1T Høst 2010

Vi løser likningssystemet

med addisjonsmetoden. Vi legger sammen de to likningene, slik at $y$ faller bort:

Vi setter $x=3$ inn i den første likningen:

Svar: $\underline{\underline{x=3,y=1}}$.

Vi skal løse likningen

1) Grafisk

Vi tolker likningen som skjæringspunktet mellom de to rette linjene

Vi regner ut noen punkter på hver linje for å tegne dem i et koordinatsystem:

Tegner vi de to linjene i et koordinatsystem, ser vi at de krysser hverandre i punktet $(2,\mathrm{1,5})$. Løsningen av likningen er da $x$-koordinaten til skjæringspunktet.

2) Ved regning

Vi samler leddene med $x$ på den ene siden og tallene på den andre:

Dette stemmer overens med avlesningen fra grafen.

Svar: $\underline{\underline{x=2}}$ (skjæringspunkt $(2,\mathrm{1,5})$).

Vi legger sammen tallene og skriver svaret på standardform:

Skrevet på standardform:

Vi skal trekke sammen

Vi kjenner igjen $x^2-16$ som et konjugatuttrykk:

Fellesnevnen er $(x+4)(x-4)$. Vi utvider den første brøken med $(x-4)$:

Vi regner ut telleren:

Dette gir

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{3}{x-4}}}}$.

Vi skal løse ulikheten

Vi faktoriserer venstresiden. Vi leter etter to tall som gir produkt $-8$ og sum $2$: tallene $4$ og $-2$ passer.

Nullpunktene er $x=-4$ og $x=2$. Siden uttrykket er et andregradsuttrykk med positiv koeffisient foran $x^2$, er parabelen $u$-formet — den er negativ mellom nullpunktene og positiv (eller null) utenfor.

Fortegnslinje for $(x+4)(x-2)$:

• $x<-4$: begge faktorene negative $\Rightarrow$ produktet positivt.
• $-4<x<2$: $(x+4)$ positiv, $(x-2)$ negativ $\Rightarrow$ produktet negativt.
• $x>2$: begge faktorene positive $\Rightarrow$ produktet positivt.

Vi skal ha $(x+4)(x-2)\ge 0$, altså der uttrykket er positivt eller null:

Svar: $\underline{\underline{x\le -4\vee x\ge 2}}$.

Vi skal tegne en rettvinklet trekant $ABC$ der $\tan C={\displaystyle \frac{5}{12}}$.

Tangens til en vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet:

Vi kan derfor velge en trekant der katetene har lengde $5$ (motstående til $C$) og $12$ (hosliggende til $C$). Dette er det pytagoreiske tallsettet $5$-$12$-$13$, så hypotenusen blir

Trekanten har altså rett vinkel i $B$, katetene $BC=12$ og $AB=5$, og hypotenus $AC=13$, med den rette vinkelen motsatt $AC$. Vinkelen $C$ ligger da mellom katetene $BC=12$ (hosliggende) og hypotenusen, med motstående katet $AB=5$.

Svar: $\underline{\underline{\text{Rettvinklet trekant med katetene }5\text{ og }12\text{ og hypotenus }13}}$.

Det er $25$ twistbiter totalt, og Per liker $16$ av dem. De resterende $25-16=9$ liker han ikke. Vi trekker $2$ biter tilfeldig uten tilbakelegging.

1) Per liker begge

Sannsynligheten for at den første biten er en Per liker er ${\displaystyle \frac{16}{25}}$. Gitt at den første er en han liker, er det $15$ igjen han liker av totalt $24$ biter:

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{2}{5}}=\mathrm{0,4}}}$.

2) Per liker bare én av dem

Dette skjer enten ved at den første biten er en han liker og den andre ikke, eller omvendt:

Disse to sannsynlighetene er like, så vi kan doble den første:

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{12}{25}}=\mathrm{0,48}}}$.

Den momentane vekstfarten i $x=1$ er verdien til den deriverte funksjonen i $x=1$. Vi deriverer $f$:

Vi setter inn $x=1$:

Den momentane vekstfarten i $x=1$ er $\underline{\underline{-1}}$.

Gjennomsnittlig vekstfart fra $x=0$ til $x=3$ er stigningstallet til sekanten mellom punktene $(0,f(0))$ og $(3,f(3))$:

Den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x=0$ til $x=3$ er altså $0$.

Siden $f(0)=f(3)=7$, men $f$ ikke er en konstant funksjon (den er et tredjegradspolynom), kan ikke grafen holde seg på samme høyde hele veien mellom $x=0$ og $x=3$. Grafen må derfor enten stige og så synke tilbake, eller synke og så stige tilbake, til samme funksjonsverdi. Det betyr at grafen må ha minst ett topp- eller bunnpunkt et sted i intervallet $⟨0,3⟩$.

Svar: $\underline{\underline{\text{Ja, grafen har minst ett ekstremalpunkt i }[0,3]}}$, fordi $f(0)=f(3)$ og $f$ ikke er konstant.

