2P-Y Høst 2012

2P-Y Høst 2012 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 24 poeng
1	Sentralmål for turgåere på Pollfjell	KI
2	Vekstfaktor for bilverdi over tid	KI
3	Divisjon på standardform	KI
4	Potensuttrykk med negative eksponenter	KI
5	Tall i tretallssystemet	KI
6	Lineær modell for Olas lønn	KI
7	Sannsynlighet med førerkort og bil	KI
8	Grafisk fremstilling av fallskjermhopp	KI
9	Figurtall med perler	KI
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Lineær modell for eplekurv	KI
2	Babylonsk tallsystem og pytagoreisk trippel	KI
3	Snødybde modellert med tredjegradsfunksjon	KI
4	Sannsynlighet for pizza og dessert på restaurant	KI
5	Statistikk for lengdehopp verdenstopp	KI
6	Pølsesalg modellert med kubikkfunksjon	KI
7	Guris banksparing fra graf	KI

Oppgave 1-1 : Sentralmål for turgåere på Pollfjell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Alle som går på tur til Pollfjell, skriver navnet sitt i boka som ligger i postkassen på toppen av fjellet. Nedenfor ser du hvor mange som har skrevet seg inn i boka hver uke de 12 siste ukene.

$6 \quad 12 \quad 20 \quad 4 \quad 10 \quad 15 \quad 5 \quad 12 \quad 8 \quad 12 \quad 18 \quad 10$

Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.

Fasit

Gjennomsnitt: $\underline{\underline{11}}$ , median: $\underline{\underline{11}}$ , typetall: $\underline{\underline{12}}$ , variasjonsbredde: $\underline{\underline{16}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ordner tallene fra minst til størst:

4 \quad 5 \quad 6 \quad 8 \quad 10 \quad 10 \quad 12 \quad 12 \quad 12 \quad 15 \quad 18 \quad 20

Gjennomsnitt

Vi legger sammen alle verdiene og deler på antall (12):

\bar{x} = \frac{4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 10 + 12 + 12 + 12 + 15 + 18 + 20}{12} = \frac{132}{12} = \mathbf{\underline{\underline{11}}}

Gjennomsnittlig antall turgåere per uke er 11.

Median

Det er 12 verdier, så medianen er gjennomsnittet av den 6. og 7. verdien i den sorterte rekken:

\text{Median} = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = \mathbf{\underline{\underline{11}}}

Typetall

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Verdien 12 forekommer tre ganger, mer enn noen annen verdi.

\text{Typetall} = \mathbf{\underline{\underline{12}}}

Variasjonsbredde

Variasjonsbredden er differansen mellom største og minste verdi:

20 - 4 = \mathbf{\underline{\underline{16}}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Sentralmål

Oppgave 1-2 : Vekstfaktor for bilverdi over tid

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi regner at verdien av en bil har avtatt med 15 % per år siden den var ny. I dag er bilen verdt 100 000 kroner.

Sett opp et uttrykk som du kan bruke for å regne ut

hvor mye bilen vil være verdt om seks år

hvor mye bilen var verdt for seks år siden

Fasit

$\underline{\underline{100\,000 \cdot 0{,}85^6}}$

$\underline{\underline{100\,000 / 0{,}85^6}}$

LøsningsforslagKI-generert

Verdien av bilen avtar med $15 \,\%$ per år. Vekstfaktoren per år er da:

1 - 0{,}15 = 0{,}85

Vi skal finne verdien om seks år. Vi ganger med vekstfaktoren seks ganger:

\mathbf{\underline{\underline{100\,000 \cdot 0{,}85^6}}}

Bilen vil bli verdt $100\,000 \cdot 0{,}85^6 \approx 37\,715 \, \mathrm{kr}$ om seks år.

Vi skal finne verdien for seks år siden. Da var bilen dyrere — vi deler på vekstfaktoren seks ganger:

\mathbf{\underline{\underline{\frac{100\,000}{0{,}85^6}}}}

Bilen var verdt $\dfrac{100\,000}{0{,}85^6} \approx 265\,026 \, \mathrm{kr}$ for seks år siden.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Vekstfaktor, Prosentregning

Oppgave 1-3 : Divisjon på standardform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret på standardform

\frac{425\,000\,000}{2500}

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver begge tallene på standardform:

\frac{425\,000\,000}{2500} = \frac{4{,}25 \cdot 10^8}{2{,}5 \cdot 10^3}

Vi deler tall for seg og potenser for seg:

= \frac{4{,}25}{2{,}5} \cdot \frac{10^8}{10^3} = 1{,}7 \cdot 10^{8-3} = \mathbf{\underline{\underline{1{,}7 \cdot 10^5}}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Standardform, Tallregning

Oppgave 1-4 : Potensuttrykk med negative eksponenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{\left(a^3\right)^{-2} \cdot a^5}{a^{-3} \cdot a^0}

LøsningsforslagKI-generert

Vi forenkler teller og nevner hver for seg.

Teller: Vi bruker regelen $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ og deretter $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ :

\left(a^3\right)^{-2} \cdot a^5 = a^{3 \cdot (-2)} \cdot a^5 = a^{-6} \cdot a^5 = a^{-6+5} = a^{-1}

Nevner: Vi bruker $a^0 = 1$ og $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ :

a^{-3} \cdot a^0 = a^{-3} \cdot 1 = a^{-3}

Hele uttrykket: Vi bruker $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ :

\frac{a^{-1}}{a^{-3}} = a^{-1-(-3)} = a^{-1+3} = \mathbf{\underline{\underline{a^2}}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Potenser, Potensregning

Oppgave 1-5 : Tall i tretallssystemet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tallsystemet vi vanligvis bruker, er et plassverdisystem med grunntall 10. Det finnes også plassverdisystemer med andre grunntall.

Tretallssystemet er et plassverdisystem med grunntall 3.

Skriv tallet 100 i tretallssystemet.

LøsningsforslagKI-generert

I tretallssystemet er plassene verdt $3^0 = 1$ , $3^1 = 3$ , $3^2 = 9$ , $3^3 = 27$ , $3^4 = 81$ , …

Vi finner hvilke potenser av 3 som går opp i 100 ved å dele gjentatte ganger:

Divisjon	Kvotient	Rest
$100 \div 3$	$33$	$1$
$33 \div 3$	$11$	$0$
$11 \div 3$	$3$	$2$
$3 \div 3$	$1$	$0$
$1 \div 3$	$0$	$1$

Vi leser restene nedenfra og oppover: $1$ , $0$ , $2$ , $0$ , $1$ .

Kontroll: $1 \cdot 3^4 + 0 \cdot 3^3 + 2 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 81 + 0 + 18 + 0 + 1 = 100$ ✓

100 = \mathbf{\underline{\underline{10201_3}}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Tallregning

Oppgave 1-6 : Lineær modell for Olas lønn

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I år 2000 tjente Ola 240 000 kroner. I 2008 tjente han 360 000 kroner. Vi antar at lønna til Ola øker lineært.

La $x = 0$ svare til år 2000, og sett opp en modell som viser hvordan lønna til Ola endrer seg fra år til år.

Når vil lønna til Ola passere 540 000 kroner ifølge modellen i a)?

Fasit

$\underline{\underline{f(x) = 15\,000x + 240\,000}}$

År 2020, det vil si $\underline{\underline{x = 20}}$ (20 år etter 2000).

LøsningsforslagKI-generert

Vi har to punkter på den lineære modellen:

Når $x = 0$ (år 2000): lønn $= 240\,000 \, \mathrm{kr}$
Når $x = 8$ (år 2008): lønn $= 360\,000 \, \mathrm{kr}$

Vi finner stigningstallet ved å se på hvor mye lønnen øker per år:

a = \frac{360\,000 - 240\,000}{8 - 0} = \frac{120\,000}{8} = 15\,000

Lønnen øker med $15\,000 \, \mathrm{kr}$ per år.

Konstantleddet leser vi av direkte: når $x = 0$ er lønnen $240\,000 \, \mathrm{kr}$ , så $b = 240\,000$ .

Modellen blir:

\textcolor{seagreen}{f(x) = 15\,000 \cdot x + 240\,000}

der $x$ er antall år etter 2000 og $f(x)$ er lønnen i kroner.

Vi setter $f(x) = 540\,000$ og løser for $x$ :

15\,000 \cdot x + 240\,000 = 540\,000

15\,000 \cdot x = 540\,000 - 240\,000

15\,000 \cdot x = 300\,000

x = \frac{300\,000}{15\,000} = 20

$x = 20$ svarer til år $2000 + 20 = 2020$ .

Ifølge modellen vil Olas lønn passere $540\,000 \, \mathrm{kr}$ i år $\underline{\underline{2020}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering

Oppgave 1-7 : Sannsynlighet med førerkort og bil

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en klasse er det 22 elever. 12 av elevene har førerkort. 14 av elevene har bil. 4 elever har bil, men ikke førerkort.

Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.

Vi velger tilfeldig en elev fra klassen.

Bestem sannsynligheten for at eleven har førerkort og bil.

Vi velger tilfeldig en elev som har førerkort.

Bestem sannsynligheten for at eleven også har bil.

Fasit

Se krysstabell i løsningsforslaget.

$\underline{\underline{P(\text{førerkort og bil}) = \dfrac{10}{22} = \dfrac{5}{11}}}$

$\underline{\underline{P(\text{bil} \mid \text{førerkort}) = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at:

Totalt: 22 elever
Har førerkort: 12
Har bil: 14
Har bil, men ikke førerkort: 4

Vi finner antall elever med både førerkort og bil:

\text{Bil totalt} = \text{Bil og førerkort} + \text{Bil uten førerkort}

14 = \text{Bil og førerkort} + 4

\text{Bil og førerkort} = 10

Videre finner vi de øvrige cellene:

Har førerkort, men ikke bil: $12 - 10 = 2$
Har ikke bil og ikke førerkort: $22 - 12 - 4 = 6$

	Har bil	Har ikke bil	Totalt
Har førerkort	10	2	12
Har ikke førerkort	4	6	10
Totalt	14	8	22

Vi velger tilfeldig én elev blant alle 22. Det er 10 elever som har både førerkort og bil.

P(\text{førerkort og bil}) = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}

Sannsynligheten for at eleven har både førerkort og bil er $\underline{\underline{\dfrac{5}{11}}}$ .

