2P-Y Høst 2021

Vi sorterer tallene fra minst til størst:

Median: Vi har 10 tall, så medianen er gjennomsnittet av de to midterste (plass 5 og 6):

Gjennomsnitt: Vi legger sammen alle verdiene og deler på antallet:

Typetall: Verdien som forekommer flest ganger er $4$ (tre ganger), så typetallet er $\underline{\underline{4}}$.

Variasjonsbredde: Største verdi minus minste verdi:

Vi teller opp hvor mange av de 10 årene som hadde høyst 5 snødager:

Den kumulative frekvensen for 5 dager er:

Dette betyr at i 70 % av de 10 siste årene var det høyst 5 dager med snøfall i april i denne kommunen.

For gruppert data bruker vi midtpunktet i hvert intervall som representativ verdi.

Vi regner gjennomsnittet ved å gange hvert midtpunkt med antall elever, legge alt sammen og dele på totalt antall:

Medianen er den midterste verdien. Med 100 elever er medianen gjennomsnittet av elev nummer 50 og 51 (sortert fra korteste til lengste skolevei).

Vi teller kumulativt:

• Etter $[0, 10\rangle$: $20$ elever
• Etter $[10, 20\rangle$: $20 + 50 = 70$ elever

Elev nr. 50 og 51 befinner seg begge i intervallet $[10, 20\rangle$ (vi trenger elev 21–70 for å fylle dette intervallet).

Medianen ligger i intervallet $\underline{\underline{[10, 20\rangle}}$.

I et histogram for gruppert data er søylehøyden proporsjonal med frekvenstetthet (antall elever per minutt), slik at arealet til søylen svarer til antall elever.

Tegn én søyle for hvert intervall der søylens bredde tilsvarer intervallbredden og høyden tilsvarer frekvenstellheten fra tabellen ovenfor.

Vi skriver $8$ om til en potens av $2$: $8 = 2^3$.

Deretter bruker vi regelen $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

Idar har rett. $8^5 = 2^{15}$.

For å kunne sammenligne $8^5$ og $3^{10}$ direkte, skriver vi begge om til potenser med samme eksponent.

Fra deloppgave a vet vi at $8^5 = 2^{15}$. Vi kan også skrive:

Nå har begge potensene eksponenten $5$:

Siden $9 > 8$ og eksponenten er den samme, er $9^5 > 8^5$.

$3^{10}$ har størst verdi.

Etter at Hans har trukket sete, gjenstår det 4 seter for Grete. Hun trekker ett av disse 4 setene, og hvert av dem er like sannsynlige.

Hans trekker sete 1. Da kan Grete trekke sete 2, 3, 4 eller 5.

Sete 1 har bare ett naboset, nemlig sete 2.

Sannsynligheten er $\underline{\underline{\dfrac{1}{4}}}$.

Hans trekker sete 3. Da kan Grete trekke sete 1, 2, 4 eller 5.

Sete 3 har to naboer: sete 2 og sete 4.

Sannsynligheten er $\underline{\underline{\dfrac{1}{2}}}$.

Vi bruker samme tankegang som i a), men nå vet vi ikke på forhånd hvilket sete Hans trekker. Han trekker hvert av de fem setene med sannsynlighet $\dfrac{1}{5}$.

For hvert mulige sete Hans trekker, finner vi sannsynligheten for at Grete trekker et naboset:

Vi bruker setningsregelen for total sannsynlighet:

Sannsynligheten for at Grete sitter ved siden av Hans er $\underline{\underline{\dfrac{2}{5}}}$.

La $x$ være antall dager etter 1. januar 2021. Vi vet at:

• Når $x = 0$: $4000$ smittede
• Når $x = 50$: $6000$ smittede

Vi finner stigningstallet (økningen per dag):

Det betyr at antall smittede øker med $40$ per dag.

Konstantleddet er startantallet: $b = 4000$.

Modellen er $\underline{\underline{f(x) = 40x + 4000}}$, der $x$ er antall dager etter 1. januar 2021.

Vi setter $f(x) = 10\,000$ og løser likningen:

Ifølge modellen vil antall smittede passere $10\,000$ etter $\underline{\underline{150 \, \mathrm{dager}}}$, det vil si rundt 31. mai 2021.

