1T Vår 2010

Funksjonen $f(x)=-2x+3$ er en lineær funksjon (rett linje). Vi finner to punkter på linjen.

Når $x=0$: $f(0)=-2\cdot 0+3=3$, altså punktet $(0,3)$.

Nullpunktet finner vi ved å sette $f(x)=0$:

Nullpunktet er $(\mathrm{1,5},0)$.

$\underline{\underline{x=\mathrm{1,5}}}$

Vi løser andregradslikningen ved først å samle alle ledd på venstre side:

Med $abc$-formelen, $a=1$, $b=8$, $c=15$:

Det gir

$\underline{\underline{x=-3\text{ eller }x=-5}}$

Vi bruker regnerekkefølgen: potenser og parenteser før multiplikasjon, og multiplikasjon før subtraksjon.

$\underline{\underline{3}}$

Vi bruker potensreglene $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ og ${\displaystyle \frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}$.

Vi regner ut eksponenten med fellesnevner $6$:

Dermed blir

$\underline{\underline{2a}}$

Vi finner tangentlikningen $y=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)$.

Først $f(1)$:

Så deriverer vi $f$:

og regner ut $f^{\prime }(1)$:

Tangenten i $(1,10)$ med stigningstall $2$:

$\underline{\underline{y=2x+8}}$

Vi faktoriserer teller og nevner med kvadratsetningene. Teller er en konjugatsetning, nevner et fullstendig kvadrat:

Brøken blir da

Vi forkorter med $(x+3)$, forutsatt $x\ne -3$:

$\underline{\underline{{\displaystyle \frac{x-3}{x+3}}}}$

Vi skriver om høyresiden med logaritmeregelen $n\lg a=\lg a^n$:

Likningen blir

Siden $\lg$ er en injektiv funksjon, må argumentene være like:

Vi sjekker at $2x+4>0$ (kravet for at $\lg (2x+4)$ er definert): for $x=2$ er $2x+4=8>0$, så løsningen er gyldig.

$\underline{\underline{x=2}}$

Lykkehjulet har fem felt. Ved å måle vinklene på sektorene ser vi at hjulet er delt inn i $8$ like store deler, fordelt slik:

• Blått: $3$ deler, $P(\text{blå})={\displaystyle \frac{3}{8}}$
• Grønt: $2$ deler, $P(\text{grønn})={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
• Rødt: $1$ del, $P(\text{rød})={\displaystyle \frac{1}{8}}$
• Gult: $1$ del, $P(\text{gul})={\displaystyle \frac{1}{8}}$
• Rosa: $1$ del, $P(\text{rosa})={\displaystyle \frac{1}{8}}$

1) Siden hendelsene «blått» og «grønt» ikke kan skje samtidig i ett snurr, bruker vi addisjonssetningen:

$\underline{\underline{{\displaystyle \frac{5}{8}}}}$

2) Lotte snurrer to ganger. Hun kan få gult i første snurr og grønt i andre, eller grønt i første og gult i andre — de to snurrene er uavhengige, så vi multipliserer sannsynlighetene, og legger sammen de to mulige rekkefølgene:

$\underline{\underline{{\displaystyle \frac{1}{16}}}}$

I trekant $ABC$ er $\angle A=90°$, så $B$ og $C$ er de to spisse vinklene, og de er komplementærvinkler: $\angle B+\angle C=90°$.

Siden $\angle B$ og $\angle C$ er komplementærvinkler, er $\cos B=\sin (90°-B)=\sin C$, og tilsvarende $\sin B=\cos C$. Vi bruker at $\sin B=\cos B$:

Da blir $\angle C=90°-45°=45°$ også.

Trekanten er altså en likebeint, rettvinklet trekant: rett vinkel i $A$, og de to andre vinklene er begge $45°$. Fordi $\angle B=\angle C$, er sidene motstående disse vinklene like lange, det vil si $AC=AB=4\mathrm{cm}$.

$\underline{\underline{AB=AC=4\mathrm{cm},\angle B=\angle C=45°}}$

Vi leser av grafen at $g$ har nullpunkter i $x=-2$ og $x=2$, og at $g$ er negativ mellom nullpunktene (grafen ligger under $x$-aksen der) og positiv utenfor.

Fortegnslinje for $g(x)$:

Grafen har bunnpunkt i $x=0$. Det betyr at $g$ avtar for $x<0$ og vokser for $x>0$, altså at $g^{\prime }(x)<0$ for $x<0$ og $g^{\prime }(x)>0$ for $x>0$.

Fortegnslinje for $g^{\prime }(x)$:

Siden $g$ har nullpunkter i $x=-2$ og $x=2$, kan vi skrive $g$ på faktorisert form

der $a$ er en konstant vi må bestemme. Fra grafen leser vi av bunnpunktet $(0,-4)$, altså $g(0)=-4$:

Da blir

$\underline{\underline{g(x)=x^2-4}}$

I trekant $ACD$ er vinkelen ved $D$ rett ($90°$), så vi kan bruke Pytagoras’ setning med $AD=\mathrm{3,0}\mathrm{m}$ og $DC=\mathrm{5,0}\mathrm{m}$ som kateter:

$\underline{\underline{AC\approx \mathrm{5,83}\mathrm{m}}}$

I trekant $BCD$ kjenner vi $DC=\mathrm{5,0}\mathrm{m}$, $CB=\mathrm{5,0}\mathrm{m}$ og vinkelen mellom dem, $\angle C=120°$. Vi bruker cosinussetningen:

$\underline{\underline{BD\approx \mathrm{8,66}\mathrm{m}}}$

1) Ove sin framgangsmåte — trekant $ABD$ og trekant $BCD$

Trekant $BCD$ er likebeint med $DC=CB=\mathrm{5,0}\mathrm{m}$ og toppvinkel $\angle C=120°$, så de to grunnvinklene er like store:

Arealet av trekant $BCD$ finner vi med arealsetningen:

Siden $\angle ADC=90°$ og $\angle BDC=30°$, må vinkelen mellom $AD$ og diagonalen $BD$ være

Arealet av trekant $ABD$ finner vi med arealsetningen, med $AD=\mathrm{3,0}\mathrm{m}$ og $BD=\sqrt{75}\mathrm{m}$ (fra b):

Totalt areal med Ove sin metode:

2) Tommy sin framgangsmåte — trekant $ABC$ og trekant $ACD$

Arealet av trekant $ACD$ (rettvinklet, kateter $AD$ og $DC$):

I den rettvinklede trekanten $ACD$ finner vi vinkelen $\angle DCA$:

Vinkelen $\angle ACB$ er resten av $\angle C=120°$:

Arealet av trekant $ABC$ finner vi med arealsetningen, med $AC\approx \mathrm{5,83}\mathrm{m}$ (fra a) og $CB=\mathrm{5,0}\mathrm{m}$:

Totalt areal med Tommy sin metode:

Begge framgangsmåtene gir samme svar, som de skal.

$\underline{\underline{\text{Areal av }ABCD\approx \mathrm{22,1}{\mathrm{m}}^2}}$

Arne sykler først en halv time ($30$ minutter) i $12\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$. Strekningen han da tilbakelegger, er

Etter $45$ minutter har han syklet i ytterligere $45-30=15$ minutter, altså $\mathrm{0,25}\mathrm{t}$, med fart $18\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$:

Total strekning etter $45$ minutter:

$\underline{\underline{\mathrm{10,5}\mathrm{km}}}$

Vi setter $x$ = antall minutter og $y$ = antall kilometer Arne har syklet.

I de $30$ første minuttene sykler han med fart $12\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}=\mathrm{0,2}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$, så grafen er en rett linje fra $(0,0)$ til $(30,6)$.

I de neste $30$ minuttene sykler han med fart $18\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}=\mathrm{0,3}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$, så grafen fortsetter rett fra $(30,6)$ til $(60,15)$ (siden $6+\mathrm{0,3}\cdot 30=15$).

