2P-Y Vår 2015

Vi ønsker at ingen av de to bananene er brune. Da velger vi 2 av de 8 ikke-brune bananene (5 gule + 3 grønne).

Antall gunstige utfall:

Sannsynligheten er:

Sannsynligheten for å ikke ta en brun banan er $\underline{\underline{\dfrac{28}{45}}}$.

Det tilsvarer omtrent $62 \,\%$.

Vi ønsker én gul og én grønn banan. Vi velger 1 av 5 gule og 1 av 3 grønne.

Antall gunstige utfall:

Sannsynligheten er:

Sannsynligheten for å ta én gul og én grønn banan er $\underline{\underline{\dfrac{1}{3}}}$.

Vi ønsker to bananer med samme farge. Det kan skje på tre måter: begge gule, begge grønne eller begge brune.

• Begge gule: $\binom{5}{2} = 10$ måter
• Begge grønne: $\binom{3}{2} = 3$ måter
• Begge brune: $\binom{2}{2} = 1$ måte

Antall gunstige utfall totalt:

Sannsynligheten er:

Sannsynligheten for å ta to bananer med samme farge er $\underline{\underline{\dfrac{14}{45}}}$.

Det tilsvarer omtrent $31 \,\%$.

For å finne gjennomsnittsalderen bruker vi klassemidtpunktet i hvert intervall. Klassemidtpunktet er midtpunktet mellom de to grensene i intervallet.

Vi finner gjennomsnittet ved å dele summen av produktene på det totale antallet lærere:

Gjennomsnittsalderen for lærerne ved skolen er $\underline{\underline{47 \text{~år}}}$.

Intervallet $[50, 70\rangle$ er dobbelt så bredt som de andre. Når klassene har ulik bredde, skal høyden på søylene være frekvenstettheten (frekvens delt på klassebredde), ikke frekvensen. Da blir arealet av hver søyle lik frekvensen.

Vi tegner histogrammet med alder på $x$-aksen og frekvenstetthet på $y$-aksen. Søylene ligger inntil hverandre. Legg merke til at den siste søyla er dobbelt så bred, men bare halvparten så høy som frekvensen skulle tilsi — arealet ($20 \cdot 2 = 40$) viser likevel riktig antall lærere.

Vi legger til kolonner for relativ frekvens (andel av totalt antall) og kumulativ frekvens (løpende sum).

Relativ frekvens = $\dfrac{\text{frekvens}}{\text{totalt antall}} = \dfrac{\text{frekvens}}{100}$

Den relative frekvensen viser andelen lærere i hvert aldersintervall. For eksempel er $0{,}10$ av lærerne i alderen $[20, 30\rangle$, altså $10 \,\%$.

Den kumulative frekvensen viser hvor mange lærere som er yngre enn eller lik den øvre grensen i intervallet. For eksempel er $60$ lærere under $50$ år.

Vi setter inn hvert $t$-verdi i formelen $h(t) = -5t^2 + 10t + 15$:

$t = 0$:

$t = 1$:

$t = 3$:

Utfylt tabell:

Vi setter inn punktene fra tabellen i et koordinatsystem med $t$ på $x$-aksen (sekunder) og $h$ på $y$-aksen (meter). Vi setter inn alle punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem.

Grafen starter i $(0, 15)$, stiger til toppen i $(1, 20)$ og synker ned til $(3, 0)$. Kurven er en parabel som åpner nedover.

$h(0) = 15$ betyr at ballen befinner seg $15 \, \mathrm{m}$ over bakken når Karl kaster den (ved $t = 0$ sekunder). Dette tilsvarer høyden balkongen er over bakken.

$h(3) = 0$ betyr at ballen treffer bakken etter $3$ sekunder. Da er høyden over bakken lik $0 \, \mathrm{m}$.

Vi legger temperaturdataene fra by A inn i et regneark og bruker funksjonene for gjennomsnitt og standardavvik.

Datamaterialet for by A:

Vi summerer alle 20 verdiene og deler på antallet:

Regneark-funksjonen for standardavvik (utvalg) gir:

Gjennomsnittstemperaturen i by A er $\underline{\underline{19{,}9 \degree\mathrm{C}}}$, og standardavviket er $\underline{\underline{1{,}71 \degree\mathrm{C}}}$.

Vi sammenligner de to byene:

By B har et litt høyere gjennomsnitt ($20{,}8 \degree\mathrm{C}$ mot $19{,}9 \degree\mathrm{C}$), men standardavviket er dobbelt så stort ($3{,}4$ mot $1{,}71$).

Et stort standardavvik betyr at temperaturen varierer mye fra år til år. I by B er det altså mye mer usikkert hva slags vær man kan forvente 30. juni.

Et lite standardavvik betyr at temperaturen er stabil og forutsigbar. I by A har det nesten alltid vært rundt $20 \degree\mathrm{C}$ – temperaturen har sjelden ligget langt unna gjennomsnittet.

Rådet til arrangørene er å legge arrangementet til by A. Selv om by B i gjennomsnitt er litt varmere, er by A langt mer forutsigbart. Med et standardavvik på bare $1{,}71 \degree\mathrm{C}$ kan arrangørene stole på at det vil være rundt $20 \degree\mathrm{C}$ også neste år. I by B er risikoen for et kaldt arrangement mye større.

Vi legger inn datapunktene fra tabellen. Med $x = 0$ for år 2000 blir $x$-verdiene:

Vi bruker lineær regresjon på datapunktene og finner modellen

der $x$ er antall år etter år 2000.

Modellen passer godt til dataene ($R^2 \approx 0{,}95$).

Lineær modell: $\underline{\underline{f(x) \approx 1483x + 52381}}$

Stigningstallet i den lineære modellen forteller oss hvor mye $f(x)$ øker for hvert år som går.

Stigningstallet er $a \approx 1483$, som betyr at antallet kvinnelige studenter har økt med omtrent $1483$ per år i gjennomsnitt i denne perioden.

Den gjennomsnittlige økningen har vært $\underline{\underline{\approx 1483 \text{ kvinnelige studenter per år}}}$.

Vi leser ut opplysningene fra teksten og fyller inn i en krysstabell.

Vi vet at:

• 80 personer deltar totalt
• 60 får vitamintabletter, 20 får placebo (uten vitaminer)
• 50 føler seg mer opplagd etterpå
• Av de 50 opplagde er det 4 som fikk placebo

Det betyr at $50 - 4 = 46$ av de opplagde fikk vitamintabletter.

Vi kan nå fylle inn alle tallene:

Sjekk: $46 + 14 = 60$ ✓ og $4 + 16 = 20$ ✓ og $50 + 30 = 80$ ✓

Vi skal finne sannsynligheten for at en person som har fått vitamintabletter, føler seg opplagt.

Vi begrenser oss til raden «Vitamintabletter»: det er 60 personer totalt i den gruppen, og 46 av dem er opplagde.

Sannsynligheten er $\dfrac{46}{60} \approx 76{,}7 \,\%$. Det vil si at omtrent 3 av 4 som tok vitamintabletter, følte seg mer opplagd.

Vi skal nå finne sannsynligheten den andre veien: gitt at en person føler seg opplagt, hva er sannsynligheten for at de faktisk fikk vitamintabletter?

Vi begrenser oss til kolonnen «Opplagt»: det er 50 opplagde totalt, og 46 av dem fikk vitamintabletter.

Sannsynligheten er $\dfrac{46}{50} = 92 \,\%$. Det betyr at 9 av 10 som følte seg opplagd, faktisk hadde fått vitamintabletter.

Fra figuren ser vi:

• $F_1$: $3$ linjestykker
• $F_2$: $9$ linjestykker
• $F_3$: $18$ linjestykker

Vi finner differansene:

Differansene øker med $3$ for hvert steg, så neste differanse er $12$:

$F_4$ har $\underline{\underline{30 \text{ linjestykker}}}$.

Mønsteret er at vi legger til en ny rad med trekanter nederst i figuren for hvert steg. Fra $F_{n-1}$ til $F_n$ legger vi til $3n$ nye linjestykker (rad $n$ bidrar med $3n$ linjestykker).

I regnearket legger du inn $n = 1, 2, \ldots, 20$ i kolonne A og bruker formelen =A1+3*B1 (der B1 er forrige verdi) i kolonne B, eller beregner direkte med formelen fra c).

Vi bruker andregradsregresjon på datapunktene $(n, F_n)$ for $n = 1, 2, \ldots, 20$.

I GeoGebra CAS skriver vi inn lista og kjører FitPoly:

data = {(1,3),(2,9),(3,18),(4,30),(5,45),(6,63),(7,84),(8,108),(9,135),(10,165),(11,198),(12,234),(13,273),(14,315),(15,360),(16,408),(17,459),(18,513),(19,570),(20,630)}
FitPoly(data, 2)

Regresjonen gir:

Vi kan skrive dette som $f(n) = \dfrac{3}{2}n(n+1)$, noe som passer med at vi legger til $3n$ for hvert steg.

Andregradsuttrykket er $\underline{\underline{f(n) = 1{,}5n^2 + 1{,}5n}}$.

Vi setter $n = 20$ inn i uttrykket:

$F_{20}$ har $\underline{\underline{630 \text{ linjestykker}}}$.

Det betyr at den tjuende figuren i rekken består av $630$ linjestykker.

Sykkelen koster $P$ kroner som ny. Rett etter kjøp, dvs. etter $x = 0$ år, er erstatningen

Det stemmer med oppgaveteksten: du får kjøpsprisen minus 2000 kr egenandel.

Hvert år avtar erstatningen med $10 \,\%$. Det betyr at den beholder $90 \,\% = 0{,}9$ av verdien fra år til år (eksponentiell avskrivning). Etter $x$ år har erstatningen blitt multiplisert med $0{,}9$ nøyaktig $x$ ganger:

• Faktoren $(P - 2000)$ er startverdien (erstatningen uten avskrivning, men med egenandel).
• Faktoren $0{,}9^x$ viser at verdien synker med $10 \,\%$ hvert år.

Modellen beskriver altså forsikringsutbetalingen etter $x$ år, gitt at du betaler 2000 kr i egenandel og erstatningen avtar med 10 % per år.

Vi setter inn $P = 10\,000$ og $x = 7$:

Vi regner ut $0{,}9^7$:

Dermed:

Dersom sykkelen blir stjålet etter 7 år, får du utbetalt ca. $\underline{\underline{3826 \, \mathrm{kr}}}$.

Du betaler 150 kr i forsikringspremie hvert år. Etter $x$ år har du totalt betalt $150 \cdot x$ kroner.

Netto beløp er det du får utbetalt minus det du har betalt inn:

Med $P = 10\,000$:

Modellen for netto beløp er $\underline{\underline{G(x) = 8000 \cdot 0{,}9^x - 150x}}$.

Et positivt $G(x)$ betyr at du tjener på forsikringen (får mer ut enn du betaler inn), et negativt $G(x)$ betyr at du taper.

Vi beregner $G(x)$ for noen verdier rundt $x = 13$:

Vi ser at $G(13) \approx 83 \, \mathrm{kr} > 0$ og $G(14) \approx -270 \, \mathrm{kr} < 0$.

Modellen viser at nullpunktet til $G(x)$ ligger mellom $x = 13$ og $x = 14$ — nærmere bestemt rundt $x \approx 13{,}2$ år.

Ronny har omtrent rett, men ikke helt. Etter 13 år er $G(13) > 0$, altså tjener du fortsatt (knapt) på forsikringen. Det er ikke lønnsomt å si opp forsikringen etter 13 hele år — nullpunktet passeres i løpet av det 14. året. Et mer presist råd ville vært å si opp forsikringen etter ca. 13 år (dvs. ikke fornye avtalen inn i det 14. året).

Grafen til $f(x) = -0{,}0000028x^3 + 0{,}001x^2 - 0{,}025x + 3{,}8$ tegnes i et graftegnerprogram for $0 \leq x \leq 300$.

Grafen starter ved $f(0) = 3{,}8 \, \mathrm{°C}$, synker litt i starten til et lokalt bunnpunkt rundt $x \approx 13$, stiger deretter til et lokalt toppunkt rundt $x \approx 225$ og synker så igjen mot slutten av intervallet.

Vi finner de lokale ekstremverdiene ved å sette $f'(x) = 0$.

Vi deriverer:

Vi setter $f'(x) = 0$ og løser med graftegner eller CAS:

Vi beregner $f$ i disse punktene og i endepunktene:

Laveste temperatur er $\approx 3{,}6 \, \mathrm{°C}$ og høyeste temperatur er $\approx 16{,}9 \, \mathrm{°C}$.

Differansen er:

Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur er $\underline{\underline{\approx 13{,}3 \, \mathrm{°C}}}$.

Vi setter $x = 100$ inn i $f(x)$:

$\underline{\underline{f(100) = 8{,}5 \, \mathrm{°C}}}$ — dette betyr at havtemperaturen er $8{,}5 \, \mathrm{°C}$ på dag 100 etter 31. desember 2013 (det vil si rundt 10. april 2014).

Den momentane vekstfarten er $f'(100)$:

$\underline{\underline{f'(100) \approx 0{,}091 \, \mathrm{°C/dag}}}$ — dette betyr at havtemperaturen øker med omtrent $0{,}091 \, \mathrm{°C}$ per dag på dag 100. Temperaturen er altså på vei opp, men stiger sakte på dette tidspunktet.

Bunnen (og toppen) av boksen består av et rektangel og to halvsirkler.

Arealet av rektanglet er $x \cdot y$.

De to halvsirklene har til sammen radius $\dfrac{x}{2}$ (siden bredden i rektanglet er $x$, er diameteren $x$ og dermed radius $\dfrac{x}{2}$). To halvsirkler med radius $r$ er det samme som én hel sirkel:

Det totale tverrsnittarealet (bunn eller topp) er da:

Volumet av boksen er tverrsnittarealet multiplisert med høyden $h$:

Forklare $y = 10 - x$:

Summen av lengden og bredden i rektanglet skal være $10 \, \mathrm{cm}$:

Forklare $h = 5 - x$:

Summen av bredden og høyden skal være $5 \, \mathrm{cm}$:

Sette inn i volumformelen:

Vi setter inn $y = 10 - x$ og $h = 5 - x$:

$\underline{\underline{V(x) = \left(\dfrac{\pi x^2}{4} + 10x - x^2\right)(5-x)}}$

Definisjonsområdet er $0 < x < 5$ (siden $h = 5 - x > 0$ og $x > 0$).

Vi skal finne $x$-verdien som gir størst mulig volum.

Metode: derivasjon

Vi skriver ut $V(x)$:

Vi deriverer: