1T Vår 2022

1T Vår 2022 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 6 oppgaver · 18 poeng
1	Andregradslikning og ulikhet med faktorisering 1T V22	KI
2	Identitet med andre kvadratsetning	KI
3	Rettvinklet trekant med tan B og tre tester	KI
4	Python-program med kvadrater og while-løkke	KI
5	Rasjonal funksjon fra asymptoter og to uttrykk	KI
6	Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon	KI
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 38 poeng
1	Vanntank som tappes ut	KI
2	Klossmønster i tre figurer	KI
3	Eksakt omkrets og arealforhold i firkant	KI
4	Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell	KI
5	Andregradsfunksjon fra tangentstigninger	KI
6	Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter	KI

Oppgave 1-1 : Andregradslikning og ulikhet med faktorisering 1T V22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

(x-2)(x+1)=0

Sett opp en ulikhet som har løsning $x\in\langle\leftarrow,-1\rangle\cup\langle 2,\rightarrow\rangle$

Husk å begrunne svaret.

Fasit

$\underline{\underline{x = -1 \text{ eller } x = 2}}$

$(x+1)(x-2) > 0$

LøsningsforslagKI-generert

Produktet $(x-2)(x+1) = 0$ når én av faktorene er null:

x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{seagreen}{x = 2}

x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{steelblue}{x = -1}

Svar: $\underline{\underline{x = -1 \text{ eller } x = 2}}$

Løsningsmengden $x \in \langle\leftarrow, -1\rangle \cup \langle 2, \rightarrow\rangle$ betyr at $x < -1$ eller $x > 2$ , altså utenfor røttene $x = -1$ og $x = 2$ .

Vi setter opp ulikheten med et andregradsuttrykk som har røtter i $x = -1$ og $x = 2$ . Siden parabelen åpner oppover (positivt fortegnskoeffisient), er uttrykket positivt utenfor røttene.

\textcolor{seagreen}{(x+1)}\textcolor{steelblue}{(x-2)} > 0

Begrunnelse med fortegnslinje:

	$x < -1$	$x = -1$	$-1 < x < 2$	$x = 2$	$x > 2$
$(x+1)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$(x-2)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$(x+1)(x-2)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Produktet er positivt (større enn null) når $x < -1$ eller $x > 2$ , som stemmer med den gitte løsningsmengden.

Svar: $\underline{\underline{(x+1)(x-2) > 0}}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Riktig svar uten begrunnelse gir 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Faktorisering, Andregradslikninger, Ulikheter
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing

Oppgave 1-2 : Identitet med andre kvadratsetning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem $r$ og $s$ slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet

9x^2-30x+r=(3x-s)^2

Fasit

$r = \underline{\underline{25}}$ , $s = \underline{\underline{5}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utvider høyre side med andre kvadratsetning $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :

(3x - s)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot s + s^2 = 9x^2 - 6sx + s^2

For at dette skal være en identitet, må koeffisientene på venstre og høyre side stemme overens for alle ledd.

Koeffisient foran $x$ :

-30 = -6s \implies s = \frac{30}{6} = \textcolor{steelblue}{5}

Konstantleddet:

r = s^2 = 5^2 = \textcolor{seagreen}{25}

Kontroll: Vi setter inn $s = 5$ og $r = 25$ :

9x^2 - 30x + 25 = (3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25 \checkmark

Identiteten holder, og vi har $\textcolor{steelblue}{s = 5}$ og $\textcolor{seagreen}{r = 25}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Identiteter, Andregradsfunksjon, Faktorisering
Kompetansemål: Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon
Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing

Oppgave 1-3 : Rettvinklet trekant med tan B og tre tester

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Om en rettvinklet trekant $ABC$ får du vite at $\tan\angle B=\dfrac{3}{4}$ .

Kan det være riktig at $\sin\angle B=\dfrac{3}{10}$ ?
Kan det være riktig at den ene kateten er 6 og den andre kateten er 8?
Kan det være riktig at hypotenusen er kortere enn 4?

Husk å begrunne alle tre svarene.

Fasit

Nei, $\sin\angle B = \dfrac{3}{5}$ , ikke $\dfrac{3}{10}$ .
Ja, kateter 6 og 8 er mulig.
Ja, hypotenusen kan godt være kortere enn 4.

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at $\tan\angle B = \dfrac{3}{4}$ . Det betyr at i en rettvinklet trekant $ABC$ er forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet lik $\dfrac{3}{4}$ .

