1T Høst 2017 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Standardform for brøk med store tall og desimaltall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret på standardform

\frac{120 \cdot 25000}{0,15}

Fasit

$2 \cdot 10^{7}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut telleren først:

120 \cdot 25000 = 3 000 000

Deretter deler vi på $0,15$ . Å dele på $0,15$ er det samme som å multiplisere med $\frac{100}{15}$ :

\frac{3 000 000}{0,15} = 3 000 000 \cdot \frac{100}{15} = \frac{300 000 000}{15} = 20 000 000

Vi skriver svaret på standardform, det vil si som et tall mellom $1$ og $10$ ganget med en tierpotens:

20 000 000 = 2 \cdot 10^{7}

Svaret er $2 \cdot 10^{7}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Standardform, Potenser, Brøk
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Grafisk løsning av lineær likning med to rette linjer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen grafisk

\frac{1}{2} x - 1 = 9 - 2 x

Fasit

$x = 4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser likningen grafisk ved å tegne de to rette linjene

y = \frac{1}{2} x - 1 og y = 9 - 2 x

i det samme koordinatsystemet. Løsningen av likningen er $x$ -verdien i skjæringspunktet mellom de to linjene.

Den første linja har stigningstall $\frac{1}{2}$ og skjærer $y$ -aksen i $y = - 1$ . Den andre linja har stigningstall $- 2$ og skjærer $y$ -aksen i $y = 9$ .

Grafisk løsning av likningen

Av grafen ser vi at linjene skjærer hverandre i punktet $(4, 1)$ .

Løsningen av likningen er dermed $x = 4$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Lineære funksjoner, Likninger, Grafisk løsning
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Andregradsulikhet løst med faktorisering og fortegnsskjema

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ulikheten

x^{2} - x - 12 \leq 0

Fasit

$- 3 \leq x \leq 4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi faktoriserer uttrykket $x^{2} - x - 12$ . Vi leter etter to tall som ganget gir $- 12$ og addert gir $- 1$ . Tallene $- 4$ og $3$ oppfyller dette, siden $- 4 \cdot 3 = - 12$ og $- 4 + 3 = - 1$ . Dermed er

x^{2} - x - 12 = (x - 4) (x + 3)

Ulikheten blir da

(x - 4) (x + 3) \leq 0

Nullpunktene til faktorene er $x = 4$ og $x = - 3$ . Vi setter opp et fortegnsskjema for å finne hvor produktet er negativt eller null:

Fortegnslinje for (x-4)(x+3)

Produktet er negativt eller null når $- 3 \leq x \leq 4$ .

Svaret er $- 3 \leq x \leq 4$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Andregradsulikhet, Fortegnslinje, Ulikheter
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Sortering av trigonometriske verdier og logaritmer i stigende rekkefølge

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sorter tallene i stigende rekkefølge. Vis eller forklar hvordan du har tenkt.

\sin 73^{\circ}, \tan 45^{\circ}, \lg 1, \lg (10^{- \frac{1}{4}})

Fasit

$\lg (10^{- \frac{1}{4}}) < \lg 1 < \sin 73^{\circ} < \tan 45^{\circ}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner de eksakte verdiene vi kjenner uten kalkulator, og vurderer de resterende ved hjelp av egenskaper til sinus og logaritmer.

Kjente eksakte verdier:

\tan 45^{\circ} = 1

\lg 1 = 0

For det siste leddet bruker vi logaritmeregelen $\lg (10^{a}) = a$ :

\lg (10^{- \frac{1}{4}}) = - \frac{1}{4}

Om $\sin 73^{\circ}$ : Sinusverdien øker mot $1$ når vinkelen nærmer seg $90^{\circ}$ , og $\sin θ < 1$ for alle $θ$ mellom $0^{\circ}$ og $90^{\circ}$ . Siden $73^{\circ}$ er nærmere $90^{\circ}$ enn $45^{\circ}$ , er

\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,71 < \sin 73^{\circ} < 1

Sammenligning: Vi har nå

- \frac{1}{4} < 0 < \sin 73^{\circ} < 1

det vil si

\lg (10^{- \frac{1}{4}}) < \lg 1 < \sin 73^{\circ} < \tan 45^{\circ}

Dette er den stigende rekkefølgen: $\lg (10^{- \frac{1}{4}}) < \lg 1 < \sin 73^{\circ} < \tan 45^{\circ}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Trigonometri
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Logaritmelikning med tierlogaritme og brøkledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

\lg (x + \frac{1}{25}) = - 2

Fasit

$x = - \frac{3}{100}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har likningen

\lg (x + \frac{1}{25}) = - 2

For at $\lg$ skal være definert, må vi ha $x + \frac{1}{25} > 0$ . Vi løser likningen ved å bruke definisjonen av tierlogaritmen: hvis $\lg a = b$ , så er $a = 10^{b}$ .

x + \frac{1}{25} = 10^{- 2} = \frac{1}{100}

Vi løser for $x$ . Først gjør vi om $\frac{1}{25}$ til hundredeler:

\frac{1}{25} = \frac{4}{100}

Dermed blir

x = \frac{1}{100} - \frac{4}{100} = - \frac{3}{100}

Vi sjekker at løsningen ligger i definisjonsområdet:

x + \frac{1}{25} = - \frac{3}{100} + \frac{4}{100} = \frac{1}{100} > 0

Dette stemmer, så løsningen er gyldig.

