1T Vår 2017 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Standardform for brøk med tierpotenser og negative eksponenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret på standardform

\frac{0,72 \cdot 10^{8}}{60 \cdot 10^{- 8}}

Fasit

$1,2 \cdot 10^{14}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om brøken slik at tallene og tierpotensene behandles hver for seg:

\frac{0,72 \cdot 10^{8}}{60 \cdot 10^{- 8}} = \frac{0,72}{60} \cdot \frac{10^{8}}{10^{- 8}}

Vi regner ut de to delene hver for seg.

\frac{0,72}{60} = 0,012 = 1,2 \cdot 10^{- 2}

For tierpotensene bruker vi regelen $\frac{10^{a}}{10^{b}} = 10^{a - b}$ :

\frac{10^{8}}{10^{- 8}} = 10^{8 - (- 8)} = 10^{16}

Vi setter sammen igjen og skriver svaret på standardform:

1,2 \cdot 10^{- 2} \cdot 10^{16} = 1,2 \cdot 10^{14}

Svar: $1,2 \cdot 10^{14}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Standardform, Potenser, Brøk
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Forenkling av potensuttrykk med grunntall 2 og 4

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut

4^{0} + 2^{- 3} \cdot {(2^{3})}^{2}

Fasit

$9$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at ethvert tall (ulik null) opphøyd i $0$ er $1$ , at $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ og potensregelen ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ .

4^{0} + 2^{- 3} \cdot {(2^{3})}^{2}

Først regner vi ut $4^{0}$ og ${(2^{3})}^{2}$ :

4^{0} = 1 og {(2^{3})}^{2} = 2^{3 \cdot 2} = 2^{6}

Uttrykket blir da

1 + 2^{- 3} \cdot 2^{6}

Vi bruker regelen $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ på potensene med grunntall $2$ :

2^{- 3} \cdot 2^{6} = 2^{- 3 + 6} = 2^{3} = 8

Til slutt legger vi sammen:

1 + 8 = 9

Svar: $9$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Potenser, Potensregning, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Forenkling av rotuttrykk med kvadratrøtter og brøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig

\sqrt{20} + \sqrt{5} - \frac{\sqrt{160}}{\sqrt{2}}

Fasit

$- \sqrt{5}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker regelen $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ til å faktorisere ut kvadrattall under rottegnet, og regelen $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ på brøken.

\sqrt{20} + \sqrt{5} - \frac{\sqrt{160}}{\sqrt{2}}

Vi skriver om hvert ledd:

\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}

\frac{\sqrt{160}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{160}{2}} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4 \sqrt{5}

Uttrykket blir da

2 \sqrt{5} + \sqrt{5} - 4 \sqrt{5}

Vi trekker sammen leddene, siden de alle har samme rotuttrykk $\sqrt{5}$ :

(2 + 1 - 4) \sqrt{5} = - \sqrt{5}

Svar: $- \sqrt{5}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Røtter, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Ikke-lineært likningssystem med andregradsledd og sirkellikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssystemet

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = 4 \\ x + 2 & = y \end{matrix}

Fasit

$(x, y) = (0, 2) eller (x, y) = (- 2, 0)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser likningssystemet

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = 4 \\ x + 2 & = y \end{matrix}

med innsettingsmetoden. Den andre likningen gir oss $y$ uttrykt ved $x$ :

y = x + 2

Vi setter dette inn i den første likningen:

x^{2} + {(x + 2)}^{2} = 4

Vi ganger ut parentesen:

x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 = 4

2 x^{2} + 4 x + 4 = 4

Vi trekker fra $4$ på begge sider:

2 x^{2} + 4 x = 0

Vi faktoriserer ut $2 x$ :

2 x (x + 2) = 0

Et produkt er null når minst én av faktorene er null, så

x = 0 eller x = - 2

Vi finner tilhørende $y$ -verdier ved å sette inn i $y = x + 2$ :

For $x = 0$ : $y = 0 + 2 = 2$

For $x = - 2$ : $y = - 2 + 2 = 0$

Likningssystemet har altså to løsninger.

Svar: $(x, y) = (0, 2) eller (x, y) = (- 2, 0)$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Andregradslikninger, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Logaritmelikning med tierlogaritme og andregradsuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

\lg (x^{2} + \frac{3}{4}) = 0

Fasit

$x = \frac{1}{2} \lor x = - \frac{1}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har likningen

\lg (x^{2} + \frac{3}{4}) = 0

Siden $x^{2} + \frac{3}{4} > 0$ for alle $x$ , er likningen definert for alle $x$ .

Vi bruker definisjonen av tierlogaritmen: $\lg (a) = 0 \Leftrightarrow a = 10^{0} = 1$ . Det gir

x^{2} + \frac{3}{4} = 1

x^{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}

Svar: $x = \frac{1}{2} \lor x = - \frac{1}{2}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Logaritmelikning, Andregradslikninger
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Sammentrekning av rasjonale brøker med faktorisering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{1}{x} + \frac{x - 5}{x - 1} - \frac{2 x - 6}{x^{2} - x}

Fasit

$\frac{x - 5}{x}$ , for $x \neq 0$ og $x \neq 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har uttrykket

\frac{1}{x} + \frac{x - 5}{x - 1} - \frac{2 x - 6}{x^{2} - x}

Vi faktoriserer nevneren i den siste brøken: $x^{2} - x = x (x - 1)$ . Fellesnevneren for alle tre brøkene er dermed $x (x - 1)$ .

Vi utvider de to første brøkene til fellesnevner:

\frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x (x - 1)} \frac{x - 5}{x - 1} = \frac{x (x - 5)}{x (x - 1)}

Setter alt sammen over fellesnevneren:

\frac{(x - 1) + x (x - 5) - (2 x - 6)}{x (x - 1)}

Vi regner ut telleren:

x - 1 + x^{2} - 5 x - 2 x + 6 = x^{2} - 6 x + 5

Dette gir

\frac{x^{2} - 6 x + 5}{x (x - 1)}

Telleren faktoriseres: vi søker to tall som gir sum $- 6$ og produkt $5$ , det er $- 1$ og $- 5$ :

x^{2} - 6 x + 5 = (x - 1) (x - 5)

Uttrykket blir da

\frac{(x - 1) (x - 5)}{x (x - 1)} = \frac{x - 5}{x}

etter å ha forkortet bort faktoren $(x - 1)$ (gyldig siden $x \neq 1$ ).

Svar: $\frac{x - 5}{x}$ , for $x \neq 0$ og $x \neq 1$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rasjonale uttrykk, Fellesnevner, Brøk, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Sannsynlighet for avislesing med krysstabell og betinget sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en skole leser $80 %$ av elevene aviser på nett, $50 %$ leser papiraviser, og $2 %$ leser ikke aviser.

Systematiser opplysningene gitt i teksten ovenfor i et venndiagram eller i en krysstabell.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ved skolen leser både aviser på nett og papiraviser.

En elev ved skolen leser aviser på nett. Bestem sannsynligheten for at denne eleven ikke leser papiraviser.

Fasit

Se krysstabell i løsningsforslaget.

$P (N \cap P) = 0,32 = 32 %$

$P (ikke P | N) = 0,6 = 60 %$

LøsningsforslagKI-generert

La $N$ være hendelsen “leser aviser på nett” og $P$ være hendelsen “leser papiraviser”. Vi vet at

P (N) = 0,80 P (P) = 0,50 P (verken N eller P) = 0,02

Siden $2 %$ ikke leser noen aviser, leser $98 %$ minst én type avis, altså $P (N \cup P) = 0,98$ .

Vi bruker addisjonssetningen for å finne sannsynligheten for at en elev leser begge typer aviser:

P (N \cup P) = P (N) + P (P) - P (N \cap P)

0,98 = 0,80 + 0,50 - P (N \cap P)

P (N \cap P) = 0,80 + 0,50 - 0,98 = 0,32

Vi kan da fylle ut krysstabellen. Andelen som leser bare nettaviser er $0,80 - 0,32 = 0,48$ , andelen som leser bare papiraviser er $0,50 - 0,32 = 0,18$ , og andelen som ikke leser noen aviser er $0,02$ . Kontroll: $0,48 + 0,18 + 0,32 + 0,02 = 1,00$ .

	Papiravis	Ikke papiravis	Sum
Nettavis	0,32	0,48	0,80
Ikke nettavis	0,18	0,02	0,20
Sum	0,50	0,50	1,00

Fra tabellen i a) leser $P (N \cap P) = 0,32 = 32 %$ av elevene både aviser på nett og papiraviser.

Vi skal finne den betingede sannsynligheten for at en elev ikke leser papiraviser, gitt at hun leser nettaviser:

P (ikke P | N) = \frac{P (N \cap ikke P)}{P (N)}

Andelen som leser nettaviser, men ikke papiraviser, er

P (N \cap ikke P) = P (N) - P (N \cap P) = 0,80 - 0,32 = 0,48

Dette gir

P (ikke P | N) = \frac{0,48}{0,80} = 0,6

Svar: $P (ikke P | N) = 0,6 = 60 %$

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Krysstabell, Venndiagram, Betinget sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Sidelengder i rettvinklet trekant med Pytagoras og differanse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Om en rettvinklet trekant får du vite:

Lengden av den korteste siden er 20
Differansen mellom lengdene av de to andre sidene er 2

Hvor lang er den lengste siden i denne trekanten?

Fasit

$c = 101$

LøsningsforslagKI-generert

I en rettvinklet trekant er hypotenusen alltid den lengste siden. Vi vet at den korteste siden har lengde $20$ , og siden dette er den korteste siden, må den være et katet. Den andre kateten og hypotenusen er da “de to andre sidene” som oppgaven omtaler.

La den andre kateten ha lengde $b$ og hypotenusen ha lengde $c$ . Siden hypotenusen er lengst, er differansen

c - b = 2 \Rightarrow c = b + 2

Pytagoras’ setning gir

20^{2} + b^{2} = c^{2}

Vi setter inn $c = b + 2$ :

400 + b^{2} = {(b + 2)}^{2}

400 + b^{2} = b^{2} + 4 b + 4

400 = 4 b + 4

4 b = 396

b = 99

Da er

c = b + 2 = 99 + 2 = 101

Vi kontrollerer: $20^{2} + 99^{2} = 400 + 9801 = 10201 = 101^{2}$ . Stemmer.

Den lengste siden (hypotenusen) i trekanten er dermed

Svar: $c = 101$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Geometri, Pytagoras, Rettvinklet trekant, Andregradslikninger
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Gjennomsnittlig og momentan vekstfart for tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 3

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[- 2, 0]$ .

Bestem den momentane vekstfarten til $f$ når $x = - 2$ .

Fasit

$- 4$

$- 2$

LøsningsforslagKI-generert

Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[- 2, 0]$ er gitt ved

\frac{f (0) - f (- 2)}{0 - (- 2)}

Vi regner ut funksjonsverdiene:

f (0) = 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 - 3 = - 3

f (- 2) = {(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) - 3 = - 8 + 12 + 4 - 3 = 5

Dette gir

\frac{f (0) - f (- 2)}{0 - (- 2)} = \frac{- 3 - 5}{2} = \frac{- 8}{2} = - 4

Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i $[- 2, 0]$ er $- 4$ .

Den momentane vekstfarten er verdien til den deriverte i punktet. Vi deriverer $f$ :

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 2

Vi setter inn $x = - 2$ :

f^{'} (- 2) = 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) - 2 = 12 - 12 - 2 = - 2

Den momentane vekstfarten til $f$ når $x = - 2$ er $- 2$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomfunksjoner, Derivasjon, Vekstfart
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Grafisk løsning av ulikheter for funksjon og derivert

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ . Bruk den grafiske framstillingen til å løse ulikhetene

f (x) > 0

f^{'} (x) > 0

Fasit

$x > 4$

$x < 1 \lor x > 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av grafen til $f$ .

Vi skal finne hvor grafen ligger over $x$ -aksen, altså hvor $f (x) > 0$ .

Grafen skjærer eller berører $x$ -aksen i $x = 1$ og $x = 4$ . Mellom disse punktene (og for $x < 1$ ) ligger grafen på eller under $x$ -aksen. For $x > 4$ ligger grafen over $x$ -aksen og forblir der.

Løsningen av ulikheten er $x > 4$ .

Vi skal finne hvor grafen er stigende, altså hvor $f^{'} (x) > 0$ .

Grafen stiger fram til toppunktet i $x = 1$ , synker mellom $x = 1$ og $x = 3$ (bunnpunkt), og stiger igjen for $x > 3$ .

Løsningen av ulikheten er $x < 1 \lor x > 3$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Funksjoner, Graftolkning, Ulikheter, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Andregradsfunksjon med nullpunkter, symmetrilinje og parallelle tangenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

Bestem nullpunktene til $f$ .

Grafen til $f$ er symmetrisk om en linje $ℓ$ . Tegn grafen til $f$ sammen med linjen $ℓ$ i et koordinatsystem.

Grafen til $f$ har en tangent med stigningstall 2. Bestem likningen for denne tangenten. Tegn tangenten i det samme koordinatsystemet som du brukte i oppgave b).

Tangenten fra oppgave c) skjærer linjen $ℓ$ i punktet $P$ . Grafen til $f$ har en annen tangent som også går gjennom punktet $P$ . Skisser denne tangenten i samme koordinatsystem som du har brukt tidligere i oppgaven. Bestem likningen for tangenten grafisk.

Gjør beregninger og avgjør om likningen du fant i oppgave d), er riktig.

Fasit

$x = 1 og x = 3$

$ℓ : x = 2$

$y = 2 x - 6$

$y = - 2 x + 2$

Ja, likningen fra d) er $riktig$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner nullpunktene ved å faktorisere $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ . Vi trenger to tall som har produkt $3$ og sum $- 4$ : det er $- 1$ og $- 3$ . Da er

f (x) = (x - 1) (x - 3)

$f (x) = 0$ når $x = 1$ eller $x = 3$ .

Nullpunktene er $x = 1 og x = 3$ .

Symmetrilinjen til grafen til en andregradsfunksjon $f (x) = a x^{2} + b x + c$ er den vertikale linjen $x = - \frac{b}{2 a}$ . Her er $a = 1$ og $b = - 4$ :

x = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2

Symmetrilinjen er $ℓ : x = 2$ . (Dette stemmer også med at nullpunktene $x = 1$ og $x = 3$ ligger symmetrisk om $x = 2$ .)

Grafen til $f$ er en parabel med bunnpunkt på $ℓ$ : $f (2) = 4 - 8 + 3 = - 1$ , altså bunnpunkt $(2, - 1)$ .

Vi deriverer $f$ :

f^{'} (x) = 2 x - 4

Stigningstallet til tangenten skal være $2$ , så vi løser

2 x - 4 = 2 \Rightarrow x = 3

Tangeringspunktet er $(3, f (3))$ , der $f (3) = 9 - 12 + 3 = 0$ , altså punktet $(3, 0)$ .

Tangentlikningen (ettpunktsformelen $y - y_{0} = a (x - x_{0})$ ):

y - 0 = 2 (x - 3) \Rightarrow y = 2 x - 6

Tangenten i c) er $y = 2 x - 6$ .

b, c og d — skisse

Grafen til $f$ , symmetrilinjen $ℓ$ , og de to tangentene er skissert sammen i koordinatsystemet under.

Skisse av parabelen f, symmetrilinjen ℓ, og de to tangentene

Tangenten $y = 2 x - 6$ fra c) skjærer $ℓ : x = 2$ når vi setter $x = 2$ inn:

y = 2 \cdot 2 - 6 = - 2

Skjæringspunktet er $P (2, - 2)$ .

Fra skissen ser vi at den andre tangenten ser ut til å berøre grafen til $f$ i punktet $(1, 0)$ og gå gjennom $P (2, - 2)$ . Stigningstallet leses da av som

a = \frac{0 - (- 2)}{1 - 2} = \frac{2}{- 1} = - 2

Med ettpunktsformelen gjennom $(1,0)$ :

y - 0 = - 2 (x - 1) \Rightarrow y = - 2 x + 2

Den grafisk bestemte tangentlikningen er $y = - 2 x + 2$ .

Vi sjekker om $x = 1$ faktisk gir en tangent som går gjennom $P (2, - 2)$ .

Stigningstallet til tangenten i $x = 1$ :

f^{'} (1) = 2 \cdot 1 - 4 = - 2

Tangeringspunktet: $f (1) = 1 - 4 + 3 = 0$ , altså $(1, 0)$ .

Tangentlikningen:

y - 0 = - 2 (x - 1) \Rightarrow y = - 2 x + 2

Vi kontrollerer at denne tangenten går gjennom $P (2, - 2)$ :

y = - 2 \cdot 2 + 2 = - 2

Dette stemmer med $P (2, - 2)$ . Likningen $y = - 2 x + 2$ som ble funnet grafisk i d), er derfor $riktig$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Andregradsfunksjon, Tangent, Derivasjon, Skjæringspunkt
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 1-12Eksakte trigonometriske verdier og trekantberegning med cosinussetningen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk $△ P Q R$ ovenfor til å vise at

\sin (30^{\circ}) = \frac{1}{2}, \cos (30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan (30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3}

Videre i oppgaven kan du få bruk for noen av disse trigonometriske verdiene.

I $△ A B C$ er $A B = 2$ , $A C = 4$ og $∠ A = 30^{\circ}$ . Bestem arealet av $△ A B C$ .

Vis at

B C = 2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}}

Fasit

Se utledning i løsningsforslaget.

$A = 2$

Se utledning i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

I $△ P Q R$ er vinkelen i $Q$ rett, $∠ P = 30 °$ og $∠ R = 60 °$ . Sidene er $P Q$ (kateten inntil $P$ ), $Q R = 1$ (kateten inntil $R$ ) og $P R = 2$ (hypotenusen).

Siden $△ P Q R$ er rettvinklet i $Q$ , gir Pytagoras’ setning

P Q = \sqrt{P R^{2} - Q R^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}

For vinkelen $30 °$ i $P$ er $Q R$ motstående katet og $P Q$ hosliggende katet, og $P R$ er hypotenusen. Da er

\sin (30 °) = \frac{motstående katet}{hypotenusen} = \frac{Q R}{P R} = \frac{1}{2}

\cos (30 °) = \frac{hosliggende katet}{hypotenusen} = \frac{P Q}{P R} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan (30 °) = \frac{motstående katet}{hosliggende katet} = \frac{Q R}{P Q} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Dette viser at $\sin (30 °) = \frac{1}{2}$ , $\cos (30 °) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ og $\tan (30 °) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

I $△ A B C$ er $A B = 2$ , $A C = 4$ og $∠ A = 30 °$ . Arealet av en trekant kan regnes ut med arealsetningen, der de to sidene som er oppgitt slutter seg til den kjente vinkelen:

Areal = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot \sin (A)

Vi setter inn $\sin (30 °) = \frac{1}{2}$ fra a):

Areal = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 2

Arealet av $△ A B C$ er $A = 2$ .

Vi bruker cosinussetningen til å finne $B C$ , siden vi kjenner de to sidene $A B$ og $A C$ og vinkelen mellom dem, $∠ A$ :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot \cos (A)

Vi setter inn $A B = 2$ , $A C = 4$ og $\cos (30 °) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ fra a):

B C^{2} = 2^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 + 16 - 8 \sqrt{3} = 20 - 8 \sqrt{3}

Vi trekker $4$ ut av kvadratroten:

B C = \sqrt{20 - 8 \sqrt{3}} = \sqrt{4 \cdot (5 - 2 \sqrt{3})} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}} = 2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}}

Dette viser at $B C = 2 \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Rettvinklet trekant, Arealsetningen, Cosinussetningen, Eksakte verdier
Egen side: Åpne oppgave 1-12 for seg selv

Oppgave 2-1Tredjegradsmodell for fyllingsgrad i vannmagasin

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = - 0,0047 x^{3} + 0,40 x^{2} - 8,3 x + 86, x \in [0, 52]

viser fyllingsgraden $f (x)$ prosent i et vannmagasin $x$ uker etter 1. januar 2016.

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Oppsett for hånd

I hvor mange uker var fyllingsgraden høyere enn 60 %?

Kalkulator

I hvilken uke var fyllingsgraden lavest? Hvor stor del av vannmagasinet var fylt da?

Kalkulator

Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $(22, f (22))$ . Hva forteller stigningstallet til denne tangenten om fyllingsgraden i vannmagasinet?

Fasit

Se graf.

$\approx 29 uker$

$Uke 14, f (13,7) \approx 35,3 %$

$y = 2,48 x - 7,51$ , stigningstall $\approx 2,48 % / uke$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $f$ i graftegner på intervallet $x \in [0, 52]$ .

Graf til f med y=60, minimum og tangent i x=22

Vi finner ut når fyllingsgraden er over $60 %$ ved å se på skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og linjen $y = 60$ .

I graftegneren finner vi at $f (x) = 60$ for

x \approx 3,80 og x \approx 26,67

Av grafen ser vi at $f (x) > 60$ når $x \in ⟨ 0, 3,80 ⟩$ og når $x \in ⟨ 26,67, 52 ⟩$ . Den samlede tidsperioden er

3,80 + (52 - 26,67) = 3,80 + 25,33 \approx 29,12 uker

Fyllingsgraden var altså høyere enn $60 %$ i omtrent $29 uker$ .

Fyllingsgraden er lavest i bunnpunktet til grafen til $f$ på intervallet $[0, 52]$ . I graftegneren finner vi bunnpunktet

(x, f (x)) \approx (13,67; 35,28)

Fyllingsgraden var altså lavest i uke $14$ (ca. $13,7$ uker etter 1. januar 2016), da var vannmagasinet fylt med omtrent $35,3 %$ .

Vi finner punktet $(22, f (22))$ og tangenten til grafen til $f$ i dette punktet ved hjelp av graftegneren.

f (22) \approx 46,95

Tangenten har stigningstall

a \approx 2,48

og likningen

y \approx 2,48 x - 7,51

Stigningstallet til tangenten forteller hvor raskt fyllingsgraden endret seg akkurat i uke 22, altså den momentane endringstakten til fyllingsgraden. Siden stigningstallet er positivt, økte fyllingsgraden i vannmagasinet i uke 22, med omtrent $2,48$ prosentpoeng per uke.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Polynomfunksjoner, Graftegner, Derivasjon, Tangent, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Lineært likningssett for pris på kinobilletter

Krever PC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To voksne og tre barn betaler til sammen 520 kroner for billetter til en kinoforestilling. En voksenbillett koster 40 kroner mer enn en barnebillett.

Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett?

Fasit

$x = 88 kr, y = 128 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar

x = prisen på en barnebillett (i kroner), y = prisen på en voksenbillett (i kroner)

To voksne og tre barn betaler til sammen 520 kroner:

2 y + 3 x = 520

En voksenbillett koster 40 kroner mer enn en barnebillett:

y = x + 40

Dette gir likningssettet

{\begin{matrix} 2 y + 3 x = 520 \\ y = x + 40 \end{matrix}

Vi løser likningssettet i GeoGebra CAS med kommandoen Løs({2y+3x=520, y=x+40}, {x,y}):

CAS-løsning av likningssettet

Dette gir løsningen $x = 88$ og $y = 128$ .

Vi kontrollerer: $2 \cdot 128 + 3 \cdot 88 = 256 + 264 = 520$ , og $128 - 88 = 40$ . Begge likningene stemmer.

En barnebillett koster $88 kr$ , og en voksenbillett koster $128 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Modellering, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Lineær modell for andel dagligrøykere fra linjediagram

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Linjediagrammet ovenfor viser hvordan andelen dagligrøykere ved en bedrift har avtatt i perioden 2000–2017.

Krever PC

Bestem en lineær modell som tilnærmet beskriver utviklingen.

Krever PC

Når vil andelen dagligrøykere ved bedriften være 5 % ifølge modellen i oppgave a)?

Fasit

$f (x) = - \frac{16}{17} x + 30$

$x \approx 26,6$ , altså i løpet av 2026

LøsningsforslagKI-generert

Linjediagrammet er ikke helt rett, så vi lager en lineær modell ved å lese av start- og sluttpunktet på grafen og trekke en rett linje mellom dem.

Vi avleser to punkter:

A = (0, 30) B = (17, 14)

Punktet $A$ svarer til år 2000 ( $30 %$ dagligrøykere), og punktet $B$ svarer til år 2017 ( $14 %$ dagligrøykere).

Stigningstallet blir

a = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{14 - 30}{17 - 0} = \frac{- 16}{17} \approx - 0,94

Konstantleddet er verdien der grafen skjærer $y$ -aksen, altså $b = 30$ (avlest direkte i $A$ ).

Den lineære modellen blir dermed

f (x) = - \frac{16}{17} x + 30

der $x$ er antall år etter 01.01.2000, og $f (x)$ er andelen dagligrøykere i prosent.

Vi skal finne $x$ slik at $f (x) = 5$ :

- \frac{16}{17} x + 30 = 5

- \frac{16}{17} x = 5 - 30 = - 25

x = \frac{- 25}{- \frac{16}{17}} = 25 \cdot \frac{17}{16} = \frac{425}{16} \approx 26,6

Lineær modell for andel dagligrøykere, med skjæringspunktet der f(x) = 5

Siden $x \approx 26,6$ svarer til ca. midten av 2026 ( $2000 + 26,6$ ), vil andelen dagligrøykere ifølge modellen være $5 %$ i løpet av 2026.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Sannsynlighet for defekte melkekartonger og Bayes setning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved et meieri blir det oppdaget en feil ved en av maskinene som skrur korker på kartongene. På kjølelageret er det 200 kartonger med lettmelk og 100 kartonger med helmelk. $\frac{2}{5}$ av kartongene med lettmelk og $\frac{1}{4}$ av kartongene med helmelk har ikke tett kork.

Tenk deg at du skal ta en kartong tilfeldig fra kjølelageret.

Krever PC

Bestem sannsynligheten for at kartongen ikke har tett kork.

Krever PC

Anta at du tar en kartong som ikke har tett kork. Bestem sannsynligheten for at kartongen inneholder lettmelk.

Fasit

$P (ikke tett kork) = 0,35 = 35 %$

$P (lettmelk | ikke tett kork) = \frac{16}{21} \approx 76,2 %$

LøsningsforslagKI-generert

På kjølelageret er det $200$ kartonger med lettmelk og $100$ kartonger med helmelk, altså $300$ kartonger totalt.

Antall lettmelk-kartonger uten tett kork:

\frac{2}{5} \cdot 200 = 80

Antall helmelk-kartonger uten tett kork:

\frac{1}{4} \cdot 100 = 25

Totalt antall kartonger uten tett kork:

80 + 25 = 105

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kartong ikke har tett kork:

P (ikke tett kork) = \frac{105}{300} = 0,35

Svar: $P (ikke tett kork) = 0,35 = 35 %$

Vi skal finne sannsynligheten for at kartongen inneholder lettmelk, gitt at den ikke har tett kork. Av de $105$ kartongene uten tett kork er $80$ lettmelk-kartonger (fra a):

P (lettmelk | ikke tett kork) = \frac{80}{105} = \frac{16}{21} \approx 0,762

Svar: $P (lettmelk | ikke tett kork) = \frac{16}{21} \approx 76,2 %$

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet, Krysstabell
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Trekantberegning med cosinussetningen og CAS for parameter s

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt trekanten ovenfor.

Bruk CAS til å bestemme $s$ .

Fasit

$s = \frac{8}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vinkelen på $60 °$ ligger mellom sidene $5 s$ og $3 s^{2}$ , og siden $7 s$ ligger motstående denne vinkelen. Vi bruker cosinussetningen:

{(7 s)}^{2} = {(5 s)}^{2} + {(3 s^{2})}^{2} - 2 \cdot 5 s \cdot 3 s^{2} \cdot \cos (60 °)

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Løsning av likningen med CAS

CAS gir

49 s^{2} = 9 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{2}

med løsningene $s = - 1$ , $s = 0$ og $s = \frac{8}{3}$ .

Siden $s$ er en lengdeparameter i en trekant, må alle sidene ( $5 s$ , $7 s$ og $3 s^{2}$ ) være positive. Dette utelukker $s = - 1$ og $s = 0$ . Dermed står vi igjen med

s = \frac{8}{3}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Cosinussetningen, CAS, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Undersøkelse av stasjonært punkt med parameter i CAS

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x, a > 0

Bruk CAS til å

vise at grafen til $f$ har et nullpunkt og et stasjonært punkt i $P (a, 0)$
avgjøre om $P$ er et toppunkt, et bunnpunkt eller et terrassepunkt

Fasit

$P (a, 0)$ er et $bunnpunkt$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn $f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x$ i CAS.

CAS-utregning av f(x), faktorisering, f'(x), f''(x) og f''(a)

Nullpunkt i $P (a, 0)$ . CAS faktoriserer $f (x)$ (linje 2):

f (x) = x {(x - a)}^{2}

Setter vi inn $x = a$ (linje 3), får vi $f (a) = a \cdot {(a - a)}^{2} = 0$ . Dermed går grafen til $f$ gjennom punktet $P (a, 0)$ , altså er $P$ et nullpunkt.

Stasjonært punkt i $P (a, 0)$ . CAS deriverer (linje 4) og faktoriserer (linje 5):

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 a x + a^{2} = (x - a) (3 x - a)

Setter vi inn $x = a$ : $f^{'} (a) = (a - a) (3 a - a) = 0$ . Siden $f^{'} (a) = 0$ , er $P (a, 0)$ et stasjonært punkt.

Klassifisering av $P$ . CAS finner andrederiverte (linje 6) og verdien i $x = a$ (linje 7):

f^{''} (x) = 6 x - 4 a f^{''} (a) = 2 a

Siden $a > 0$ er $f^{''} (a) = 2 a > 0$ . Andrederivert-testen sier da at $P (a, 0)$ er et $𝐛𝐮𝐧𝐧𝐩𝐮𝐧𝐤𝐭$ (lokalt minimum).

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: CAS, Polynomfunksjoner, Derivasjon, Stasjonære punkter
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Geometrisk bevis og arealberegning for sirkelbuer med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren ovenfor viser

en halvsirkel med sentrum i $B$ og radius $R$
en halvsirkel med sentrum i $C$ og radius $r$
en kvart sirkel med sentrum i $A$ og radius $2 R$

De to halvsirklene tangerer hverandre i punktet $D$ . Punktet $D$ ligger på linjen gjennom $B$ og $C$ .

For hånd

Bruk Pytagoras’ setning til å vise at

r = \frac{2}{3} R

For hånd

Bruk CAS til å bestemme arealet av det blå området på figuren uttrykt ved $R$ .

Fasit

Vist ved Pytagoras, se løsningsforslag.

$A = \frac{5}{18} π R^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $A B = R$ og $A C = 2 R - r$ , og begrunner dette først.

Punktet $A$ ligger på halvsirkelen med sentrum $B$ og radius $R$ (halvsirkelen starter nettopp i $A$ ). Da er avstanden fra $B$ til $A$ lik radien, så

A B = R

Halvsirkelen med sentrum $C$ og radius $r$ er tangent til kvartsirkelen (radius $2 R$ , sentrum $A$ ) i det punktet der kvartsirkelen møter linjen $A C$ . Dette punktet ligger i avstand $2 R$ fra $A$ (siden det ligger på kvartsirkelen), og samtidig i avstand $r$ fra $C$ (siden det ligger på halvsirkelen med sentrum $C$ ). Punktet ligger på linjen $A C$ utenfor $C$ , sett fra $A$ , så

A C + r = 2 R \Rightarrow A C = 2 R - r

Trekant $A B C$ har rett vinkel i $A$ (markert på figuren). Pytagoras’ setning gir da

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = R^{2} + {(2 R - r)}^{2}

De to halvsirklene (sentrum $B$ med radius $R$ og sentrum $C$ med radius $r$ ) tangerer hverandre utvendig i $D$ , og $D$ ligger på $B C$ . Da er avstanden mellom sentrene lik summen av radiene:

B C = B D + D C = R + r

Vi setter de to uttrykkene for $B C^{2}$ lik hverandre:

{(R + r)}^{2} = R^{2} + {(2 R - r)}^{2}

Vi utvider begge sider:

R^{2} + 2 R r + r^{2} = R^{2} + 4 R^{2} - 4 R r + r^{2}

2 R r = 4 R^{2} - 4 R r

6 R r = 4 R^{2}

r = \frac{2}{3} R

Vi bruker resultatet fra a): $r = \frac{2}{3} R$ , som gir $A C = 2 R - r = \frac{4}{3} R$ .

Figuren viser at kvartsirkelen (radius $2 R$ ) deles i akkurat tre deler uten overlapp: halvsirkelskiven med sentrum $B$ , halvsirkelskiven med sentrum $C$ , og det blå området. Arealet av det blå området er derfor kvartsirkelens areal minus de to halvsirklenes areal:

A_{blå} = \frac{1}{4} π {(2 R)}^{2} - \frac{1}{2} π R^{2} - \frac{1}{2} π r^{2}

Vi setter opp uttrykket i CAS med $r = \frac{2}{3} R$ og forenkler:

CAS-utregning av arealet

CAS gir (linje 5–6 i utklippet)

A_{blå} = \frac{5}{18} π R^{2}

$A_{blå} = \frac{5}{18} π R^{2}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Sirkel, Pytagoras, Areal og omkrets, CAS, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 12 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Standardform for brøk med tierpotenser og negative eksponenter

Oppgave 1-2·Forenkling av potensuttrykk med grunntall 2 og 4

Oppgave 1-3·Forenkling av rotuttrykk med kvadratrøtter og brøk

Oppgave 1-4·Ikke-lineært likningssystem med andregradsledd og sirkellikning

Oppgave 1-5·Logaritmelikning med tierlogaritme og andregradsuttrykk

Oppgave 1-6·Sammentrekning av rasjonale brøker med faktorisering

Oppgave 1-7·Sannsynlighet for avislesing med krysstabell og betinget sannsynlighet

Oppgave 1-8·Sidelengder i rettvinklet trekant med Pytagoras og differanse

Oppgave 1-9·Gjennomsnittlig og momentan vekstfart for tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-10·Grafisk løsning av ulikheter for funksjon og derivert

Oppgave 1-11·Andregradsfunksjon med nullpunkter, symmetrilinje og parallelle tangenter

b, c og d — skisse

Oppgave 1-12·Eksakte trigonometriske verdier og trekantberegning med cosinussetningen

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Tredjegradsmodell for fyllingsgrad i vannmagasin

Oppgave 2-2·Lineært likningssett for pris på kinobilletter

Oppgave 2-3·Lineær modell for andel dagligrøykere fra linjediagram

Oppgave 2-4·Sannsynlighet for defekte melkekartonger og Bayes setning

Oppgave 2-5·Trekantberegning med cosinussetningen og CAS for parameter s

Oppgave 2-6·Undersøkelse av stasjonært punkt med parameter i CAS

Oppgave 2-7·Geometrisk bevis og arealberegning for sirkelbuer med CAS

Temaer

Oppgave 1-1Standardform for brøk med tierpotenser og negative eksponenter

Oppgave 1-2Forenkling av potensuttrykk med grunntall 2 og 4

Oppgave 1-3Forenkling av rotuttrykk med kvadratrøtter og brøk

Oppgave 1-4Ikke-lineært likningssystem med andregradsledd og sirkellikning

Oppgave 1-5Logaritmelikning med tierlogaritme og andregradsuttrykk

Oppgave 1-6Sammentrekning av rasjonale brøker med faktorisering

Oppgave 1-7Sannsynlighet for avislesing med krysstabell og betinget sannsynlighet

Oppgave 1-8Sidelengder i rettvinklet trekant med Pytagoras og differanse

Oppgave 1-9Gjennomsnittlig og momentan vekstfart for tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-10Grafisk løsning av ulikheter for funksjon og derivert

Oppgave 1-11Andregradsfunksjon med nullpunkter, symmetrilinje og parallelle tangenter

Oppgave 1-12Eksakte trigonometriske verdier og trekantberegning med cosinussetningen

Oppgave 2-1Tredjegradsmodell for fyllingsgrad i vannmagasin

Oppgave 2-2Lineært likningssett for pris på kinobilletter

Oppgave 2-3Lineær modell for andel dagligrøykere fra linjediagram

Oppgave 2-4Sannsynlighet for defekte melkekartonger og Bayes setning

Oppgave 2-5Trekantberegning med cosinussetningen og CAS for parameter s

Oppgave 2-6Undersøkelse av stasjonært punkt med parameter i CAS

Oppgave 2-7Geometrisk bevis og arealberegning for sirkelbuer med CAS