Vi teller antall sirkler i hver av de fire figurene:

Vi ser på veksten fra figur til figur:

Økningen vokser med $4$ for hvert steg ($15, 19, 23, 27, \ldots$), så neste økning er $27$.

Figur 5 vil ha $\underline{\underline{98}}$ sirkler.

Siden den andre differensen er konstant lik $4$, er antall sirkler et andregradsuttrykk:

Vi setter inn de tre første verdiene:

Fra de to første likningene: $3a + b = 15$. Fra den andre og tredje: $5a + b = 19$. Trekker vi fra, får vi $2a = 4$, altså $a = 2$. Da blir $b = 15 - 3 \cdot 2 = 9$ og $c = 14 - 2 - 9 = 3$.

Vi kontrollerer: $a(1) = 2 + 9 + 3 = 14$ ✓, $a(4) = 32 + 36 + 3 = 71$ ✓ og $a(5) = 50 + 45 + 3 = 98$ ✓

Vekstfaktoren er $1{,}03$ (3 % økning per år). Etter 5 år er huset verdt 4,1 millioner kroner. Vi kaller kjøpsprisen $x$.

Huset kostet omtrent $\underline{\underline{3{,}54 \text{~mill. kr}}}$ da Birthe og Emil kjøpte det. Det vil si at huset har økt med nesten 600 000 kroner på 5 år.

Nåverdien er 4,1 mill. kr, og vi ønsker at den skal bli 5,1 mill. kr om 5 år. Vi kaller vekstfaktoren $r$.

En vekstfaktor på $1{,}0446$ svarer til en prosentvis økning på $0{,}0446 \approx 4{,}5 \,\%$.

Verdien av huset må øke med omtrent $\underline{\underline{4{,}5 \,\%}}$ hvert år for at det skal være verdt 5,1 millioner kroner om 5 år.

Vi setter inn noen $x$-verdier for å få et bilde av grafen, og tegner deretter $F$ i et koordinatsystem for $0 \leq x \leq 12$:

I et regneark kan vi lage kolonnen med $x$-verdier (0–12) og bruke formelen

= -0,3*A2^4 + 9*A2^3 - 62*A2^2 - 50*A2 + 1960

for å beregne $F(x)$ i kolonnen ved siden av, og deretter lage et linjediagram.

Grafen viser at forbruket er høyest om vinteren og lavest om sommeren (rundt august).

Vi leser av (eller beregner) hvor grafen er over linjen $F(x) = 1500$.

Fra tabellen ser vi at $F(2) = 1679 > 1500$ og $F(3) = 1471 < 1500$, så grafen krysser 1500 mellom mars og april. Vi ser også at $F(11) = 1495 < 1500$ mens $F(12) = 1763 > 1500$, så grafen krysser 1500 igjen tidlig i desember.

Ifølge modellen var energiforbruket høyere enn 1500 kWh i januar, februar, mars og desember.

Den deriverte av $F$ er

Vi setter inn $x = 10$:

$\underline{\underline{F'(10) = 210 \, \mathrm{kWh} \text{/måned}}}$

Praktisk tolkning: I november ($x = 10$) øker energiforbruket med ca. $210 \, \mathrm{kWh}$ per måned. Det vil si at forbruket er på vei oppover mot vintermånedene.

$F(x)$ gir energiforbruket i kWh i måned $x$, og $P(x)$ gir gjennomsnittlig pris i øre per kWh i måned $x$.

Energikostnad = energiforbruk $\times$ pris per enhet, altså

Derfor er $F(x) \cdot P(x)$ et uttrykk for de gjennomsnittlige energikostnadene (i øre) for eneboligen i måned $x$.

Vi lager en ny kolonne i regnearket for $K(x) = F(x) \cdot P(x)$ med formelen

= (-0,3*A2^4 + 9*A2^3 - 62*A2^2 - 50*A2 + 1960) * (0,78*A2^2 - 9,2*A2 + 96)

Den laveste verdien i tabellen er $K(7) = 65\,540 \, \text{øre}$, som tilsvarer august ($x = 7$ måneder etter 1. januar 2020).

De gjennomsnittlige energikostnadene for eneboligen var lavest i $\underline{\underline{\text{august}}}$.

Vi leser av to punkter fra diagrammet.

Vi velger punktene $(0,\, 13\,800)$ og $(10,\, 12\,150)$, der $x$ er antall år etter 2008.

Vi beregner stigingstallet:

Alternativt kan man bruke GeoGebra til å tegne inn datapunktene og utføre lineær regresjon. Det gir omtrent:

Vi bruker regresjonsmodellen (som passer bedre til alle punktene):

der $x$ er antall år etter 2008.

Slik lager du grafen i GeoGebra:

1. Åpne regnearket i GeoGebra og legg inn datapunktene (kolonne A: 0, 1, 2, …, 10 — kolonne B: verdiene fra diagrammet).
2. Merk alle punktene og velg «Regresjonsanalyse».
3. Velg «Lineær» og les av $a$ og $b$ fra ligningen som vises.

Praktisk tolkning av stigingstallet: Stigingstallet er $a \approx -175$. Det betyr at den gjennomsnittlige kjørelengden synker med omtrent $175 \, \mathrm{km}$ per år i perioden.

Praktisk tolkning av konstantleddet: Konstantleddet er $b \approx 13\,650$. Det betyr at modellen gir en gjennomsnittlig kjørelengde på omtrent $\mathbf{13\,650 \, \mathrm{km}}$ i år 2008 (når $x = 0$).

Modellen er laget fra data i perioden 2008–2018, det vil si for $x$-verdier fra $0$ til $10$.

Gyldighetsområdet er $0 \leq x \leq 10$, som tilsvarer perioden 2008 til 2018.

Utenfor dette intervallet er det usikkert om den lineære trenden fortsetter. Om vi for eksempel bruker modellen for $x = 20$ (år 2028), gir den $f(20) = -175 \cdot 20 + 13\,650 = 10\,150 \, \mathrm{km}$. Det er ikke sikkert at nedgangen fortsetter like jevnt.

Fra det andre diagrammet ser vi at den samlede kjørelengden for alle personbiler har økt i samme periode. Siden gjennomsnittlig kjørelengde per bil har gått ned, men totalkilometerne har gått opp, betyr det at det har blitt flere biler i Norge.

Mulige årsaker til at den gjennomsnittlige kjørelengden per bil har gått ned:

• Flere biler per husstand — familier har fått to eller flere biler, og bruker hver bil mindre.
• Bedre kollektivtilbud — folk velger buss, tog eller bysykkel for kortere turer.
• Økt andel elbiler — elbilister kjører gjerne kortere strekninger, noe som trekker gjennomsnittet ned.
• Urbanisering — flere bor tettere og har kortere avstand til jobben.
• Økte drivstoffpriser — kan ha ført til at folk kjørt mindre.

Vi bruker GeoGebra til å utføre potensregresjon på dataene.

Fremgangsmåte i GeoGebra:

1. Åpne GeoGebra og velg «Regneark» (Spreadsheet).
2. Legg inn $x$-verdiene i kolonne A og $y$-verdiene i kolonne B:

3. Merk alle punktene (A1:B6), høyreklikk og velg «Lag liste med punkter».
4. I algebrafeltet: skriv FitPow(liste1) for å utføre potensregresjon.

GeoGebra gir da funksjonen

som er svært nær den oppgitte modellen $S(x) = 202 \cdot x^{0{,}13}$.

Vi kontrollerer modellen $S(x) = 202 \cdot x^{0{,}13}$ mot datapunktene:

Avvikene er små, og modellen passer godt til dataene. Modellen $S(x) = 202 \cdot x^{0{,}13}$ er derfor en god tilnærming.

5. juli 2020 er 66 dager etter 30. april 2020 (mai har 31 dager, juni har 30 dager: $31 + 30 + 5 = 66$).

Det var omtrent $\underline{\underline{348 \text{ sildemåker}}}$ på øya 5. juli 2020 ifølge modellen.

Vi beregner $S(150)$:

$\underline{\underline{S(150) \approx 388}}$

$x = 150$ tilsvarer 150 dager etter 30. april, det vil si rundt 27. september. Ifølge oppgaveteksten begynner sildemåkene å fly sørover allerede i august, og registreringene gikk bare til 20. juli. Modellen er tilpasset data fra mai til midten av juli, og det er ikke rimelig å anta at den fortsatt gjelder i slutten av september. Modellen kan ikke brukes til å si noe om antall sildemåker så sent på høsten.

Vi setter opp regnearket med tre kolonner: ett løpenummer og én kolonne for Fibonacci-tallene.

Oppsett (Excel / Google Sheets):

Formelen =B3+B2 er rekursiv: hvert tall er summen av de to foregående. Vi drar formelen ned til rad 16 (B2–B16 gir de 15 første Fibonacci-tallene).

De 15 første Fibonacci-tallene er:

Vi utvider regnearket med to nye kolonner for å undersøke påstandene.

Anes påstand: Summen av de $n$ første Fibonacci-tallene er alltid lik Fibonacci-tall nummer $n + 2$ minus 1.

Vi legger til en kolonne C med løpende sum: i C2 skriver vi =B2, og i C3 og nedover: =C2+B3. I kolonne D sjekker vi om summen er lik $F_{n+2} - 1$: =B4-1 (for n=1, altså B4 er Fibonacci nr. 3).

Mønsteret holder seg gjennom alle 15 tallene. Anes påstand ser riktig ut.

Trines påstand: Summen av annenhvert Fibonacci-tall (1., 3., 5., … ledd) er alltid lik Fibonacci-tallet som kommer rett etter siste ledd i summen.

Vi legger til en kolonne E med løpende sum av annenhvert tall: i E2 skriver vi =B2, og i E4: =E2+B4, i E6: =E4+B6 osv. (vi hopper over partallsradene).

Mønsteret holder seg gjennom alle 15 tallene. Trines påstand ser riktig ut.

Konklusjon: Regnearket viser at begge påstander stemmer for de 15 første Fibonacci-tallene. Vi kan ikke bevise dem generelt med et regneark, men regnearket gir god grunn til å tro at begge er riktige.

Vi legger inn de 30 dataverdiene i et regneark og bruker funksjonene for gjennomsnitt og populasjonsstandardavvik (STDAVP i Excel, eller stdav i GeoGebra).

Gjennomsnitt:

I regneark: =GJENNOMSNITT(A1:A30) (eller AVERAGE)

Standardavvik (populasjonsstandardavvik, STDAVP):

I regneark: =STDAVP(A1:A30) (Excel) eller =STDEV.P(A1:A30)

$\underline{\underline{\bar{x} = 2{,}1}}$ og $\underline{\underline{s \approx 1{,}51}}$

Vi finner grensene for 1, 2 og 3 standardavvik fra gjennomsnittet og teller opp dataverdier i hvert intervall.

Intervallgrenser:

Telling:

• Innenfor 1 std ($0{,}59$ til $3{,}61$): verdiene 1, 2 og 3 ligger i intervallet. Det er $10 + 7 + 5 = 22$ elever. $\frac{22}{30} \approx 73{,}3 \,\%$
• Innenfor 2 std ($-0{,}92$ til $5{,}12$): verdiene 0, 1, 2, 3, 4 og 5 ligger i intervallet. Det er $3 + 10 + 7 + 5 + 2 + 2 = 29$ elever. Verdien 6 faller utenfor. $\frac{29}{30} \approx 96{,}7 \,\%$
• Innenfor 3 std ($-2{,}43$ til $6{,}63$): alle 30 verdier (0–6) ligger i intervallet. $\frac{30}{30} = 100 \,\%$

Oversikt:

Ja, det er mulig at ingen dataverdier ligger mindre enn ett standardavvik fra gjennomsnittet.

Tenk deg en klasse med bare to mulige svar: alle elever har enten 0 eller 10 søsken, for eksempel 15 elever med 0 og 15 elever med 10. Da er gjennomsnittet $\bar{x} = 5$, og standardavviket er $s = 5$. Intervallet «mindre enn 1 standardavvik fra gjennomsnittet» er da $\langle 0, 10 \rangle$ (eksklusivt), og ingen av de faktiske verdiene 0 og 10 ligger strengt innenfor dette intervallet.

Et enda enklere eksempel: hvis alle 30 elevene har nøyaktig like mange søsken, er standardavviket 0 og ingen verdier kan ligge «innenfor» 0 fra gjennomsnittet (alle er på gjennomsnittet, ikke nærmere enn 0). For et datasett med spredning er det mulig å konstruere situasjoner der alle verdier havner på grensen eller utenfor ett standardavvik.