Svaret er $x = - \frac{3}{100}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Logaritmelikning, Logaritmer, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Forenkling av brøkuttrykk med kvadratrøtter i teller og nevner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}

Fasit

$\frac{3}{x}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi forenkler teller og nevner hver for seg.

Teller: $\sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} = 3 \sqrt{x}$

Nevner: $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x \cdot \sqrt{x}$

Da får vi

\frac{3 \sqrt{x}}{x \cdot \sqrt{x}} = \frac{3}{x}

siden $\sqrt{x}$ i teller og nevner går mot hverandre.

Svar: $\frac{3}{x}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Røtter, Brøk
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Forenkling av uttrykk med røtter og rasjonale eksponenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{30}} \cdot 5^{- 1} \cdot 10^{\frac{1}{2}} + 8^{\frac{1}{3}}

Fasit

$3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi forenkler brøken med kvadratrøtter først.

\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{75}{30}} = \sqrt{\frac{5}{2}}

Vi ganger med $10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$ :

\sqrt{\frac{5}{2}} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = 5

Så ganger vi med $5^{- 1} = \frac{1}{5}$ :

5 \cdot \frac{1}{5} = 1

Til slutt regner vi ut $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$ .

Uttrykket blir dermed

1 + 2 = 3

Svar: $3$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Røtter, Potenser, Potensregning
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Bestemmelse av lineær funksjon ut fra funksjonsverdi og derivert

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Om en lineær funksjon $f$ får du vite at

$f (2) = 4$
$f^{'} (2) = 3$

Bestem funksjonsuttrykket $f (x)$ .

Fasit

$f (x) = 3 x - 2$

LøsningsforslagKI-generert

En lineær funksjon har formen

f (x) = a x + b

Den deriverte av en lineær funksjon er stigningstallet, $f^{'} (x) = a$ . Siden $f^{'} (2) = 3$ , må

a = 3

Vi setter dette inn i uttrykket $f (2) = 4$ :

f (2) = 3 \cdot 2 + b = 6 + b

6 + b = 4

b = - 2

Funksjonsuttrykket blir dermed

f (x) = 3 x - 2

Svar: $f (x) = 3 x - 2$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Lineære funksjoner, Derivasjon, Stigningstall
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Faktorisering og sammentrekning av rasjonale uttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Faktoriser uttrykket

3 x^{2} - 9 x

Skriv så enkelt som mulig

\frac{x}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} - 5 x + 6}

Fasit

$3 x (x - 3)$

$\frac{3 x}{x - 2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $3 x$ utenfor parentes:

3 x^{2} - 9 x = 3 x (x - 3)

Svar: $3 x (x - 3)$

Vi legger merke til at nevneren i det siste leddet kan faktoriseres:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

(to tall som ganget gir $6$ og summert gir $- 5$ er $- 2$ og $- 3$ ).

Fellesnevneren for alle tre brøkene blir dermed $(x - 2) (x - 3)$ :

\frac{x}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 3} - \frac{2 x}{(x - 2) (x - 3)} = \frac{x (x - 3)}{(x - 2) (x - 3)} + \frac{2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} - \frac{2 x}{(x - 2) (x - 3)}

= \frac{x (x - 3) + 2 x (x - 2) - 2 x}{(x - 2) (x - 3)}

Vi regner ut telleren:

x (x - 3) + 2 x (x - 2) - 2 x = x^{2} - 3 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x = 3 x^{2} - 9 x

Dette kjenner vi igjen fra a): $3 x^{2} - 9 x = 3 x (x - 3)$ . Da får vi

\frac{3 x (x - 3)}{(x - 2) (x - 3)} = \frac{3 x}{x - 2}, x \neq 3

Svar: $\frac{3 x}{x - 2}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Faktorisering, Rasjonale funksjoner, Brøk, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Betinget sannsynlighet for fagvalg i parallelle klasser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en skole er det to Vg2-klasser, 2A og 2B. Det er like mange elever i hver klasse. Alle elevene i 2A har valgt biologi. Halvparten av elevene i 2B har valgt biologi.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i Vg2 har valgt biologi.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i Vg2 som har valgt biologi, går i klasse 2A.

Fasit

$P (biologi) = 0,75$

$P (2 A | biologi) = \frac{2}{3} \approx 0,67$

LøsningsforslagKI-generert

Siden klassene har like mange elever, er sannsynligheten for at en tilfeldig elev går i 2A lik sannsynligheten for at eleven går i 2B:

P (2 A) = P (2 B) = 0,5

Alle i 2A har valgt biologi, så $P (biologi | 2 A) = 1$ . Halvparten av 2B har valgt biologi, så $P (biologi | 2 B) = 0,5$ .

Vi bruker setningen om total sannsynlighet:

P (biologi) = P (2 A) \cdot P (biologi | 2 A) + P (2 B) \cdot P (biologi | 2 B)

P (biologi) = 0,5 \cdot 1 + 0,5 \cdot 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75

Svar: $P (biologi) = 0,75$

Vi skal finne $P (2 A | biologi)$ , altså sannsynligheten for at eleven går i 2A, gitt at eleven har valgt biologi. Vi bruker definisjonen av betinget sannsynlighet:

P (2 A | biologi) = \frac{P (2 A \cap biologi)}{P (biologi)}

Telleren er sannsynligheten for å gå i 2A og ha valgt biologi:

P (2 A \cap biologi) = P (2 A) \cdot P (biologi | 2 A) = 0,5 \cdot 1 = 0,5

Fra a) vet vi at $P (biologi) = 0,75$ . Da får vi

P (2 A | biologi) = \frac{0,5}{0,75} = \frac{2}{3} \approx 0,67

Det betyr at om lag $67 %$ av elevene som har valgt biologi, går i klasse 2A.

Svar: $P (2 A | biologi) = \frac{2}{3} \approx 0,67$

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Gjennomsnittlig vekstfart og terrassepunkt for fjerdegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 2

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[- 1, 1]$ .

Vis at $(0, 2)$ er et terrassepunkt på grafen til $f$ .

Fasit

$Gjennomsnittlig vekstfart = - 2$

Vist i løsningsforslaget — $(0,2)$ er et terrassepunkt.

LøsningsforslagKI-generert

Gjennomsnittlig vekstfart til $f$ på intervallet $[- 1, 1]$ er

\frac{f (1) - f (- 1)}{1 - (- 1)}

Vi finner funksjonsverdiene:

f (1) = 1^{4} - 2 \cdot 1^{3} + 2 = 1 - 2 + 2 = 1

f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 2 \cdot {(- 1)}^{3} + 2 = 1 + 2 + 2 = 5

Da blir den gjennomsnittlige vekstfarten

\frac{f (1) - f (- 1)}{1 - (- 1)} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2

Gjennomsnittlig vekstfart er $- 2$ .

Vi deriverer $f$ :

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} = 2 x^{2} (2 x - 3)

I punktet $x = 0$ er

f^{'} (0) = 2 \cdot 0^{2} \cdot (2 \cdot 0 - 3) = 0

Grafen har altså en horisontal tangent i $x = 0$ . For at $(0,2)$ skal være et terrassepunkt, må $f^{'}$ ha samme fortegn på begge sider av $x = 0$ (da er ikke punktet et toppunkt eller bunnpunkt, men et “flatt” vendepunkt).

Vi undersøker fortegnet til $f^{'} (x) = 2 x^{2} (2 x - 3)$ for $x$ nær $0$ :

Faktoren $2 x^{2} \geq 0$ for alle $x$ , og er lik $0$ bare i $x = 0$ .
Faktoren $(2 x - 3)$ er negativ for alle $x < 1,5$ , altså også for $x$ litt mindre og litt større enn $0$ .

Dermed er $f^{'} (x) < 0$ for alle $x$ nær $0$ (bortsett fra i $x = 0$ selv, der $f^{'} (0) = 0$ ). Fortegnet til $f^{'}$ er altså negativt på begge sider av $x = 0$ — det skifter ikke fortegn. Dette betyr at $f$ er avtagende hele veien gjennom $x = 0$ , og punktet er dermed verken et topp- eller bunnpunkt.

Siden $f^{'} (0) = 0$ og $f^{'}$ ikke skifter fortegn i $x = 0$ , er $x = 0$ et terrassepunkt.

Vi finner $y$ -koordinaten:

f (0) = 0^{4} - 2 \cdot 0^{3} + 2 = 2

Dermed er $(0, 2)$ et terrassepunkt på grafen til $f$ , slik vi skulle vise.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vekstfart, Derivasjon, Stasjonære punkter, Polynomfunksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 1-12Tangent og parallelle tangenter for tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

Bestem $f^{'} (x)$ .

Bestem likningen for tangenten til $f$ i punktet $(1, f (1))$ .

Har grafen til $f$ én eller flere andre tangenter som er parallelle med tangenten du fant i oppgave b)? Begrunn svaret ditt.

Fasit

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12$

$y = 3 x - 4$

$Ja, tangenten i (3, 1) : y = 3 x - 8$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ ledd for ledd:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12

Dermed er $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12$ .

Vi trenger funksjonsverdien og stigningstallet i $x = 1$ .

f (1) = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 - 8 = 1 - 6 + 12 - 8 = - 1

f^{'} (1) = 3 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1 + 12 = 3 - 12 + 12 = 3

Tangentlikningen finner vi ved å bruke ettpunktsformelen $y - y_{1} = f^{'} (x_{1}) (x - x_{1})$ med $(x_{1}, y_{1}) = (1, - 1)$ :

y - (- 1) = 3 (x - 1)

y = 3 x - 3 - 1 = 3 x - 4

Tangenten til $f$ i punktet $(1, f (1))$ har likningen $y = 3 x - 4$ .

To tangenter er parallelle når de har samme stigningstall. Tangenten fra b) har stigningstall $3$ . Vi undersøker om det finnes andre punkter der $f^{'} (x) = 3$ :

3 x^{2} - 12 x + 12 = 3

3 x^{2} - 12 x + 9 = 0

x^{2} - 4 x + 3 = 0

(x - 1) (x - 3) = 0

x = 1 \lor x = 3

Løsningen $x = 1$ er punktet vi allerede kjenner fra b). Løsningen $x = 3$ gir et nytt punkt på grafen der tangenten også har stigningstall $3$ — altså en tangent parallell med tangenten i b).