Topp- og bunnpunkter finner vi der $f^{\prime }(x)=0$:

Vi setter opp fortegnslinje for $f^{\prime }(x)=x(x-2)$:

Grafen går altså fra voksende til avtagende i $x=0$ (toppunkt), og fra avtagende til voksende i $x=2$ (bunnpunkt).

Funksjonsverdiene:

Svar: Toppunkt i $\underline{\underline{(0,7)}}$ og bunnpunkt i $\underline{\underline{(2,{\displaystyle \frac{17}{3}})}}$.

Vi tegner grafen til $T(x)=100\cdot {\mathrm{0,5}}^{x/5730}$ for $x\in [0,12000]$ i GeoGebra:

Grafen viser at prosentandelen C-14 i planten avtar med tiden, og at kurven flater gradvis ut — jo mindre C-14 som er igjen, jo mindre avtar mengden per år.

Vi skal finne hvor lang tid det tar før opprinnelig mengde er halvert, altså løse $T(x)=50$:

Vi løser likningen i CAS i GeoGebra:

Linje 1 gir $x=5730$.

Dette stemmer også med at $5730$ er akkurat den verdien som står i eksponenten til $T$ — når $x=5730$, blir eksponenten $\frac{5730}{5730}=1$, slik at $T(5730)=100\cdot {\mathrm{0,5}}^1=50$.

$\underline{\underline{\text{Opprinnelig mengde C-14 er halvert etter }5730\text{år}}}$ — dette er den kjente halveringstiden til karbon-14.

Målingene viste at treverket inneholdt $\mathrm{86,5}\%$ av opprinnelig mengde C-14. Vi løser $T(x)=\mathrm{86,5}$:

Fra linje 2 i CAS-utklippet over får vi $x\approx \mathrm{1198,9}$.

$\underline{\underline{\text{Brønnen var omtrent }1200\text{år gammel da målingene ble gjort}}}$.

Flaggstanga, bakken og målelinja danner en rettvinklet trekant, der vinkelen på $\mathrm{51,3}°$ ligger mellom bakken (den $\mathrm{10,0}\mathrm{m}$ lange kateten) og hypotenusen, og flaggstanga er den andre kateten (motstående katet). Da bruker vi tangens:

Flaggstanga er altså om lag $\mathrm{12,5}$ meter høy.

I trekant $ABC$ kjenner vi $AC=\mathrm{40,0}\mathrm{m}$, $\angle A=\mathrm{69,7}°$ og $\angle C=\mathrm{94,9}°$. Siden vinkelsummen i en trekant er $180°$, finner vi først $\angle B$:

Siden $\angle B$ er den vinkelen som er motstående side $AC$ (siden vi vil finne), og $\angle C$ er motstående side $AB$, bruker vi sinussetningen:

Trekanten som trærne danner har sidene $20$, $24$ og $14$ meter. Vi finner først vinkelen mellom sidene $20$ og $24$ (den vinkelen som ligger motstående siden $14$) med cosinussetningen:

Nå bruker vi arealsetningen med de to kjente sidene $20$ og $24$ og vinkelen $C$ mellom dem:

Vi bruker opplysningene til å fylle ut tabellen.

Det er $240$ medlemmer totalt. $45\%$ av dem er kvinner:

Av mennene ønsker $63$ ballbinge, altså ønsker $132-63=69$ menn ikke ballbinge. Til sammen ønsker $110$ av alle medlemmene ikke ballbinge, som gir $110-69=41$ kvinner som ikke ønsker ballbinge, og dermed $108-41=67$ kvinner som ønsker ballbinge.

Til sammen ønsker $63+67=130$ medlemmer ballbinge.

Av de $240$ medlemmene ønsker $130$ ballbinge:

Vi vet at det trukne medlemmet ønsker ballbinge, og skal finne sannsynligheten for at dette medlemmet er mann. Av de $130$ som ønsker ballbinge, er $63$ menn:

La $n$ være antall nye medlemmer som alle ønsker ballbinge, og som vil bli vervet. Da blir det totale antallet som ønsker ballbinge lik $130+n$, og det totale antallet medlemmer blir $240+n$. Kravet er at andelen som ønsker ballbinge, skal være minst $75\%$:

Fotballgruppa må derfor verve minst $\underline{\underline{200}}$ nye medlemmer som ønsker ballbinge, for at kravet fra styret skal innfris.

Vi leser av to punkter på den rette linja i grafen, for eksempel der linja krysser $y$-aksen og der den er ved $x=500$:

Skjæringen med $y$-aksen gir den faste månedsprisen, siden dette er kostnaden når ringetiden er $0$ minutter:

Stigningstallet til linja gir prisen per minutt:

Vi setter opp et uttrykk for de månedlige kostnadene til hvert abonnement, med $x$ som ringetid i minutter.

Abonnement A har ingen fast pris, bare $\mathrm{1,59}$ kr per minutt:

Abonnement B har fast pris $100$ kr, med de $100$ første minuttene inkludert i prisen. Deretter koster det $\mathrm{1,19}$ kr per minutt. Dette gir en delt forskrift:

Abonnement C har fast pris $250$ kr og $\mathrm{0,49}$ kr per minutt:

Grafene til de tre funksjonene for $x$ fra $0$ til $500$ minutter er tegnet nedenfor.

Et abonnement lønner seg i det intervallet der det har lavest kostnad. Vi finner skjæringspunktene mellom grafene.

A og B er like når $A(x)=100$ (så lenge $x\le 100$, siden $B(x)=100$ der):

For $x<\mathrm{62,9}$ er $A(x)<100=B(x)$, så A er billigst. For $x>\mathrm{62,9}$ (og opp til $x=100$) er $A(x)>B(x)$, så B er billigst der. Siden A stiger brattere enn B også for $x>100$, forblir B billigere enn A for alle $x>\mathrm{62,9}$.

B og C er like for $x>100$:

Kostnaden i skjæringspunktet er $C(\mathrm{384,3})=250+\mathrm{0,49}\cdot \mathrm{384,3}\approx \mathrm{438,30}\mathrm{kr}$.

For $x<\mathrm{384,3}$ er B billigst (som vist ovenfor og på grafen), og for $x>\mathrm{384,3}$ er C billigst.

Vi kan da konkludere:

At alle 25 elevene har profil, betyr $X=25$:

Vi bruker CAS i GeoGebra til å beregne verdien.

Fra CAS får vi ${\mathrm{0,95}}^{25}\approx \mathrm{0,2774}$.

Sannsynligheten for at alle 25 elevene har profil på Facebook, er dermed $\underline{\underline{P(X=25)\approx \mathrm{0,2774}}}$.

At flere enn 20 av de 25 elevene har profil, betyr $X>20$, altså $X\in \{21,22,23,24,25\}$:

Vi bruker CAS i GeoGebra (se skjermbildet over, linje 2) til å beregne summen av de fem sannsynlighetene.

Fra CAS får vi $P(X>20)\approx \mathrm{0,9928}$.

Sannsynligheten for at flere enn 20 av de 25 elevene har profil på Facebook, er dermed $\underline{\underline{P(X>20)\approx \mathrm{0,9928}}}$.

Vi deriverer $f(x)=-2x^2+ax+4$:

I et toppunkt er den deriverte lik null. Når $a=2$:

Vi setter $x=\mathrm{0,5}$ og $a=2$ inn i $f(x)$ for å finne $y$-koordinaten:

Toppunktets $x$-koordinat skal være $-1$, altså skal $f^{\prime }(-1)=0$:

Toppunktets $x$-koordinat er der $f^{\prime }(x)=0$:

Vi setter $x={\displaystyle \frac{a}{4}}$ inn i $f(x)$ for å finne $y$-koordinaten som funksjon av $a$:

Dette uttrykket er minst når $a^2$ er minst, altså når $a^2=0$, som gir $a=0$. Da blir $y$-koordinaten ${\displaystyle \frac{0}{8}}+4=4$.

Hvis trekanten er rettvinklet, må Pytagoras’ setning være oppfylt med den lengste siden som hypotenus. Den lengste siden er $27$ cm, så vi sjekker om

Siden $729\ne 544$, er ikke setningen oppfylt.

Jernstangen er $\mathrm{6,0}$ m lang og skal formes til en rettvinklet trekant der den ene kateten er $\mathrm{2,0}$ m. Vi kaller den andre kateten $b$ og hypotenusen $c$. Siden omkretsen er $\mathrm{6,0}$ m, har vi

Pytagoras’ setning gir

Vi setter inn $c=\mathrm{4,0}-b$:

Da blir $c=\mathrm{4,0}-\mathrm{1,5}=\mathrm{2,5}$.

Vi kontrollerer: ${\mathrm{2,0}}^2+{\mathrm{1,5}}^2=\mathrm{4,0}+\mathrm{2,25}=\mathrm{6,25}={\mathrm{2,5}}^2$. Stemmer.

Den nye stangen er også $\mathrm{6,0}$ m lang. Vinkelen mellom to av sidene er $120°$, og den ene av disse sidene er $\mathrm{2,0}$ m. Vi kaller den andre siden som er tilstøtende vinkelen for $x$, og siden motstående vinkelen for $y$. Siden omkretsen er $\mathrm{6,0}$ m:

Cosinussetningen gir en sammenheng mellom sidene og den kjente vinkelen mellom dem:

Siden $\cos (120°)=-\mathrm{0,5}$:

Vi setter inn $y=\mathrm{4,0}-x$:

Da blir $y=\mathrm{4,0}-\mathrm{1,2}=\mathrm{2,8}$.

Vi kontrollerer: ${\mathrm{2,0}}^2+{\mathrm{1,2}}^2-2\cdot \mathrm{2,0}\cdot \mathrm{1,2}\cdot (-\mathrm{0,5})=\mathrm{4,0}+\mathrm{1,44}+\mathrm{2,4}=\mathrm{7,84}={\mathrm{2,8}}^2$. Stemmer.