Den enkleste slike trekanten har motstående katet $= 3$ og hosliggende katet $= 4$ . Pytagoras gir

\text{hypotenus} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Påstand 1: Kan $\sin\angle B = \dfrac{3}{10}$ ?

Sinus er forholdet mellom motstående katet og hypotenusen:

\sin\angle B = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}} = \frac{3}{5}

$\dfrac{3}{5} \neq \dfrac{3}{10}$ , så påstanden er feil.

Påstand 2: Kan den ene kateten være 6 og den andre 8?

Vi sjekker om $\tan\angle B = \dfrac{3}{4}$ stemmer med kateter 6 og 8. Velger vi motstående $= 6$ og hosliggende $= 8$ :

\tan\angle B = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \checkmark

Dette er den 3–4–5-trekanten skalert med faktor 2 (kateter $6 = 2 \cdot 3$ og $8 = 2 \cdot 4$ , hypotenus $10 = 2 \cdot 5$ ). Påstanden er riktig.

Påstand 3: Kan hypotenusen være kortere enn 4?

Trekanten behøver ikke ha akkurat kateter 3 og 4 — alle tre sidene kan skaleres med samme positive faktor $k$ og $\tan\angle B$ forblir $\dfrac{3}{4}$ . Med faktor $k$ er sidene:

\text{motstående} = 3k, \quad \text{hosliggende} = 4k, \quad \text{hypotenus} = 5k

Velger vi for eksempel $k = \dfrac{1}{2}$ :

\text{motstående} = \frac{3}{2}, \quad \text{hosliggende} = 2, \quad \text{hypotenus} = \frac{5}{2} = 2{,}5

Her er hypotenusen $2{,}5 < 4$ , og $\tan\angle B = \dfrac{3/2}{2} = \dfrac{3}{4}$ stemmer. Påstanden er riktig.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

1 poeng for hvert riktig svar som er begrunnet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Trigonometri, Rettvinklet trekant, Pytagoras, Argumentasjon
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar

Oppgave 1-4 : Python-program med kvadrater og while-løkke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

def f(x):
    return x ** 2     # Definerer funksjonen f gitt ved f(x) = x ^ 2

x = 1

while f(x) <= 400:
    print(f(x))
    x = x + 1

Forklar hva som skjer når programmet ovenfor kjøres. Hva blir resultatet?

Fasit

Programmet skriver ut kvadrattallene $1, 4, 9, 16, \ldots, 400$ (de 20 første kvadrattallene).

LøsningsforslagKI-generert

Programmet definerer funksjonen $f(x) = x^2$ og starter med $x = 1$ .

While-løkken kjører så lenge betingelsen $f(x) \leq 400$ er oppfylt, det vil si så lenge $x^2 \leq 400$ .

For hvert steg i løkken skjer to ting:

print(f(x)) skriver ut verdien $x^2$ .
x = x + 1 øker $x$ med 1.

Siden $20^2 = 400 \leq 400$ er betingelsen sann, men $21^2 = 441 > 400$ er den ikke lenger sann. Løkken stopper derfor etter at $x = 20$ er skrevet ut.

Programmet skriver ut alle perfekte kvadrattall fra $1^2$ til $20^2$ :

1, \; 4, \; 9, \; 16, \; 25, \; 36, \; 49, \; 64, \; 81, \; 100, \; 121, \; 144, \; 169, \; 196, \; 225, \; 256, \; 289, \; 324, \; 361, \; 400

Det er $\underline{\underline{20}}$ tall som skrives ut, og det siste tallet er $\underline{\underline{400}}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som bare viser forståelse for enkeltlinjer i koden, får 1 poeng. En kandidat som viser forståelse for koden og while-løkken, får 2 poeng. En kandidat som også har fått klart fram at programmet skriver ut de 20 første kvadrattallene, får 3 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Programmering
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering

Oppgave 1-5 : Rasjonal funksjon fra asymptoter og to uttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rasjonal funksjon $f$ har vertikal asymptote $x=-2$ og horisontal asymptote $y=3$ .

Bestem to mulige funksjonsuttrykk for $f$ . Husk å forklare hvordan du tenker.

Fasit

For eksempel $f(x) = \dfrac{3x}{x+2}$ og $f(x) = \dfrac{3x+1}{x+2}$ (mange svar er mulige).

LøsningsforslagKI-generert

En rasjonal funksjon med vertikal asymptote $x = -2$ har $(x+2)$ i nevneren. For å få horisontal asymptote $y = 3$ må telleren og nevneren ha samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter må være $3$ .

Den generelle formen blir:

f(x) = \frac{3x + k}{x + 2}, \quad k \neq 6

(Kravet $k \neq 6$ sikrer at uttrykket ikke forenkles til konstanten $3$ .)

Vi kan kontrollere asymptotene for et slikt uttrykk:

\lim_{x \to \infty} \frac{3x + k}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \tfrac{k}{x}}{1 + \tfrac{2}{x}} = \frac{3}{1} = 3 \checkmark

Nevneren er null når $x + 2 = 0$ , det vil si $x = -2$ $\checkmark$

To eksempler på gyldige funksjonsuttrykk:

Eksempel 1 ( $k = 0$ ):

\mathbf{f(x) = \frac{3x}{x+2}}

Eksempel 2 ( $k = 1$ ):

\mathbf{f(x) = \frac{3x+1}{x+2}}

Begge har vertikal asymptote $x = -2$ og horisontal asymptote $y = 3$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

1 poeng dersom den første funksjonen har vertikal asymptote. 1 poeng dersom den første funksjonen har horisontal asymptote. 1 poeng for en ny funksjon med de samme asymptotene. Om forklaringene er mangelfulle, får kandidaten maksimalt 2 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 1-6 : Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x)=2x^3+x^2-18x-9

Vis at divisjonen $f(x):(x-3)$ går opp.

Gjør beregninger, og vurder hvilken av grafene nedenfor som kan være grafen til $f$ .

Tre kandidater A, B og C for grafen til f

Fasit

$f(3) = 0$ , så resten ved divisjon med $(x-3)$ er $0$ — divisjonen går opp.

$f(x) = (x-3)(2x+1)(x+3)$ , nullpunkter i $x = -3$ , $x = -\dfrac{1}{2}$ og $x = 3$ . Graf C.

LøsningsforslagKI-generert

Etter restsetningen er resten ved divisjon av $f(x)$ med $(x - 3)$ lik $f(3)$ . Vi regner ut:

f(3) = 2 \cdot 3^3 + 3^2 - 18 \cdot 3 - 9 = 54 + 9 - 54 - 9 = 0

Siden $f(3) = 0$ , er resten $0$ , og dermed går divisjonen $f(x):(x-3)$ opp. $\square$

Først finner vi kvotienten ved polynomdivisjon $f(x) : (x-3)$ , slik at vi kan finne de andre nullpunktene:

f(x) = (x - 3)(2x^2 + 7x + 3)

De resterende nullpunktene finner vi ved å løse $2x^2 + 7x + 3 = 0$ med andregradsformelen:

x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-7 \pm 5}{4}

x = -\frac{1}{2} \qquad \text{eller} \qquad x = -3

Sammen med $x = 3$ fra oppgave a) har $f$ altså tre nullpunkter:

\underline{x = -3}, \qquad \underline{x = -\frac{1}{2}}, \qquad \underline{x = 3}

Vi ser etter den grafen som krysser $x$ -aksen i nøyaktig disse tre punktene. Bare graf C har nullpunkter på riktige steder ( $x = -3$ , $x = -\frac{1}{2}$ og $x = 3$ ).

$\underline{\underline{\text{Graf C}}}$ er grafen til $f$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Oppgave a) og b) må ses under ett. En riktig polynomdivisjon gir 2 poeng (1 poeng i a) og 1 av 3 poeng i b)). Riktig svar uten begrunnelse gir 0 poeng. En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 eller 2 poeng. For å få 3 poeng, må kandidaten være presis i sin begrunnelse.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Tredjegradsfunksjon, Grafisk framstilling
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-1 : Vanntank som tappes ut

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut.

Anta at funksjonen $V$ gitt ved

V(x)=2000-2000\cdot\left(1-\frac{x}{40}\right)^2,\quad 0\le x\le 40

kan brukes som en modell for hvor mange liter vann $V(x)$ som er tappet ut av tanken $x$ minutter etter at tappingen startet.

Bestem $V(0)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Bestem verdimengden til $V$ .

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av vannet er tappet ut av tanken?

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0,V(0))$ og $(30,V(30))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Undersøk om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.

Fasit

$V(0) = 0 \mathrm{~L}$ . Tolkning: ingen vann er tappet ut ved starten.

