1T Vår 2015

Vi deler tallene for seg og tierpotensen for seg:

Tallet $2500$ er ikke på standardform, så vi skriver $2500=\mathrm{2,5}\cdot {10}^3$:

Vi løser med innsettingsmetoden. Fra den første likningen uttrykker vi $x$ ved $y$:

Setter vi dette inn i den andre likningen:

Setter vi $y=1$ inn i uttrykket for $x$:

Kontroll: $2\cdot (-5)+4\cdot 1=-10+4=-6$ ✓

Vi faktoriserer venstre side. Vi leter etter to tall som multiplisert gir $-10$ og summert gir $-3$: tallene $-5$ og $2$ passer.

Ulikheten blir dermed

Nullpunktene til faktorene er $x=5$ og $x=-2$. Vi setter opp fortegnsskjema:

Produktet er positivt når $x<-2$ eller $x>5$.

a)

Vi forenkler hvert ledd for seg:

$$4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2,8^0=1,2^{-1}=\frac{1}{2},\sqrt[4]{16}=2$$

Vi setter inn og regner ut produktet:

$$4^{\frac{1}{2}}\cdot 8^0\cdot 2^{-1}\cdot \sqrt[4]{16}=2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=2$$

$$\underline{\underline{2}}$$

b)

Vi bruker regelen $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ og ${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}$:

$$\sqrt{18}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{18\cdot 2}=\sqrt{36}=6$$

$$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{72}{8}}=\sqrt{9}=3$$

Summen blir

$$\sqrt{18}\cdot \sqrt{2}+\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}=6+3=9$$

$$\underline{\underline{9}}$$

Vi bruker at $\lg (a)=b⟺a={10}^b$:

Kontroll av definisjonsmengde: Vi må ha $x^2-\mathrm{0,9}>0$. For begge løsningene er $x^2=1$, som gir $1-\mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}>0$. Begge løsningene er dermed gyldige.

Et fullstendig kvadrat på formen $x^2+bx+c$ kan skrives som ${(x+k)}^2$ for et tall $k$. Vi kvadrerer ut parentesen:

Sammenligner vi dette med $x^2+bx+16$, ser vi at

Fra $k^2=16$ får vi $k=4$ eller $k=-4$.

Setter vi inn i $b=2k$:

Vi kan sjekke svarene: $x^2+8x+16={(x+4)}^2$ og $x^2-8x+16={(x-4)}^2$, som begge er fullstendige kvadrat.

$\underline{\underline{b=8\text{ eller }b=-8}}$

Begge leddene inneholder faktoren $(x-2)$, så vi faktoriserer den ut:

Vi forenkler innholdet i den siste parentesen:

Dermed står vi igjen med

$\underline{\underline{2-x}}$

Vi faktoriserer telleren og nevneren hver for seg.

Telleren er et fullstendig kvadrat (annen kvadratsetning):

I nevneren trekker vi først ut felles faktor $2$, og bruker deretter konjugatsetningen:

Brøken blir da

Vi forkorter med den felles faktoren $(x-6)$, forutsatt $x\ne 6$:

$\underline{\underline{{\displaystyle \frac{x-6}{2(x+6)}}}}$

Linjen har likningen $y=ax+b$. Vi finner først stigningstallet $a$ ved å bruke de to punktene $(-1,2)$ og $(3,4)$:

Vi setter inn stigningstallet og punktet $(-1,2)$ for å finne konstantleddet $b$:

Likningen for linjen er dermed

Vi kan sjekke med det andre punktet $(3,4)$: $\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{5}{2}=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$. ✓

$\underline{\underline{y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}}}$

a)

I $\mathrm{\Delta }ABC$ er det rett vinkel i $B$, $\angle A=30°$ og $\angle C=60°$. Hypotenusen er $AC=2$, og kateten $BC=1$ ligger motstående vinkel $A$.

Vi finner $AB$ (den andre kateten) ved Pytagoras’ setning:

$$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$$

$$A{B}^2=A{C}^2-B{C}^2=2^2-1^2=4-1=3$$

$$AB=\sqrt{3}$$

I $\mathrm{\Delta }DEF$ er det rett vinkel i $E$, og de to andre vinklene er begge $45°$, så trekanten er likebeint med kateter $DE=EF=1$. Hypotenusen $DF$ finner vi med Pytagoras’ setning:

$$D{F}^2=D{E}^2+E{F}^2=1^2+1^2=2$$

$$DF=\sqrt{2}$$

b)

Vi bruker definisjonene $\sin u={\displaystyle \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}}$, $\cos u={\displaystyle \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}}$ og $\tan u={\displaystyle \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}}$.