Nå vet vi at eleven har førerkort. Det er 12 elever med førerkort, og av disse har 10 også bil.

P(\text{bil} \mid \text{førerkort}) = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

Sannsynligheten for at en elev med førerkort også har bil er $\underline{\underline{\dfrac{5}{6}}}$ . Det betyr at omtrent 83 av 100 elever med førerkort også har bil.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Oppgave 1-8 : Grafisk fremstilling av fallskjermhopp

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et fallskjermhopp kan deles inn i fire faser. I hver fase ser vi på farten fallskjermhopperen har loddrett nedover.

Fase 1: Fallskjermhopperen forlater flyet. Etter tre sekunder er farten $25 \mathrm{~m/s}$ , og etter åtte sekunder har fallskjermhopperen nådd den maksimale farten, som er $50 \mathrm{~m/s}$ .

Fase 2: Fallskjermhopperen faller med maksimal fart i fire sekunder.

Fase 3: Fallskjermen løses ut, og i løpet av ett sekund minker farten til $5 \mathrm{~m/s}$ .

Fase 4: Fallskjermhopperen fortsetter med konstant fart $5 \mathrm{~m/s}$ i åtte sekunder før han når bakken.

Lag en grafisk framstilling som viser hvordan farten til fallskjermhopperen varierer med tiden i løpet av hoppet.

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp tidspunktene for start og slutt på hver fase, og farten ved hvert av disse tidspunktene.

Tidsregning — start for hver fase:

Fase	Starter ved $t$ (s)	Slutter ved $t$ (s)	Fart ved start	Fart ved slutt
1	0	8	ukjent (øker fra 0)	$50 \mathrm{~m/s}$
2	8	12	$50 \mathrm{~m/s}$	$50 \mathrm{~m/s}$
3	12	13	$50 \mathrm{~m/s}$	$5 \mathrm{~m/s}$
4	13	21	$5 \mathrm{~m/s}$	$5 \mathrm{~m/s}$

Merk: Fase 1 begynner ved $t = 0$ og slutter etter 8 sekunder ( $t = 8$ ). Vi vet at farten er $25 \mathrm{~m/s}$ ved $t = 3$ og $50 \mathrm{~m/s}$ ved $t = 8$ .

Grafen tegnes slik (fart $v$ på $y$ -aksen, tid $t$ på $x$ -aksen):

Fase 1 ( $0 \leq t \leq 8$ ): Stigende rett linje fra $(0, 0)$ gjennom $(3, 25)$ til $(8, 50)$ .

Vi kan kontrollere at punktet $(3, 25)$ ligger på linja mellom $(0, 0)$ og $(8, 50)$ : stigningstall $= \dfrac{50}{8} = 6{,}25$ , og $6{,}25 \cdot 3 = 18{,}75 \neq 25$ .

Punktet $(3, 25)$ ligger ikke på linja fra $(0, 0)$ , så vi starter ikke nødvendigvis fra 0. Linja går fra $(3, 25)$ til $(8, 50)$ med stigningstall $\dfrac{50 - 25}{8 - 3} = \dfrac{25}{5} = 5 \mathrm{~m/s^2}$ .

Vi antar at farten øker lineært gjennom hele fase 1. Linja gjennom $(3, 25)$ og $(8, 50)$ har stigningstall 5, og ved $t = 0$ : $v = 25 - 5 \cdot 3 = 10$ . Startfarten er altså $10 \mathrm{~m/s}$ (typisk hoppfart ut av fly).

Fase 1: Stigende linje fra $(0, 10)$ til $(8, 50)$ — gjennom $(3, 25)$ .
Fase 2 ( $8 \leq t \leq 12$ ): Horisontal linje på $v = 50 \mathrm{~m/s}$ .
Fase 3 ( $12 \leq t \leq 13$ ): Bratt synkende linje fra $(12, 50)$ til $(13, 5)$ .
Fase 4 ( $13 \leq t \leq 21$ ): Horisontal linje på $v = 5 \mathrm{~m/s}$ .

Grafen (skisse):

v (m/s)
50 |          ________
   |         /        \
25 |     *  /          \
   |       /            \___________
 5 |      /
 0 |-----+----+----+----+-----------> t (s)
   0     3    8   12   13          21

Nøkkelpunkter å markere i grafen:

$(0, 10)$ — starten (eller $(3, 25)$ som kontrollpunkt)
$(8, 50)$ — maksimal fart nådd
$(12, 50)$ — fallskjerm utløses
$(13, 5)$ — ny konstant fart
$(21, 5)$ — landing

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Graf, Modellering

Oppgave 1-9 : Figurtall med perler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figurer f1, f2 og f3 av perler

Siri lager figurer av runde perler. Figurene ovenfor har hun kalt $f_1$ , $f_2$ og $f_3$ .

Følg samme mønster, og tegn figuren $f_4$ . Hvor mange perler vil det være i figuren $f_5$ og i figuren $f_6$ ?

Sett opp en modell som viser antall perler i figuren $f_n$ , uttrykt ved $n$ . Bruk modellen til å bestemme hvor mange perler Siri trenger for å lage figuren $f_{36}$ .

Hva er den største figuren $f_n$ Siri kan lage dersom hun har 1000 perler?

Fasit

$f_5 = \underline{\underline{26}}$ perler, $f_6 = \underline{\underline{31}}$ perler.

