ uker er

For $n=5200$:

Modell 2 er en geometrisk rekke med startledd $a_1=10$ øre og vekstfaktor $k=\mathrm{1,002}$ per uke. Gebyret etter $n$ uker er

For $n=5200$:

Med modell 1 måtte tippoldefar betalt $\underline{\underline{\mathrm{260,05}\mathrm{kr}}}$, mens han med modell 2 måtte betalt hele $\underline{\underline{\mathrm{3245,52}\mathrm{kr}}}$ i gebyr.

Vi finner hvor mange uker det tar før gebyret når $1000$ øre ($=10\mathrm{kr}$) i hver av modellene.

Modell 1: Vi løser $a_n=1000$:

Etter $199$ uker er gebyret nøyaktig $10\mathrm{kr}$ i modell 1.

Modell 2: Vi løser $a_n=1000$:

Siden $n$ må være et helt antall uker, tar det $2306$ uker før gebyret i modell 2 passerer $10\mathrm{kr}$.

Siden $199\ll 2306$, er det $\underline{\underline{\text{modell 1}}}$ som først når $10\mathrm{kr}$ i gebyr — allerede etter $199$ uker, mens modell 2 bruker over $2300$ uker på grunn av den langsommere prosentvise starten.

Mayaindianerne skriver tall i posisjoner ovenpå hverandre, der hver posisjon representerer en potens av $20$: nederste posisjon er ${20}^0$-plassen, neste er ${20}^1$-plassen, og så videre.

I figuren står det $2$ prikker øverst (på ${20}^1$-plassen) og $3$ prikker over én strek nederst (på ${20}^0$-plassen). Ifølge symbolforklaringen betyr én strek $5$, så nederste symbol har verdien $5+3=8$.

Mayatallet i figuren tilsvarer altså $\underline{\underline{48}}$ i vårt tiltallssystem.

Vi skal skrive $76$ med mayasymboler. Siden mayaindianerne bruker grunntall $20$, deler vi $76$ opp i potenser av $20$:

fordi $3\cdot 20=60$ og $76-60=16$.

Dette betyr at $76$ skrives med to posisjoner:

• ${20}^1$-plassen (øverst): symbolet for $3$, altså $3$ prikker.
• ${20}^0$-plassen (nederst): symbolet for $16$, altså $1$ prikk over tre streker (siden $16=3\cdot 5+1$).

1) Vi regner ut endring fra året før (differansen mellom to påfølgende innbyggertall) og prosentvis endring fra året før (${\displaystyle \frac{\text{endring}}{\text{forrige år}}}\cdot 100\%$).

2) Den absolutte endringen ($-100,-83,-71,-60,-52$) minker jevnt fra år til år. En lineær modell krever at endringen fra år til år er konstant, og det er den tydeligvis ikke her — endringen blir stadig mindre i tallverdi.

Den prosentvise endringen ($-\mathrm{15,4}\%,-\mathrm{15,1}\%,-\mathrm{15,2}\%,-\mathrm{15,2}\%,-\mathrm{15,5}\%$) er derimot tilnærmet konstant, rundt $-15\%$ hvert år. Når den prosentvise endringen er tilnærmet konstant, passer en eksponentiell modell best, siden en eksponentiell funksjon nettopp har konstant prosentvis vekst (eller nedgang) per tidsenhet.

Vi legger innbyggertallene inn som punkter $(x,f(x))$ med $x=$ antall år etter 2005, og bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra.

Skjermbildet viser datapunktene (rødt), regresjonskurven $f$ (blått) og Hans’ lineære modell $g$ (grønt), sammen med punktet $P_{15}$ og linja $y=100$ som brukes i c).

1) År 2020 tilsvarer $x=15$. Vi setter $x=15$ inn i modellen (se punktet $P_{15}$ på grafen):

Ifølge modellen vil innbyggertallet i 2020 være omtrent $\underline{\underline{54\text{ innbyggere}}}$.

2) Vi finner $x$ slik at $f(x)=100$. Fra grafen ser vi at kurven $f$ krysser linja $y=100$ ved

Det vil altså gå omtrent $\underline{\underline{\mathrm{11,3}\text{ år}}}$, det vil si i løpet av 2016, før innbyggertallet ifølge modellen kommer under $100$.

Vi setter $x=15$ (år 2020) inn i Hans’ lineære modell:

Modellen gir et negativt innbyggertall i 2020, noe som er umulig — et innbyggertall kan aldri være mindre enn $0$. Ser vi på grafen (den grønne linja $g$), krysser den førsteaksen allerede ved $x\approx \mathrm{10,2}$, altså rundt 2015. Etter dette gir modellen meningsløse, negative verdier.

$\underline{\underline{\text{Hans’ lineære modell kan derfor ikke brukes til å beskrive innbyggertallet fram til 2020}}}$. Den eksponentielle modellen fra b) er en mer fornuftig beskrivelse, siden innbyggertallet der alltid forblir positivt.

