1T Høst 2024

Oppgave 1-1Verifiser dobbeltvinkelformel med 30-60-90-trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Snorre har funnet formelen nedenfor i en matematikkbok

2 \cdot \sin (u) \cdot \cos (u) = \sin (2 \cdot u)

$30-60-90-trekant med hypotenus 2, kateter 1 og \sqrt{3}$

Bruk trekanten til høyre og vis at formelen gjelder når $u = 30 °$ .

Fasit

Begge sider er lik $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , så formelen gjelder for $u = 30 °$ .

LøsningsforslagKI-generert

Fra 30-60-90-trekanten leser vi av sidene: hypotenus $= 2$ , kateten motstående $30 °$ er $1$ , og kateten motstående $60 °$ er $\sqrt{3}$ .

Dette gir oss de trigonometriske verdiene vi trenger:

\sin (30 °) = \frac{1}{2}, \cos (30 °) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin (60 °) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Vi beregner venstre side av formelen med $u = 30 °$ :

2 \cdot \sin (30 °) \cdot \cos (30 °) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Vi beregner høyre side av formelen med $u = 30 °$ :

\sin (2 \cdot 30 °) = \sin (60 °) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Siden venstre side $=$ høyre side $= \frac{\sqrt{3}}{2}$ , er formelen $2 \sin (u) \cos (u) = \sin (2 u)$ verifisert for $u = 30 °$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som setter opp to riktige forhold, men ikke viser sammenhengen, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Identiteter, Argumentasjon
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Bunnpunkt på faktorisert andregradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = (x - 1) (x + 3)

Bestem koordinatene til bunnpunktet på grafen til $f$ .

Fasit

Bunnpunkt $(- 1, - 4)$

LøsningsforslagKI-generert

Nullpunktene finner vi ved å sette $f (x) = 0$ :

(x - 1) (x + 3) = 0 ⟹ x = 1 eller x = - 3

En andregradsfunksjon er symmetrisk om aksen gjennom bunnpunktet. Symmetriaksen ligger midt mellom nullpunktene:

x = \frac{1 + (- 3)}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1

Vi beregner funksjonsverdien i $x = - 1$ :

f (- 1) = (- 1 - 1) (- 1 + 3) = (- 2) \cdot 2 = - 4

Bunnpunktet er $(- 1, - 4)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som bare finner $x$ -koordinaten til bunnpunktet, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Andregradslikninger, Funksjonsdrøfting, Faktorisering
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12

Løs ulikheten $f (x) < 0$ og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.

Fasit

$x \in ⟨ - \infty, - 6 ⟩ \cup ⟨ - 2, 1 ⟩$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal løse $f (x) < 0$ der $f (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12$ .

Første steg er å finne nullpunktene til $f$ .

Gjett et heltallsnullpunkt. Nullpunktene må være delere av konstantleddet $- 12$ , altså blant $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ . Vi prøver $x = 1$ :

f (1) = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 ✓

Så $(x - 1)$ er en faktor.

Polynomdivisjon:

\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12}{x - 1} = x^{2} + 8 x + 12

Vi kontrollerer: $(x - 1) (x^{2} + 8 x + 12) = x^{3} + 8 x^{2} + 12 x - x^{2} - 8 x - 12 = x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12$ ✓

Faktoriser andregradsuttrykket $x^{2} + 8 x + 12$ :

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{- 8 \pm 4}{2}

Dette gir $x = - 2$ og $x = - 6$ .

Dermed kan vi skrive:

f (x) = (x - 1) (x + 2) (x + 6)

Nullpunktene er $x = - 6$ , $x = - 2$ og $x = 1$ .

Fortegnsanalyse. Siden ledende koeffisient er positiv ( $+ 1$ foran $x^{3}$ ), er $f (x) \to - \infty$ for $x \to - \infty$ og $f (x) \to + \infty$ for $x \to + \infty$ . Fortegnet skifter ved hvert nullpunkt:

Fortegnslinje for f(x)

Grafisk illustrasjon:

Skisse av f(x) med nullpunkter og fortegnsmerking

Kurven starter nedenfra (negativ), krysser $x$ -aksen i $x = - 6$ , går opp (positiv), krysser i $x = - 2$ , går ned (negativ), og krysser til slutt i $x = 1$ og fortsetter oppover. De røde skyggede områdene viser der $f (x) < 0$ .