Vi finner denne tangentens likning. Først funksjonsverdien:

f (3) = 3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 8 = 27 - 54 + 36 - 8 = 1

Tangenten i $(3, 1)$ med stigningstall $3$ :

y - 1 = 3 (x - 3)

y = 3 x - 9 + 1 = 3 x - 8

Ja, grafen til $f$ har én til tangent som er parallell med tangenten i b). Den går gjennom punktet $(3, 1)$ og har likningen $y = 3 x - 8$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomfunksjoner, Derivasjon, Tangent, Vekstfart
Egen side: Åpne oppgave 1-12 for seg selv

Oppgave 1-13Konstruksjon og skisse av formlike rettvinklede trekanter med tangens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Om trekantene $A B C$ og $D E F$ får du vite dette:

$∠ B = ∠ E = 90^{\circ}$
$\tan A = \tan D = \frac{5}{12}$
$A C = 2 D F$

Lag en skisse som viser hvordan trekantene kan se ut. Sett mål på skissen.

Fasit

Trekant $A B C$ er formlik med trekant $D E F$ , og alle sidene i $A B C$ er dobbelt så lange som de tilsvarende sidene i $D E F$ . Et eksempel: $D E = 12$ , $E F = 5$ , $D F = 13$ og $A B = 24$ , $B C = 10$ , $A C = 26$ .

LøsningsforslagKI-generert

Begge trekantene er rettvinklede, med rett vinkel i henholdsvis $B$ og $E$ . Siden $\tan A = \tan D$ , og tangens er en-til-en for vinkler mellom $0 °$ og $90 °$ , må $∠ A = ∠ D$ . To rettvinklede trekanter med en lik spiss vinkel har også lik sum av vinkler, så trekantene $A B C$ og $D E F$ er formlike.

I trekant $A B C$ er $∠ B = 90 °$ , så $A$ og $C$ er de spisse vinklene, med $B C$ motstående katet og $A B$ hosliggende katet til $A$ :

\tan A = \frac{B C}{A B} = \frac{5}{12}

Vi kan derfor sette $B C = 5 k$ og $A B = 12 k$ for en skaleringsfaktor $k > 0$ . Siden $5$ - $12$ - $13$ er en pytagoreisk trippel, blir hypotenusen

A C = \sqrt{{(5 k)}^{2} + {(12 k)}^{2}} = \sqrt{25 k^{2} + 144 k^{2}} = \sqrt{169 k^{2}} = 13 k

Tilsvarende i trekant $D E F$ : $E F = 5 m$ , $D E = 12 m$ , $D F = 13 m$ , for en skaleringsfaktor $m > 0$ .

Vi bruker opplysningen $A C = 2 D F$ :

13 k = 2 \cdot 13 m

k = 2 m

Det betyr at alle sidene i $A B C$ er dobbelt så lange som de tilsvarende sidene i $D E F$ .

Vi velger for eksempel $m = 1$ . Da får trekant $D E F$ sidene

D E = 12, E F = 5, D F = 13

og trekant $A B C$ (dobbelt så stor) sidene

A B = 24, B C = 10, A C = 26

En skisse av de to trekantene, med rett vinkel i $E$ og $B$ og mål på sidene, kan se slik ut:

Skisse av trekant DEF og trekant ABC

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Trigonometri, Formlike trekanter, Rettvinklet trekant, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-13 for seg selv

Oppgave 1-14Omkrets og areal for sammensatt sirkelfigur på rutenett

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Den blå figuren ovenfor er tegnet på et rutenett. Rutene er kvadratiske med sider $a$ .

Bestem omkretsen av figuren uttrykt ved $a$ .

Bestem arealet av figuren uttrykt ved $a$ .

Fasit

$O = 4 π a$

$A = (π + 2) a^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger origo nede til venstre i figuren, med $x$ -aksen mot høyre og $y$ -aksen oppover. Rutene har side $a$ .

Ved å telle ruter ser vi at figuren er bygd opp av tre sirkler, alle med radius $a$ :

Sirkel 1 har sentrum $C_{1} = (a, a)$ (midt i venstre $2 \times 2$ -rute-blokk).
Sirkel 2 har sentrum $C_{2} = (3 a, a)$ (midt i høyre $2 \times 2$ -rute-blokk).
Hakk-sirkelen har sentrum $C_{3} = (2 a, 0)$ nederst i midten. Bare den øvre halvparten av denne sirkelen (halvsirkelen over $y = 0$ ) er klippet bort fra de to store sirklene — det er dette som lager den hvite “bukten” nederst i figuren.

Avstanden mellom $C_{1}$ og $C_{2}$ er $2 a$ , som er lik summen av radiene $a + a$ . De to store sirklene tangerer altså hverandre, i punktet $T = (2 a, a)$ .

