1T Høst 2015

Vi skriver $\mathrm{0,0005}$ som en tierpotens:

Da får vi

Svaret er allerede på standardform, siden $1\le 9<10$.

$\underline{\underline{\mathrm{1,8}\cdot {10}^{12}\cdot \mathrm{0,0005}=9\cdot {10}^8}}$

Vi har likningssystemet

Multiplikasjonsmetoden (addisjon). Vi ganger likning (1) med 2, slik at vi kan eliminere $x$:

Vi trekker (2) fra (1’):

Vi setter $y=3$ inn i (1):

Kontroll i (2): $4\cdot 2-2\cdot 3=8-6=2$ ✓

$\underline{\underline{x=2,y=3}}$

Vi har ulikheten

Vi deler begge sider med $-2$. Da må ulikhetstegnet snus:

Vi faktoriserer venstresiden ved å sette $x$ utenfor parentes:

Uttrykket er null når $x=0$ eller $x=3$. Vi setter opp fortegnsskjema for faktorene $x$ og $x-3$:

Vi ser at $x(x-3)>0$ når $x<0$ eller $x>3$.

$\underline{\underline{x<0\text{ eller }x>3}}$

Vi forenkler hvert ledd for seg.

Første ledd:

Andre ledd: Vi skriver $\sqrt{8}$ som $\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$:

Tredje ledd:

Fjerde ledd: Vi bruker regelen ${\displaystyle \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{a}{b}}}$:

Vi setter sammen alle leddene:

$\underline{\underline{-\sqrt{2}}}$

Når $x^2+bx+c=0$ har løsningene $x_1$ og $x_2$, kan vi skrive likningen på faktorisert form:

Vi setter inn $x_1=-4$ og $x_2=2$:

Vi ganger ut parentesene:

Vi sammenlikner med $x^2+bx+c$, og ser at

Kontroll: $x^2+2x-8=0$ gir $x={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}}={\displaystyle \frac{-2\pm 6}{2}}$, altså $x=2$ eller $x=-4$ ✓

$\underline{\underline{b=2,c=-8}}$

Vi legger merke til at $2x-2=2(x-1)$, så fellesnevneren for alle tre leddene er $2(x-1)$.

Vi setter alt over samme brøkstrek og trekker sammen telleren:

Vi faktoriserer telleren og forkorter med $2$:

Uttrykket er definert for $x\ne 1$.

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{x-3}{2x-2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}}}$

Vi faktoriserer teller og nevner hver for seg.

Telleren $x^2-4xy+4y^2$ er en fullstendig kvadratsetning på formen $a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2$ med $a=x$ og $b=2y$:

Nevneren har felles faktor $3y$:

Vi setter faktoriseringene inn og forkorter med felles faktor $(x-2y)$:

Uttrykket er definert for $y\ne 0$ og $x\ne 2y$.

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{x^2-4xy+4y^2}{3xy-6y^2}}={\displaystyle \frac{x-2y}{3y}}}}$

Vi bruker potensregelen $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ på venstre side, siden begge faktorene har grunntall $2$:

Høyre side skrives også som en potens med grunntall $2$: $32=2^5$. Likningen blir da

Når grunntallene er like, må eksponentene være like:

Dette er en andregradslikning som vi faktoriserer. Vi leter etter to tall som ganger sammen gir $-5$ og summert gir $4$: det er $5$ og $-1$.

Svar: $\underline{\underline{x=-5\text{ eller }x=1}}$

Trekanten $ABC$ er rettvinklet i $A$ (markert med rett vinkel-symbol), og vinkel $B=45°$. Vinkelsummen i en trekant er $180°$, så vinkel $C$ blir

Siden $B=C=45°$, er trekanten likebeint med $AB=AC$ (katetene er like lange). Trekanten er altså en likebeint rettvinklet trekant med hypotenus $BC=\sqrt{2}$.

Vi bruker Pytagoras’ setning med $AB=AC=a$:

Katetene er altså $AB=AC=1$. Arealet av en rettvinklet trekant er halvparten av produktet av katetene:

Svar: $\underline{\underline{T={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{a}.\mathrm{e}.}}$

a)

Nullpunktene finner vi ved å løse $f(x)=0$:

$$x^2-x-2=0$$

Vi faktoriserer ved å finne to tall som gir produkt $-2$ og sum $-1$: det er $-2$ og $1$.

$$(x-2)(x+1)=0$$

$$x=2\text{eller}x=-1$$

Svar: $\underline{\underline{x=-1\text{ eller }x=2}}$

b)

Bunnpunktet til en andregradsfunksjon $f(x)=a{x}^2+bx+c$ har $x$-koordinat $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$. Her er $a=1$ og $b=-1$:

$$x=-\frac{-1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}$$

Vi setter $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ inn i $f(x)$:

$$f\left(\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}-2=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2=\frac{1}{4}-\frac{2}{4}-\frac{8}{4}=-\frac{9}{4}$$

Bunnpunktet er dermed $({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{9}{4}})$, som skulle vises. $■$

c)

Vi trenger $f(2)$ og stigningstallet $f^{\prime }(2)$.

$$f(2)=2^2-2-2=0$$

Punktet er altså $(2,0)$ — dette er for øvrig samme punkt som nullpunktet fra oppgave a).

Vi deriverer $f$:

$$f^{\prime }(x)=2x-1$$

$$f^{\prime }(2)=2\cdot 2-1=3$$

Tangenten går gjennom $(2,0)$ med stigningstall $3$. Vi bruker ettpunktsformelen $y-y_1=a(x-x_1)$:

$$y-0=3(x-2)$$

$$y=3x-6$$

Svar: $\underline{\underline{y=3x-6}}$

d)

Linjen $l$ er parallell med tangenten i c), så $l$ har samme stigningstall, $a=3$. Linjen går gjennom $(3,7)$:

$$y-7=3(x-3)$$

$$y=3x-9+7=3x-2$$

Skjæringspunktene mellom $l$ og grafen til $f$ finner vi ved å sette de to uttrykkene lik hverandre:

$$x^2-x-2=3x-2$$

$$x^2-x-2-3x+2=0$$

$$x^2-4x=0$$

$$x(x-4)=0$$

$$x=0\text{eller}x=4$$

Vi finner $y$-verdiene ved å sette inn i $l$: $y=3x-2$.

For $x=0$: $y=3\cdot 0-2=-2$

For $x=4$: $y=3\cdot 4-2=10$

Svar: $\underline{\underline{(0,-2)\text{ og }(4,10)}}$

e)

Vi tegner grafen til $f$, tangenten fra c) og linjen $l$ fra d) i samme koordinatsystem. Skissen viser nullpunktene $(-1,0)$ og $(2,0)$, bunnpunktet $(\frac{1}{2},-\frac{9}{4})$, tangenten $y=3x-6$ som berører grafen i $(2,0)$, og linjen $l:y=3x-2$ som skjærer grafen i $(0,-2)$ og $(4,10)$.

Arealet av et trapes med parallelle sider $a$ og $b$ og høyde $h$ er gitt ved

Det minste trapeset har parallelle sider $a$ og $b$ og høyde $h$, og arealet er

Siden de to trapesene er formlike og høyden i det store trapeset er $3h$, må skaleringsfaktoren mellom trapesene være $3$. Da er også de parallelle sidene i det store trapeset skalert med $3$, altså $3a$ og $3b$, mens høyden er $3h$.

Arealet av det store trapeset blir dermed

Altså er arealet av det største trapeset $\underline{\underline{9A}}$, som skulle vises.

a)

Vi vet at $360$ personer testes, at $60$ av dem er smittet (dermed er $360-60=300$ ikke smittet), og at $68$ tester positivt.

Av de $68$ som tester positivt, er det $10$ som ikke er smittet. Da må resten av de positive være smittet:

$$68-10=58\text{ smittede som tester positivt}$$

Siden det totalt er $60$ smittede, må de resterende smittede teste negativt:

$$60-58=2\text{ smittede som tester negativt}$$

Blant de $300$ som ikke er smittet, tester $10$ positivt, og resten tester negativt:

$$300-10=290\text{ ikke smittede som tester negativt}$$

Vi fyller ut krysstabellen (summene stemmer: $58+10=68$, $2+290=292$, og $68+292=360$):

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt	58	10	68
Tester ikke positivt	2	290	292
Sum	60	300	360

b)

Vi skal finne sannsynligheten for at en smittet person tester positivt, altså $P(\text{positiv}|\text{smittet})$. Av de $60$ smittede testet $58$ positivt, så

$$P(\text{positiv}|\text{smittet})=\frac{58}{60}=\frac{29}{30}\approx \mathrm{0,967}=\mathrm{96,7}\%$$

c)

Vi skal finne sannsynligheten for at en person som tester positivt, likevel ikke er smittet, altså $P(\text{ikke smittet}|\text{positiv})$. Av de $68$ som testet positivt, var $10$ ikke smittet, så

$$P(\text{ikke smittet}|\text{positiv})=\frac{10}{68}=\frac{5}{34}\approx \mathrm{0,147}=\mathrm{14,7}\%$$

I $\mathrm{\Delta }ABC$ er $\angle B=90°$, så $AC$ er hypotenusen. Vi lar $BC$ være siden motstående vinkel $A$, og $AB$ være siden motstående vinkel $C$.

Siden $\tan A={\displaystyle \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}}={\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$, kan vi sette

for en konstant $k$. Vi kjenner igjen $5$-$12$-$13$-trippelet, så hypotenusen blir

For vinkel $C$ er $BC$ den hosliggende kateten og $AC$ hypotenusen, så

$\underline{\underline{\cos C={\displaystyle \frac{5}{13}}}}$

Vi har $\mathrm{\Delta }ABC$ med $BC=20$ (motstående vinkel $A$), $AC=13$ (motstående vinkel $B$) og $\sin B={\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Steg 1: Finn $\sin A$ ved sinussetningen.

Sinussetningen gir

Vi kjenner igjen $5$-$12$-$13$-trippelet, og siden vinkel $A$ i denne oppgaven er spiss, blir

Steg 2: Finn $\sin C$.

Siden vinkelsummen i en trekant er $180°$, er $C=180°-A-B$, og dermed $\sin C=\sin (A+B)$. Fra $\sin B={\displaystyle \frac{3}{5}}$ (spiss vinkel) er $\cos B={\displaystyle \frac{4}{5}}$, og med formelen for sinus til en sum:

Steg 3: Bruk arealsetningen.

Sidene $BC$ og $AC$ møtes i toppunkt $C$, så vinkelen mellom dem er $C$. Arealsetningen gir da

$\underline{\underline{T=126}}$

a)

Vi leser av søylediagrammet antall registrerte elbiler $y$ for hvert år $x$ etter 2000:

$x$	0	1	2	3	4	5	6	7
$y$	$383$	$607$	$832$	$1081$	$1193$	$1352$	$1667$	$1905$

Siden veksten er tilnærmet lineær, finner vi den rette linjen som passer best til punktene ved lineær regresjon i GeoGebra (FitLine). Regresjonen gir

$$f(x)=\mathrm{209,8}x+\mathrm{393,1}$$

Vi runder av til

$$\underline{\underline{f(x)=210x+393}}$$

der $x$ er antall år etter 2000 og $f(x)$ er antall registrerte elbiler.

b)

Vi setter inn $x=8$ (år 2008), $x=12$ (år 2012) og $x=14$ (år 2014) i modellen fra a):

$$f(8)=210\cdot 8+393=2073$$

$$f(12)=210\cdot 12+393=2913$$

$$f(14)=210\cdot 14+393=3333$$

Vi sammenligner med de oppgitte, faktiske verdiene:

År	$x$	Modell $f(x)$	Faktisk antall
2008	8	$2073$	$2432$
2012	12	$2913$	$9580$
2014	14	$3333$	$41051$

For 2008 gir modellen et resultat ($2073$) som ligger relativt nær det faktiske tallet ($2432$) — avviket er ca. $360$ elbiler, altså rimelig bra. For 2012 er avviket mye større: modellen gir under en tredjedel av det faktiske antallet. For 2014 er avviket enormt: modellen anslår $3333$, mens det faktiske antallet var $41051$ — over ti ganger så høyt.

Dette viser at den lineære modellen bare er pålitelig i og like etter perioden den er laget for (2000–2007). I virkeligheten økte antall elbiler stadig raskere — veksten var ikke lineær, men tiltakende (nærmere eksponentiell), trolig på grunn av avgiftsfordeler og bedre batteriteknologi som gjorde elbiler stadig mer attraktive utover 2010-tallet. Jo lenger fram i tid vi bruker modellen, jo dårligere blir den.

$\underline{\underline{\text{Modellen passer dårlig for 2012 og 2014 — den lineære veksten holdt seg ikke over tid.}}}$

Vi kaller kvadratet $ABCD$, der $A$ er øverst til venstre, $B$ øverst til høyre, $C$ nederst til høyre og $D$ nederst til venstre. Alle sidene har lengde $6$.

Ut fra figuren har den hvite trekanten hjørner i et punkt $Q$ på siden $AB$, et punkt $P$ på siden $AD$, og i hjørnet $C$. De tre blå trekantene er da:

• $△AQP$ i hjørnet ved $A$,
• $△DPC$ i hjørnet ved $D$,
• $△BQC$ i hjørnet ved $B$.

Vi setter $AQ=q$ og $DP=p$, der $0<p,q<6$. Da er $AP=6-p$ og $QB=6-q$. Alle de tre blå trekantene er rettvinklede, så arealene blir

Setter de tre arealene like store.

Fra $\text{Areal}(△DPC)=\text{Areal}(△BQC)$:

Da blir $6-p=q$. Setter vi dette inn i $\text{Areal}(△AQP)=\text{Areal}(△DPC)$:

Løser andregradslikningen i CAS.

CAS gir $q=3\sqrt{5}-3$ (den negative løsningen $q=-3\sqrt{5}-3$ er ikke gyldig, siden $0<q<6$).

Da er $p=6-q=9-3\sqrt{5}$, og hver av de tre blå trekantene har areal

Det samlede arealet til de tre blå trekantene blir $3(27-9\sqrt{5})=81-27\sqrt{5}$. Arealet av den hvite trekanten er kvadratets areal minus dette:

Dette stemmer med AreaHvit i CAS-utklippet ovenfor.

Konklusjon. Arealet av den hvite trekanten er $\underline{\underline{A=27\sqrt{5}-45\approx \mathrm{15,37}}}$.

a)

Vi taster inn funksjonen

$$f(x)=x^2-x-2$$

og finner funksjonsverdiene som trengs:

$$f(0)=-2,f(1)=-2,f(2)=0,f(3)=4,f(4)=10$$

I graftegneren legger vi inn grafen til $f$, korden gjennom $(1,f(1))=(1,-2)$ og $(3,f(3))=(3,4)$ (blå), korden gjennom $(0,f(0))=(0,-2)$ og $(4,f(4))=(4,10)$ (grønn), og tangenten til $f$ i punktet $(2,f(2))=(2,0)$ (rød):

Alle tre linjene har samme stigningstall, $a=3$, så de er parallelle. Legg merke til at $x$-verdiene $1$ og $3$ ligger symmetrisk om $x=2$, og det samme gjør $0$ og $4$ – det er grunnen til at kordene er parallelle med tangenten i $x=2$.

b)

Vi skal vise generelt at tangenten til $f$ i punktet $(c,f(c))$ er parallell med korden gjennom $(c+h,f(c+h))$ og $(c-h,f(c-h))$, altså at de to linjene har samme stigningstall.

Tangentens stigningstall er den deriverte av $f$ i $x=c$. Vi definerer $f$ og den deriverte funksjonen $g(x)=f^{\prime }(x)$ i CAS, og regner ut $g(c)$:

Kordens stigningstall er

$$\frac{f(c+h)-f(c-h)}{(c+h)-(c-h)}=\frac{f(c+h)-f(c-h)}{2h}$$

som vi forenkler i CAS:

CAS gir

$$\text{TangentStigning}=g(c)=2c-1$$

$$\text{KordeStigning}=\frac{f(c+h)-f(c-h)}{2h}=2c-1$$

Begge uttrykkene blir like, $2c-1$, for alle verdier av $c$ og $h$. Dermed har tangenten i $(c,f(c))$ og korden gjennom $(c+h,f(c+h))$ og $(c-h,f(c-h))$ alltid samme stigningstall, og de er derfor parallelle.

Vi kaller lengden $l$ og bredden $b$. Arealet av rektangelet er $l\cdot b$, og omkretsen er $2(l+b)$. Dette gir likningssystemet

Vi løser systemet med CAS i GeoGebra.

Fra utklippet ser vi at systemet har to løsninger,

som begge beskriver det samme rektangelet — bare med lengde og bredde byttet om. Siden lengden normalt er den lengste siden, velger vi

Kontroll: Arealet blir ${\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$, og omkretsen blir $2({\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})=2\cdot {\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$, som stemmer med opplysningene i oppgaven.

Rektangelet er altså $\underline{\underline{l=\frac{3}{4}}}$ langt og $\underline{\underline{b=\frac{1}{2}}}$ bredt.

a)

Overskriften hevder at ${\displaystyle \frac{4}{5}}=80\%$ av kjøretøyene i kollektivfeltet er elbiler. Vi bruker tallene i sitatet til å sjekke om dette stemmer.

Sitatet oppgir at det daglig i gjennomsnitt passerte:

$$1350\text{ elbiler},120\text{ busser},100\text{ drosjer}$$

Det totale antallet kjøretøy per dag i kollektivfeltet er da

$$1350+120+100=1570$$

Andelen elbiler blir

$$\frac{1350}{1570}\approx \mathrm{0,860}=86\%$$

Siden $86\%>80\%$, er andelen elbiler i tellingen faktisk høyere enn det overskriften «fire av fem kjøretøy» sier. Sitatet gir dermed grunnlag for overskriften — den er om noe en forsiktig avrunding nedover av den faktiske andelen. (Forutsetningen er at elbiler, busser og drosjer er de eneste kjøretøytypene som kjører i kollektivfeltet, slik at $1570$ er det totale antallet kjøretøy.)

b)

Vi antar at ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ av kjøretøyene som passerer er elbiler, altså $p={\displaystyle \frac{4}{5}}=\mathrm{0,8}$. La $X$ være antall elbiler blant de $3$ neste kjøretøyene. Da er $X$ binomisk fordelt med $n=3$ og $p=\mathrm{0,8}$.

Vi skal finne $P(X=1)$:

$$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{1}\right)\cdot {\mathrm{0,8}}^1\cdot {\mathrm{0,2}}^2=3\cdot \mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,04}=\mathrm{0,096}$$

Regnet i GeoGebra CAS med kommandoen BinomialDist(3, 4/5, 1, false):

Sannsynligheten for at nøyaktig ett av de tre neste kjøretøyene er en elbil, er $P=\mathrm{0,096}=\mathrm{9,6}\%$.

c)

Vi skal finne $P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)$, der $X$ er som i b).

$$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)\cdot {\mathrm{0,8}}^2\cdot {\mathrm{0,2}}^1=3\cdot \mathrm{0,64}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,384}$$

$$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{3}\right)\cdot {\mathrm{0,8}}^3\cdot {\mathrm{0,2}}^0=\mathrm{0,512}$$

$$P(X\ge 2)=\mathrm{0,384}+\mathrm{0,512}=\mathrm{0,896}$$

Dette stemmer med P2 i skjermbildet over (BinomialDist(3, 4/5, 2, false) + BinomialDist(3, 4/5, 3, false)).

Sannsynligheten for at minst to av de tre neste kjøretøyene er elbiler, er $P=\mathrm{0,896}=\mathrm{89,6}\%$.