Løsningen er der $f (x) < 0$ :

x \in ⟨ - \infty, - 6 ⟩ \cup ⟨ - 2, 1 ⟩

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Poengene fordeles i utgangspunktet slik: Én riktig faktor/ett riktig nullpunkt gir 1 poeng. To andre riktige faktorer/nullpunkt gir 1 poeng. Riktige intervaller gir 1 poeng. En skisse der nullpunktene er markert gir 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Likninger, Polynomdivisjon, Faktorisering, Funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet en sirkel med radius $r = 1$ . Punktet $P (0,64, 0,77)$ ligger på sirkelen.

$Enhetssirkel med punkt P(0{,}64,\ 0{,}77) og 50°-vinkel$

Er $\tan 50 ° > 1$ ? Husk å begrunne svaret ditt.

Er $\tan 130 ° > 0$ ? Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

Ja, $\tan 50 ° > 1$

Nei, $\tan 130 ° < 0$

LøsningsforslagKI-generert

I enhetssirkelen er $\cos v$ lik $x$ -koordinaten og $\sin v$ lik $y$ -koordinaten til punktet på sirkelen. Tangensen er definert som

\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}

For $v = 50 °$ gir punktet $P (0,64, 0,77)$ at

\tan 50 ° = \frac{\sin 50 °}{\cos 50 °} = \frac{0,77}{0,64} \approx 1,20

Siden $y$ -koordinaten $0,77$ er større enn $x$ -koordinaten $0,64$ , blir forholdet større enn $1$ .

Ja, $\tan 50 ° > 1$ .

Vinkelen $130 °$ ligger i andre kvadrant. Her er $x$ -koordinaten negativ og $y$ -koordinaten positiv. Vi kan bruke symmetri i enhetssirkelen: $130 ° = 180 ° - 50 °$ , og punktet på sirkelen ved $130 °$ har koordinater $(- 0,64, 0,77)$ .

\tan 130 ° = \frac{\sin 130 °}{\cos 130 °} = \frac{0,77}{- 0,64} \approx - 1,20

Fordi $x$ -koordinaten er negativ og $y$ -koordinaten er positiv, er forholdet $y / x$ negativt.

Nei, $\tan 130 ° < 0$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Enhetssirkel, Trigonometri, Argumentasjon
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Identitet for kvadrert sum fra arealmodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Stort kvadrat satt sammen av et lite kvadrat med side s og to rektangler med sider s og t

Ovenfor ser du et lite kvadrat og to rektangler som til sammen utgjør et stort kvadrat.

Hver side i det lille kvadratet har lengde $s$ . Hver side i det store kvadratet har lengde $s + t$ .

Sett opp en matematisk identitet med utgangspunkt i arealet av det store kvadratet.

Fasit

${(s + t)}^{2} = s^{2} + 2 s t + t^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Det store kvadratet har side $s + t$ , så arealet er

Areal = {(s + t)}^{2}

Samtidig ser vi av figuren at det store kvadratet er satt sammen av fire deler:

Et lite kvadrat med side $s$ : areal $= s^{2}$
To rektangler med sider $s$ og $t$ : areal $= s \cdot t = s t$ per rektangel, altså $2 s t$ til sammen
Et lite kvadrat med side $t$ : areal $= t^{2}$

Summen av delarealene gir det totale arealet:

Areal = s^{2} + 2 s t + t^{2}

Siden begge uttrykkene beskriver arealet av det samme store kvadratet, er de like:

{(s + t)}^{2} = s^{2} + 2 s t + t^{2}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som setter opp ett riktig uttrykk for arealet, kan få 1 poeng. For å få full uttelling, må kandidaten sette opp to uttrykk for arealet og vise at de to uttrykkene er identiske.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Identiteter, Algebra, Areal og omkrets
Kompetansemål: Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 2-1Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $P$ gitt ved

P (x) = 3600 \cdot {0,85}^{x} + 600

er en modell som viser hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven av en avis $x$ år etter 2010.

For hånd

Vis hvordan du på to ulike måter kan finne ut hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven i 2010.

Kalkulator

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4, P (4))$ og $(14, P (14))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Krever PC

Bestem den momentane vekstfarten når $x = 10$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

I 2019 abonnerte 1000 personer på den digitale utgaven av avisen. Antallet personer som abonnerte på den digitale utgaven, økte med 5,5 % hvert år fra 2019 til 2024.

Kalkulator

Hvilket år var det for første gang flere personer som abonnerte på den digitale utgaven av avisen enn på papirutgaven?

Fasit

$P (0) = 4200$ abonnenter i 2010.

Stigningstallet er $\approx - 150,93$ . I gjennomsnitt mistet papirutgaven ca. 151 abonnenter per år i perioden 2014–2024.

$P^{'} (10) \approx - 115,18$ . I 2020 falt antall papirabonnenter med ca. 115 per år momentant.

$2022$ var første år da digitale abonnenter oversteg papirabonnenter.

LøsningsforslagKI-generert

Graf som viser P(x) (blå), D(x) (grønn) og sekantlinjen (oransje)

Vi skal finne antall abonnenter på papirutgaven i 2010, som tilsvarer $x = 0$ .

Metode 1 – direkte innsetting:

P (0) = 3600 \cdot {0,85}^{0} + 600 = 3600 \cdot 1 + 600 = 𝟒𝟐𝟎𝟎

Metode 2 – tolke modellen:

I uttrykket $P (x) = 3600 \cdot {0,85}^{x} + 600$ er leddet $3600 \cdot {0,85}^{x}$ en eksponentialfunksjon som starter i $3600$ når $x = 0$ . Konstanten $600$ er horisontal asymptote. Startverdien er dermed $3600 + 600 = 4200$ .

I 2010 abonnerte $4200$ personer på papirutgaven.

Stigningstallet til sekanten gjennom $(4, P (4))$ og $(14, P (14))$ er den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[4, 14]$ .

Vi beregner funksjonsverdiene:

P (4) = 3600 \cdot {0,85}^{4} + 600 \approx 2479,22

P (14) = 3600 \cdot {0,85}^{14} + 600 \approx 969,97

Stigningstallet (gjennomsnittlig vekstfart):

a = \frac{P (14) - P (4)}{14 - 4} = \frac{969,97 - 2479,22}{10} \approx - 𝟏𝟓𝟎,𝟗𝟑

Sekantlinjen er $s e k (x) = - 150,93 x + 3082,92$ (vist i oransje på grafen, med punktene $A = (4, 2479,22)$ og $B = (14, 969,97)$ ).

Praktisk tolkning: Fra 2014 til 2024 mistet papirutgaven i gjennomsnitt ca. 151 abonnenter per år.

Den momentane vekstfarten er den deriverte $P^{'} (x)$ .

Siden $P (x) = 3600 \cdot {0,85}^{x} + 600$ er en eksponentialfunksjon, bruker vi at ${(a^{x})}^{'} = a^{x} \cdot \ln a$ :

P^{'} (x) = 3600 \cdot {0,85}^{x} \cdot \ln (0,85)

CAS bekrefter (se utklipp fra GeoGebra CAS):

CAS-utregning av den deriverte

Ved $x = 10$ :

P^{'} (10) = 3600 \cdot {0,85}^{10} \cdot \ln (0,85) \approx - 𝟏𝟏𝟓,𝟏𝟖

Praktisk tolkning: I 2020 ( $x = 10$ ) falt antall papirabonnenter med ca. 115 per år momentant.

Vi setter opp modellen for digitale abonnenter. I 2019 ( $x = 9$ ) var det 1000 digitale abonnenter, og antallet økte med 5,5 % per år:

D (x) = 1000 \cdot {1,055}^{x - 9}

Vi sjekker heltallsverdiene rundt der de to grafene krysser hverandre (synlig på grafen ca. ved $x \approx 11,7$ ):

$x$	År	$P (x)$	$D (x)$	$D > P$ ?
11	2021	$\approx 1202$	$\approx 1113$	Nei
12	2022	$\approx 1112$	$\approx 1174$	Ja

I 2021 var det fortsatt flere papirabonnenter enn digitale. I 2022 oversteg digitale abonnenter papirabonnenter for første gang.