For $u=30°$ (vinkel $A$ i $\mathrm{\Delta }ABC$): motstående katet er $BC=1$, hosliggende katet er $AB=\sqrt{3}$, og hypotenusen er $AC=2$.

$$\sin 30°=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$$

$$\tan 30°=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

($\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ var oppgitt.)

For $u=45°$ (vinkel $D$ i $\mathrm{\Delta }DEF$): motstående katet er $EF=1$, hosliggende katet er $DE=1$, og hypotenusen er $DF=\sqrt{2}$.

$$\cos 45°=\frac{DE}{DF}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\tan 45°=\frac{EF}{DE}=\frac{1}{1}=1$$

($\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$ var oppgitt.)

For $u=60°$ (vinkel $C$ i $\mathrm{\Delta }ABC$): motstående katet er $AB=\sqrt{3}$, hosliggende katet er $BC=1$, og hypotenusen er $AC=2$.

$$\sin 60°=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos 60°=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$$

($\tan 60°=\sqrt{3}$ var oppgitt.)

Fullstendig tabell:

$u$	$\sin u$	$\cos u$	$\tan u$
$30\degree$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45\degree$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60\degree$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

Vi har til sammen $2+3+4=9$ flasker, og du trekker $2$ av dem uten tilbakelegging. Antall måter å trekke $2$ flasker av $9$ på er

Dette er nevneren i alle deloppgavene.

a)

At du ikke tar en «Jump»-smoothie betyr at begge flaskene må komme fra de $2+4=6$ flaskene som er «Surf» eller «Catch». Antall gunstige utfall er

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)=\frac{6\cdot 5}{2}=15$$

Sannsynligheten blir

$$P(\text{ikke Jump})=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$$

b)

Én «Surf» og én «Catch» kan velges på $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{1}\right)=2\cdot 4=8$ måter. Sannsynligheten blir

$$P(\text{Surf og Catch})=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$$

c)

To like flasker kan enten være to «Surf», to «Jump» eller to «Catch»:

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{2}\right)=1+3+6=10$$

Sannsynligheten blir

$$P(\text{to like})=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$$

a)

Skjæring med $x$-aksen finner vi ved å løse $f(x)=0$:

$$-2x^2+4x+6=0$$

Vi deler begge sider med $-2$:

$$x^2-2x-3=0$$

Vi faktoriserer ved å finne to tall som har sum $-2$ og produkt $-3$: tallene er $-3$ og $1$.

$$(x-3)(x+1)=0$$

Dette gir $x=3$ eller $x=-1$. Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i punktene $(-1,0)$ og $(3,0)$.

Skjæring med $y$-aksen finner vi ved å sette $x=0$:

$$f(0)=-2\cdot 0^2+4\cdot 0+6=6$$

Grafen skjærer $y$-aksen i punktet $(0,6)$.

b)

Vi finner toppunktet til parabelen ved symmetrilinjen mellom nullpunktene, $x={\displaystyle \frac{-1+3}{2}}=1$:

$$f(1)=-2\cdot 1^2+4\cdot 1+6=8$$

Toppunktet er $(1,8)$. Vi tegner grafen som en parabel som vender grenene nedover (siden koeffisienten foran $x^2$ er negativ), gjennom punktene $(-1,0)$, $(0,6)$, $(1,8)$, $(2,6)$ og $(3,0)$, for $x\in [-2,4]$.

c)

Vi tegner grafen til $g(x)=2x+2$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$ (se skissen over). Likningen $f(x)=g(x)$ løses grafisk ved å lese av $x$-koordinatene der de to grafene skjærer hverandre.

Av skissen ser vi at grafene skjærer hverandre i punktene $(-1,0)$ og $(2,6)$. Løsningen av likningen $f(x)=g(x)$ er dermed

$$x=-1\text{eller}x=2$$

La $r$ være jordas radius (avstanden fra jordas sentrum til ekvator). Siden tauet er strammet rundt ekvator, er lengden av tauet lik omkretsen av jorda:

Når tauet forlenges med $20\mathrm{m}$ og formes til en ny sirkel med samme sentrum, får den nye sirkelen en radius $R$ slik at omkretsen er $20\mathrm{m}$ lengre:

Vi løser for $R$:

Avstanden $h$ mellom det gamle og det nye tauet (klaringen mellom tauet og bakken) blir da

Det avgjørende er at jordas radius $r$ faller bort i utregningen — klaringen på ${\displaystyle \frac{10}{\pi }}\mathrm{m}$ blir dermed den samme uansett hvor stor sirkelen (planeten) er.

