1T Eksempeloppgave 2009

La $x$ være prisen på én fotball og $y$ prisen på én hockeykølle (i kroner). Ut fra opplysningene på bildet kan vi sette opp likningssystemet

Fra den første likningen får vi $y=500-x$. Setter vi dette inn i den andre likningen:

Da er $y=500-200=300$.

Svar: $\underline{\underline{\text{Én fotball koster }200\mathrm{kr},\text{ og én hockeykølle koster }300\mathrm{kr}}}$

Vi multipliserer tallene og potensene hver for seg:

For å skrive svaret på standardform må tallet foran potensen være mellom 1 og 10, så vi flytter kommaet én plass og øker eksponenten med 1:

Svar: $\underline{\underline{\mathrm{1,55}\cdot {10}^{13}}}$

Vi ganger ut parentesene på begge sider:

Vi samler $x$-ledd på venstre side og tall på høyre side:

Svar: $\underline{\underline{x=5}}$

Vi isolerer $\lg x$ ved å dele på 3:

Definisjonen av logaritme gir $x={10}^{-2}$:

Svar: $\underline{\underline{x=\mathrm{0,01}}}$

Vi regner ut ledd for ledd, med potenser og parenteser før multiplikasjon:

Svar: $\underline{\underline{3}}$

Vi kjenner igjen kvadratsetningen ${(x+y)}^2=x^2+2xy+y^2$ i telleren:

Telleren er kvadratsetningen ${(x-y)}^2$:

Svar: $\underline{\underline{x-y}}$

Vi faktoriserer andregradsuttrykket. Vi trenger to tall som gir $-5$ som sum og $6$ som produkt: $-2$ og $-3$.

Et produkt er null når minst én faktor er null, så

Svar: $\underline{\underline{x=2\text{ eller }x=3}}$

Vi kaster to terninger, og ønsker sannsynligheten for akkurat én sekser. Det kan skje på to måter: sekser på terning 1 og ikke sekser på terning 2, eller omvendt.

Svar: $\underline{\underline{P=\frac{5}{18}\approx \mathrm{0,28}}}$

Stigningstallet til tangenten i et punkt er verdien av den deriverte i det punktet. Vi deriverer $f(x)=x^3-5x^2+6x$:

Vi setter inn $x=1$:

Svar: $\underline{\underline{f^{\prime }(1)=-1}}$

Fortegnsskjemaet forteller oss hvordan $g$ oppfører seg:

• For $x<-3$ er $g^{\prime }(x)>0$, så $g$ vokser. Ved $x=-3$ er både $g(-3)=0$ og $g^{\prime }(-3)=0$ — grafen berører $x$-aksen i et toppunkt.
• For $-3<x<2$ er $g^{\prime }(x)<0$, så $g$ avtar (og er fortsatt negativ). Ved $x=2$ har $g$ et bunnpunkt, siden $g^{\prime }$ skifter fortegn fra minus til pluss der.
• For $x>2$ er $g^{\prime }(x)>0$, så $g$ vokser videre. Underveis krysser grafen $x$-aksen ved $x=4$ (der $g$ skifter fortegn fra negativt til positivt).
• Ved $x=7$ er $g^{\prime }(7)=0$, men $g^{\prime }$ skifter ikke fortegn der — grafen flater bare litt ut (et terrassepunkt) før den fortsetter å vokse.

En mulig graf til $g$ kan da se slik ut:

Vinkel $B$ er $90°$, og $\tan A=1$. Siden $\tan A={\displaystyle \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}}={\displaystyle \frac{BC}{AB}}$, må $BC=AB$ — de to katetene er like lange.

Da er trekanten en rettvinklet, likebeint trekant. Siden de to spisse vinklene til sammen er $90°$ og de må være like store (motstående like lange sider), er $A=C=45°$.

Svar: $\underline{\underline{\text{Trekanten er rettvinklet og likebeint, med }A=45°,B=90°,C=45°}}$

Funksjonen $f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x-1}}$ tegnes i graftegner for $x\in [-10,10]$. Grafen har en loddrett asymptote i $x=1$ (der nevneren er null) og en vannrett asymptote i $y=2$ (grensen når $x\to \pm \infty$).

Funksjonsuttrykket $f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x-1}}$ er ikke definert når nevneren er null, altså når $x=1$. Definisjonsmengden er derfor

For å finne verdimengden løser vi likningen $y={\displaystyle \frac{2x}{x-1}}$ med hensyn på $x$:

Dette uttrykket er ikke definert når $y=2$, altså finnes det ingen $x$-verdi som gir $f(x)=2$ (i tråd med at $y=2$ er en vannrett asymptote grafen aldri når). Verdimengden er derfor

Stigningstallet til den rette linjen $g$ finner vi ut fra de to punktene $(-2,0)$ og $(3,5)$:

Linja har da formen $g(x)=x+b$. Vi setter inn punktet $(-2,0)$ for å finne $b$:

Funksjonsuttrykket er dermed

Grafen til $g$ er tegnet inn sammen med $f$ i figuren over (den røde linja).

