1T Høst 2022

Nullpunktene til $f$ er der $f(x) = 0$, altså der en av faktorene er null:

Nullpunktene er altså $x = -4$, $x = 2$ og $x = 4$.

Den eneste grafen som passer er A. Der ser vi at de to ytterste nullpunktene er like langt fra origo.

Vi setter opp en fortegnslinje for $f(x) = (x-4)(x-2)(x+4)$. Nullpunktene deler tallinja i fire intervaller:

$f(x) > 0$ i intervallene der produktet er positivt:

Programmet starter med $x = 8$ og teller ned med $1$ for hver runde i løkken, helt til $x < -8$. For hver verdi av $x$ regner det ut $f(x) = \dfrac{1 - 2x}{x - 2}$ og skriver ut $x$ og $f(x)$.

Formålet er altså å lage en tabell over funksjonsverdiene $f(x)$ for heltall fra $8$ til $-8$.

Etter at de seks linjene er skrevet ut, er neste verdi $x = 2$. Da er nevneren $x - 2 = 0$, og Python klarer ikke å dividere med null. Programmet krasjer med feilmeldingen ZeroDivisionError: division by zero.

Svar: Lars ønsker å lage en tabell over $f(x)$ for heltallsverdier av $x$ fra $8$ til $-8$. Feilmeldingen kommer fordi $f(2)$ er udefinert — nevneren $x - 2 = 0$ når $x = 2$.

En måte å unngå feilmeldingen på er å hoppe over $x = 2$ med en if-setning:

def f(x):
    return (1 - 2 * x) / (x - 2)

x = 8

while x >= -8:
    if x != 2:
        print(x, f(x))
    x = x - 1

En annen mulighet er å fange feilen med try/except:

def f(x):
    return (1 - 2 * x) / (x - 2)

x = 8

while x >= -8:
    try:
        print(x, f(x))
    except ZeroDivisionError:
        print(x, "udefinert")
    x = x - 1

Funksjonen er $f(x) = \dfrac{1 - 2x}{x - 2}$.

Vi finner viktige punkter og linjer:

Loddrett asymptote: Nevneren er null når $x - 2 = 0$, altså $x = 2$.

Vannrett asymptote: For store $|x|$ dominerer leddene med høyest grad. Da er

Vannrett asymptote: $y = -2$.

Nullpunkt: $f(x) = 0$ gir $1 - 2x = 0$, altså $\underline{x = \dfrac{1}{2}}$.

Skjæring med $y$-aksen: $f(0) = \dfrac{1 - 0}{0 - 2} = -\dfrac{1}{2}$.

Skisse:

Grafen har to grener, én for $x < 2$ og én for $x > 2$. Begge grenene nærmer seg asymptotene $x = 2$ og $y = -2$. Grafen skjærer $x$-aksen i $\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$ og $y$-aksen i $\left(0, -\dfrac{1}{2}\right)$.

For $x > 2$ er telleren $1 - 2x < 0$ og nevneren $x - 2 > 0$, så $f(x) < 0$. Grenen går fra $-\infty$ (ved $x = 2^+$) opp mot $-2$ (når $x \to \infty$).

For $x < 2$ er grenen over asymptoten $y = -2$ for $x < \frac{1}{2}$ (med skjæring i $x$-aksen og $y$-aksen som markert), og fortsetter opp mot $+\infty$ når $x \to 2^-$.

Vi setter inn $x = 0$:

Temperaturen i vannet når strømmen blir slått av, er $\underline{\underline{38\degree\mathrm{C}}}$.

Vi løser ulikheten $T(x) < 20$ i CAS:

Altså gjelder $T(x) < 20$ for $x > 5{,}30$.

Temperaturen er under $20\degree\mathrm{C}$ etter ca. $\underline{\underline{5{,}30 \mathrm{~timer}}}$ (omtrent 5 timer og 18 minutter).

Stigningstallet til linjen gjennom $(0,\, T(0))$ og $(4,\, T(4))$ er

CAS gir $T(4) \approx 23{,}265$ og $T(0) = 38$, så

Stigningstallet er $\underline{\underline{a \approx -3{,}68 \degree\mathrm{C}\text{ per time}}}$.

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt synker temperaturen i bassenget med ca. $3{,}68\degree\mathrm{C}$ per time de første 4 timene etter at strømmen slås av.

Temperaturnedgangen i løpet av time nummer $x$ til $x+1$ er $T(x) - T(x+1)$.

Siden $T$ er en avtagende eksponentialfunksjon, er nedgangen størst i begynnelsen og avtar for hver time. Det er altså tilstrekkelig å sjekke den første timen:

CAS bekrefter $T(0) - T(1) \approx 4{,}485 < 5$.

Temperaturen synker aldri med mer enn $5\degree\mathrm{C}$ i løpet av en time. Den største nedgangen er ca. $4{,}49\degree\mathrm{C}$, og den skjer i den første timen.

Funksjonen $T(x) = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^x$ har horisontal asymptote $y = 3{,}5$, siden $0{,}87^x \to 0$ når $x \to \infty$.

Tallet $3{,}5$ er omgivelsestemperaturen — den temperaturen vannet vil nærme seg på lang sikt (men aldri gå under). Dette tilsvarer lufttemperaturen rundt bassenget, som er den naturlige likevektstemperaturen.

Siden $S$ er sentrum i sirkelen, er $SA = SB = SC = r$ (alle er radier). Dermed er $\triangle SBC$ likebeint med $SB = SC = r$.

Fra figuren ser vi at $\angle BSC = 45°$.

Arealet av en trekant er $T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$, der $a$ og $b$ er to sider og $C$ er vinkelen mellom dem. For $\triangle SBC$:

Vi setter opp likningen $T_{\triangle SBC} = 3\sqrt{2}$ og løser i CAS:

(Den negative løsningen $r = -2\sqrt{3}$ forkastes siden en radius er positiv.)

$\triangle ABC$ og $\triangle SBC$ har felles høyde fra $C$ ned til linja $AB$.

• Grunnlinja i $\triangle ABC$ er $AB = 2r$
• Grunnlinja i $\triangle SBC$ er $SB = r$

Derfor er arealet av $\triangle ABC$ dobbelt så stort som arealet av $\triangle SBC$:

Cosinussetningen sier at $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$. Vi sammenligner med likningen

og ser at leddet $-16x$ svarer til $-2 \cdot 16 \cdot x \cdot \cos A$, som gir

Nina og Edvard har altså en trekant med to kjente sider $16$ og $x$, der den mellomliggende vinkelen er $60°$. Den tredje siden (motstående $A$) er $14$.

Vi løser andregradslikningen i GeoGebra CAS:

CAS gir $\textcolor{seagreen}{x = 6}$ eller $\textcolor{steelblue}{x = 10}$.

Begge løsningene er positive og kan være sider i en trekant. Ninas antakelse er altså riktig — det finnes to ulike trekanter:

• Trekant 1: sider $14$, $16$, $\textcolor{seagreen}{6}$, med $60°$ mellom sidene $16$ og $6$.
• Trekant 2: sider $14$, $16$, $\textcolor{steelblue}{10}$, med $60°$ mellom sidene $16$ og $10$.

Skisse (begge trekantene):

         14             14
    /‾‾‾‾‾‾‾‾\     /‾‾‾‾‾‾‾‾\
   /  60°      \   /  60°      \
  /____________\ /____________\
  16      6        16     10

(Vinkelen på $60°$ er mellom sidene $16$ og $x$, motstående side er $14$.)

For at likningen

skal ha nøyaktig én løsning, må diskriminanten være null:

CAS bekrefter: $\textup{Løs}(4a^2 - 768 = 0, a) \to a = 8\sqrt{3}$ (positiv løsning).

Da er $x = \dfrac{16}{2} = 8$ (dobbeltrot: $x = \dfrac{-(-16)}{2 \cdot 1} = 8$).

Trekanten har sidene $\underline{\underline{8\sqrt{3}}}$, $16$ og $\underline{\underline{8}}$, med $60°$ mellom sidene $16$ og $8$.

Vi legger inn datapunktene fra tabellen og utfører potensregresjon i GeoGebra (Regneark → velg data → Analyse av ett datasett → Regresjon → Potensfunksjon).

GeoGebra gir:

$\underline{\underline{S(x) \approx 2{,}03 \cdot x^{0{,}47}}}$

Grafen viser at regresjonskurven (blå) passer godt til alle målepunktene (røde).

Vi skriver om fysikkformelen slik at den ligner på potensformen $a \cdot x^b$:

Med $g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2}$:

Altså gir fysikkformelen:

Vi sammenligner:

Koeffisienten fra forsøket ($2{,}03$) avviker kun ca. $1\,\%$ fra den teoretiske verdien ($2{,}006$), og eksponenten ($0{,}47$) avviker ca. $6\,\%$ fra $0{,}5$. Modellen fra forsøket stemmer godt med fysikkformelen.

Avvikene skyldes målefeil i forsøket og at vi ser bort fra friksjon og luftmotstand i formelen.

Vi lar $x$ være bredden i rektangelet (i meter). Siden omkretsen er $64 \, \mathrm{m}$, blir

der $y$ er lengden. Vi setter opp en oversikt over ulike verdier:

Oversikten viser at arealet er størst når $x = 16 \, \mathrm{m}$ og $y = 16 \, \mathrm{m}$, altså når rektangelet er et kvadrat. Dette støtter Pers påstand.

Vi bruker at $y = 32 - x$ og setter opp arealet som funksjon av $x$:

Vi finner toppunktet med GeoGebra CAS:

Grafen viser $A(x) = x(32 - x)$ med toppunktet $A = (16, 256)$.

Siden toppunktet er i $x = 16$, blir lengden $y = 32 - 16 = 16 \, \mathrm{m}$.

Rektangelet er altså et kvadrat med sidelengde $16 \, \mathrm{m}$, og det største arealet er

Dette bekrefter Pers påstand.