$\langle 0, 2000 \rangle$

$x \approx 11{,}72 \mathrm{~min}$ (ca. 11 min 43 s)

Stigningstallet er $\mathbf{62{,}5}$ . Tolkning: gjennomsnittlig ble det tappet ut 62,5 liter per minutt de første 30 minuttene.

Det tappes aldri ut mer enn 105 liter i løpet av ett minutt. Høyest hastighet er i første minutt: $V(1) - V(0) = 98{,}75 \mathrm{~L}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til alle utregningene. Se skjermbildet under for linjene 1–7.

Vanntank som tappes ut – CAS-beregninger

Vi definerer funksjonen og beregner $V(0)$ (linje 1–2 i CAS):

V(x) = 2000 - 2000 \cdot \left(1 - \frac{x}{40}\right)^2

V(0) = 2000 - 2000 \cdot \left(1 - \frac{0}{40}\right)^2 = 2000 - 2000 \cdot 1 = \mathbf{0}

$V(0) = 0$ , det vil si at ved starten av tappingen ( $x = 0$ ) er det tappet ut 0 liter – tanken er ennå full.

Funksjonen $V(x) = 2000 - 2000\left(1-\frac{x}{40}\right)^2$ er definert på $\langle 0, 40 \rangle$ .

Fra CAS (linje 2–3): $V(0) = 0$ og $V(40) = \mathbf{2000}$ .

Siden $V$ er en andregradsfunksjon med positiv ledende koeffisient ( $-2000 \cdot (-1/40)^2 \cdot x^2 \Rightarrow$ koeffisient $= -2000/1600 = -1{,}25 < 0$ ) og har maksimum ved $x = 40$ , er $V$ voksende på $\langle 0, 40 \rangle$ .

Verdimengden er $\mathbf{\langle 0, 2000 \rangle}$ liter.

Vi løser $V(x) = 1000$ (halvparten av 2000 liter). Se linje 4 i CAS:

2000 - 2000\left(1 - \frac{x}{40}\right)^2 = 1000

CAS gir $x \approx 11{,}72$ (og $x \approx 68{,}28$ , men den er utenfor definisjonsmengden $[0, 40]$ ).

Det tar omtrent $\underline{\underline{11{,}72 \mathrm{~min}}}$ (ca. 11 min 43 s) før halvparten av vannet er tappet ut.

Vi beregner stigningstallet til den rette linjen gjennom $(0, V(0))$ og $(30, V(30))$ .

Fra CAS (linje 5–6): $V(30) = 1875$ og

\frac{V(30) - V(0)}{30 - 0} = \frac{1875 - 0}{30} = \mathbf{62{,}5}

Stigningstallet er $\underline{\underline{62{,}5}}$ .

Tolkning: de første 30 minuttene ble det i gjennomsnitt tappet ut 62,5 liter per minutt.

Vi undersøker om det noen gang tappes ut mer enn 105 liter i løpet av ett minutt. Tappehastigheten er størst i starten (funksjonen er konkav – vekstraten avtar). Vi sjekker derfor det første minuttet (linje 7 i CAS):

V(1) - V(0) = 98{,}75 - 0 = 98{,}75 \mathrm{~L}

Siden $V$ er konkav på $[0, 40]$ , avtar mengden som tappes ut per minutt hele veien. Det første minuttet gir størst uttak, og dette er $98{,}75 \mathrm{~L} < 105 \mathrm{~L}$ .

Det tappes aldri ut mer enn 105 liter i løpet av ett minutt.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 10 poeng

1 poeng for å bestemme $V(0)$ . 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av svaret.

En kandidat som kommer i gang, tegner grafen eller gjør noen riktige beregninger uten å komme fram til riktig svar, får 1 poeng.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 poeng.

1 poeng for riktig stigningstall. 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av svaret.

En kandidat som velger en riktig strategi, men regner eller konkluderer feil, får 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Andregradsfunksjon, Modellering, Gjennomsnittlig vekstfart, Derivasjon
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-2 : Klossmønster i tre figurer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre figurer satt sammen av klosser

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?

Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?

Roar har 10 000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.

Hvor mange figurer kan han lage? Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har laget figurene?

Fasit

$\underline{\underline{55 \text{ klosser}}}$

$\underline{\underline{1210 \text{ klosser}}}$

Roar kan lage $\underline{\underline{17 \text{ figurer}}}$ og har $\underline{\underline{1279 \text{ klosser}}}$ igjen.