For $0\le x\le 30$ (fart $12\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}=\mathrm{0,2}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$, start i origo):

For $30\le x\le 60$ er farten $18\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}=\mathrm{0,3}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$, og linjen går gjennom punktet $(30,6)$. Stigningstallet er $\mathrm{0,3}$, så vi finner konstantleddet $b$ ved å sette inn punktet:

Vi systematiserer opplysningene i en tabell. Merk at «bare briller» og «bare kontaktlinser» ikke overlapper med hverandre eller med gruppen som bruker begge deler, så vi kan sette dem rett inn. Den siste kategorien, «bruker verken briller eller linser», må vi regne ut ved å trekke de tre andre prosentandelene fra $100\%$.

Tabellen viser fire ikke-overlappende kategorier som til sammen dekker alle personene i aldersgruppen (tilsvarer et Venn-diagram med to sirkler – «briller» og «kontaktlinser» – som overlapper i $\mathrm{9,7}\%$).

En person bruker briller dersom vedkommende er i kategorien «bare briller» eller «både briller og kontaktlinser». Andelen som bruker briller er derfor

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person ikke bruker briller finner vi ved å trekke fra $100\%$.

Dette stemmer også med å legge sammen «bare kontaktlinser» og «verken eller»: $\mathrm{7,2}\%+\mathrm{68,8}\%=\mathrm{76,0}\%$.

Sannsynligheten for at personen ikke bruker briller er $\underline{\underline{\mathrm{76,0}\%}}$.

Vi vet at personen bruker briller, og skal finne sannsynligheten for at hen i tillegg bruker kontaktlinser. Dette er en betinget sannsynlighet: vi ser bare på gruppen som bruker briller ($\mathrm{24,0}\%$ av alle), og finner andelen av denne gruppen som også bruker kontaktlinser ($\mathrm{9,7}\%$ av alle).

Sannsynligheten for at personen også bruker kontaktlinser er $\underline{\underline{\mathrm{40,4}\%}}$.

Vi tegner grafen til $f(x)=\mathrm{0,5}{x}^2-2x$ for $x$-verdier mellom $-3$ og $7$ med GeoGebra.

For å finne nullpunktene setter vi $f(x)=0$ og faktoriserer ut $x$:

Et produkt er null når minst én faktor er null:

Grafen til $f$ har altså nullpunkter i $x=0$ og $x=4$.

For å finne bunnpunktet deriverer vi $f$ og setter den deriverte lik null, siden grafen har et bunnpunkt der stigningstallet er $0$:

Vi setter $x=2$ inn i $f$ for å finne $y$-verdien:

Bunnpunktet er $(2,-2)$, som stemmer med grafen i a).

Stigningstallet for tangenten i et punkt er verdien av den deriverte i det punktet. Vi bruker $f^{\prime }(x)=x-2$ fra b) og setter inn $x=1$:

Stigningstallet for tangenten i $(1,f(1))$ er $-1$.

Tangenten har stigningstall $1$ der $f^{\prime }(x)=1$:

Vi finner $y$-verdien til tangeringspunktet ved å sette $x=3$ inn i $f$:

Tangeringspunktet er $(3,-\mathrm{1,5})$. Tangentlikningen på formen $y=ax+b$ med stigningstall $a=1$ blir:

Likningen for tangenten er $\underline{\underline{y=x-\mathrm{4,5}}}$.

Vi setter $a=6$ inn i likningssystemet:

1) Ved regning

Fra den andre likningen løser vi for $y$:

Vi setter dette inn i den første likningen:

Dette gir $x=0$ eller $x=6$. Vi setter tilbake i $y=2x+3$:

• $x=0\Rightarrow y=3$
• $x=6\Rightarrow y=15$

Løsningene av likningssystemet er dermed $(x,y)=(\mathrm{0,3})$ og $(x,y)=(\mathrm{6,15})$.

Kontroll i CAS:

2) Grafisk

Vi skriver om den første likningen til $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x+3$ og den andre til $g(x)=2x+3$, og tegner grafene:

Grafene skjærer hverandre i punktene $(\mathrm{0,3})$ og $(\mathrm{6,15})$, samme svar som ved regning.

Vi setter $x=1$ og $y=5$ inn i den første likningen og løser for $a$:

(Se linje 2 i CAS-utklippet over.) Vi sjekker at $(\mathrm{1,5})$ også oppfyller den andre likningen: $y-2x=5-2=3$, som stemmer. Dermed er $\underline{\underline{a=11}}$.

Fra den andre likningen har vi alltid $y=2x+3$, uavhengig av $a$. Vi setter dette inn i den første likningen:

Antall løsninger av likningssystemet er dermed det samme som antall løsninger av denne andregradslikningen i $x$, og det avgjøres av diskriminanten $D=b^2-4ac$ med $a_{\text{koeff}}=1$, $b=-6$ og $c=a-6$:

• Én løsning når $D=0$: $60-4a=0\Rightarrow \underline{\underline{a=15}}$
• To løsninger når $D>0$: $60-4a>0\Rightarrow \underline{\underline{a<15}}$
• Ingen løsning når $D<0$: $60-4a<0\Rightarrow \underline{\underline{a>15}}$

Illustrasjonen under viser de tre tilfellene: parabelen $y=\frac{x^2}{2}-x+\frac{a}{2}$ tegnet for $a=10$ (grønn, to skjæringspunkter med linja), $a=15$ (blå, tangerer linja i ett punkt) og $a=20$ (rød, ingen skjæringspunkter):

For å finne arealet av det L-formede huset, tenker vi oss at figuren blir fylt ut til et komplett rektangel.

Det store rektangelet får bredde $2a+a=3a$ og høyde $10$, altså areal

Biten som mangler øverst til venstre er et rektangel med bredde $2a$ og høyde $a$, altså areal

Arealet av huset er da det store rektangelet minus den manglende biten:

som er det vi skulle vise.

Når $a=5$, setter vi inn i uttrykket:

$\underline{\underline{A(5)=100{\mathrm{m}}^2}}$

Vi skal løse likningen

Vi ordner likningen slik at høyresiden blir $0$:

Vi deler alle ledd på $-2$:

Bruker abc-formelen med $a=1$, $b=-15$, $c=56$:

Dette gir

Arealet av huset er $112{\mathrm{m}}^2$ når $\underline{\underline{a=7\mathrm{m}\text{eller}a=8\mathrm{m}}}$.

Arealfunksjonen $A(a)=30a-2a^2$ er en andregradsfunksjon med negativ ledende koeffisient, så grafen er en parabel med toppunkt som gir det største arealet.

Toppunktet ligger ved

Vi setter $a=\mathrm{7,5}$ inn i uttrykket for arealet:

For at huset skal gi mening geometrisk, må den venstre, korte siden ($10-a$) være positiv, så $a$ må ligge mellom $0$ og $10$. Siden $a=\mathrm{7,5}$ ligger i dette intervallet, er verdien mulig for huset.

Det største arealet huset kan ha, er $\underline{\underline{\mathrm{112,5}{\mathrm{m}}^2}}$, når $a=\mathrm{7,5}\mathrm{m}$.

Vi skal løse ulikheten

Vi flytter alt over på venstre side:

Vi deler alle ledd på $-2$ og snur ulikhetstegnet:

Vi finner først nullpunktene med abc-formelen, $a=1$, $b=-15$, $c=36$:

Dette gir $a=3$ eller $a=12$.

Siden andregradsuttrykket $a^2-15a+36$ har positiv ledende koeffisient, er uttrykket negativt (ulikheten $<0$) mellom nullpunktene:

Fra oppgave c) vet vi i tillegg at $a$ må ligge mellom $0$ og $10$ for at huset skal gi mening geometrisk. Vi kombinerer betingelsene:

$\underline{\underline{3\mathrm{m}<a<10\mathrm{m}}}$