2P-Y Vår 2019

Vi leser av to punkter fra grafen: $(4, 350)$ og $(8, 550)$.

Vi bruker disse punktene til å finne stigningstallet $a$:

For å finne konstantleddet $b$ setter vi inn ett av punktene, for eksempel $(4, 350)$:

Svaret er $\underline{\underline{a = 50}}$ og $\underline{\underline{b = 150}}$.

Den lineære sammenhengen er $y = 50x + 150$.

$a = 50$ er stigningstallet. Det betyr at prisen øker med $50 \, \mathrm{kr}$ for hver ekstra pakke som kjøres ut. Vi kan si at prisen per pakke er $\mathbf{50 \, \mathrm{kr}}$.

$b = 150$ er konstantleddet. Det betyr at budfirmaet tar $150 \, \mathrm{kr}$ i et fast beløp, uavhengig av hvor mange pakker som kjøres ut. Dette er grunnprisen (startbeløpet) på $\mathbf{150 \, \mathrm{kr}}$.

Siden reisetidene er gruppert i intervaller, bruker vi midtpunktet i hvert intervall som representativt tall.

Vi regner ut gjennomsnittet:

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{18 \mathrm{~minutter}}}$.

Det er 200 elever i datamaterialet. Medianen er gjennomsnittet av den 100. og 101. verdien når alle verdiene er sortert.

Vi finner hvilke intervaller de to midterste verdiene havner i ved å summere frekvensene:

• $[0, 10\rangle$: 60 elever (elev nr. 1–60)
• $[10, 20\rangle$: 80 elever (elev nr. 61–140)

Den 100. og 101. verdien er begge i intervallet $[10, 20\rangle$.

Stines antakelse er at alle elevene i et intervall er jevnt fordelt, og at representanten for intervallet er midtpunktet $\frac{10 + 20}{2} = 15$ minutter. Derfor kan hun argumentere for at medianen er ca. $\mathbf{15 \mathrm{~minutter}}$.

I et histogram er søylehøyden proporsjonal med frekvenstetthet (frekvens delt på intervallbredde), ikke frekvens alene. Dette er viktig fordi intervallene ikke er like brede.

Histogrammet tegnes med reisetid (minutter) på $x$-aksen og frekvenstetthet på $y$-aksen. Søylene har bredde lik intervallbredden og høyde lik frekvenstellheten:

• Søyle $[0, 10\rangle$: bredde 10, høyde 6
• Søyle $[10, 20\rangle$: bredde 10, høyde 8
• Søyle $[20, 40\rangle$: bredde 20, høyde $2{,}5$
• Søyle $[40, 80\rangle$: bredde 40, høyde $0{,}25$

Differansene øker med $2$ for hver figur (oddetall: 3, 5, 7, …). Vi fortsetter mønsteret:

Utregning:

• Figur 4: $10 + 7 = 17$
• Figur 5: $17 + 9 = 26$
• Figur 6: $26 + 11 = 37$
• Figur 7: $37 + 13 = 50$
• Figur 8: $50 + 15 = 65$

Rikke påstår at antall blå kvadrater i figur $n$ er $n^2 + 1$. Vi skal vise dette geometrisk for figur 2, 3 og 4 ved å tenke oss at kvadratene er plassert annerledes.

Nøkkelideen: Vi kan alltid dele opp figuren i et $n \times n$-kvadrat pluss 1 ekstra kvadrat.

Figur 2 ($n = 2$): $2^2 + 1 = 5$ kvadrater.

Plasser 4 kvadrater i et $2 \times 2$-rutenett, og legg til 1 ekstra kvadrat utenfor. Da har du $4 + 1 = 5$ kvadrater. ✓

Figur 3 ($n = 3$): $3^2 + 1 = 10$ kvadrater.

Plasser 9 kvadrater i et $3 \times 3$-rutenett, og legg til 1 ekstra kvadrat utenfor. Da har du $9 + 1 = 10$ kvadrater. ✓

Figur 4 ($n = 4$): $4^2 + 1 = 17$ kvadrater.

Plasser 16 kvadrater i et $4 \times 4$-rutenett, og legg til 1 ekstra kvadrat utenfor. Da har du $16 + 1 = 17$ kvadrater. ✓

Dette viser at Rikkes påstand stemmer: antall blå kvadrater i figur $n$ er alltid $n^2$ (ett fullstendig kvadrat) pluss $1$ ekstra kvadrat.

Vi teller antall grønne kvadrater i de første figurene fra bildet:

Dette er et nytt mønster — ikke det samme som for de blå kvadratene. Differansene er $4, 6, 8, \ldots$ (de øker med $2$), så antallet vokser som en andregradsfølge. Vi setter $G(n) = an^2 + bn + c$ og bruker de tre første verdiene:

Trekker vi likningene fra hverandre, får vi $3a + b = 4$ og $5a + b = 6$, altså $a = 1$, $b = 1$ og $c = 0$.

Vi kan også forstå dette geometrisk: hver grønn figur er satt sammen av et $n \times n$-kvadrat ($n^2$ kvadrater) pluss $n$ ekstra kvadrater. Vi kontrollerer:

• Figur 1: $1^2 + 1 = 2$ ✓
• Figur 2: $2^2 + 2 = 6$ ✓
• Figur 3: $3^2 + 3 = 12$ ✓
• Figur 4: $4^2 + 4 = 20$ ✓

Antall grønne kvadrater i figur $n$ er $\underline{\underline{G(n) = n^2 + n}}$.

Vi setter inn $x = 0$ i formelen:

$V(0) = 1000 \, \mathrm{L}$.

Dette betyr at tanken inneholder 1000 liter vann når kranen åpnes (ved $x = 0$ minutter), altså er tanken full med 1000 liter.

Vi tegner grafen til $V(x) = (10 - 0{,}1x^2)^3$ for $0 \leq x \leq 10$ i GeoGebra. De røde stiplede linjene viser løsningen fra oppgave c).

Grafen starter i $(0, 1000)$ og synker til $(10, 0)$. Tømmingen går saktere i begynnelsen og raskere mot slutten.

Vi leser av grafen (se de røde stiplede linjene) at kurven krysser $V = 400$ ved $x \approx 5{,}1$.

Vi kan også løse likningen:

Det tar ca. $\underline{\underline{5{,}13 \mathrm{~min}}}$ fra kranen åpnes til det er 400 L vann igjen i tanken.

Tanken starter med $V(0) = 1000 \, \mathrm{L}$ og er tom etter $V(10) = 0 \, \mathrm{L}$. Tømmingen skjer over 10 minutter.

I gjennomsnitt renner $\underline{\underline{100 \, \mathrm{L/min}}}$ ut av tanken mens den tømmes.

Vi deriverer $V(x) = (10 - 0{,}1x^2)^3$ ved hjelp av kjerneregelen:

Vi setter inn $x = 3$:

$\underline{\underline{V'(3) \approx -149 \, \mathrm{L/min}}}$.

Den momentane vekstfarten er $-149 \, \mathrm{L/min}$ ved $x = 3$. Det negative fortegnet betyr at vannmengden avtar. Etter 3 minutter renner vannet ut med en hastighet på ca. 149 liter per minutt.

Vi finner først det totale antallet plastposer som kastes i Norge per år:

Deretter finner vi den totale høyden på stabelen:

Vi gjør om til kilometer:

Stabelen ville blitt omtrent $\underline{\underline{33{,}4 \, \mathrm{km}}}$ høy – det er over 100 ganger høyere enn Eiffeltårnet.

Vi finner hvor mange poser som kastes per time. Det er $365 \cdot 24 = 8760$ timer i et år:

Høyden stabelen vokser per time:

Eiffeltårnet er $324 \, \mathrm{m} = 324\,000 \, \mathrm{mm}$ høyt. Antall timer til stabelen er like høy:

Det ville gå $\underline{\underline{85 \mathrm{~timer}}}$ før stabelen var like høy som Eiffeltårnet – det tilsvarer litt over 3,5 døgn.

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og bruker potensregresjon for å bestemme $a$ og $b$ i modellen $V(x) = a \cdot x^b$.

GeoGebra gir oss $a \approx 0{,}01$ og $b \approx 3{,}00$, altså:

Modellen for laksens vekt er $V(x) \approx 0{,}01 \cdot x^{3}$, der $x$ er lengden i cm og $V$ er vekten i gram. Kurven passer godt til datapunktene.

Når lengden øker med $25 \,\%$, blir den nye lengden $1{,}25 \cdot x$.

Vi regner ut forholdet mellom ny og gammel vekt:

Den prosentvise økningen er:

Når lengden på laksen øker med $25 \,\%$, øker vekten med omtrent $\underline{\underline{95 \,\%}}$. Det vil si at vekten nesten fordobles selv om lengden bare øker med en fjerdedel.

Vi legger inn alle 20 verdiene i et regneark og bruker formlene for gjennomsnitt og standardavvik.

Regnearket gir:

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{43}}$ mandler.

Standardavviket leser vi av fra regnearket (formel STDAVP / GeoGebra stdav):

Standardavviket er omtrent $\underline{\underline{3{,}2}}$ mandler.

Emil har til sammen $20 \cdot 43 = 860$ mandler i sine 20 poser.

Påstand 1) Ida har til sammen flere mandler enn Emil i posene sine.

Ida har lavere gjennomsnitt enn Emil ($\bar{x}_{\text{Ida}} < 43$), men det sier bare noe om gjennomsnittlig antall per pose. Ida har også 20 poser, så hennes totale antall er $20 \cdot \bar{x}_{\text{Ida}} < 860$.

Når gjennomsnittet er lavere, er totalsummen også lavere. Påstanden kan ikke være riktig.

Påstand 2) Ida har like mange mandler i hver av posene sine.

Hvis Ida hadde nøyaktig like mange mandler i alle posene, ville standardavviket vært $0$. Men vi vet at standardavviket hennes er høyere enn Emils ($\sigma_{\text{Ida}} > 3{,}2$), altså er standardavviket klart større enn $0$.

Påstanden kan ikke være riktig.

Påstand 3) Ida har like mange mandler i halvparten av posene sine.

Det er ingenting i veien for at 10 av posene inneholder nøyaktig like mange mandler, mens de øvrige 10 varierer mye. En slik fordeling kan godt gi et lavere gjennomsnitt og et høyere standardavvik enn Emils.

Påstanden kan være riktig.

Vi starter med å finne antall ansatte i hver gruppe.

Totalt antall ansatte: $2000$

Antall vaksinerte: $54\,\% \cdot 2000 = 0{,}54 \cdot 2000 = 1080$

Antall ikke-vaksinerte: $2000 - 1080 = 920$

Av de vaksinerte fikk $2{,}5\,\%$ influensa:

Av de ikke-vaksinerte fikk $10\,\%$ influensa:

Vi fyller inn krysstabellen:

Totalt fikk $119$ av $2000$ ansatte influensa.

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt ansatt fikk influensa er $\underline{\underline{\dfrac{119}{2000} \approx 5{,}95\,\%}}$.

Beregning 1: $\dfrac{92}{119} \approx 77{,}3\,\%$

Her er $92$ antallet som fikk influensa og ikke var vaksinert, og $119$ er det totale antallet som fikk influensa. Brøken gir derfor sannsynligheten for at en tilfeldig ansatt som fikk influensa, ikke hadde tatt vaksinen.

Per har funnet ut at blant de som fikk influensa, var omtrent $77{,}3\,\%$ uvaksinerte. Med andre ord: hvis en ansatt fikk influensa, er det stor sannsynlighet for at vedkommende ikke var vaksinert.

Beregning 2: $\dfrac{1053}{1881} \approx 56\,\%$

Her er $1053$ antallet som var vaksinert og ikke fikk influensa, og $1881$ er det totale antallet som ikke fikk influensa. Brøken gir sannsynligheten for at en tilfeldig ansatt som ikke fikk influensa, var vaksinert.

Per har funnet ut at blant de som ikke fikk influensa, var omtrent $56\,\%$ vaksinerte.

Med fast årlig rente på $4\,\%$ vokser beløpet med vekstfaktoren $1{,}04$ hvert år. Etter $10$ år er beløpet:

Totale renter:

Petter ville ha fått $\underline{\underline{408\,207{,}64 \, \mathrm{kr}}}$ i renter ved tilbud 1.

Vi setter opp regnearket med sparebeløpet i celle B1. For hvert år beregner vi renter og nytt beløp. Formlene bruker cellereferanser slik at regnearket oppdaterer seg automatisk.

Kolonnene er:

• A: År (hvit celle — tall skrevet inn)
• B: Rentesats (hvit celle — tall skrevet inn)
• C: På kontoen før renter er lagt til (blå celle — formel)
• D: Renter (blå celle — formel)
• E: På kontoen etter at renter er lagt til (blå celle — formel)

Formel-logikken i regnearket (rad 4 er år 2008, rad 5 er år 2009, osv.):

Rad 6–13 følger samme mønster som rad 5. I celle D15 legger vi inn =SUMMER(D4:D13) for sum renter.

Utfylt tabell (tilbud 2):

Vi lager en ny tabell for tilbud 1 med fast rente $4\,\%$. Rentesatsen i kolonne B er nå alltid $4$. Formlene i C, D og E er de samme som i oppgave b).

Fra oppgave b) vet vi at Petter fikk totalt $226\,783{,}49 \, \mathrm{kr}$ i renter med tilbud 2.

Vi ønsker å finne den faste rentesatsen $r$ (i prosent) som gir akkurat like mye i sum renter. Med fast rente gjelder renters-rente-formelen, og vi kan bruke tabellen fra oppgave c) der vi bytter ut $4\,\%$ med den ukjente rentesatsen.

Vi prøver ulike verdier for $r$ i regnearket (endre rentesatsen i B-kolonnen til ønsket verdi) og ser hva sum renter blir:

• $r = 3{,}0\,\%$: sum renter $\approx 298\,000 \, \mathrm{kr}$ (for mye)
• $r = 2{,}5\,\%$: sum renter $\approx 244\,000 \, \mathrm{kr}$ (for mye)
• $r = 2{,}4\,\%$: sum renter $\approx 233\,000 \, \mathrm{kr}$ (litt for mye)
• $r = 2{,}3\,\%$: sum renter $\approx 222\,000 \, \mathrm{kr}$ (litt for lite)

Vi ser at $r \approx 2{,}4\,\%$ gir sum renter nærmest $226\,783 \, \mathrm{kr}$.

Den faste rentesatsen i tilbud 1 måtte ha vært omtrent $\underline{\underline{2{,}4\,\%}}$ for at Petter skulle fått like mye renter som ved tilbud 2.

Vi tegner grafen til $f(x) = 850\,000 \cdot x^{10}$ i en graftegner.

På $x$-aksen leses av vekstfaktoren, og på $y$-aksen avleses sluttbeløpet. Fra oppgave b) vet vi at Petter endte opp med $1\,076\,783{,}49 \, \mathrm{kr}$ etter ti år med tilbud 2.

Vi tegner en horisontal linje ved $y = 1\,076\,783{,}49$ og finner skjæringspunktet med grafen. $x$-verdien i skjæringspunktet er vekstfaktoren som tilsvarer den ekvivalente faste rentesatsen.

Fra grafen leser vi av $x \approx 1{,}024$, som svarer til en rentesats på $\approx 2{,}4\,\%$.

Dette bekrefter svaret fra oppgave d).