LøsningsforslagKI-generert

Hver figur er en pyramide der lagene ovenfra og ned er $1\times1$ , $2\times2$ , $3\times3$ , … Figur $n$ består altså av lagene $1^2, 2^2, \ldots, n^2$ klosser:

Figurnummer $n$	1	2	3
Antall klosser	$1$	$1+4=5$	$1+4+9=14$

Antall klosser i figur $n$ er summen av de $n$ første kvadrattallene:

f(n) = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Figur 5 har

f(5) = 1+4+9+16+25 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = \mathbf{55 \text{ klosser}}

Vi trenger summen av antall klosser i de 10 første figurene. La $g(n)$ være denne summen:

g(n) = \sum_{m=1}^{n} f(m) = \sum_{m=1}^{n} \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}

Vi bruker GeoGebra CAS til å sette opp $f(n)$ og $g(n)$ og regne ut:

GeoGebra CAS – klossmønster: figur 5, sum av 10 første, og kumulativ sum

CAS gir $g(10) = \mathbf{1210 \text{ klosser}}$ (se linje 4 i utklippet).

Roar lager én figur i hver størrelse, fra den minste og oppover. Han kan lage figurene så lenge den totale klossmengden $g(n)$ ikke overstiger $10\,000$ . Fra CAS-utklippet (linje 5 og 6):

g(17) = 8\,721 \leq 10\,000 \qquad g(18) = 10\,830 > 10\,000

Roar kan altså lage $\underline{\underline{17 \text{ figurer}}}$ . Antall klosser igjen er

10\,000 - 8\,721 = \mathbf{1279 \text{ klosser}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Riktig svar uten begrunnelse gir 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Mønstre, Figurtall, Rekker, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-3 : Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Firkant ABCD med vinkler 45°, 75°, 120° og sider 2a, 2a

Gitt firkanten $ABCD$ ovenfor.

Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.

Vis at forholdet mellom arealet av $\triangle ABD$ og arealet av $\triangle BCD$ er $\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)$ .

Fasit

$\underline{\underline{O = a(7 + \sqrt{3} + 3\sqrt{2})}}$

$\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}} = \dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi trekker diagonalen $BD$ , som deler firkanten i $\triangle BCD$ og $\triangle ABD$ .

Merk om vinklene: Av figuren er $\angle BCD = 120°$ (vinkel i firkanten), $\angle ABD = 75°$ (vinkelen i $\triangle ABD$ ved $B$ ), og $\angle DAB = 45°$ (vinkel i firkanten ved $A$ ).

Steg 1 – Finn $BD$ med cosinussetningen i $\triangle BCD$ .

$\triangle BCD$ er likebeint med $BC = CD = 2a$ og $\angle BCD = 120°$ .

BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120°)

BD^2 = 4a^2 + 4a^2 - 2 \cdot 2a \cdot 2a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 8a^2 + 4a^2 = 12a^2

BD = 2a\sqrt{3}

Steg 2 – Finn $AB$ og $AD$ med sinussetningen i $\triangle ABD$ .

I $\triangle ABD$ er $\angle DAB = 45°$ , $\angle ABD = 75°$ , dermed $\angle ADB = 180° - 45° - 75° = 60°$ .

Sinussetningen gir (CAS bekrefter, se utklipp):

\frac{BD}{\sin(\angle DAB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}

AD = BD \cdot \frac{\sin 75°}{\sin 45°} = 2a\sqrt{3} \cdot \frac{\sin 75°}{\sin 45°} = (\sqrt{3}+3)\,a

AB = BD \cdot \frac{\sin 60°}{\sin 45°} = 2a\sqrt{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3a\sqrt{2}

CAS-utregning av BD, AD, AB og omkrets

Steg 3 – Beregn omkretsen.

O = AB + BC + CD + DA = 3a\sqrt{2} + 2a + 2a + (\sqrt{3}+3)\,a

\boxed{O = a\left(7 + \sqrt{3} + 3\sqrt{2}\right)}

Areal av $\triangle BCD$ (to like sider og mellomliggende vinkel):

S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a \cdot \sin 120° = 2a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a^2\sqrt{3}

Areal av $\triangle ABD$ (to sider og mellomliggende vinkel $\angle DAB = 45°$ ):

S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB) = \frac{1}{2} \cdot 3a\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+3)\,a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

= \frac{1}{2} \cdot 3a\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+3)\,a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3a^2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3}+3)}{4} = \frac{3a^2(\sqrt{3}+3)}{2}

CAS bekrefter: $S_{\triangle ABD} = \dfrac{3\sqrt{3}+9}{2}\,a^2$ (se utklipp, rad 7).