Siden $\mathrm{3,18}\mathrm{m}$ er klart mer enn høyden til et menneske (som normalt er under $2\mathrm{m}$), vil du kunne gå rett under tauet uten å bøye deg.

a)

Funksjonen er

$$f(x)=80\cdot {\mathrm{1,045}}^x$$

Her svarer $x=0$ til 31. mars. Antall «liker» før 1. april er derfor

$$f(0)=80\cdot {\mathrm{1,045}}^0=80\cdot 1=80$$

Vekstfaktoren er $\mathrm{1,045}=1+\mathrm{0,045}$. Det betyr at antall «liker» øker med $\mathrm{4,5}\%$ per dag.

$\underline{\underline{80\text{ personer hadde klikket «liker», og antallet øker med }\mathrm{4,5}\%\text{ per dag}}}$

b)

31. mars er $x=0$. April har 30 dager og mai har 31 dager, så utgangen av mai svarer til

$$x=30+31=61$$

Vi løser $f(x)=1000$ og regner ut $f(61)$ i GeoGebra CAS:

Fra utklippet:

$$f(x)=1000\Rightarrow x\approx \mathrm{57,4}$$

$$f(61)\approx 1173$$

Siden $x\approx \mathrm{57,4}<61$, passerer antall «liker» 1000 før utgangen av mai — omtrent 57 dager etter 31. mars, det vil si rundt 27. mai. Sjekken $f(61)\approx 1173>1000$ bekrefter dette.

$\underline{\underline{\text{Ja, antall «liker» passerer 1000 i løpet av mai (rundt 27. mai)}}}$

c)

Fra samme utklipp:

$$f(16)\approx \mathrm{161,8}\approx 162$$

$$f^{\prime }(16)\approx \mathrm{7,12}$$

$f(16)\approx 162$ betyr at 16. april hadde omtrent 162 personer klikket «liker» på siden.

$f^{\prime }(16)\approx \mathrm{7,12}$ betyr at 16. april økte antall «liker» med omtrent $\mathrm{7,12}$ personer per dag — det er stigningstallet til tangenten til grafen i punktet der $x=16$.

$\underline{\underline{f(16)\approx 162\text{ personer},f^{\prime }(16)\approx \mathrm{7,12}\text{ personer per dag}}}$

Diagonalen $BD$ deler firkanten $ABCD$ i to trekanter: $△ABD$ og $△BCD$. Vi finner sidene i hver trekant med sinussetningen.

Trekant $BCD$

Trekanten har en rett vinkel i $C$, altså $\angle C=90°$, og $\angle BDC=30°$ (vinkelen ved $D$, mellom $DC$ og diagonalen $DB$). Vinkelsummen gir

Hypotenusen $BD=8$ ligger motsatt den rette vinkelen $C$. Sinussetningen gir

Trekant $ABD$

Vinkelen ved $A$ er $\angle A=30°$, og vinkelen ved $B$ mellom diagonalen $BD$ og siden $BA$ er $\angle ABD=45°$. Vinkelsummen gir

Siden $BD=8$ ligger motsatt $\angle A$, gir sinussetningen

Vi kontrollerer utregningene i CAS:

Sidene i firkanten $ABCD$ er dermed

a)

Vi taster inn funksjonen $f(x)=x^3-6x^2+3x+18$ i et graftegningsprogram og bruker verktøyene for nullpunkt og ekstremalpunkt.

Av grafen leser vi av:

• Nullpunkter: $x\approx -\mathrm{1,37}$, $x=3$, $x\approx \mathrm{4,37}$
• Toppunkt: $\approx (\mathrm{0,27},\mathrm{18,39})$
• Bunnpunkt: $\approx (\mathrm{3,73},-\mathrm{2,39})$

b)

Vi bruker CAS til å løse $f(x)=0$, derivere $f$ og løse $f^{\prime }(x)=0$ for å finne eksakte verdier.

Nullpunkter. CAS gir (linje 2)

$$x=\frac{3-\sqrt{33}}{2},x=3,x=\frac{3+\sqrt{33}}{2}$$

Ekstremalpunkter. Den deriverte er $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+3$ (linje 3), og $f^{\prime }(x)=0$ gir (linje 4)

$$x=2-\sqrt{3}\text{eller}x=2+\sqrt{3}$$

Innsatt i $f$ (linje 5 og 6) får vi

$$f(2-\sqrt{3})=6\sqrt{3}+8\text{og}f(2+\sqrt{3})=-6\sqrt{3}+8$$

Siden $f^{\prime }$ skifter fortegn fra pluss til minus i $x=2-\sqrt{3}$, er dette et toppunkt. Tilsvarende skifter $f^{\prime }$ fra minus til pluss i $x=2+\sqrt{3}$, så dette er et bunnpunkt.

Toppunkt: $(2-\sqrt{3},6\sqrt{3}+8)$ Bunnpunkt: $(2+\sqrt{3},-6\sqrt{3}+8)$

c)

Tangentene har stigningstall $3$, altså er $f^{\prime }(x)=3$. Vi løser dette i CAS (linje 7 i utklippet over):

$$f^{\prime }(x)=3\Rightarrow x=0\text{eller}x=4$$

Vi finner berøringspunktene ved å regne ut $f(0)$ og $f(4)$ (linje 8 og 9):

$$f(0)=18,f(4)=-2$$

Tangent i $x=0$: Berøringspunktet er $(0,18)$, og likningen for tangenten blir

$$y=f(0)+3(x-0)=3x+18$$

Tangent i $x=4$: Berøringspunktet er $(4,-2)$, og likningen for tangenten blir

$$y=f(4)+3(x-4)=-2+3x-12=3x-14$$

De to tangentlikningene er $\underline{\underline{y=3x+18}}$ og $\underline{\underline{y=3x-14}}$.

d)

Vi tegner de to tangentene $t_1(x)=3x+18$ (rød) og $t_2(x)=3x-14$ (blå) i samme koordinatsystem som grafen til $f$.

Vi ser at $t_1$ tangerer grafen i toppunktsområdet nær $x=0$, og $t_2$ tangerer grafen nær bunnpunktet ved $x=4$, i tråd med at $f^{\prime }(x)=3$ nettopp i disse to punktene.

Vi lar $s$ være antall små kuleis og $t$ være antall store kuleis Ida solgte denne dagen.

Likning 1 – penger

En liten kuleis koster $24$ kroner, og en stor koster $32$ kroner. Til sammen solgte Ida kuleis for $2752$ kroner:

Likning 2 – iskrem

En liten kuleis har 2 iskremkuler, en stor har 3 iskremkuler, og 12 kuler tilsvarer 1 L iskrem. Ida brukte 20 L iskrem, altså $20\cdot 12=240$ iskremkuler i alt:

Løser likningssettet

Vi løser likningssettet i CAS i GeoGebra:

Dette gir $s=72$ og $t=32$.

Kontroll: $24\cdot 72+32\cdot 32=1728+1024=2752\mathrm{kr}$, og $2\cdot 72+3\cdot 32=144+96=240$ iskremkuler ($=20\mathrm{L}$). Begge likningene stemmer.

Ida solgte altså $t=32$ store kuleis denne dagen.

Svar: $\underline{\underline{t=32\text{ store kuleis}}}$

Vi setter $AD=a$. Da er radien i den store sirkelen

Siden $B$ og $C$ deler $AD$ i tre like store deler, er

Hvordan det svarte området er bygd opp

Buene i figuren er halvsirkler med to ulike radier:

• To store halvsirkler har radius $r_1={\displaystyle \frac{a}{3}}$: én med diameter $AC$ (sentrum i $B$), som buler oppover, og én med diameter $BD$ (sentrum i $C$), som buler nedover.
• To små halvsirkler har radius $r_2={\displaystyle \frac{a}{6}}$: én med diameter $AB$ (sentrum i midtpunktet på $AB$), som buler oppover nær $A$, og én med diameter $CD$ (sentrum i midtpunktet på $CD$), som buler nedover nær $D$.

Alle de fire små og store halvsirklene er tangentielt innskrevet i den store sirkelen i henholdsvis $A$ eller $D$, siden avstanden mellom sentrene alltid er $R-r$.

Ser vi på figuren, er de to små halvsirklene (radius $r_2$, nær $A$ og $D$) hvite — de er “hull” som er klippet ut av de store halvsirklene. Det svarte, S-formede området er altså den store halvsirkelen med diameter $AC$ minus den lille halvsirkelen med diameter $AB$ (en hvit “månesigd” ved $A$), sammen med den store halvsirkelen med diameter $BD$ minus den lille halvsirkelen med diameter $CD$ (tilsvarende hvit månesigd ved $D$).

Areal av det svarte området

Areal av den store sirkelen

Forholdet

Vi kontrollerer i GeoGebra CAS at arealene og forholdet forenkles uavhengig av $a$:

Det betyr at arealet av sirkelen er $3$ ganger så stort som arealet av det svarte området, altså