$2022$ var første år da flere abonnerte digitalt enn på papir.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hver framgangsmåte som fører fram til riktig svar.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet.

For å få uttelling for praktisk tolkning av stigningstallet, må det gå tydelig fram at det er gjennomsnittlig nedgang i abonnenter per år.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig momentan vekstfart og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning.

En kandidat som regner med 1000 abonnenter i 2010, kan få 1 poeng.

En kandidat som regner ut verdier år for år og konkluderer riktig, får full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Eksponentialfunksjon, Stigningstall, Gjennomsnittlig vekstfart, Derivasjon, Geometrisk vekst
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Stjernens areal med arealsetningen

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Stjerne satt sammen av 12 like store likesidede trekanter

Maria skal lage en stjerne ved å sette sammen 12 like store likesidede trekanter. Lengdene av sidekantene i trekantene er 4.

Ved å bruke Pytagoras’ setning og arealberegninger har Maria kommet fram til at arealet av stjernen vil bli $48 \sqrt{3}$ .

Vis at du kan komme fram til samme resultat ved å bruke trigonometri.

Fasit

Arealet av stjernen er $48 \sqrt{3}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Stjernen er satt sammen av 12 like store likesidede trekanter med sidelengde 4.

En likesidet trekant har alle vinkler lik $60 °$ . Vi bruker arealsetningen på én trekant, der to sider er $a = b = 4$ og den innesluttede vinkelen er $C = 60 °$ :

A_{△} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 60 °

Det totale arealet av stjernen er 12 slike trekanter:

A_{stjerne} = 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 60 °

CAS-beregning bekrefter:

CAS-utregning: 12·(1/2)·4·4·sin(60°) = 48√3

Arealet av stjernen er $48 \sqrt{3}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som har brukt trigonometri og satt opp et riktig uttrykk for arealet av én eller flere trekanter, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Areal og omkrets, Arealsetningen
Kompetansemål: Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Rasjonal funksjon fra asymptoter og nullpunkt

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rasjonal funksjon $f$ har asymptotene $x = 2$ og $y = 4$ . Nullpunktet til funksjonen er $x = - 3$ .

Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f (x)$ . Gjør rede for hvordan du har tenkt for å komme fram til funksjonsuttrykket.

Fasit

f (x) = \frac{4 (x + 3)}{x - 2}

LøsningsforslagKI-generert

En rasjonal funksjon kan alltid skrives på formen

f (x) = \frac{a (x - x_{0})}{x - x_{1}}

der $x_{0}$ er nullpunktet, $x_{1}$ gir den vertikale asymptoten, og $a$ bestemmer den horisontale asymptoten.

Vertikal asymptote $x = 2$ : Nevneren er null når $x = 2$ , så nevneren har faktoren $(x - 2)$ .

Nullpunkt $x = - 3$ : Telleren er null når $x = - 3$ , så telleren har faktoren $(x + 3)$ .

Funksjonen er dermed

f (x) = \frac{a (x + 3)}{x - 2}

Horisontal asymptote $y = 4$ : Når $x \to \pm \infty$ dominerer de ledende leddene:

f (x) = \frac{a (x + 3)}{x - 2} \approx \frac{a x}{x} = a

Vi trenger $a = 4$ .

Funksjonsuttrykket blir:

f (x) = \frac{4 (x + 3)}{x - 2}

Verifikasjon:

$f (- 3) = \frac{4 \cdot 0}{- 3 - 2} = 0$ — nullpunkt i $x = - 3$ ✓
$f (2)$ : nevner $= 0$ — vertikal asymptote i $x = 2$ ✓
$f (x) \to 4$ når $x \to \pm \infty$ — horisontal asymptote $y = 4$ ✓

Grafen nedenfor viser begge grenene av $f$ , de stiplede asymptotene og nullpunktet $(- 3, 0)$ :

Rasjonal funksjon med asymptoter og nullpunkt

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

For å få uttelling, må kandidaten argumentere matematisk for at uttrykket er riktig. Et uttrykk som tilfredsstiller to av kravene, kan gi ett poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Programmer fakultet og forklar nuller i 100!