Forholdet:

\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}} = \frac{\dfrac{3(\sqrt{3}+3)}{2}\,a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{3(\sqrt{3}+3)}{2\sqrt{3}}

Vi rasjonaliserer ved å gange teller og nevner med $\sqrt{3}$ :

= \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+3)}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+3)}{2} = \frac{3 + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3(1+\sqrt{3})}{2} = \frac{3}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)

\boxed{\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}} = \frac{3}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Arealsetningen, Cosinussetningen, Eksakte verdier
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Oppgave 2-4 : Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua $2{,}0 \mathrm{~\degree C}$ . De skrudde på varmen og stilte termostaten på $20 \mathrm{~\degree C}$ . Tabell 1 viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Temperatur (°C)	$2{,}0$	$3{,}7$	$5{,}3$	$8{,}0$	$10{,}2$	$13{,}4$	$16{,}4$	$18{,}4$

Tabell 1

Eline og Malene vil lage en modell som viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen. De starter med å bruke tallene i tabell 1 til å lage en modell $T_1$ på formen $T_1(x)=a\cdot x^b$ .

Bestem tallene $a$ og $b$ .

Vurder gyldighetsområdet til modellen $T_1$ .

Eline og Malene ønsker å forbedre modellen $T_1$ . Eline foreslår at de skal trekke $20 \mathrm{~\degree C}$ fra hver temperatur de har målt, og heller bruke en eksponentialfunksjon som modell. Hun setter opp en ny tabell.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Korrigert temperatur (°C)	$-18{,}0$	$-16{,}3$	$-14{,}7$	$-12{,}0$	$-9{,}8$	$-6{,}6$	$-3{,}6$	$-1{,}6$

Tabell 2

Lag en eksponentialfunksjon $f$ som passer godt til tallene i tabell 2.

Tegn grafen til $T_1$ og grafen til $f$ i samme koordinatsystem. Beskriv forskjeller mellom de to grafene.

Malene mener de kan bruke funksjonen $f$ til å lage en bedre modell enn $T_1$ for temperaturen i stua. «Vi løfter grafen til $f$ opp $20\mathrm{~\degree C}$ , slik at den starter omtrent i punktet $(0,2)$ », sier hun. «Da vil den passe perfekt.»

Bruk funksjonen $f$ , og lag en modell $T_2$ ved å gjøre som Malene foreslår. Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen $T_2$ ?

Fasit

$\underline{\underline{T_1(x) \approx 1{,}85 \cdot x^{0{,}49}}}$

Modellen gjelder bare i et begrenset tidsintervall (omtrent de to første timene). For store $x$ vokser $T_1$ ubegrenset og overstiger snart $20 \mathrm{~°C}$ .

$\underline{\underline{f(x) \approx -18{,}16 \cdot 0{,}980^x}}$

Se graf. $T_1$ er positiv og vokser uten grense. $f$ er negativ og nærmer seg $0$ nedenfra (asymptote $y = 0$ ).

$T_2(x) = 20 - 18{,}16 \cdot 0{,}980^x$ . Etter 4 timer: $\underline{\underline{T_2(240) \approx 19{,}86 \mathrm{~°C}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker potensregresjon i GeoGebra CAS med tallene fra tabell 1.

T\text{1Data} := \{(1;\,2{,}0),\,(5;\,3{,}7),\,(10;\,5{,}3),\,(20;\,8{,}0),\,(30;\,10{,}2),\,(50;\,13{,}4),\,(80;\,16{,}4),\,(120;\,18{,}4)\}

\texttt{RegPot(T1Data)}

CAS-regresjon

GeoGebra gir $a \approx 1{,}85$ og $b \approx 0{,}49$ , det vil si:

\boxed{T_1(x) \approx 1{,}85 \cdot x^{0{,}49}}

$T_1(x) \approx 1{,}85 \cdot x^{0{,}49}$

$T_1$ er en potensfunksjon som vokser ubegrenset når $x$ øker. I virkeligheten kan temperaturen ikke overstige termostatens innstilte temperatur på $20 \mathrm{~°C}$ . Vi ser allerede at $T_1(150) \approx 21{,}5 \mathrm{~°C}$ , som er urealistisk.