$f_n = \underline{\underline{5n + 1}}$ , og $f_{36} = \underline{\underline{181}}$ perler.

$\underline{\underline{n = 199}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller antall perler i de tre første figurene fra bildet. Hver figur er bygd opp av:

en horisontal rad i midten med $2n + 1$ perler ( $3, 5, 7, \dots$ )
to armer oppover fra hver ende av den horisontale raden, hver med $n$ perler
én arm nedover fra midten av raden, med $n$ perler

Figur	Horisontal rad	Opp venstre	Opp høyre	Ned	Totalt
$f_1$	$3$	$1$	$1$	$1$	$\textcolor{seagreen}{6}$
$f_2$	$5$	$2$	$2$	$2$	$\textcolor{seagreen}{11}$
$f_3$	$7$	$3$	$3$	$3$	$\textcolor{seagreen}{16}$

Økningen fra figur til figur er konstant: $11 - 6 = 5$ og $16 - 11 = 5$ .

Vi legger til 5 perler per steg:

f_4 = 16 + 5 = \textcolor{steelblue}{21}

f_5 = 21 + 5 = \textcolor{steelblue}{26}

f_6 = 26 + 5 = \textcolor{steelblue}{31}

$f_5$ har $\underline{\underline{26}}$ perler og $f_6$ har $\underline{\underline{31}}$ perler.

Beskrivelse av $f_4$ : Horisontal rad med 9 perler, to armer oppover med 4 perler hver fra endene, og 4 perler hengende ned fra midten.

Siden økningen er konstant lik 5, er modellen lineær. Vi bruker stigningstallet $a = 5$ og leser av ved $n = 1$ :

f_n = 5n + b

f_1 = 5 \cdot 1 + b = 6 \implies b = 1

Modellen er:

\textcolor{seagreen}{f_n = 5n + 1}

Vi kontrollerer: $f_2 = 5 \cdot 2 + 1 = 11$ ✓ og $f_3 = 5 \cdot 3 + 1 = 16$ ✓

Vi bruker modellen for $f_{36}$ :

f_{36} = 5 \cdot 36 + 1 = 180 + 1 = 181

Siri trenger $\underline{\underline{181}}$ perler for å lage figuren $f_{36}$ .

Vi setter opp ulikheten $f_n \leq 1000$ :

5n + 1 \leq 1000

5n \leq 999

n \leq \frac{999}{5} = 199{,}8

Siden $n$ må være et helt tall, er det største mulige $n = 199$ .

Vi sjekker:

$f_{199} = 5 \cdot 199 + 1 = 995 + 1 = 996 \leq 1000$ ✓
$f_{200} = 5 \cdot 200 + 1 = 1001 > 1000$ ✗

Den største figuren Siri kan lage med 1000 perler er $\underline{\underline{f_{199}}}$ , som bruker 996 perler.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Figurtall, Tallfølger, Modellering

Oppgave 2-1 : Lineær modell for eplekurv

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Camilla vil kjøpe en kurv med epler. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom hvor mange kilogram epler hun fyller i kurven, og hva hun må betale for kurven med eplene.

Antall kilogram epler	3	7	10
Pris for kurv med epler (kroner)	210	290	350

Hvor mye koster selve kurven, og hva er kiloprisen for eplene?

Bestem den lineære modellen som viser sammenhengen mellom antall kilogram epler og prisen for kurven med eplene.

Camilla betaler 320 kroner for kurven med eplene.

Hvor mange kilogram epler har hun fylt i kurven?

Fasit

Kurven koster $\underline{\underline{150 \, \mathrm{kr}}}$ , kiloprisen er $\underline{\underline{20 \, \mathrm{kr/kg}}}$

$\underline{\underline{f(x) = 20x + 150}}$

$\underline{\underline{8{,}5 \, \mathrm{kg}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på to rader i tabellen og finner hvor mye prisen øker per kilogram.

Fra $3 \, \mathrm{kg}$ til $7 \, \mathrm{kg}$ er det $4 \, \mathrm{kg}$ mer, og prisen øker fra $210 \, \mathrm{kr}$ til $290 \, \mathrm{kr}$ :

\text{Kilopris} = \frac{290 - 210}{7 - 3} = \frac{80}{4} = 20 \, \mathrm{kr/kg}

Vi kan sjekke med de to andre punktene: fra $7 \, \mathrm{kg}$ til $10 \, \mathrm{kg}$ er det $3 \, \mathrm{kg}$ mer, og prisen øker fra $290 \, \mathrm{kr}$ til $350 \, \mathrm{kr}$ :

\frac{350 - 290}{10 - 7} = \frac{60}{3} = 20 \, \mathrm{kr/kg} \checkmark

Kiloprisen er $20 \, \mathrm{kr/kg}$ .

For å finne hva kurven koster trekker vi fra prisen for eplene. Med $3 \, \mathrm{kg}$ epler betaler Camilla $210 \, \mathrm{kr}$ :

\text{Kurvpris} = 210 - 20 \cdot 3 = 210 - 60 = 150 \, \mathrm{kr}

Kurven koster $\underline{\underline{150 \, \mathrm{kr}}}$ og kiloprisen for epler er $\underline{\underline{20 \, \mathrm{kr/kg}}}$ .