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$n!$ leses som « $n$ fakultet» og er produktet av de naturlige tallene fra og med 1 til og med $n$ . Se eksemplene nedenfor.

\begin{matrix} 1! & = 1 \\ 2! & = 1 \cdot 2 \\ 3! & = 1 \cdot 2 \cdot 3 \\ 4! & = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \\ 5! & = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \\ \dots \end{matrix}

Oppsett for hånd

Lag et program som kan regne ut $n!$ for et gitt naturlig tall $n$ . Bruk programmet til å regne ut $5!$ , $10!$ og $15!$ .

$100!$ er et produkt av 100 faktorer, $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 99 \cdot 100$ .

For hånd

Gjør rede for hvilke faktorer som gjør at det er 24 nuller i slutten av tallet $100!$ .

Fasit

Se program under. $5! = 120$ , $10! = 3 628 800$ , $15! = 1 307 674 368 000$ .

$24$ sluttende nuller i $100!$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lager en funksjon fakultet(n) som starter med $f = 1$ og multipliserer med hvert tall fra 1 til og med $n$ i en løkke:

def fakultet(n):
    f = 1
    for i in range(1, n + 1):
        f = f * i
    return f

print(fakultet(5))   # 120
print(fakultet(10))  # 3628800
print(fakultet(15))  # 1307674368000

Programmet gir

5! = 120, 10! = 3 628 800, 15! = 1 307 674 368 000 .

En sluttende null oppstår fordi $10 = 2 \cdot 5$ . Antall sluttende nuller i $100!$ er derfor lik antall ganger vi kan skrive $10$ som en faktor i produktet $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 100$ , det vil si $\min (antall faktorer 2, antall faktorer 5)$ .

Faktorer 2 forekommer langt oftere enn faktorer 5 (hvert partall bidrar med minst én faktor 2), så det avgjørende er antall faktorer 5.

Vi teller faktorer 5 i $100!$ ved å se hvilke tall som bidrar:

Multipler av $5$ (gir minst én faktor 5 hver): $⌊ \frac{100}{5} ⌋ = 20$ stykker.
Multipler av $25 = 5^{2}$ (gir én ekstra faktor 5 hver): $⌊ \frac{100}{25} ⌋ = 4$ stykker.
Multipler av $125 = 5^{3}$ : $⌊ \frac{100}{125} ⌋ = 0$ stykker.

Totalt antall faktorer 5:

20 + 4 = 24.

Siden det er minst 24 faktorer 2 (faktisk mange flere), kan vi danne nøyaktig $24$ par $(2 \cdot 5) = 10$ .

$100!$ har derfor $24$ sluttende nuller.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Et delvis riktig program kan gi 1 poeng.

En kandidat som finner noen riktige faktorer og gjør rede for disse, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Programmering, Faktorisering, Argumentasjon, Utforskning
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent

Oppsett for hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du får vite følgende om en tredjegradsfunksjon $f$ gitt ved

f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

Grafen til $f$ går gjennom punktet $(2, 6)$ .
Punktet $(- 2, 8)$ er et toppunkt på grafen til $f$ .
Tangenten til grafen til $f$ i punktet $(3, f (3))$ har stigningstall 4.

Bruk opplysningene ovenfor til å bestemme $a$ , $b$ , $c$ og $d$ .

Fasit

f (x) = \frac{3}{20} x^{3} + \frac{7}{40} x^{2} - \frac{11}{10} x + \frac{63}{10}

LøsningsforslagKI-generert

Vi kjenner $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ og $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ .

De tre opplysningene gir fire likninger (toppunktet gir to — ett fra $f$ -verdien og ett fra at den deriverte er null):

f (2) = 6 : 8 a + 4 b + 2 c + d = 6

f (- 2) = 8 : - 8 a + 4 b - 2 c + d = 8

f^{'} (- 2) = 0 : 12 a - 4 b + c = 0

f^{'} (3) = 4 : 27 a + 6 b + c = 4

Vi løser likningssystemet i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS — likningssystem og løsning

CAS gir:

a = \frac{3}{20}, b = \frac{7}{40}, c = - \frac{11}{10}, d = \frac{63}{10}

Dermed er

f (x) = \frac{3}{20} x^{3} + \frac{7}{40} x^{2} - \frac{11}{10} x + \frac{63}{10}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

I utgangspunktet knyttes ett poeng til hvert kulepunkt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Funksjonsdrøfting, Likningssystem, Derivasjon
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Areal av firkant ABCD med trigonometri

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Klassen til Isabel og Anniken skal vise at de kan bruke trigonometri for å bestemme arealet av figuren nedenfor.

Firkant ABCD med AB = 8{,}0 og DC = 12{,}0

Læreren har delt klassen i grupper og gitt hver gruppe noen opplysninger i tillegg til informasjonen som kan leses ut fra figuren.

Gruppen til Isabel har fått vite at $A D = 6,0$ , $B C = 10,0$ og at diagonalen $A C = 16,4$ .

Kalkulator

Vis hvordan gruppen til Isabel kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

Gruppen til Anniken har fått vite at $∠ A = 62,5 °$ , $∠ C = 38,3 °$ , $∠ A B D = 45,5 °$ og $∠ C B D = 85,5 °$ .

Kalkulator

Vis hvordan gruppen til Anniken kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

Fasit

$Areal \approx 58,5 m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Utregningene er gjort i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS-utregning for begge deloppgavene

Vi deler firkanten $A B C D$ i to trekanter ved å trekke diagonalen $A C$ .

Trekant $A B C$ — finn $∠ B$ med cosinussetningen:

Vi kjenner alle tre sidene $A B = 8,0$ , $B C = 10,0$ og $A C = 16,4$ , og bruker cosinussetningen til å finne $∠ A B C$ :

\cos (∠ B) = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2 \cdot A B \cdot B C} = \frac{64 + 100 - 268,96}{160} \approx - 0,656

∠ B \approx 131,0 °

Areal av $△ A B C$ med arealsetningen:

T_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot \sin (∠ B) = \frac{1}{2} \cdot 8,0 \cdot 10,0 \cdot \sin (131,0 °) \approx 30,2

Trekant $A C D$ — finn $∠ D$ med cosinussetningen:

Vi kjenner $A D = 6,0$ , $D C = 12,0$ og $A C = 16,4$ :

\cos (∠ D) = \frac{A D^{2} + D C^{2} - A C^{2}}{2 \cdot A D \cdot D C} = \frac{36 + 144 - 268,96}{144} \approx - 0,618

∠ D \approx 128,2 °

Areal av $△ A C D$ med arealsetningen:

T_{A C D} = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot D C \cdot \sin (∠ D) = \frac{1}{2} \cdot 6,0 \cdot 12,0 \cdot \sin (128,2 °) \approx 28,3

Totalt areal:

T_{A B C D} = T_{A B C} + T_{A C D} \approx 30,2 + 28,3 \approx 58,5 m^{2}

Vi deler firkanten $A B C D$ i to trekanter ved å trekke diagonalen $B D$ .

Trekant $A B D$ — finn $B D$ med sinussetningen:

Vinklene i $△ A B D$ er $∠ A = 62,5 °$ , $∠ A B D = 45,5 °$ , og dermed:

∠ A D B = 180 ° - 62,5 ° - 45,5 ° = 72,0 °

Vi bruker sinussetningen med den kjente siden $A B = 8,0$ :

\frac{B D}{\sin (∠ A)} = \frac{A B}{\sin (∠ A D B)} ⟹ B D = \frac{8,0 \cdot \sin (62,5 °)}{\sin (72,0 °)} \approx 7,46

Areal av $△ A B D$ med arealsetningen:

T_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B D \cdot \sin (∠ A B D) = \frac{1}{2} \cdot 8,0 \cdot 7,46 \cdot \sin (45,5 °) \approx 21,3

Trekant $B C D$ — finn $∠ B D C$ :

Vinklene er $∠ C = 38,3 °$ , $∠ C B D = 85,5 °$ , og dermed:

∠ B D C = 180 ° - 38,3 ° - 85,5 ° = 56,2 °

Areal av $△ B C D$ med arealsetningen:

T_{B C D} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot D C \cdot \sin (∠ B D C) = \frac{1}{2} \cdot 7,46 \cdot 12,0 \cdot \sin (56,2 °) \approx 37,2

Totalt areal:

T_{A B C D} = T_{A B D} + T_{B C D} \approx 21,3 + 37,2 \approx 58,5 m^{2}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som har gjort noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som bruker flere opplysninger enn gruppa til Isabel har tilgang til, får ingen uttelling.