Modellen er kun gyldig i et begrenset tidsrom — omtrent for de første to timene ( $x \lesssim 120 \mathrm{~min}$ ) der datapunktene i tabell 1 ligger. For store verdier av $x$ gir modellen temperaturer som overstiger $20 \mathrm{~°C}$ , noe som ikke er fysisk mulig.

Vi bruker eksponentialregresjon i GeoGebra CAS med den korrigerte temperaturen fra tabell 2.

La $g(x) = 18{,}16 \cdot 0{,}980^x$ (regresjon på de positive verdiene av $|$ korrigert temperatur $|$ ). Da er eksponentialfunksjonen som passer til tabell 2:

f(x) \approx -18{,}16 \cdot 0{,}980^x

GeoGebra gir koeffisientene $a \approx -18{,}16$ og $b \approx 0{,}980$ (se CAS-skjermbidet fra oppgave a):

\boxed{f(x) \approx -18{,}16 \cdot 0{,}980^x}

$f(x) \approx -18{,}16 \cdot 0{,}980^x$

Vi tegner grafene til $T_1$ og $f$ i samme koordinatsystem i GeoGebra.

Grafer for T1 og f

Forskjeller mellom de to grafene:

$T_1$ (grønn) er positiv for alle $x > 0$ og vokser ubegrenset — den har ingen horisontal asymptote.
$f$ (blå) er negativ for alle $x > 0$ og nærmer seg $0$ nedenfra etter hvert som $x$ øker — den har horisontal asymptote $y = 0$ .
$T_1$ øker raskest i begynnelsen (typisk potensatferd), mens $f$ flater ut mot asymptoten gradvis (typisk eksponentiell nedgang).

Malene foreslår å «løfte grafen til $f$ opp $20 \mathrm{~°C}$ ». Det betyr at vi legger til $20$ til $f(x)$ :

T_2(x) = f(x) + 20 = 20 - 18{,}16 \cdot 0{,}980^x

Etter 4 timer er $x = 4 \cdot 60 = 240 \mathrm{~min}$ . Vi regner ut:

T_2(240) = 20 - 18{,}16 \cdot 0{,}980^{240}

Fra GeoGebra CAS (se skjermbildet fra oppgave a):

T_2(240) \approx 19{,}86 \mathrm{~°C}

Ifølge modellen $T_2$ vil temperaturen i stua være omtrent $\underline{\underline{19{,}86 \mathrm{~°C}}}$ etter 4 timer.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Potensfunksjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-5 : Andregradsfunksjon fra tangentstigninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til en andregradsfunksjon $f$ har

en tangent i punktet $(1,f(1))$ med stigningstall 0
en tangent i punktet $(4,f(4))$ med stigningstall 6

Bestem $f'(x)$ .

Grafen til $f$ skjærer $y$ -aksen i punktet $(0,4)$ .

Bestem $f(x)$ .

Fasit

$\underline{\underline{f'(x) = 2x - 2}}$

$\underline{\underline{f(x) = x^2 - 2x + 4}}$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $f$ er en andregradsfunksjon, har den formen $f(x) = ax^2 + bx + c$ , og den deriverte er

f'(x) = 2ax + b

Vi bruker de to opplysningene om tangentstigninger:

f'(1) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a + b = 0

f'(4) = 6 \quad \Rightarrow \quad 8a + b = 6

Vi løser likningssystemet i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS — andregradsfunksjon fra tangentstigninger

CAS gir $a = 1$ og $b = -2$ , så

\textcolor{seagreen}{f'(x) = 2x - 2}

Vi vet at $f(x) = x^2 - 2x + c$ (fra a). Grafen skjærer $y$ -aksen i $(0, 4)$ , altså $f(0) = 4$ :

f(0) = 0 - 0 + c = 4 \quad \Rightarrow \quad c = 4

Dermed er

\textcolor{seagreen}{f(x) = x^2 - 2x + 4}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Andregradsfunksjon, Derivasjon, Tangent
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte

Oppgave 2-6 : Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x)=x^3-2b\cdot x^2+(b^2+3)\cdot x \quad\text{der}\quad b\in\mathbb{R}

Vis at $f$ bare har ett nullpunkt uavhengig av verdien av $b$ .

Løs likningen $f'(x)=0$ . For hvilke verdier av $b$ har grafen til $f$ bare ett stasjonært punkt?

Dersom $b\neq 0$ har grafen til $f$ to tangenter med stigningstall 3.

Bestem likningene for disse tangentene.

Fasit

$f(x) = x\bigl((x-b)^2 + 3\bigr) = 0$ kun for $x = 0$ siden $(x-b)^2 + 3 \geq 3 > 0$

$x = \dfrac{2b \pm \sqrt{b^2-9}}{3}$ . Bare ett stasjonært punkt når $-3 \leq b \leq 3$ .

$y = 3x$ og $y = 3x + \dfrac{4}{27}b^3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi faktoriserer $f(x)$ :

f(x) = x^3 - 2bx^2 + (b^2+3)x = x\bigl(x^2 - 2bx + b^2 + 3\bigr)

Vi skriver om andregradsleddet ved å fullføre kvadratet:

x^2 - 2bx + b^2 + 3 = (x - b)^2 + 3

Dermed er

f(x) = x\bigl((x-b)^2 + 3\bigr)

Siden $(x-b)^2 \geq 0$ for alle reelle $x$ , er $(x-b)^2 + 3 \geq 3 > 0$ for alle $b \in \mathbb{R}$ .

Produktet $f(x) = 0$ krever dermed at $x = 0$ . $f$ har altså bare ett nullpunkt, $x = 0$ , uavhengig av verdien til $b$ .

Vi deriverer $f$ :

f'(x) = 3x^2 - 4bx + b^2 + 3

Vi løser $f'(x) = 0$ med GeoGebra CAS (se linje 4 i CAS-utklippet):

x = \frac{2b \pm \sqrt{b^2 - 9}}{3}

Grafen har to stasjonære punkter når likningen har to løsninger, dvs. når diskriminanten er positiv:

b^2 - 9 > 0 \implies |b| > 3

Grafen til $f$ har bare ett stasjonært punkt når $-3 \leq b \leq 3$ .

(For $b = \pm 3$ er diskriminanten lik null — det er ett stasjonært punkt som er et vendepunkt.)

Vi finner $x$ -verdiene der $f'(x) = 3$ med GeoGebra CAS (linje 5):

f'(x) = 3 \implies x = b \quad \text{eller} \quad x = \frac{b}{3}

Tangent i $x = b$ :

Fra CAS (linje 6): $f(b) = 3b$ . Tangentlikningen blir:

y = f(b) + 3(x - b) = 3b + 3x - 3b = 3x

Tangent i $x = \dfrac{b}{3}$ :

Fra CAS (linje 7): $f\!\left(\dfrac{b}{3}\right) = \dfrac{4}{27}b^3 + b$ . Tangentlikningen blir:

y = \frac{4}{27}b^3 + b + 3\!\left(x - \frac{b}{3}\right) = \frac{4}{27}b^3 + b + 3x - b = \frac{4}{27}b^3 + 3x

De to tangentene med stigningstall 3 har likningene:

\underline{\underline{y = 3x}} \qquad \text{og} \qquad \underline{\underline{y = 3x + \frac{4}{27}b^3}}

GeoGebra CAS (linje 1–9):

GeoGebra CAS-utklipp

Illustrasjon for $b = 2$ (tangentpunkter ved $P_1 = \bigl(\tfrac{2}{3},\, \tfrac{86}{27}\bigr)$ og $P_2 = (2,\, 6)$ ):

Graf av f og de to tangentene med stigningstall 3 (b=2)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som løser likningen, men ikke tolker løsningen riktig, får 1 poeng. En kandidat som bare finner én verdi for $b$ , får 2 poeng.

En kandidat som bare finner $x$ -verdiene til tangeringspunktene, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Tredjegradsfunksjon, Derivasjon, Tangent, Argumentasjon
Kompetansemål: Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 6 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 1-1 : Andregradslikning og ulikhet med faktorisering 1T V22

Oppgave 1-2 : Identitet med andre kvadratsetning

Oppgave 1-3 : Rettvinklet trekant med tan B og tre tester

Oppgave 1-4 : Python-program med kvadrater og while-løkke

Oppgave 1-5 : Rasjonal funksjon fra asymptoter og to uttrykk

Oppgave 1-6 : Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 38 poeng

Oppgave 2-1 : Vanntank som tappes ut

Oppgave 2-2 : Klossmønster i tre figurer

Oppgave 2-3 : Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Oppgave 2-4 : Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Oppgave 2-5 : Andregradsfunksjon fra tangentstigninger

Oppgave 2-6 : Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave