2P-Y Vår 2021

La $x$ være antall elever. Leiekostnaden fordeles likt på alle elevene, og i tillegg betaler hver elev 100 kr for mat.

Uttrykket for prisen hver elev må betale er $\underline{\underline{\dfrac{3000}{x} + 100}}$ kroner.

Vi setter inn ulike verdier for $x$ og ser når prisen per elev blir under 130 kroner.

Vi setter opp ulikheten:

Vi trekker 100 fra begge sider:

Siden $x$ er antall elever, er $x > 0$. Vi multipliserer begge sider med $x$:

Vi deler begge sider med 30:

Det må komme flere enn 100 elever for at prisen per elev skal bli mindre enn 130 kroner.

Astrid håper altså at mer enn 100 elever kommer. La oss sjekke: med 101 elever blir prisen $\dfrac{3000}{101} + 100 \approx 29{,}7 + 100 = 129{,}7 \, \mathrm{kr}$ per elev, som er under 130 kr. Med 100 elever blir prisen $\dfrac{3000}{100} + 100 = 130 \, \mathrm{kr}$, som ikke er under 130 kr. Astrids ønske er realistisk for en vanlig skoleklasse.

Vi bruker midtpunktet i hvert intervall som representativ verdi, og regner ut gjennomsnittet ved å multiplisere midtpunktet med antall hus og dele på totalt antall hus.

Gjennomsnittshøyden på husene er $\underline{\underline{8{,}0 \, \mathrm{m}}}$.

Siden det siste intervallet $[9, 13\rangle$ har bredde $4 \, \mathrm{m}$ (dobbelt så bred som de andre), tegner vi histogrammet med frekvenstetthet (antall hus per meter) på $y$-aksen. Da blir høyden på søylen riktig i forhold til bredden.

Vi regner ut frekvensdensiteten for hvert intervall:

Histogrammet tegnes med høyde (antall hus per meter) på $y$-aksen og høyde (meter) på $x$-aksen. Arealet av hver søyle er lik antall hus i intervallet.

6 |
5 |        ████
4 |   ████ ████
3 |   ████ ████
2 |   ████ ████ ████████
1 | ██ ████ ████ ████████
  +--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--
    3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13

Hva er eksponentiell vekst?

Eksponentiell vekst betyr at en størrelse vokser med den samme prosenten for hvert steg (for eksempel hvert år). Det er ikke det samme som å vokse med det samme tallet hvert år — ved eksponentiell vekst vokser det mer og mer for hvert steg fordi prosenten beregnes av et stadig større tall.

Et kjennetegn på eksponentiell vekst er at vi multipliserer med den samme vekstfaktoren gang på gang.

Eksempel: Du setter inn $10\,000 \, \mathrm{kr}$ i banken. Banken gir deg $5 \,\%$ rente hvert år. Beløpet vokser eksponentielt fordi du hvert år får $5 \,\%$ av det beløpet som allerede er i banken — og det beløpet blir større og større.

Regnestykke knyttet til eksempelet:

Du setter inn $\textcolor{steelblue}{10\,000} \, \mathrm{kr}$ i banken med $\textcolor{seagreen}{5 \,\%}$ rente per år. Hvor mye har du i banken etter $\textcolor{tomato}{8}$ år?

Vi finner vekstfaktoren:

Vi multipliserer med vekstfaktoren én gang per år i $\textcolor{tomato}{8}$ år:

Etter 8 år har du omtrent $\underline{\underline{14\,775 \, \mathrm{kr}}}$ i banken.

Grunnen til at dette er eksponentiell vekst: beløpet kan skrives som $K = 10\,000 \cdot 1{,}05^n$, der $n$ er antall år. Antall år står i eksponenten — derav navnet eksponentiell vekst.

Vi ser på mønsteret i figurene:

Mønsteret: for hver ny figur legges det til én ekstra rad og én ekstra kolonne. Figur 5 vil da ha 4 rader og 5 kolonner.

Figur 5 (skjematisk):

O - O - O - O - O
|   |   |   |   |
O - O - O - O - O
|   |   |   |   |
O - O - O - O - O
|   |   |   |   |
O - O - O - O - O

Figur 5 har $4 \times 5 = \textcolor{seagreen}{20}$ kuler og $\textcolor{steelblue}{9}$ pinner.

Vi ser at antall pinner øker med 2 for hver ny figur:

Fra figur 4 til figur 10 er det 6 steg, og pinner øker med 2 for hvert steg:

Antall kuler: figur 4 har 12 kuler. Fra figur 4 til figur 5 legger vi til én rad med 5 kuler (= 17), fra 5 til 6 legger vi til 6 kuler (= 23), og så videre. Eller vi kan bruke at figur $n$ har $n$ kolonner og $(n-1)$ rader:

Figur 10 vil ha $\underline{\underline{19 \text{ pinner}}}$ og $\underline{\underline{90 \text{ kuler}}}$.