Klassen har $12$ jenter, hvorav $8$ kjører moped, altså $12-8=4$ jenter som ikke kjører moped. Klassen har $15$ gutter, hvorav $9$ kjører moped, altså $15-9=6$ gutter som ikke kjører moped.

Klassen har totalt $27$ elever, og $10$ av dem kjører ikke moped:

Vi vet at den trukne eleven kjører moped, og skal finne sannsynligheten for at eleven er gutt. Av de $17$ elevene som kjører moped, er $9$ gutter:

Vi setter opp en totalkostnadsfunksjon for hver maskin, der $x$ er antall kopper kaffe som lages. Totalkostnaden er innkjøpspris pluss driftsutgifter per kopp ganget med antall kopper.

For $x=0$ er maskin 2 billigst siden den har lavest innkjøpspris. Maskin 2 har imidlertid høyest driftsutgift per kopp, så etter hvert som $x$ øker vil de andre maskinene ta igjen maskin 2. Vi finner ut når maskin 1 blir billigere enn maskin 2, ved å sette $K_1(x)=K_2(x)$:

Videre finner vi når maskin 3 blir billigere enn maskin 1, ved å sette $K_1(x)=K_3(x)$:

(Vi kan også kontrollere med $K_2(x)=K_3(x)$, som gir $x\approx 4486$. Siden dette er mindre enn $5208$, betyr det at maskin 1 allerede er billigere enn maskin 2 på det tidspunktet, så maskin 2 er aldri billigst etter $x=1951$ kopper.)

Konklusjon:

• For færre enn ca. $1951$ kopper lønner maskin 2 seg best (lavest totalkostnad).
• Mellom ca. $1951$ og $5208$ kopper lønner maskin 1 seg best.
• For flere enn ca. $5208$ kopper lønner maskin 3 seg best.

Familien lager i gjennomsnitt $6$ kopper kaffe per dag. Over $3$ år (vi regner $3\cdot 365=1095$ dager) blir totalt antall kopper

Vi setter dette inn i de tre kostnadsfunksjonene:

Etter $3$ år er maskin 3 billigst av de tre, med god margin. Dette stemmer også med svaret i a): breakevenpunktet der maskin 3 blir billigst er ved ca. $5208$ kopper, noe som med $6$ kopper per dag tilsvarer

Maskin 3 lønner seg altså allerede etter ca. $\mathrm{2,4}$ år, og dermed helt klart etter $3$ år. Fars påstand stemmer.

Vi sorterer tallmengden: $2,2,3,5,5,7,9,10,11,13,14,15,17,19,21$

Med $n=15$ (oddetall) er medianen den midterste (8.) verdien:

Standardavviket regnes med den empiriske formelen (deling på $n-1$, som i GeoGebra/Excel STDAV):

Svar: $\underline{\underline{\text{median}=10,\bar{x}=\mathrm{10,2},s\approx \mathrm{6,20}}}$

Den doblede tallmengden, sortert: $4,4,6,10,10,14,18,20,22,26,28,30,34,38,42$

Svar: $\underline{\underline{\text{median}=20,\bar{x}=\mathrm{20,4},s\approx \mathrm{12,40}}}$

Sammenligning: Alle tre verdiene er nøyaktig dobbelt så store som i a): $20=2\cdot 10$, $\mathrm{20,4}=2\cdot \mathrm{10,2}$ og $\mathrm{12,40}=2\cdot \mathrm{6,20}$. Når vi dobler alle tallene i datamaterialet, dobles altså både medianen, gjennomsnittet og standardavviket.

Regelen: Dersom alle tallene $x_1,x_2,\dots ,x_n$ i en tallmengde multipliseres med en (positiv) konstant $k$, slik at vi får $y_i=k\cdot x_i$, så gjelder:

Dette stemmer med tabellen til Berit: ved dobling ($k=2$) blir alle tre målene doblet, ved tredobling ($k=3$) blir de tredoblet, og ved firedobling ($k=4$) blir de firedoblet.

Begrunnelse for gjennomsnitt:

Begrunnelse for median: Multiplikasjon med en positiv konstant $k$ endrer ikke rekkefølgen på tallene – er $x_i<x_j$, så er også $k{x}_i<k{x}_j$. Sorterer vi $y$-verdiene, havner de derfor i akkurat samme rekkefølge som $x$-verdiene, bare multiplisert med $k$. Den midterste verdien (eller gjennomsnittet av de to midterste) blir da $k$ ganger så stor som i den opprinnelige tallmengden, altså $\text{median}(y)=k\cdot \text{median}(x)$.

Begrunnelse for standardavvik:

Siden $k>0$, følger det at

Alle avvikene fra gjennomsnittet skaleres altså med $k$, og siden standardavviket måler nettopp spredningen (avvikene) rundt gjennomsnittet, skaleres også standardavviket med $k$.