Nøkkelobservasjon: Punktene $C_{1} = (a, a)$ , $T = (2 a, a)$ , $C_{3} = (2 a, 0)$ og $B_{1} = (a, 0)$ er fire hjørner i én og samme rute i rutenettet — altså et kvadrat med side $a$ . Siden $C_{1} T = C_{1} B_{1} = a$ (radius i sirkel 1) og $C_{3} T = C_{3} B_{1} = a$ (radius i hakk-sirkelen), ligger $T$ og $B_{1}$ på begge disse sirklene. Det betyr at hakk-sirkelen skjærer sirkel 1 nøyaktig i punktene $T$ og $B_{1}$ , og vinkelen $∠ T C_{1} B_{1} = 90 °$ (hjørnevinkelen i kvadratet). Buen på sirkel 1 mellom $T$ og $B_{1}$ (den som vender inn mot hakket) er derfor nøyaktig en kvart sirkelbue, og denne kvartsirkelen blir byttet ut med en tilsvarende kvart bue på hakk-sirkelen. Det samme skjer symmetrisk med sirkel 2 og punktet $B_{2} = (3 a, 0)$ .

Omkrets. Hver av de to store sirklene bidrar med $\frac{3}{4}$ av sin egen omkrets til figurens ytterkant (den siste kvart-buen er byttet ut med hakkets bue):

2 \cdot \frac{3}{4} \cdot 2 π a = 3 π a

De to kvart-buene som er byttet ut, ligger begge på hakk-sirkelen, og til sammen utgjør de nøyaktig halve omkretsen av hakk-sirkelen (fra $B_{1}$ via $T$ til $B_{2}$ ):

\frac{1}{2} \cdot 2 π a = π a

Total omkrets av figuren:

O = 3 π a + π a = 4 π a

Omkretsen av figuren er $O = 4 π a$ .

Areal. Vi finner først arealet som klippes bort fra sirkel 1 av hakket. Dette området (en “linse”) er formet av to sirkelsegmenter — ett fra sirkel 1 og ett fra hakk-sirkelen — som deler samme korde $T B_{1}$ .

Sektoren i sirkel 1 med sentervinkel $90 °$ og radius $a$ har areal

A_{sektor} = \frac{90}{360} \cdot π a^{2} = \frac{π a^{2}}{4}

Trekanten $C_{1} T B_{1}$ er rettvinklet og likebeint med katetlengde $a$ (siden $∠ T C_{1} B_{1} = 90 °$ og $C_{1} T = C_{1} B_{1} = a$ ), så

A_{△} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^{2}}{2}

Sirkelsegmentet (arealet mellom korden $T B_{1}$ og buen) er da

A_{segment} = A_{sektor} - A_{△} = \frac{π a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}

Av symmetri er segmentet fra hakk-sirkelen like stort. Det bortklipte “linse”-arealet fra sirkel 1 er summen av de to segmentene:

A_{lense} = 2 (\frac{π a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}) = \frac{π a^{2}}{2} - a^{2}

Arealet av sirkel 1 minus det som klippes bort av hakket:

π a^{2} - (\frac{π a^{2}}{2} - a^{2}) = \frac{π a^{2}}{2} + a^{2}

Det samme gjelder for sirkel 2. Siden sirkel 1 og sirkel 2 bare tangerer hverandre (ingen felles areal), blir totalarealet av figuren

A = 2 (\frac{π a^{2}}{2} + a^{2}) = π a^{2} + 2 a^{2} = (π + 2) a^{2}

Arealet av figuren er $A = (π + 2) a^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-14 for seg selv

Oppgave 2-1Tredjegradsmodell for vekst i Wikipedia-artikler med graftegner og derivasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Antall tusen artikler i den engelske utgaven av Wikipedia $x$ år etter 1. januar 2002 er tilnærmet gitt ved funksjonen $f$ der

f (x) = - 2,34 x^{3} + 50 x^{2} + 129 x + 19,7, x \in [0, 15]

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $x \in [0, 15]$ .

Kalkulator

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen $f$ i intervallet $[0, 15]$ .

Krever PC

Bestem $f^{'} (x)$ og tegn grafen til den deriverte for $x \in ⟨ 0, 15 ⟩$ .

Kalkulator

Bestem toppunktet til grafen du tegnet i oppgave c).

Hvilken praktisk informasjon gir grafen til $f^{'}$ og koordinatene til toppunktet på denne grafen oss?

Fasit

Se graf under.

$352,5 tusen artikler/år$

$f^{'} (x) = - 7,02 x^{2} + 100 x + 129$ . Se graf under.

Toppunkt $(7,12; 485,13)$ – se tolkning under.

LøsningsforslagKI-generert

Vi taster inn funksjonen

f (x) = - 2,34 x^{3} + 50 x^{2} + 129 x + 19,7, x \in [0, 15]

i et graftegningsverktøy og får grafen under.

Grafen til f(x) for x mellom 0 og 15

Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ på intervallet $[0, 15]$ er stigningstallet til sekantlinja gjennom endepunktene på grafen, altså

\frac{f (15) - f (0)}{15 - 0}

Vi finner funksjonsverdiene:

f (0) = 19,7 f (15) = - 2,34 \cdot 15^{3} + 50 \cdot 15^{2} + 129 \cdot 15 + 19,7 = 5307,2

Dette gir

\frac{f (15) - f (0)}{15} = \frac{5307,2 - 19,7}{15} = \frac{5287,5}{15} = 352,5

$Gjennomsnittlig vekstfart = 352,5 tusen artikler per år$ – i gjennomsnitt vokste den engelske Wikipedia-utgaven med om lag $352500$ artikler i året i perioden 2002–2017.