Uttrykk for antall pinner:

Figur 1 har 1 pinne, og for hver ny figur kommer det 2 pinner til. Dette er en lineær sammenheng:

Sjekk: $P(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7$ ✓

Uttrykk for antall kuler:

Figur $n$ har $(n-1)$ rader og $n$ kolonner:

Sjekk: $K(4) = 4 \cdot 3 = 12$ ✓

Antall pinner i figur $n$: $\underline{\underline{P(n) = 2n - 1}}$

Antall kuler i figur $n$: $\underline{\underline{K(n) = n(n-1)}}$

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra. La $x$ være antall år etter 2008, slik at 2009 gir $x = 1$, 2010 gir $x = 2$ osv.

Fremgangsmåte i GeoGebra:

1. Åpne Regnearket og skriv inn $x$-verdiene i kolonne A og $S$-verdiene i kolonne B.
2. Marker begge kolonnene og lag et punktdiagram med Vis > Diagram.
3. Merk alle punktene, høyreklikk og velg «Regresjon» – «Potensregresjon».
4. GeoGebra gir funksjonsuttrykket for den beste potenstilpasningen.

Resultatet er

som stemmer med Olavs modell.

Vi setter inn $x = 3$ (siden 2011 er 3 år etter 2008):

Ifølge Olavs modell var sildebestanden i 2011 omtrent $\underline{\underline{7686 \text{~tusen tonn}}}$, det vil si rundt 7,7 millioner tonn.

Vi beregner sildebestanden i 2019 og 2020 med Olavs modell.

2019 er 11 år etter 2008, og 2020 er 12 år etter 2008:

Prosentvis endring:

Havforskningsinstituttet anslår en nedgang på $13\,\%$, mens Olavs modell gir kun $2{,}3\,\%$ nedgang.

Olavs modell samsvarer ikke med prognosen fra Havforskningsinstituttet. Modellen er bygget på historiske data fra 2009–2019 der bestanden sank jevnt og gradvis. En nedgang på 13 % er langt brattere enn hva modellen tilsier. Dette tyder på at noe utenfor den historiske trenden – for eksempel økt fiske, svikt i gyting eller endrede havforhold – kan forklare prognosen for 2020.

Vi tegner grafene til $f$ og $g$ i GeoGebra ved å skrive inn funksjonene i inntastingsfeltet:

f(x) = 4.8x^3 - 78.4x^2 - 534x + 91043
g(x) = 3.2x^3 - 88.5x^2 + 693x + 23136

Vi setter domenet til $0 \leq x \leq 20$ og velger passende vindusstørrelse, for eksempel $x \in [0,\, 20]$ og $y \in [20\,000,\, 100\,000]$.

Vi bruker GeoGebra til å finne når $f(x) = 84\,000$. Vi skriver inn likningen

i GeoGebra (eller tegner linjen $y = 84\,000$ og finner skjæringspunktene med $f$).

GeoGebra gir skjæringspunktene ved $x \approx 8{,}2$ og $x \approx 18{,}0$.

Siden $f(x)$ er lavere enn $84\,000$ mellom disse verdiene, var produksjonen av storfekjøtt under 84 000 tonn for

Det vil si fra ca. år 2007 til ca. år 2017.

Storfeproduksjonen var lavere enn 84 000 tonn fra ca. 2007 til ca. 2017.

Den momentane vekstfarten er gitt av den deriverte. Vi deriverer $f$ og $g$:

Vi setter inn $x = 3$:

$\underline{\underline{f'(3) \approx -875 \, \text{tonn/år}}}$ og $\underline{\underline{g'(3) \approx 248 \, \text{tonn/år}}}$

Praktisk tolkning: I år 2002 (når $x = 3$) minket storfeproduksjonen med ca. $875 \, \mathrm{tonn}$ per år, mens saueproduksjonen økte med ca. $248 \, \mathrm{tonn}$ per år.

Vi finner $h(x) = f(x) - g(x)$:

Vi skriver inn $h(x)$ i GeoGebra og bruker «Ekstremalverdi»-verktøyet (eller kommandoen Minimum(h, 0, 20)) for å finne bunnpunktet.

GeoGebra gir bunnpunktet ved $x \approx 14$, $h(14) \approx 57\,099$.

Bunnpunktet er $\underline{\underline{(14,\; 57\,099)}}$.

Praktisk tolkning: $x = 14$ tilsvarer år 2013. Bunnpunktet viser at forskjellen mellom storfeproduksjon og saueproduksjon var på sitt minste rundt år 2013. Da var storfeproduksjonen ca. $57\,099 \, \mathrm{tonn}$ høyere enn saueproduksjonen.

Vi leser av tabellen og bruker regneark/kalkulator med populasjonsstandardavvik.

Datasett (antall innbyggere, sortert fra minst til størst):

Gjennomsnitt — vi summerer alle 14 verdier og deler på 14:

Median — vi har 14 verdier (partall), så medianen er gjennomsnittet av de to midterste (plass 7 og 8 i sortert rekkefølge):

Variasjonsbredde — differansen mellom største og minste verdi:

Standardavvik — beregnet med populasjonsstandardavvik (alle 14 byene er hele populasjonen):

Svar: Gjennomsnittet er $\underline{\underline{5\,705\,357}}$ innbyggere, medianen er $\underline{\underline{4\,739\,500}}$ innbyggere, variasjonsbredden er $\underline{\underline{9\,247\,000}}$ innbyggere og standardavviket er $\underline{\underline{2\,948\,403}}$ innbyggere.

Vi sammenligner de statistiske målene:

Gjennomsnittet og medianen i Europa er lavere enn i Sør- og Nord-Amerika. Det betyr at de europeiske byene typisk har færre innbyggere. Samtidig er variasjonsbredden og standardavviket høyere i Europa, noe som betyr at størrelsene er mer spredte. Istanbul ($15\,519\,000$) trekker gjennomsnittet og variasjonsbredden kraftig opp.

Svar: Byene i Europa er typisk noe mindre enn byene i Sør- og Nord-Amerika (lavere gjennomsnitt og median), men størrelsesforskjellene er større i Europa (høyere variasjonsbredde og standardavvik). Istanbul er en ekstremverdi som påvirker Europa-statistikken mye.

Europa-datasettet har 14 byer med gjennomsnitt $4\,808\,000$.

Totalsum for alle 14 europeiske byer:

Vi trekker fra Istanbul og deler på 13:

Svar: Gjennomsnittet for de 13 byene i Europa uten Istanbul er $\underline{\underline{3\,984\,077}}$ innbyggere. Det er betydelig lavere enn da Istanbul var inkludert ($4\,808\,000$), noe som viser at Istanbul er en ekstremverdi som trekker gjennomsnittet kraftig opp.

Verdien synker med $13 \,\%$ per år, så vekstfaktoren er:

La $x$ være prisen da Melinda kjøpte bilen. Etter 10 år er bilen verdt $180\,000 \, \mathrm{kr}$:

Vi løser for $x$:

Svar: Melinda kjøpte bilen for omtrent $\underline{\underline{724\,569 \, \mathrm{kr}}}$. Det vil si at bilen nesten har mistet $\frac{3}{4}$ av verdien sin i løpet av de 10 årene hun har eid den.

La $v$ være den årlige vekstfaktoren. Etter 2 år er bilen verdt $120\,000 \, \mathrm{kr}$:

Vi løser for $v$:

Det prosentvise verdifallet per år er:

Svar: Verdien på bilen til Glennis har sunket med omtrent $\underline{\underline{10{,}6 \,\%}}$ per år. Det betyr at bilen hvert år er verdt litt over $89 \,\%$ av hva den var verdt året før.

Vi setter opp et regneark der vi bruker Siljes alder som radnummer. Silje fyller 22 år det første året og 33 år det siste året — det gir 12 rader (12 innskudd).

Kolonneoppsett:

Forklaring av formlene (fra og med rad 2, som tilsvarer alder 22):

• Kolonne A (alder): Begynn med 22 i celle A2. I celle A3 skrives = A2 + 1, og formelen kopieres nedover til og med rad 13 (alder 33).
• Kolonne B (etter innskudd): Første år (A2 = 22) er saldoen kun innskuddet, siden kontoen er tom: = 25000. Fra og med A3 = 23 legges årets innskudd til fjorårets saldo etter rente: = C2 + 25000. Kopier nedover til rad 13.
• Kolonne C (etter rente): Saldoen etter innskudd ganges med vekstfaktoren $1{,}028$: = B2 * 1.028. Kopier nedover til rad 13.

Resultat:

Silje setter inn 25 000 kr i året i 12 år:

Sluttsaldoen (saldo etter rente det året hun fyller 33) leses av tabellen:

Renteinntektene er differansen:

Silje vil totalt få $\underline{\underline{60\,618{,}53 \, \mathrm{kr}}}$ i renter i løpet av disse 12 årene.

$30 \,\%$ av 3000 kvinner hadde gitt klem: $0{,}30 \cdot 3000 = 900$ kvinner.

$20 \,\%$ av 3000 menn hadde gitt klem: $0{,}20 \cdot 3000 = 600$ menn.

Totalt deltok 6000 personer, og 1500 av dem hadde gitt klem.

Sannsynligheten er $\underline{\underline{0{,}25}}$, altså $25 \,\%$.

Vi trekker 2 personer tilfeldig blant de 1500 som svarte at de hadde gitt klem. Blant disse er det 900 kvinner og 600 menn.

Vi ønsker sannsynligheten for at vi får nøyaktig 1 kvinne og 1 mann.

Antall måter å velge 1 kvinne av 900:

Antall måter å velge 1 mann av 600:

Antall måter å velge 2 personer av 1500 totalt:

Sannsynligheten blir:

Sannsynligheten for at de to personene vil være én kvinne og én mann, er $\underline{\underline{\approx 0{,}48}}$.