En lineær funksjon har formen $f(x) = ax + b$ , der $a$ er stigningstallet (kiloprisen) og $b$ er konstantleddet (kurvprisen).

Fra deloppgave a) har vi:

Stigningstall: $a = 20$
Konstantledd: $b = 150$

$\underline{\underline{f(x) = 20x + 150}}$

Her er $x$ antall kilogram epler og $f(x)$ er totalprisen i kroner.

Grafen nedenfor viser $f(x) = 20x + 150$ (blå linje) og de tre datapunktene fra tabellen (røde punkter).

Graf for f(x) = 20x + 150

Vi setter $f(x) = 320$ og løser for $x$ :

20x + 150 = 320

20x = 320 - 150

20x = 170

x = \frac{170}{20} = 8{,}5

Camilla har fylt $\underline{\underline{8{,}5 \, \mathrm{kg}}}$ epler i kurven.

Det grønne punktet $D = (8{,}5, \, 320)$ i grafen viser dette svaret.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering

Oppgave 2-2 : Babylonsk tallsystem og pytagoreisk trippel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Babylonsk tallsystem – introduksjon og oppgave a)

De gamle babylonerne brukte et plassverdisystem med 60 som grunntall. Symbolet $\mathsf{|}$ betydde 1 og symbolet $\mathsf{<}$ betydde 10.

For eksempel svarer de to babylonske tegngruppene vist ovenfor til tallet $11 \cdot 60 + 12 \cdot 1 = 672$ i titallssystemet.

Skriv tallet vist med de tre babylonske tegngruppene ovenfor (to enere, tre tiere og en tier med en ener) i titallssystemet.

Et pytagoreisk talltrippel er tre hele tall som oppfyller Pytagoras’ læresetning.

For eksempel er de tre tallene 3, 4 og 5 et pytagoreisk talltrippel, siden $3^2 + 4^2 = 5^2$ .

Bestem $a$ slik at $a$ , 112 og 113 blir et pytagoreisk talltrippel, og skriv de tre tallene i det babylonske tallsystemet.

Fasit

$\underline{\underline{9011}}$

$a = \underline{\underline{15}}$ . Trippelen 15, 112, 113 skrives i babylonsk: $\mathsf{|}$ $\mathsf{||}$ , $\mathsf{<|}$ , $\mathsf{< |||||}$ $\mathsf{||}$ , $\mathsf{< |||||}$ $\mathsf{|||}$

LøsningsforslagKI-generert

Babylonerne brukte et plassverdisystem med 60 som grunntall, akkurat som vi bruker 10. Har vi tre tegngrupper, svarer de til plassene $60^2$ , $60^1$ og $60^0$ (fra venstre mot høyre).

Vi leser av de tre babylonske tegngruppene:

Tegngruppe	Babylonske tegn	Verdi
Første (plass $60^2 = 3600$ )	to enere: $\mathsf{
Andre (plass $60^1 = 60$ )	tre tiere: $\mathsf{<<<}$	$30$
Tredje (plass $60^0 = 1$ )	en tier og en ener: $\mathsf{<	}$

Vi regner ut verdien i titallssystemet:

2 \cdot 3600 + 30 \cdot 60 + 11 \cdot 1 = 7200 + 1800 + 11 = \mathbf{9011}

Svaret er $\underline{\underline{9011}}$ .

Vi skal finne $a$ slik at $a$ , $112$ og $113$ er et pytagoreisk talltrippel, altså slik at

a^2 + 112^2 = 113^2

Vi løser for $a^2$ :

a^2 = 113^2 - 112^2

Her kan vi bruke konjugatsetningen $p^2 - q^2 = (p+q)(p-q)$ :

a^2 = (113 + 112)(113 - 112) = 225 \cdot 1 = 225

a = \sqrt{225} = 15

Svaret er $\underline{\underline{a = 15}}$ , og de tre tallene er 15, 112 og 113.

Vi kan sjekke: $15^2 + 112^2 = 225 + 12544 = 12769 = 113^2$ . ✓

Tallene i det babylonske tallsystemet:

$15 = 15 \cdot 1$ , altså én tier og fem enere:

\mathsf{< |||||}

$112 = 1 \cdot 60 + 52 \cdot 1$ , altså én sekstier og fem tiere og to enere:

\mathsf{|} \quad \mathsf{<<<<<} \quad \mathsf{||}

$113 = 1 \cdot 60 + 53 \cdot 1$ , altså én sekstier og fem tiere og tre enere:

\mathsf{|} \quad \mathsf{<<<<<} \quad \mathsf{|||}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Tallregning, Utforskning

Oppgave 2-3 : Snødybde modellert med tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = -0{,}001x^3 + 0{,}137x^2 + 12{,}9x + 71

viser snødybden $f(x)$ mm i en bygd $x$ dager etter 1. oktober 2011.

Tegn en graf som viser snødybden i bygda i perioden 1. oktober 2011–1. april 2012.

Når var snødybden størst, og hvor mange millimeter var snødybden da?

I hvilken måned økte snødybden mest?

Fasit

Se graf under.

$\underline{\underline{\text{Snødybden var størst ca. 3. februar 2012, med ca. } 1871 \, \mathrm{mm} \approx 1{,}87 \, \mathrm{m}}}$

$\underline{\underline{\text{Snødybden økte mest i november}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $f(x) = -0{,}001x^3 + 0{,}137x^2 + 12{,}9x + 71$ for $0 \leq x \leq 182$ (fra 1. oktober 2011 til 1. april 2012) i GeoGebra.

Det røde punktet markerer toppunktet til grafen.

Snødybde modellert med tredjegradsfunksjon

Vi bruker GeoGebra til å finne toppunktet (maksimumspunktet) til $f$ i intervallet $0 \leq x \leq 182$ .

GeoGebra finner at toppunktet ligger ved $x \approx 125{,}6$ , og maksimalverdien er

f(125{,}6) \approx 1871 \, \mathrm{mm}

Vi regner om $x \approx 126$ dager etter 1. oktober til dato:

Oktober: 31 dager (dag 1–31)
November: 30 dager (dag 32–61)
Desember: 31 dager (dag 62–92)
Januar: 31 dager (dag 93–123)
1. februar = dag 124, så dag 126 ≈ 3. februar

Snødybden var størst rundt 3. februar 2012, da var snødybden ca. $1871 \, \mathrm{mm} \approx 1{,}87 \, \mathrm{m}$ .

Snødybden øker raskest der stigningen til $f$ er størst. Dette skjer i vendepunktet til $f$ , der kurven går fra «stadig brattere» til «stadig mindre bratt».

Vi finner vendepunktet ved å sette $f''(x) = 0$ :

f'(x) = -0{,}003x^2 + 0{,}274x + 12{,}9

f''(x) = -0{,}006x + 0{,}274 = 0

x = \frac{0{,}274}{0{,}006} \approx 45{,}7

Vi regner om $x \approx 46$ dager etter 1. oktober til dato:

Oktober: 31 dager (dag 1–31)
$46 - 31 = 15$ → ca. 15. november

Snødybden økte mest i november.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, Graftolkning, Modellering

Oppgave 2-4 : Sannsynlighet for pizza og dessert på restaurant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kveld gikk alle elevene i klasse 3A ut for å spise på restaurant. $\dfrac{2}{5}$ av elevene bestilte pasta. Resten bestilte pizza. Halvparten av elevene som bestilte pasta, ønsket også dessert, mens bare $\dfrac{1}{3}$ av elevene som bestilte pizza, ønsket dessert.

Vi velger tilfeldig en elev fra klassen.

Bestem sannsynligheten for at eleven bestilte pizza, men ikke ønsket dessert.

Anta at det er 30 elever i klassen.

Hvor mange av disse elevene ønsket dessert? Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra klassen ønsket dessert?

Fasit

$\underline{\underline{P(\text{pizza og ikke dessert}) = \dfrac{2}{5} = 0{,}4}}$

12 elever ønsket dessert. $\underline{\underline{P(\text{dessert}) = \dfrac{2}{5} = 0{,}4}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner et valgtre for å holde oversikten.

Valgtre – pizza og dessert

Vi vet at $\dfrac{2}{5}$ av elevene bestilte pasta, så resten bestilte pizza:

P(\text{pizza}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

Av de som bestilte pizza, ønsket $\dfrac{1}{3}$ dessert. Det betyr at $\dfrac{2}{3}$ ikke ønsket dessert.

Vi bruker multiplikasjonsregelen (begge hendelsene skal skje):

P(\text{pizza og ikke dessert}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0{,}4

Sannsynligheten for at eleven bestilte pizza, men ikke ønsket dessert, er $\underline{\underline{\dfrac{2}{5} = 0{,}4}}$ .

Vi starter med å fordele 30 elever etter matvalg:

\text{Pasta: } \frac{2}{5} \cdot 30 = 12 \mathrm{~elever}

\text{Pizza: } \frac{3}{5} \cdot 30 = 18 \mathrm{~elever}

Deretter finner vi hvor mange av hver gruppe som ønsket dessert:

Pasta og dessert: $\dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6$ elever
Pizza og dessert: $\dfrac{1}{3} \cdot 18 = 6$ elever

Totalt ønsket dessert:

6 + 6 = 12 \mathrm{~elever}

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ønsket dessert:

P(\text{dessert}) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0{,}4

12 av de 30 elevene ønsket dessert. Det betyr at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ønsket dessert, er $\underline{\underline{\dfrac{2}{5} = 0{,}4}}$ . Dette gir mening – omtrent 4 av 10 elever kom til å ønske dessert den kvelden.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet

Oppgave 2-5 : Statistikk for lengdehopp verdenstopp

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Verdensstatistikk 2010 for lengdehopp menn, topp 20

Ovenfor ser du verdensstatistikken fra 2010 for øvelsen lengdehopp for menn.

Lag et sektordiagram som viser hvordan de 20 utøverne fordeler seg mellom de ulike verdensdelene.

Finn gjennomsnittslengden og standardavviket for resultatene til de 20 utøverne.

Sondre har funnet resultatene for utøverne som står som nummer 21–40 på verdensstatistikken. Standardavviket for resultatene til disse 20 utøverne er tilnærmet lik $0{,}0258$ .

Hva forteller dette om resultatene til utøverne som står som nummer 21–40, i forhold til resultatene til de 20 beste utøverne?

Fasit

Europa: 9, Sør-Amerika: 4, Nord-Amerika: 3, Afrika: 2, Oceania: 2 (se sektordiagram)

$\underline{\underline{\bar{x} \approx 8{,}28 \, \mathrm{m}}}$ , $\underline{\underline{s \approx 0{,}083 \, \mathrm{m}}}$

Utøverne på plass 21–40 har jevnere resultater enn topp 20 (mindre spredning).

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller antall utøvere fra hver verdensdel i tabellen:

Verdensdel	Antall utøvere
Europa	9
Sør-Amerika	4
Nord-Amerika	3
Afrika	2
Oceania	2
Totalt	20

Europa er klart størst med 9 av 20 utøvere ( $45 \,\%$ ). Sør-Amerika har 4 utøvere ( $20 \,\%$ ), Nord-Amerika har 3 ( $15 \,\%$ ), og Afrika og Oceania har 2 hver ( $10 \,\%$ ).

Sektordiagram – topp 20 lengdehopp fordelt på verdensdeler

Nesten halvparten av de 20 beste lengdehopperne i verden i 2010 kom fra Europa.

Vi regner ut gjennomsnittet ved å summere alle 20 resultater og dele på 20:

\bar{x} = \frac{8{,}47 + 8{,}46 + 8{,}40 + 8{,}35 + 8{,}33 + 8{,}30 + 8{,}27 + 8{,}27 + 8{,}25 + 8{,}24 + 8{,}24 + 8{,}23 + 8{,}23 + 8{,}22 + 8{,}22 + 8{,}22 + 8{,}21 + 8{,}20 + 8{,}20 + 8{,}19}{20}

\bar{x} = \frac{165{,}50}{20} = 8{,}275 \approx \mathbf{8{,}28 \, \mathrm{m}}

Standardavviket (populasjonsstandardavvik) beregnes med kalkulator:

s \approx \mathbf{0{,}083 \, \mathrm{m}}

Gjennomsnittslengden er $\underline{\underline{\bar{x} \approx 8{,}28 \, \mathrm{m}}}$ og standardavviket er $\underline{\underline{s \approx 0{,}083 \, \mathrm{m}}}$ .

Dette betyr at et typisk resultat blant topp 20 ligger omtrent $0{,}083 \, \mathrm{m}$ (ca. $8 \, \mathrm{cm}$ ) unna gjennomsnittet.

Standardavviket for utøverne på plass 21–40 er $0{,}0258 \, \mathrm{m}$ , mens standardavviket for topp 20 er ca. $0{,}083 \, \mathrm{m}$ .

Siden $0{,}0258 < 0{,}083$ betyr dette at resultatene til utøverne på plass 21–40 ligger tettere samlet rundt sitt gjennomsnitt enn resultatene til de 20 beste.

Resultatene til utøverne på plass 21–40 er mer jevne (har mindre spredning) enn resultatene til topp 20. Blant de 20 beste er det større forskjell mellom de beste og de «svakeste» i gruppen, mens utøverne på plass 21–40 presterer mer likt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Diagram, Sentralmål

Oppgave 2-6 : Pølsesalg modellert med kubikkfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Måned	Januar	Mars	Juni	Juli	August	Desember
Antall kilogram pølser	45	144	299	328	336	36

Tabellen ovenfor viser antall kilogram pølser som ble solgt i en butikk noen måneder i 2011.

Framstill datamaterialet i tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem der $x$ -aksen viser måned og $y$ -aksen viser antall kilogram pølser.

(La $x = 1$ svare til januar, $x = 2$ til februar, $x = 3$ til mars, osv.)

Bruk regresjon til å bestemme en modell på formen $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ som kan brukes for å beskrive antall kilogram pølser som ble solgt per måned i løpet av dette året.

Tegn grafen til $f$ i samme koordinatsystem som du brukte i a).

Butikken regner med at pølsesalget vil være 20 % høyere hver måned i 2012 sammenliknet med tilsvarende måned i 2011.

I hvilke måneder i 2012 vil butikken da selge mer enn 300 kg pølser per måned dersom vi tar utgangspunkt i modellen i b)?

Fasit

Se koordinatsystem i løsningsforslaget.

$\underline{\underline{f(x) \approx -1{,}00x^3 + 10{,}4x^2 + 20{,}9x + 14{,}6}}$

Mai, juni, juli, august, september og oktober (månedene 5–10).

LøsningsforslagKI-generert

a og b

Vi plotter datapunktene fra tabellen i GeoGebra med $x = 1$ for januar, $x = 3$ for mars, osv., og bruker kubisk regresjon til å bestemme modellen.

Regresjonsanalysen gir:

f(x) = -1{,}00x^3 + 10{,}4x^2 + 20{,}9x + 14{,}6

Datapunkter og regresjonsmodell for pølsesalg

Den blå kurven er grafen til $f$ . De røde punktene er måledataene fra 2011. Den grønne linjen markerer $y = 300 \, \mathrm{kg}$ .

Butikken regner med at pølsesalget i 2012 vil være $20 \,\%$ høyere enn i 2011. Salget i 2012 kan da beskrives med $1{,}2 \cdot f(x)$ .

Vi vil finne hvilke måneder der

1{,}2 \cdot f(x) > 300

Vi leser av grafen (eller regner ut) verdiene for hver måned:

Måned	$f(x)$	$1{,}2 \cdot f(x)$	Over 300?
Mai ( $x=5$ )	$254{,}3$	$305{,}2$	Ja
Juni ( $x=6$ )	$298{,}7$	$358{,}4$	Ja
Juli ( $x=7$ )	$327{,}8$	$393{,}3$	Ja
August ( $x=8$ )	$335{,}7$	$402{,}8$	Ja
September ( $x=9$ )	$316{,}3$	$379{,}6$	Ja
Oktober ( $x=10$ )	$263{,}8$	$316{,}5$	Ja
April ( $x=4$ )	$200{,}8$	$240{,}9$	Nei
November ( $x=11$ )	$171{,}9$	$206{,}3$	Nei

Butikken vil selge mer enn 300 kg pølser i mai, juni, juli, august, september og oktober 2012.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Modellering, Funksjoner

Oppgave 2-7 : Guris banksparing fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Graf som viser bankbeløpets vekst over 15 år

Guri setter et pengebeløp i banken. Grafen ovenfor viser hvordan beløpet vokser de 15 første årene. Vi antar at renten er den samme hvert år.

Sett opp et matematisk uttrykk som kan være en modell for hvor mye penger Guri har i banken etter $x$ år.

Hvor mye penger vil Guri ha i banken etter 20 år ifølge modellen du satte opp i a)? Når vil beløpet hun har i banken, passere 50 000 kroner ifølge modellen?

Fasit

$\underline{\underline{f(x) = 10\,000 \cdot 1{,}05^x}}$

Etter 20 år: $\underline{\underline{f(20) \approx 26\,500 \, \mathrm{kr}}}$ . Beløpet passerer 50 000 kr etter $\underline{\underline{33 \text{~år}}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Avlesninger fra grafen:

Fra grafen leser vi av:

Ved $x = 0$ (start): $f(0) = 10\,000 \, \mathrm{kr}$
Ved $x = 15$ år: $f(15) \approx 21\,000 \, \mathrm{kr}$

Startbeløpet er $a = 10\,000$ .

Vi finner vekstfaktoren $k$ ved å bruke de to avleste verdiene:

k = \left( \frac{f(15)}{f(0)} \right)^{\frac{1}{15}} = \left( \frac{21\,000}{10\,000} \right)^{\frac{1}{15}} \approx 1{,}05

En vekstfaktor på $1{,}05$ tilsvarer $5 \,\%$ rente per år, noe som stemmer godt med grafen.

En modell for beløpet Guri har i banken etter $x$ år er:

\boxed{f(x) = 10\,000 \cdot 1{,}05^x}

Svaret er $\underline{\underline{f(x) = 10\,000 \cdot 1{,}05^x}}$ .

Vi bruker modellen fra a) og løser oppgaven i GeoGebra.

Vi tegner $f(x) = 10\,000 \cdot 1{,}05^x$ og den horisontale linjen $y = 50\,000$ .

GeoGebra-graf som viser f(x)=10000·1,05^x med avmerkede punkter for x=20 og f(x)=50000

Beløp etter 20 år:

Fra grafen (blå punkt) og beregning:

f(20) = 10\,000 \cdot 1{,}05^{20} \approx 26\,500 \, \mathrm{kr}

Svaret er $\underline{\underline{f(20) \approx 26\,500 \, \mathrm{kr}}}$ , altså vil Guri ha omtrent 26 500 kroner i banken etter 20 år.

Når passerer beløpet 50 000 kroner?

Fra grafen (rødt punkt) ser vi at kurven treffer linjen $y = 50\,000$ ved $x \approx 33$ .

Vi kan verifisere:

Etter 32 år: $10\,000 \cdot 1{,}05^{32} \approx 47\,600 \, \mathrm{kr}$ (under 50 000)
Etter 33 år: $10\,000 \cdot 1{,}05^{33} \approx 50\,000 \, \mathrm{kr}$ (over 50 000)

Svaret er $\underline{\underline{x = 33 \text{~år}}}$ , altså vil beløpet passere 50 000 kroner etter 33 år.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Eksponentialfunksjon, Sparing, Graftolkning

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Sentralmål for turgåere på Pollfjell

Oppgave 1-2 : Vekstfaktor for bilverdi over tid

Oppgave 1-3 : Divisjon på standardform

Oppgave 1-4 : Potensuttrykk med negative eksponenter

Oppgave 1-5 : Tall i tretallssystemet

Oppgave 1-6 : Lineær modell for Olas lønn

Oppgave 1-7 : Sannsynlighet med førerkort og bil

Oppgave 1-8 : Grafisk fremstilling av fallskjermhopp

Oppgave 1-9 : Figurtall med perler

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Lineær modell for eplekurv

Oppgave 2-2 : Babylonsk tallsystem og pytagoreisk trippel

Oppgave 2-3 : Snødybde modellert med tredjegradsfunksjon

Oppgave 2-4 : Sannsynlighet for pizza og dessert på restaurant

Oppgave 2-5 : Statistikk for lengdehopp verdenstopp

Oppgave 2-6 : Pølsesalg modellert med kubikkfunksjon

a og b

Oppgave 2-7 : Guris banksparing fra graf

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave