1T Vår 2016

Vi kjenner igjen uttrykket som konjugatsetningen, $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, med $a=\sqrt{6}$ og $b=\sqrt{3}$:

Svar: $\underline{\underline{3}}$

Vi faktoriserer hvert rottall slik at vi får en faktor som er et kvadrattall:

For det siste leddet bruker vi $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$:

Setter vi dette inn, får vi

Svar: $\underline{\underline{\sqrt{5}}}$

Vi skal finne sannsynligheten for at alle tre er blå. Antall måter å velge $3$ blå av de $6$ blå ballongene på er

Sannsynligheten blir da

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{1}{6}}}}$

«Minst én rosa» er det motsatte av «ingen rosa», altså det samme som «alle tre er blå», som vi fant i a). Vi bruker komplementsetningen:

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{5}{6}}}}$

Vi skal finne sannsynligheten for nøyaktig $1$ rosa og $2$ blå. Antall måter å velge $1$ rosa av $4$ på, ganget med antall måter å velge $2$ blå av $6$ på:

Sannsynligheten blir

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

Den momentane vekstfarten til $f$ i et punkt er verdien til den deriverte i punktet. Vi deriverer $f(x)=x^3-5x^2+3x+4$ ledd for ledd:

Setter inn $x=2$:

Den momentane vekstfarten til $f$ når $x=2$ er $-5$.

Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[1,3]$ er gitt ved

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Da blir den gjennomsnittlige vekstfarten

Trekant $ABC$ er rettvinklet med rett vinkel i $A$ (markert på figuren). Da er $BC$ hypotenusen, mens $AB$ og $AC$ er katetene. Ved Pytagoras’ setning:

Setter inn $AB=8$ og $BC=10$:

Den grå trekanten er en likesidet trekant bygd på siden $BC$, altså med sidelengde $10$. Arealet av en likesidet trekant med sidelengde $s$ er

Setter inn $s=BC=10$:

Vi har dermed vist at arealet av den grå trekanten er $25\sqrt{3}$.

Den grønne trekanten er likesidet med sidelengde $AC=6$, og den blå trekanten er likesidet med sidelengde $AB=8$. Bruker samme arealformel som i a):

Summen av arealene til den grønne og den blå trekanten blir

Dette er nøyaktig det samme som arealet av den grå trekanten, $25\sqrt{3}$, som vi fant i a). Vi har dermed vist at den grønne og den blå trekanten til sammen har like stort areal som den grå trekanten.

(Dette er faktisk Pytagoras’ setning $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ multiplisert med $\frac{\sqrt{3}}{4}$ på begge sider.)

Grafen til $f$ har toppunkt der $f^{\prime }$ skifter fortegn fra positiv til negativ, og bunnpunkt der $f^{\prime }$ skifter fortegn fra negativ til positiv.

Av grafen til $f^{\prime }$ ser vi at:

• $f^{\prime }(x)>0$ for $x<0$
• $f^{\prime }(x)<0$ for $0<x<4$
• $f^{\prime }(x)>0$ for $x>4$

Ved $x=0$ skifter $f^{\prime }$ fortegn fra positiv til negativ, så grafen til $f$ har et toppunkt for $x=0$.

Ved $x=4$ skifter $f^{\prime }$ fortegn fra negativ til positiv, så grafen til $f$ har et bunnpunkt for $x=4$.

Stigningstallet til tangenten i et punkt er gitt ved den deriverte i punktet. Av grafen til $f^{\prime }$ leser vi av at bunnpunktet på parabelen (minimumsverdien til $f^{\prime }$) er $f^{\prime }(2)=-2$.

Siden punktet $(2,-3)$ ligger på grafen til $f$, og stigningstallet i dette punktet er $f^{\prime }(2)=-2$, kan vi sette opp likningen for tangenten med ettpunktsformelen:

Vi taster inn funksjonsuttrykket

i graftegner og tilpasser vindusutsnittet til definisjonsmengden $x\in [0,8]$:

Grafen er stigende (og stigende brattere og brattere) på hele intervallet $[0,8]$ — antall elbiler øker altså hele tiden i denne perioden, og veksten blir raskere og raskere.

Vi bruker CAS til å regne ut $g(4)$ og den deriverte $g^{\prime }(x)=g^{\prime }(4)$:

Dette gir

Tolkning av $g(4)$: $x=4$ år etter 2010 vil si i 2014. Ifølge modellen var det da omtrent $20149$ registrerte elbiler i Norge.

Tolkning av $g^{\prime }(4)$: Den deriverte $g^{\prime }(4)$ er den momentane vekstfarten til antall elbiler i 2014. Verdien forteller at antall registrerte elbiler i 2014 økte med omtrent $15245$ biler per år, ifølge modellen.

Svar:

Vi lar $x$ være antall år etter 2002, og setter opp punktene fra tabellen:

Punktene ligger tilnærmet på en rett linje, så vi finner en lineær regresjonsmodell $f(x)=ax+b$ i GeoGebra. Vi plotter punktene og lar GeoGebra tilpasse en rett linje (FitLine):

GeoGebra gir stigningstallet $a\approx -\mathrm{1,28}$ og konstantleddet $b\approx \mathrm{28,9}$, slik at

Her betyr stigningstallet at andelen dagligrøykere i denne aldersgruppen har gått ned med om lag $\mathrm{1,28}$ prosentpoeng per år i perioden 2002–2012, og konstantleddet $\mathrm{28,9}$ er modellens anslag for andelen røykere i 2002 ($x=0$).

År 2025 svarer til $x=2025-2002=23$. Setter vi dette inn i modellen, får vi (se det grønne punktet i figuren)

Dette gir en negativ andel røykere, noe som er umulig i praksis. Modellen er laget ut fra data for 2002–2012, og en lineær funksjon vil fortsette å synke like raskt uansett hvor langt vi ekstrapolerer. I virkeligheten vil andelen røykere flate ut og nærme seg $0\%$ i stedet for å bli negativ.

Konklusjonen er derfor at funksjonen ikke bør brukes til å beskrive utviklingen helt fram mot 2025 – den kan være en rimelig tilnærming noen få år etter 2012, men blir stadig mindre pålitelig jo lenger fram i tid vi ekstrapolerer, og gir et meningsløst resultat i 2025.

Vi vet at $26$ elever totalt, $20$ har valgt R1, $16$ har valgt Fysikk 1, og $6$ har valgt verken R1 eller Fysikk 1.

Da har $26-6=20$ elever valgt minst ett av fagene R1 og Fysikk 1. Siden R1 alene har $20$ elever, og disse $20$ elevene også utgjør alle som har valgt minst ett av fagene, må alle elevene som har valgt Fysikk 1, også ha valgt R1. Vi finner antall elever som har valgt begge fagene ved å bruke unionsformelen:

Dette gir følgende krysstabell:

Antall elever som har valgt R1, men ikke Fysikk 1, er $4$ (fra tabellen). Sannsynligheten blir da:

Svar: $\underline{\underline{P(\text{R1, ikke Fysikk 1})=\frac{2}{13}\approx \mathrm{15,4}\%}}$

Vi skal finne sannsynligheten for at eleven også har valgt R1, gitt at eleven har valgt Fysikk 1. Av tabellen har $16$ elever valgt Fysikk 1, og av disse har alle $16$ også valgt R1:

Svar: $\underline{\underline{P(\text{R1}|\text{Fysikk 1})=1=100\%}}$. Alle elevene som har valgt Fysikk 1, har altså også valgt R1.

Vi vet at trekant $ABC$ er rettvinklet, og at $\angle A=53°$. Siden $53°\ne 90°$, kan ikke den rette vinkelen være i $A$. Oppgaven sier ikke hvilket av de to andre hjørnene, $B$ eller $C$, som har den rette vinkelen, så begge er mulige:

• Den rette vinkelen kan være i $C$. Da er $AB$ hypotenusen.
• Den rette vinkelen kan være i $B$. Da er $AB$ et katet.

Dette gir to forskjellige trekanter som begge oppfyller $\angle A=53°$ og $AB=10$.

Rett vinkel i $C$: Da er $AB$ hypotenus, og $BC$ er motstående katet til $\angle A$:

Rett vinkel i $B$: Da er $AB$ hosliggende katet til $\angle A$, og $BC$ er motstående katet:

Begge utregningene er kontrollert i GeoGebra CAS:

Svar: $\underline{\underline{BC\approx \mathrm{7,99}}}$ hvis den rette vinkelen er i $C$, og $\underline{\underline{BC\approx \mathrm{13,27}}}$ hvis den rette vinkelen er i $B$.