Vi deriverer $f$ ledd for ledd:

f^{'} (x) = - 2,34 \cdot 3 x^{2} + 50 \cdot 2 x + 129 = - 7,02 x^{2} + 100 x + 129

Dette er bekreftet med CAS: Derivert(f, x) gir $- \frac{351}{50} x^{2} + 100 x + 129 = - 7,02 x^{2} + 100 x + 129$ .

Vi tegner grafen til $f^{'}$ for $x \in ⟨ 0, 15 ⟩$ :

Grafen til f'(x) for x mellom 0 og 15, med toppunkt markert

Grafen til $f^{'}$ er en nedovervendt parabel, og toppunktet finner graftegneren til

T = (7,12; 485,13)

Toppunktet er $(7,12; 485,13)$ .

Praktisk tolkning: Grafen til $f^{'}$ viser hvor raskt antall Wikipedia-artikler vokser (den momentane vekstfarten) på hvert tidspunkt $x$ . Toppunktet forteller at vekstfarten var størst omtrent $7,12$ år etter 1. januar 2002, altså rundt begynnelsen av 2009, og at veksten da var på sitt raskeste med omtrent $485 130$ nye artikler i året. Før dette tidspunktet økte veksten stadig raskere, og etter dette tidspunktet avtok veksttakten (selv om antall artikler fortsatt økte, bare saktere).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Polynomfunksjoner, Regresjon, Derivasjon, Vekstfart, Graftegner
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Sannsynlighet for feilfrie og defekte julekuler uten tilbakelegging

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en eske ligger det tre hvite og ni røde julekuler. Én av de hvite og fire av de røde kulene er ødelagt.

Tenk deg at du skal ta to kuler tilfeldig fra esken.

Krever PC

Bestem sannsynligheten for at du kommer til å ta to kuler som ikke er ødelagt.

Krever PC

Bestem sannsynligheten for at minst én av kulene du kommer til å ta, er ødelagt.

Fasit

$P = \frac{7}{22} \approx 0,318$

$P = \frac{15}{22} \approx 0,682$

LøsningsforslagKI-generert

Esken inneholder til sammen $12$ kuler: $3$ hvite og $9$ røde.

Av disse er $1 + 4 = 5$ kuler ødelagt, og de resterende $12 - 5 = 7$ kulene er feilfrie.

Vi trekker to kuler uten tilbakelegging, og bruker produktregelen (multiplikasjonsprinsippet). Sannsynligheten for at den første kulen er feilfri, er

P (1. feilfri) = \frac{7}{12}

Når den første kulen er feilfri, er det igjen $6$ feilfrie kuler av totalt $11$ kuler i esken. Sannsynligheten for at også den andre kulen er feilfri, blir dermed

P (2. feilfri | 1. feilfri) = \frac{6}{11}

Sannsynligheten for at begge kulene er feilfrie, er da

P (begge feilfrie) = \frac{7}{12} \cdot \frac{6}{11} = \frac{42}{132} = \frac{7}{22} \approx 0,318

$P = \frac{7}{22} \approx 0,318$

Hendelsen «minst én av kulene er ødelagt» er den komplementære hendelsen til «ingen av kulene er ødelagt» (som er det samme som «begge kulene er feilfrie»), som vi fant i a).

P (minst én ødelagt) = 1 - P (begge feilfrie) = 1 - \frac{7}{22} = \frac{15}{22} \approx 0,682

$P = \frac{15}{22} \approx 0,682$

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Beregning av fjellhøyde med vinkelmålinger og tangens

Krever PC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Magnus og Monika står på en horisontal slette 100 m og 240 m fra foten av et fjell. De måler vinklene som er gitt på figuren ovenfor.

Bestem høyden $h$ av fjellet.

Fasit

$h \approx 260,6 m$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være den vannrette avstanden fra foten av fjellet til punktet rett under toppen (slik $x$ er merket på figuren). Monika står da $100 + x$ meter fra dette punktet, og Magnus står $240 + x$ meter fra det, siden Monika er $100 m$ og Magnus er $240 m$ fra foten av fjellet.

Både Monika og Magnus, foten av $h$ og toppen av fjellet danner hver sin rettvinklede trekant med $h$ som motstående katet til vinkelen de måler, og $100 + x$ (for Monika) eller $240 + x$ (for Magnus) som hosliggende katet. Da gir tangens:

\tan (50 °) = \frac{h}{100 + x} \tan (36 °) = \frac{h}{240 + x}

Dette gir likningssystemet

h = (100 + x) \tan (50 °) h = (240 + x) \tan (36 °)

Vi løser systemet med CAS i GeoGebra.

Løsning av likningssystemet i GeoGebra CAS

CAS gir $h \approx 260,57066$ .

Vi setter opp uttrykket direkte i CAS:

h = (100 + \frac{240 \tan (36 °) - 100 \tan (50 °)}{\tan (50 °) - \tan (36 °)}) \tan (50 °) \approx 260,57 m

Fjellet er altså omtrent $260,6 m$ høyt.

Svar: $h \approx 260,6 m$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Trigonometri, Rettvinklet trekant, Likningssystem
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Eksakt omkrets og areal til firkant ved cosinussetningen og trekantoppdeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt firkanten $A B C D$ ovenfor. $A B = 8$ , $B C = 12$ og $C D = 8 \sqrt{3}$ .

Krever PC

Bestem omkretsen av firkanten $A B C D$ eksakt.

Krever PC

Bestem arealet av firkanten $A B C D$ eksakt.

Fasit

$O = 24 + 8 \sqrt{3}$

$A = 32 \sqrt{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi trekker diagonalen $B D$ . Da deles firkanten $A B C D$ i to trekanter, $△ B C D$ og $△ A B D$ , og vi kan bruke cosinussetningen og sinussetningen på hver av dem.

Finner $B D$ i $△ B C D$

I $△ B C D$ kjenner vi $B C = 12$ , $C D = 8 \sqrt{3}$ og vinkelen $C = 30 °$ mellom dem. Cosinussetningen gir

B D^{2} = B C^{2} + C D^{2} - 2 \cdot B C \cdot C D \cdot \cos C

B D^{2} = 12^{2} + {(8 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot 12 \cdot 8 \sqrt{3} \cdot \cos 30 °

B D^{2} = 144 + 192 - 192 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 336 - 288 = 48

B D = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}

Finner $A D$ i $△ A B D$

I $△ A B D$ kjenner vi nå $A B = 8$ , $B D = 4 \sqrt{3}$ og vinkelen $A = 60 °$ mellom $A B$ og $A D$ . Cosinussetningen gir

B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos A

48 = 8^{2} + A D^{2} - 2 \cdot 8 \cdot A D \cdot \cos 60 °

48 = 64 + A D^{2} - 8 \cdot A D

A D^{2} - 8 \cdot A D + 16 = 0

Dette er et andregradsuttrykk som er en fullstendig kvadrat, ${(A D - 4)}^{2} = 0$ , så

A D = 4

Omkretsen

O = A B + B C + C D + D A = 8 + 12 + 8 \sqrt{3} + 4 = 24 + 8 \sqrt{3} \approx 37,9

Utregningen er verifisert i GeoGebra CAS, se utklippet under.

Beregning av BD, AD, omkrets og areal i GeoGebra CAS

Arealet av firkanten er summen av arealet til de to trekantene, som begge kan regnes ut med arealformelen $A = \frac{1}{2} a b \sin C$ .

Areal av $△ B C D$ :

A_{B C D} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot C D \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \sqrt{3} \cdot \sin 30 ° = 48 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 24 \sqrt{3}

Areal av $△ A B D$ :

A_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A D \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot \sin 60 ° = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3}

Totalt areal:

A = A_{B C D} + A_{A B D} = 24 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} = 32 \sqrt{3} \approx 55,4 a . e .

Se samme GeoGebra CAS-utklipp over for kontroll av delarealene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Cosinussetningen, Sinussetningen, Trigonometri, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Bunnpunkt og tangenters skjæringspunkt for generell parabel med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 3

Kalkulator

Forklar at grafen til $f$ har et bunnpunkt, og bestem koordinatene til bunnpunktet.

For hånd

En funksjon $g$ er gitt ved

g (x) = a x^{2} + b x + c, a > 0

Bruk CAS til å vise at bunnpunktet på grafen til $g$ har koordinater

(- \frac{b}{2 a}, \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a})

For hånd

En linje tangerer grafen til $g$ i punktet $S (s, g (s))$ . En annen linje tangerer grafen til $g$ i punktet $T (t, g (t))$ . De to linjene skjærer hverandre i punktet $P$ . Se figuren ovenfor.

Bruk CAS til å vise at $x$ -koordinaten til $P$ ligger midt mellom $s$ og $t$ .

Fasit

$(1,75, - 3,125)$

Vist med CAS, se utregning

Vist med CAS at $x_{P} = \frac{s + t}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen til $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 3$ er en parabel, siden $f$ er et andregradsuttrykk. Koeffisienten foran $x^{2}$ er $a = 2 > 0$ , og da vender parabelen den hule siden opp. Det betyr at grafen har et bunnpunkt (minimumspunkt), ikke et toppunkt.

$x$ -koordinaten til bunnpunktet finner vi med formelen

x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = 1,75

$y$ -koordinaten finner vi ved å sette $x = \frac{7}{4}$ inn i $f$ :

f (\frac{7}{4}) = 2 \cdot {(\frac{7}{4})}^{2} - 7 \cdot \frac{7}{4} + 3 = \frac{49}{8} - \frac{49}{4} + 3 = - \frac{25}{8} = - 3,125

Bunnpunktet til grafen til $f$ er dermed $(1,75, - 3,125)$ .

Vi definerer $g (x) = a x^{2} + b x + c$ i CAS og deriverer for å finne $x$ -koordinaten til bunnpunktet: $g^{'} (x) = 2 a x + b$ . Bunnpunktet er der $g^{'} (x) = 0$ , som gir $x = - \frac{b}{2 a}$ . Setter vi dette inn i $g (x)$ og forenkler, får CAS

g (- \frac{b}{2 a}) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a}

Dette viser at bunnpunktet på grafen til $g$ har koordinater

(- \frac{b}{2 a}, \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a})

slik oppgaven ba om å vise.

CAS-utregning av bunnpunkt og tangentskjæring

Tangentlinjen til $g$ i punktet $S (s, g (s))$ har stigningstall $g^{'} (s)$ , og likningen (ettpunktsformelen) er

t_{S} (x) = g (s) + g^{'} (s) (x - s)

Tilsvarende har tangentlinjen i $T (t, g (t))$ likningen

t_{T} (x) = g (t) + g^{'} (t) (x - t)

I CAS-utklippet ovenfor (linje 5 og 6) forenkler dette seg til

t_{S} (x) = - a s^{2} + 2 a s x + b x + c t_{T} (x) = - a t^{2} + 2 a t x + b x + c

Skjæringspunktet $P$ finner vi ved å løse $t_{S} (x) = t_{T} (x)$ med hensyn på $x$ . CAS gir (linje 7)

x = \frac{1}{2} s + \frac{1}{2} t = \frac{s + t}{2}

Dette er nettopp midtpunktet mellom $s$ og $t$ , så $x$ -koordinaten til $P$ ligger midt mellom $s$ og $t$ , uavhengig av hvilke verdier $a$ , $b$ , $c$ , $s$ og $t$ har.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Andregradsfunksjon, Derivasjon, Tangent, CAS, Stasjonære punkter
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 14 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Standardform for brøk med store tall og desimaltall

Oppgave 1-2·Grafisk løsning av lineær likning med to rette linjer

Oppgave 1-3·Andregradsulikhet løst med faktorisering og fortegnsskjema

Oppgave 1-4·Sortering av trigonometriske verdier og logaritmer i stigende rekkefølge

Oppgave 1-5·Logaritmelikning med tierlogaritme og brøkledd

Oppgave 1-6·Forenkling av brøkuttrykk med kvadratrøtter i teller og nevner

Oppgave 1-7·Forenkling av uttrykk med røtter og rasjonale eksponenter

Oppgave 1-8·Bestemmelse av lineær funksjon ut fra funksjonsverdi og derivert

Oppgave 1-9·Faktorisering og sammentrekning av rasjonale uttrykk

Oppgave 1-10·Betinget sannsynlighet for fagvalg i parallelle klasser

Oppgave 1-11·Gjennomsnittlig vekstfart og terrassepunkt for fjerdegradsfunksjon

Oppgave 1-12·Tangent og parallelle tangenter for tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-13·Konstruksjon og skisse av formlike rettvinklede trekanter med tangens

Oppgave 1-14·Omkrets og areal for sammensatt sirkelfigur på rutenett

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Tredjegradsmodell for vekst i Wikipedia-artikler med graftegner og derivasjon

Oppgave 2-2·Sannsynlighet for feilfrie og defekte julekuler uten tilbakelegging

Oppgave 2-3·Beregning av fjellhøyde med vinkelmålinger og tangens

Oppgave 2-4·Eksakt omkrets og areal til firkant ved cosinussetningen og trekantoppdeling

Oppgave 2-5·Bunnpunkt og tangenters skjæringspunkt for generell parabel med CAS

Temaer

Oppgave 1-1Standardform for brøk med store tall og desimaltall

Oppgave 1-2Grafisk løsning av lineær likning med to rette linjer

Oppgave 1-3Andregradsulikhet løst med faktorisering og fortegnsskjema

Oppgave 1-4Sortering av trigonometriske verdier og logaritmer i stigende rekkefølge

Oppgave 1-5Logaritmelikning med tierlogaritme og brøkledd

Oppgave 1-6Forenkling av brøkuttrykk med kvadratrøtter i teller og nevner

Oppgave 1-7Forenkling av uttrykk med røtter og rasjonale eksponenter

Oppgave 1-8Bestemmelse av lineær funksjon ut fra funksjonsverdi og derivert

Oppgave 1-9Faktorisering og sammentrekning av rasjonale uttrykk

Oppgave 1-10Betinget sannsynlighet for fagvalg i parallelle klasser

Oppgave 1-11Gjennomsnittlig vekstfart og terrassepunkt for fjerdegradsfunksjon

Oppgave 1-12Tangent og parallelle tangenter for tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-13Konstruksjon og skisse av formlike rettvinklede trekanter med tangens

Oppgave 1-14Omkrets og areal for sammensatt sirkelfigur på rutenett

Oppgave 2-1Tredjegradsmodell for vekst i Wikipedia-artikler med graftegner og derivasjon

Oppgave 2-2Sannsynlighet for feilfrie og defekte julekuler uten tilbakelegging

Oppgave 2-3Beregning av fjellhøyde med vinkelmålinger og tangens

Oppgave 2-4Eksakt omkrets og areal til firkant ved cosinussetningen og trekantoppdeling

Oppgave 2-5Bunnpunkt og tangenters skjæringspunkt for generell parabel med CAS