2P-Y Eksempeloppgave 2015

19 milliarder er det samme som $19\,000\,000\,000$.

Vi teller desimalplasser: vi må flytte kommaet 10 plasser mot venstre for å få ett siffer foran kommaet.

Svaret er $\underline{\underline{1{,}9 \cdot 10^{10}}}$.

Vi skal skrive $0{,}089 \cdot 10^{-6}$ på standardform. Standardform krever at det er nøyaktig ett siffer (ikke null) foran kommaet.

Vi skriver om $0{,}089$ til $8{,}9 \cdot 10^{-2}$, siden vi flytter kommaet to plasser til høyre:

Svaret er $\underline{\underline{8{,}9 \cdot 10^{-8}}}$.

Vi har datamaterialet:

Det er $10$ verdier totalt.

Gjennomsnitt:

Svaret er $\underline{\underline{\bar{x} = 2{,}8}}$.

Median:

Vi sorterer verdiene fra minst til størst:

Med $10$ verdier er medianen gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien (de to grønne):

Svaret er $\underline{\underline{\text{Median} = 2{,}5}}$.

Den kumulative frekvensen for to mål forteller oss hvor stor andel av kampene som hadde 2 mål eller færre.

Fra den sorterte listen ser vi at $5$ av $10$ kamper hadde 2 mål eller færre (kampene med 0, 0, 2, 2 og 2 mål):

Svaret er $\underline{\underline{0{,}5}}$.

Dette betyr at $50 \,\%$ av kampene mellom Rosenborg og Brann i denne perioden hadde 2 mål eller færre.

Sannsynligheten regnes ut som antall gunstige utfall delt på antall mulige utfall.

Per liker $18$ av de $30$ twistbitene, så:

Svaret er $\underline{\underline{P = \dfrac{3}{5}}}$.

Det betyr at det er $60 \,\%$ sjanse for at Per liker den twistbiten som blir trukket.

Vi vet at sannsynligheten for at Ola liker en tilfeldig trukket twistbit er $0{,}4$, og at det er $30$ twistbiter i posen.

Vi bruker at:

Svaret er $\underline{\underline{12 \mathrm{~twistbiter}}}$.

Ola liker altså $12$ av de $30$ twistbitene i posen.

Vi vet at linjen skjærer $y$-aksen i $(0, 4)$, så konstantleddet er $b = 4$.

Stigningstallet er $a = -2$.

Likninga for linjen er:

Vi tegner linjen ved å starte i $(0, 4)$ og bruke stigningstallet $-2$: for hver enhet vi går til høyre, går vi $2$ enheter ned.

Likninga for linjen er $\underline{\underline{y = -2x + 4}}$.

Vi vil finne der linjen skjærer $x$-aksen. Det skjer når $y = 0$.

Vi setter $y = 0$ i likninga:

Linjen skjærer $x$-aksen i punktet $\underline{\underline{x = 2}}$, det vil si i punktet $(2, 0)$.

Parallelle linjer har samme stigningstall. Den nye linjen har derfor stigningstall $a = -2$.

Vi bruker likninga $y = -2x + b$ og setter inn at linjen går gjennom punktet $(1, 3)$:

Likninga for den parallelle linjen er $\underline{\underline{y = -2x + 5}}$.

Hvert år fordamper $2\,\%$ av innholdet. Det betyr at $98\,\%$ er igjen etter hvert år.

Vekstfaktoren er $0{,}98$.

Vi starter med $500 \mathrm{~L}$, og etter 12 år er uttrykket:

Dette tilsvarer ca. $392 \mathrm{~L}$.

Vi vil finne hvor mye som har fordampet etter 20 år.

Etter 20 år er det igjen $500 \cdot 0{,}98^{20}$ liter i tønnen.

Fordampet mengde er differansen mellom det vi startet med og det som er igjen:

Dette tilsvarer ca. $166 \mathrm{~L}$.

Vi leser av gradestokken for å finne tilsvarende verdier i de to temperaturskalaene.

Utfylt tabell:

Vi finner altså tre punkter: $(0, -18)$, $(50, 10)$ og $(100, 38)$.

Vi tegner et koordinatsystem med fahrenheit langs $x$-aksen og celsius langs $y$-aksen. De tre punktene fra tabellen markeres i koordinatsystemet.

Vi tegner en rett linje gjennom punktene. Linjen er en modell for sammenhengen mellom fahrenheit og celsius.

For å finne $350 \, {}^\circ\text{F}$ forlenger vi linjen og leser av tilhørende verdi på $y$-aksen (celsiusaksen).

Fra grafen kan vi lese av at $350 \, {}^\circ\text{F}$ tilsvarer ca. $177 \, {}^\circ\text{C}$.

Stig skal steke kaken på omtrent $\underline{\underline{177 \, {}^\circ\text{C}}}$.

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet til å finne en lineær modell $y = ax + b$.

Regresjonen gir:

Den lineære modellen for Snorres vekt er $\underline{\underline{y = 0{,}048x + 3{,}02}}$, der $x$ er antall dager etter fødselen og $y$ er vekten i kg.

Korrelasjonskoeffisienten $r^2 \approx 0{,}995$ viser at modellen passer dataene svært godt.

Vi bruker modellen fra a) og setter $y = 7{,}0$:

Ifølge modellen vil Snorre veie $7{,}0 \mathrm{~kg}$ etter omtrent $\underline{\underline{82 \mathrm{~dager}}}$, det vil si knapt 3 måneder etter fødselen.

Vi setter $x = 365$ inn i modellen:

Modellen gir $\underline{\underline{y(365) \approx 20{,}7 \mathrm{~kg}}}$ etter 365 dager.

En ettåring veier normalt mellom $8{,}0 \mathrm{~kg}$ og $12{,}0 \mathrm{~kg}$. Modellen gir altså en vekt som er nesten dobbelt så høy som normalvekten for ettåringer, og dette er ikke realistisk.

Grunnen er at modellen bare er laget ut fra målinger de første 51 dagene etter fødselen. Spedbarn vokser svært raskt de første ukene, men veksten flater ut etter hvert. En lineær modell som er tilpasset tidlig vekst, vil gi altfor høye verdier når vi bruker den langt utenfor dataområdet ($x = 365$ er mye større enn $x = 51$).

Modellen er ikke gyldig for å beregne vekten etter ett år — den kan bare brukes til å si noe om vekten i de første månedene etter fødselen.

Vi legger karakterene og frekvensene inn i et regneark og lager et gruppert søylediagram (klyngesøylediagram) med karakterene på x-aksen og frekvens på y-aksen.

Merk at de to kolonnene velges samtidig slik at begge klassene vises i samme diagram. Et søylediagram gjør det enkelt å sammenligne fordelingene visuelt.

Vi bruker regnearket til å beregne gjennomsnitt, median og standardavvik.

Gjennomsnitt

For å finne gjennomsnittskarakteren regner regnearket ut summen av alle karakterer delt på antall elever. Vi kan også gjøre dette for hånd ved å multiplisere hver karakter med frekvensen:

Median

Medianen er den midterste verdien når alle karakterene er sortert. Med 20 elever er medianen gjennomsnittet av den 10. og 11. verdien.

I klasse 2A: de to første karakterene er 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, … → 10. og 11. verdi er begge 4.

I klasse 2B: 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, … → 10. og 11. verdi er begge 4.

Standardavvik

Standardavviket forteller hvor spredt karakterene er rundt gjennomsnittet. Regnearket beregner dette med funksjonen STDAV (eller STDEV):

Hva forteller svarene?

Gjennomsnittet og medianen er nesten like i begge klassene (rundt karakter 4), så nivået er omtrent det samme. Forskjellen er at klasse 2A har et mye større standardavvik ($1{,}6$ mot $0{,}8$). Det betyr at karakterene i 2A er mer spredt: det er flere elever med lave karakterer (1 og 2) og flere med høy karakter (6), mens karakterene i klasse 2B er konsentrert rundt midten (3, 4 og 5).

Klasse 2B har altså en jevnere klasse, mens klasse 2A har større spredning med både svake og sterke elever.

Vi fyller inn opplysningene fra oppgaven og regner ut resten.

Totalt er det $12 + 15 = 27$ elever i klassen. Av de 12 jentene kjører 8 moped, så 4 jenter kjører ikke moped. Av de 15 guttene kjører 9 moped, så 6 gutter kjører ikke moped.

Vi trekker tilfeldig én elev blant de som kjører moped. Da er utfallsrommet de 17 elevene som kjører moped.

Av disse 17 er 9 gutter. Sannsynligheten for at eleven er en gutt er:

Sannsynligheten for at eleven er en gutt er $\underline{\underline{\dfrac{9}{17} \approx 0{,}53}}$, det vil si litt over halvparten.

Vi bruker verktøyet «Ekstremalpunkt» (eller leser av toppunktet direkte fra grafen).

Parabelens toppunkt gir det maksimale overskuddet. Grafen viser at toppunktet ligger ved $x = 55$.

Vi sjekker: $O(55) = -10 \cdot 55^2 + 1100 \cdot 55 - 10000 = -30\,250 + 60\,500 - 10\,000 = 20\,250$

Bedriften oppnår størst mulig overskudd når den produserer og selger $\underline{\underline{55 \mathrm{~enheter}}}$. Overskuddet er da $\underline{\underline{20\,250 \, \mathrm{kr}}}$.

Bedriften går ikke med underskudd når $O(x) \geq 0$, det vil si der grafen er over eller på $x$-aksen.

Vi bruker verktøyet «Nullpunkt» (eller «Røtter») i GeoGebra og finner at grafen skjærer $x$-aksen i $x = 10$ og $x = 100$.

Vi kan kontrollere: $O(10) = -10 \cdot 100 + 1100 \cdot 10 - 10000 = -1000 + 11000 - 10000 = 0$ ✓

$O(100) = -10 \cdot 10000 + 1100 \cdot 100 - 10000 = -100\,000 + 110\,000 - 10\,000 = 0$ ✓

Grafen er over $x$-aksen for $x$-verdier mellom nullpunktene.

Bedriften går ikke med underskudd når den produserer og selger mellom $\underline{\underline{10 \text{~og} \, 100 \mathrm{~enheter}}}$ (inklusivt). Det vil si at $10 \leq x \leq 100$.

Dette er bedriftens break-even-intervall: med færre enn 10 eller flere enn 100 enheter vil overskuddet bli negativt (underskudd).

Vi teller antall klosser i de tre første figurene:

Vi ser at økningen fra figur til figur er:

Økningen øker med $2$ for hvert steg. $m_4$ får vi ved å legge til $9$:

Sondre trenger $\underline{\underline{37}}$ klosser for å lage $m_5$ og $\underline{\underline{50}}$ klosser for å lage $m_6$.

Siden økningen mellom leddene øker jevnt (med $2$ hver gang), er dette en kvadratisk tallfølge. Vi prøver en formel på formen

Vi setter inn de tre kjente verdiene:

Vi trekker likning 1 fra likning 2:

Vi trekker likning 2 fra likning 3:

Vi trekker disse fra hverandre:

Da er $b = 5 - 3 \cdot 1 = 2$, og $c = 5 - 1 - 2 = 2$.

Formelen blir

Vi kan også skrive dette som $m_n = (n+1)^2 + 1$, som passer med hvordan figuren er bygd opp: to ben og en topp som danner et nesten kvadratisk mønster.

Kontroll:

• $m_1 = 1 + 2 + 2 = 5$ ✓
• $m_2 = 4 + 4 + 2 = 10$ ✓
• $m_3 = 9 + 6 + 2 = 17$ ✓

Vi bruker formelen til å finne $m_{20}$:

Sondre trenger $\underline{\underline{442}}$ klosser for å lage $m_{20}$.

Rektanglet er delt i tre like store deler. Fra figuren ser vi at det trengs:

• $\textcolor{steelblue}{4}$ gjerdestykker med lengde $\textcolor{steelblue}{x}$ (to yttervegger + to skillevegger)
• $\textcolor{seagreen}{2}$ gjerdestykker med lengde $\textcolor{seagreen}{y}$ (topp og bunn)

Siden bonden har nøyaktig 500 m gjerde, får vi likningen:

Vi løser for $y$:

Arealet av rektanglet er bredde ganger lengde:

Vi ganger ut parentesen:

Vi tegner grafen til $A(x) = -2x^2 + 250x$ i GeoGebra (Graftegner) og finner toppunktet med kommandoen Maksimum(A, 0, 130).

GeoGebra viser toppunktet $\textcolor{seagreen}{(62{,}5 \,;\, 7812{,}5)}$.

Det vil si at arealet er størst når $x = 62{,}5 \, \mathrm{m}$.

Da er $y = 250 - 2 \cdot 62{,}5 = 250 - 125 = 125 \, \mathrm{m}$.

Bonden bør velge $x = 62{,}5 \, \mathrm{m}$ og $y = 125 \, \mathrm{m}$. Det største arealet han kan gjerde inn er $\underline{\underline{7812{,}5 \, \mathrm{m}^2}}$.

Antibiotika reduseres med $11 \,\%$ per time. Det betyr at $89 \,\%$ er igjen for hver time som går. Vi bruker formelen for eksponentiell nedgang:

Etter 1 time:

Etter 8 timer:

Etter 8 timer er det altså bare litt under $87 \, \mathrm{mg}$ igjen av den første tabletten.

Vibeke tar en ny tablett hver 8. time. Rett etter hun tar tabletten, legges $220 \, \mathrm{mg}$ til det som allerede er igjen i kroppen.

Rett etter 2. tablett (etter 8 timer):

Fra deloppgave a) vet vi at det er $86{,}60 \, \mathrm{mg}$ igjen. Hun tar en ny tablett:

Det er $306{,}60 \, \mathrm{mg}$ antibiotika i kroppen hennes rett etter den andre tabletten.

Rett etter 3. tablett (etter 16 timer):

I de neste 8 timene nedbrytes de $306{,}60 \, \mathrm{mg}$ med $11 \,\%$ per time:

Hun tar så sin tredje tablett:

Det er $340{,}70 \, \mathrm{mg}$ antibiotika i kroppen hennes rett etter den tredje tabletten.

Grafen viser mengden antibiotika i kroppen over de første $24$ timene. Den består av tre eksponentielle biter — én for hver tablett. Hvert segment starter fra mengden rett etter inntaket og faller med $11 \,\%$ per time, inntil neste tablett tas etter 8 timer.

Nøkkelpunkter for skissen:

Grafen har tre eksponentielt fallende kurver med et loddrett hopp oppover på $220 \, \mathrm{mg}$ ved $t = 8$ og $t = 16$ (når ny tablett tas). Kurven for tredje segment starter høyere enn de forrige fordi det akkumuleres mer antibiotika for hver dose.