En kandidat som har gjort noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som bruker flere opplysninger enn gruppa til Anniken har tilgang til, får ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Areal og omkrets, Cosinussetningen, Arealsetningen
Kompetansemål: Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal
Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$Grønnsakhage med rektangel (x \times y) og to likebeinte rettvinklede trekanter med kateter x$

Else skal gjerde inn tre områder for å lage en grønnsakhage. Det største området skal ha form som et rektangel og de to minste som likebeinte rettvinklede trekanter. Se figuren ovenfor.

Else skal sette opp gjerde langs alle linjestykkene vist på figuren ovenfor. Hun har til sammen 100 m gjerde som hun vil bruke.

Kalkulator

Hvor stort blir arealet av grønnsakhagen dersom hun velger at katetene i trekantene skal være 8 meter?

Krever PC

Lag en oversikt som viser hvordan arealet av grønnsakhagen endrer seg dersom hun velger andre lengder på katetene. Av oversikten skal Else kunne se omtrent hvor lange katetene må være for at arealet av grønnsakhagen skal bli størst mulig.

For hånd

Lag en modell $A$ som Else kan bruke for å regne ut arealet $A (x)$ av grønnsakhagen for ulike verdier av $x$ .

Kalkulator

Bruk modellen til å finne den lengden av katetene som vil gi det største arealet.

For hånd

Bestem modellens gyldighetsområde.

Fasit

$A \approx 245,5 m^{2}$

Tabellen viser at maksimum er rundt $x \approx 10$ – $11 m$ .

$A (x) = 50 x - x^{2} (1 + \sqrt{2})$

$x = 25 (\sqrt{2} - 1) \approx 10,36 m$ , maksimalt areal $A = 625 (\sqrt{2} - 1) \approx 258,9 m^{2}$

$0 < x < 25 (2 - \sqrt{2}) \approx 14,6$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være lengden på katetene i de to likebeinte rettvinklede trekantene, og $y$ være lengden på rektangelets lange side.

Bibetingelse (totalt gjerde = 100 m):

Gjerdet består av to lange rektangelsider ( $2 y$ ), to korte rektangelsider ( $2 x$ ) og per trekant: én ekstra katet ( $x$ ) og én hypotenus. Hypotenusen i en likebeint rettvinklet trekant med kateter $x$ er $x \sqrt{2}$ (Pytagoras). Siden den delte kateten allerede er telt som rektangelets korte side, bidrar hver trekant med $x + x \sqrt{2}$ ekstra til gjerdet:

2 y + 2 x + 2 (x + x \sqrt{2}) = 100

2 y + 4 x + 2 x \sqrt{2} = 100 ⟹ y = 50 - 2 x - x \sqrt{2}

Vi setter $x = 8$ :

y = 50 - 2 \cdot 8 - 8 \sqrt{2} = 34 - 8 \sqrt{2} \approx 22,69 m

Arealet av rektangelet:

A_{rekt} = x \cdot y = 8 (34 - 8 \sqrt{2}) = 272 - 64 \sqrt{2} m^{2}

Arealet av to likebeinte rettvinklede trekanter med kateter $x$ :

A_{trek} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = x^{2} = 64 m^{2}

Totalt areal:

A = (272 - 64 \sqrt{2}) + 64 = 336 - 64 \sqrt{2} \approx 𝟐𝟒𝟓,𝟓 m^{𝟐}

Vi beregner $A (x) = 50 x - x^{2} (1 + \sqrt{2})$ for ulike verdier av $x$ :

$x$ (m)	$A (x)$ (m²)
1	47,6
5	189,6
8	245,5
10	258,6
11	257,9
12	252,4
14	226,8

Av tabellen ser vi at arealet er størst rundt $x \approx 10$ m.

En likebeint rettvinklet trekant med kateter $x$ har areal $\frac{x^{2}}{2}$ . To slike trekanter gir samlet areal $x^{2}$ .

Med bibetingelsen $y = 50 - 2 x - x \sqrt{2}$ blir det totale arealet:

A (x) = x \cdot y + x^{2} = x (50 - 2 x - x \sqrt{2}) + x^{2}

= 50 x - 2 x^{2} - x^{2} \sqrt{2} + x^{2}

A (x) = 50 x - x^{2} (1 + \sqrt{2})

Vi bruker CAS til å finne $A^{'} (x)$ og løse $A^{'} (x) = 0$ :

GeoGebra CAS: A(x), A'(x), løsning og maksimumsverdi

CAS gir:

A^{'} (x) = 50 - 2 x (1 + \sqrt{2})

A^{'} (x) = 0 ⟹ x = \frac{25}{1 + \sqrt{2}} = 25 (\sqrt{2} - 1) \approx 10,36 m

(rasjonalisert ved å gange med $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1}$ )

Maksimalt areal:

A_{\max} = 625 (\sqrt{2} - 1) \approx 258,9 m^{2}

Siden $A^{'} (x) > 0$ for $x < 25 (\sqrt{2} - 1)$ og $A^{'} (x) < 0$ for $x > 25 (\sqrt{2} - 1)$ , er dette et maksimum.

Grafen bekrefter resultatet:

$Graf av A(x) = 50x - x^2(1+\sqrt{2}) med toppunkt Maks \approx (10{,}36;\, 258{,}9)$

Katetlengden $x = 25 (\sqrt{2} - 1) \approx 10,36 m$ gir størst areal på $625 (\sqrt{2} - 1) \approx 258,9 m^{2}$ .

For at modellen skal gi mening må både $x > 0$ og $y > 0$ :

y = 50 - 2 x - x \sqrt{2} > 0 ⟹ x < \frac{50}{2 + \sqrt{2}} = 25 (2 - \sqrt{2}) \approx 14,6 m

Gyldighetsområdet er:

0 < x < 25 (2 - \sqrt{2}) (dvs. x \in ⟨ 0, 25 (2 - \sqrt{2}) ⟩)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

En kandidat som har gjort noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

For å få full uttelling må kandidaten lage en systematisk oversikt med verdier som gjør at det er mulig å se omtrent hvor lange katetene må være.

Mindre systematiske eller mangelfulle oversikter kan gi 1 poeng.

En delvis riktig modell kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Optimering, Modellering, Funksjonsdrøfting, Areal og omkrets, Pytagoras
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver · 12 poeng

Oppgave 1-1Verifiser dobbeltvinkelformel med 30-60-90-trekant

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Bunnpunkt på faktorisert andregradsfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Identitet for kvadrert sum fra arealmodell

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 31 poeng

Oppgave 2-1Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Stjernens areal med arealsetningen

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Rasjonal funksjon fra asymptoter og nullpunkt

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Programmer fakultet og forklar nuller i 100!

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Areal av firkant ABCD med trigonometri

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver · 12 poeng

Oppgave 1-1·Verifiser dobbeltvinkelformel med 30-60-90-trekant

Oppgave 1-2·Bunnpunkt på faktorisert andregradsfunksjon

Oppgave 1-3·Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk

Oppgave 1-4·Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen

Oppgave 1-5·Identitet for kvadrert sum fra arealmodell

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 31 poeng

Oppgave 2-1·Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart

Oppgave 2-2·Stjernens areal med arealsetningen

Oppgave 2-3·Rasjonal funksjon fra asymptoter og nullpunkt

Oppgave 2-4·Programmer fakultet og forklar nuller i 100!

Oppgave 2-5·Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent

Oppgave 2-6·Areal av firkant ABCD med trigonometri

Oppgave 2-7·Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde

Temaer

Oppgave 1-1Verifiser dobbeltvinkelformel med 30-60-90-trekant

Oppgave 1-2Bunnpunkt på faktorisert andregradsfunksjon

Oppgave 1-3Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk

Oppgave 1-4Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen

Oppgave 1-5Identitet for kvadrert sum fra arealmodell

Oppgave 2-1Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart

Oppgave 2-2Stjernens areal med arealsetningen

Oppgave 2-3Rasjonal funksjon fra asymptoter og nullpunkt

Oppgave 2-4Programmer fakultet og forklar nuller i 100!

Oppgave 2-5Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent

Oppgave 2-6Areal av firkant ABCD med trigonometri

Oppgave 2-7Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde