2P-Y Høst 2015

Medianen er den midterste verdien. Siden begge bedriftene har 100 ansatte, er medianen gjennomsnittet av den 50. og 51. verdien (sortert etter alder).

Vi finner hvor mange ansatte som befinner seg i hvert intervall, og summerer kumulativt:

For bedrift A: den 50. og 51. ansatte befinner seg begge i intervallet $[20, 40\rangle$ (de 52 første ansatte er i dette intervallet). Medianalderen i bedrift A er altså under 40 år.

For bedrift B: de 35 første ansatte er i $[20, 40\rangle$. Den 50. og 51. ansatte befinner seg dermed i intervallet $[40, 60\rangle$. Medianalderen i bedrift B er altså mellom 40 og 60 år.

Medianalderen er lavest i bedrift A.

Vi bruker midtpunktet i hvert aldersintervall som representativ verdi:

Gjennomsnittsalderen i bedrift B er $\underline{\underline{46 \text{~år}}}$.

Hver terning har 6 sider, og 2 av dem viser seks øyne. Sannsynligheten for å få seks på én terning er:

De to terningkastene er uavhengige, så vi multipliserer:

Sannsynligheten for å få to seksere er $\underline{\underline{\dfrac{1}{9}}}$.

Vi systematiserer alle kombinasjoner av øyne fra de to terningene som gir sum lik 7.

Siden hver terning har sidene 1, 2, 3, 4, 6, 6 (totalt 6 sider), teller vi mulige utfall:

Totalt 6 gunstige utfall av $6 \cdot 6 = 36$ mulige utfall.

Sannsynligheten for at summen blir sju er $\underline{\underline{\dfrac{1}{6}}}$.

Vi leser av diagrammene og lager en oversikt:

Vi regner ut gjennomsnittet for 1A:

Vi regner ut gjennomsnittet for 1B:

Gjennomsnittskarakteren er $\underline{\underline{3{,}4}}$ i klasse 1A og $\underline{\underline{3{,}6}}$ i klasse 1B.

Standardavviket sier noe om hvor spredt karakterene er rundt gjennomsnittet. Jo mer spredt fordelingen er, desto større er standardavviket.

I klasse 1A er karakterene jevnt fordelt mellom alle verdier, og det er særlig mange med veldig lave (1) og veldig høye (6) karakterer. Fordelingen er bred og flat.

I klasse 1B er karakterene konsentrert rundt midten (3 og 4). Det er svært få med karakter 1 og karakter 6.

Fordi karakterene i 1A er mer spredt (mange i ytterpunktene 1 og 6), er standardavviket størst i klasse 1A.

Kumulativ frekvens for karakter 3 er antallet elever som fikk karakteren 3 eller lavere (1, 2 eller 3).

Klasse 1A: $5 + 4 + 2 = \mathbf{11}$ elever

Klasse 1B: $1 + 3 + 5 = \mathbf{9}$ elever

Den kumulative frekvensen for karakter 3 er $\underline{\underline{11}}$ i klasse 1A og $\underline{\underline{9}}$ i klasse 1B.

Relativ frekvens er andelen av elevene som fikk en bestemt karakter.

Klasse 1A: 5 av 20 elever fikk karakter 6.

Klasse 1B: 1 av 20 elever fikk karakter 6.

Den relative frekvensen for karakter 6 er $\underline{\underline{0{,}25}}$ i klasse 1A og $\underline{\underline{0{,}05}}$ i klasse 1B.

Når noen dusjer, brukes varmt vann fra tanken og kaldt vann renner inn. Dette gjør at temperaturen synker. Vi teller antall temperaturfall i grafen fra kl. 6.00 til 7.30.

Fra grafen kan vi tydelig se fire slike temperaturfall:

1. Rundt kl. 6.10 – temperaturen faller fra ca. $70\degree\mathrm{C}$ til ca. $67\degree\mathrm{C}$
2. Rundt kl. 6.25 – temperaturen faller fra ca. $68\degree\mathrm{C}$ til ca. $65\degree\mathrm{C}$
3. Rundt kl. 6.42 – temperaturen faller fra ca. $64\degree\mathrm{C}$ til ca. $61\degree\mathrm{C}$
4. Rundt kl. 7.05 – temperaturen faller fra ca. $62\degree\mathrm{C}$ til ca. $56\degree\mathrm{C}$

$\underline{\underline{4 \text{~familiemedlemmer}}}$ dusjet denne morgenen.

Vanda var den som brukte lengst tid i dusjen. Vi finner det temperaturnedfallet som varer lengst i tid (bredest langs tidsaksen) – ikke nødvendigvis det bratteste.

Det lengste fallet starter rundt kl. 6.25 og varer til ca. kl. 6.37. Vi leser av at dette fallet varte i omtrent $12$ minutter.

Vanda dusjet i ca. $\underline{\underline{12 \mathrm{~minutter}}}$.

Da familien forlot hjemmet kl. 7.30, var temperaturen $58\degree\mathrm{C}$, og vannet ble deretter varmet opp. Vi leser av oppvarmingsraten fra den siste, stigende delen av grafen: temperaturen steg fra ca. $56\degree\mathrm{C}$ ved kl. 7.10 til $58\degree\mathrm{C}$ ved kl. 7.30, altså $2\degree\mathrm{C}$ på $20$ minutter:

Fra $58\degree\mathrm{C}$ til $70\degree\mathrm{C}$ er det $12\degree\mathrm{C}$. Med en jevn stigning på $0{,}1\degree\mathrm{C}$ per minutt tar dette:

Det tok ca. $\underline{\underline{2 \mathrm{~timer}}}$ før temperaturen var oppe i $70\degree\mathrm{C}$ igjen.

Vi legger inn begge funksjonene i GeoGebra (Graftegner):

I GeoGebra skriver vi inn:

G(x) = If(0 <= x <= 12, 0.003x^3 - 0.088x^2 + 1.17x + 3.7)
J(x) = If(0 <= x <= 12, 0.0017x^3 - 0.057x^2 + 0.93x + 3.7)

Begge grafene starter ved $x = 0$ (fødsel) og stiger jevnt opp til $x = 12$ måneder. Geirs kurve ($G$) ligger høyere enn Jannes kurve ($J$) for alle $x > 0$, noe som viser at Geir vokste raskere enn Janne det første leveåret.

Begge barna veide $3{,}7 \, \mathrm{kg}$ ved fødselen:

Doblet fødselsvekt er $2 \cdot 3{,}7 = 7{,}4 \, \mathrm{kg}$.

Geir: Vi finner $x$ slik at $G(x) = 7{,}4$.

Vi kan lese av grafen (eller bruke skjæringspunktet mellom $G$ og den horisontale linjen $y = 7{,}4$ i GeoGebra). Vi prøver noen verdier:

Geir doblet fødselsvekten etter omtrent $4{,}4$ måneder.

Janne: Vi finner $x$ slik at $J(x) = 7{,}4$.

Janne doblet fødselsvekten etter omtrent $5{,}6$ måneder.

Geir doblet fødselsvekten sin etter omtrent $\underline{\underline{4{,}4 \text{~måneder}}}$, og Janne doblet fødselsvekten sin etter omtrent $\underline{\underline{5{,}6 \text{~måneder}}}$.

En eksponentiell modell har formen

der $x$ er antall år etter 2010.

Vi bruker de to kjente verdiene fra tabellen:

• $f(0) = 26$ (år 2010 svarer til $x = 0$)
• $f(4) = 2962$ (år 2014 svarer til $x = 4$)

Siden $f(0) = a \cdot k^0 = a$, får vi direkte $a = 26$.

Vi setter inn $f(4) = 2962$:

Modellen er $f(x) = 26 \cdot 3{,}267^x$.

Vekstfaktoren er $k \approx 3{,}267$, som betyr at elbilsalget nesten tredobles hvert år.

Den prosentvise veksten per år er

Elbilsalget steg med cirka $\underline{\underline{227 \,\%}}$ per år i perioden 2010–2014 ifølge modellen.

Vi regner ut modellverdiene for mellomårene og sammenligner med tallene vi leser av i diagrammet:

Modellen treffer nøyaktig i endepunktene 2010 og 2014 (de to punktene den er bygd på), men stemmer dårlig med diagrammet i mellomårene – særlig i 2011 og 2012, der modellen gir klart lavere verdier enn det som faktisk ble solgt.

Vi kan også framskrive modellen. I 2020 er $x = 10$, og modellen gir:

Det er helt urealistisk at det skulle selges over 3,6 millioner nye elbiler i Hordaland på ett år.

Modellen er derfor ikke en god modell for å beskrive utviklingen. Den passer bare i de to punktene den er bygd på, og vokser altfor raskt utenfor perioden. En bedre modell ville tatt hensyn til alle datapunktene, for eksempel ved eksponentiell regresjon på alle fem verdiene.

Vi leser av kartet hvilke målinger som ligger på hver side av den røde grensestreken. Alle målingene øst for streken hører til Sør-Østlandet.

Vestlandet (14 målinger):

Sør-Østlandet (10 målinger):

Vi skriver verdiene inn i et regneark og bruker formlene =GJENNOMSNITT(...) og =STDAV.P(...) (eller tilsvarende på engelsk: =AVERAGE(...) og =STDEVP(...)).

Regnearket gir:

Vestlandet: gjennomsnitt $\approx \underline{\underline{29{,}9 \, \mathrm{m/s}}}$, standardavvik $\approx \underline{\underline{3{,}9 \, \mathrm{m/s}}}$

Sør-Østlandet: gjennomsnitt $\approx \underline{\underline{24{,}4 \, \mathrm{m/s}}}$, standardavvik $\approx \underline{\underline{2{,}6 \, \mathrm{m/s}}}$

Gjennomsnittet på Vestlandet ($29{,}9 \, \mathrm{m/s}$) er betydelig høyere enn gjennomsnittet på Sør-Østlandet ($24{,}4 \, \mathrm{m/s}$). Det betyr at vinden var generelt sterkere på Vestlandet under ekstremværet Nina.

Standardavviket på Vestlandet ($3{,}9 \, \mathrm{m/s}$) er større enn på Sør-Østlandet ($2{,}6 \, \mathrm{m/s}$). Det betyr at vindstyrken varierte mer fra sted til sted på Vestlandet — noen steder var det orkan (over $32{,}6 \, \mathrm{m/s}$), mens andre steder hadde liten storm. På Sør-Østlandet var vinden svakere og mer jevnt fordelt mellom målestedene.

Vi setter opp et regneark med fire kolonner: år, innskudd, renter dette året og kontostand ved slutten av året.

Renten er $4{,}7 \,\%$ per år, altså vekstfaktor $1{,}047$.

Formelen for kontostand ved slutten av år $n$ er:

Det vil si: vi legger til årets innskudd på 25 000 kr, og så beregner vi renten for hele beløpet.

Regneark-tabell:

Eksempel på regnearksformel (rad 2, år 1):

• Kontostand: =(B2 + 25000) * 1,047
• Renter: = kontostand - forrige kontostand - 25000

For år 1 regnes det slik: $(0 + 25\,000) \cdot 1{,}047 = \mathbf{26\,175{,}00} \, \mathrm{kr}$

Kontostand etter 8 år er $\underline{\underline{247\,281{,}80 \, \mathrm{kr}}}$.

Det betyr at du vil ha over 247 000 kr på BSU-kontoen etter åtte år.

Totalt satt du inn:

Kontostand etter 8 år er $247\,281{,}80 \, \mathrm{kr}$.

Renteinntekt totalt:

Du vil få $\underline{\underline{47\,281{,}80 \, \mathrm{kr}}}$ i renter i løpet av de åtte årene.

Det tilsvarer nesten $24 \,\%$ ekstra utover det du selv satte inn – takket være renters rente.

Vi lar 100 personer delta i rundspørringen (50 menn og 50 kvinner).

Opplysningene fra teksten gir oss:

• $32 \,\%$ av mennene synes kantine er viktig: $0{,}32 \cdot 50 = 16$ menn
• $18 \,\%$ av kvinnene synes kantine er viktig: $0{,}18 \cdot 50 = 9$ kvinner

Vi kan sette opp en krysstabell:

Vi kan sjekke at dette stemmer: $\frac{25}{100} = 25 \,\%$ synes kantine er viktig, noe som stemmer med opplysningen i teksten.

Vi skal finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person er en kvinne som synes kantine er viktig.

Fra krysstabellen ser vi at 9 av 100 personer er kvinner som synes kantine er viktig.

Det er $9 \,\%$ sannsynlighet for at en tilfeldig valgt deltaker er en kvinne som synes kantine er viktig.

Vi skal finne sannsynligheten for at en person er en mann, gitt at personen synes kantine er viktig.

Fra krysstabellen ser vi at 25 personer synes kantine er viktig, og av disse er 16 menn.

Det er $64 \,\%$ sannsynlighet for at en person som synes kantine er viktig, er en mann.

Vi setter inn $L = 1\,000\,000$ og $v = 1{,}035$ i den generelle formelen:

Vi regner ut telleren steg for steg:

Vi setter dette inn:

Dette er det samme som formelen i oppgaven, og dermed er formelen vist.

Vi tegner grafen til

for $x \geq 1$ med graftegner.

Grafen viser at terminbeløpet er svært høyt for få terminer, og avtar mot $35\,000 \, \mathrm{kr}$ når antall terminer øker.

Vi setter $x = 20$ i formelen:

Vi regner ut $1{,}035^{20}$:

Deretter:

Terminbeløpet er $\underline{\underline{T(20) \approx 70\,361 \, \mathrm{kr}}}$.

Dette betyr at dersom du betaler tilbake et lån på 1 000 000 kroner over 20 år med en rente på $3{,}5 \,\%$ per år, må du betale omtrent $70\,361 \, \mathrm{kr}$ hvert år.

Totalt svart areal i figur 4:

Det totale arealet av de svarte kvadratene i figur 4 er $\underline{\underline{256}}$.

I figur $n$ er det $n^2$ svarte kvadrater, og hvert har areal $n^2$. Det totale svarte arealet er:

Det totale arealet av de svarte kvadratene i figur $n$ er $\underline{\underline{n^4}}$.

Antall hvite kvadrater i den nederste raden er det samme som sidelengden av det store kvadratet (nederste rad er helhvit). Vi teller sidelengden for de tre figurene:

• Figur 1: nederste rad har $3$ hvite kvadrater.
• Figur 2: nederste rad har $12$ hvite kvadrater.
• Figur 3: nederste rad har $27$ hvite kvadrater.

Vi ser at verdiene $3,\ 12,\ 27$ er $3 \cdot 1^2,\ 3 \cdot 2^2,\ 3 \cdot 3^2$. Mønsteret er altså $S(n) = 3n^2$.

Vi kan bekrefte med et generelt andregradsuttrykk $S(n) = an^2 + bn + c$:

Trekker første fra andre: $3a + b = 9$. Trekker andre fra tredje: $5a + b = 15$. Trekker disse fra hverandre: $2a = 6$, altså $a = 3$. Da er $b = 9 - 3 \cdot 3 = 0$, og $c = 3 - 3 - 0 = 0$.

Dermed er:

$\underline{\underline{S(n) = 3n^2}}$

Hvert hvitt kvadrat har areal $1$, så det totale hvite arealet er antall hvite enhetsceller, altså totalt areal minus svart areal. Det totale arealet er sidelengden i annen, $S(n)^2$, og det svarte arealet er $n^4$ (fra oppgave b):

Vi kan kontrollere mot kjente verdier:

• $n = 1$: $3^2 - 1 = 8$ (totalt $9$, svart $1$, hvit $8$ ✓)
• $n = 2$: $12^2 - 16 = 128$ (totalt $144$, svart $16$, hvit $128$ ✓)
• $n = 3$: $27^2 - 81 = 648$ (totalt $729$, svart $81$, hvit $648$ ✓)

Det totale arealet av de hvite kvadratene i figur $n$ er $\underline{\underline{8n^4}}$.