Metode 1 — grafisk. Løsningene av $f(x)=g(x)$ er $x$-koordinatene til skjæringspunktene mellom de to grafene. Fra figuren over leser vi av skjæringspunktene $A=(-1,1)$ og $B=(2,4)$, altså

Metode 2 — ved regning. Vi setter $f(x)=g(x)$ og løser likningen algebraisk, med kravet $x\ne 1$:

Denne andregradslikningen faktoriseres:

Dette gir $x=2$ eller $x=-1$, begge forskjellige fra $1$ og dermed gyldige. De to metodene gir samme svar:

De tilhørende punktene på grafene er $(-1,1)$ og $(2,4)$, som stemmer med skjæringspunktene $A$ og $B$ i figuren.

I trekant $ACD$ kjenner vi de to sidene $AD=362\mathrm{m}$ og $DC=498\mathrm{m}$, og vinkelen mellom dem, $D=95°$. Da bruker vi cosinussetningen til å finne den motstående siden $AC$:

Svar: $\underline{\underline{AC\approx 641\mathrm{m}}}$, som stemmer med det vi skulle vise.

I trekant $ACD$ bruker vi sinussetningen til å finne vinkel $DCA$, siden vi nå kjenner alle tre sidene og vinkel $D$:

(Løsningen med den stumpe vinkelen, $180°-\mathrm{34,3}°=\mathrm{145,7}°$, er ikke mulig, siden vinkelsummen i trekant $ACD$ da ville blitt større enn $180°$ sammen med $D=95°$.)

Svar: $\underline{\underline{\angle DCA\approx \mathrm{34,3}°}}$

Hele vinkelen i punkt $C$ i firkanten er $\angle DCB=139°$. Denne vinkelen er delt av diagonalen $AC$ i to deler, $\angle DCA$ og $\angle ACB$:

I trekant $ABC$ kjenner vi nå $AC\approx \mathrm{640,7}\mathrm{m}$, $AB=761\mathrm{m}$ og vinkel $\angle ACB\approx \mathrm{104,7}°$. Sinussetningen gir

Den stumpe løsningen $180°-\mathrm{54,5}°=\mathrm{125,5}°$ er ikke mulig her heller, siden $B+\angle ACB$ da ville blitt større enn $180°$.

Svar: $\underline{\underline{B\approx \mathrm{54,5}°}}$

I trekant $ABC$ er den siste vinkelen, $\angle BAC$, gitt ved vinkelsummen:

Sinussetningen gir nå siden $BC$:

Omkretsen av firkanten $ABCD$, altså hele løypa, er summen av de fire sidene:

Svar: $\underline{\underline{\text{Du har løpt ca. }1900\mathrm{m}}}$

Av de 30 elevene har 12 valgt kjemi, 21 har valgt matematikk, og 7 har valgt begge fagene. De som bare har valgt kjemi, er

og de som bare har valgt matematikk, er

Vi tegner et venndiagram med disse tallene i de tre delene av sirklene, og resten av rektangelet (klassen) utenfor sirklene:

Antall elever som har valgt minst ett av fagene er $5+7+14=26$. Da er antallet som ikke har valgt noen av fagene

Svar: $\underline{\underline{4\text{ elever har verken valgt matematikk eller kjemi}}}$

Antall elever som har valgt matematikk, men ikke kjemi, er $14$ (området i venndiagrammet som bare tilhører matematikk-sirkelen). Siden det er 30 elever i klassen totalt, er sannsynligheten

Svar: $\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,47}}}$

Vi velger to elever uten tilbakelegging blant de 30 elevene i klassen. 21 av dem har valgt matematikk.

Sannsynligheten for at den første valgte eleven har matematikk, er ${\displaystyle \frac{21}{30}}$. Gitt at den første hadde matematikk, er sannsynligheten for at den andre også har matematikk ${\displaystyle \frac{20}{29}}$, siden det da er 20 matematikkelever igjen av 29 gjenværende elever.

Svar: $\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,48}}}$

La $n$ være antall elever i klasse 1B. Av disse har 4 valgt matematikk. Vi velger to tilfeldige elever uten tilbakelegging, og sannsynligheten for at begge har matematikk, er gitt til $\mathrm{0,05}$:

Dette gir andregradslikningen

Vi løser med abc-formelen:

Dette gir $n=16$ eller $n=-15$. Siden $n$ er et antall elever, må $n$ være positivt.

Svar: $\underline{\underline{n=16\text{ elever}}}$

Vi deriverer $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$ for å finne ekstremalpunktene:

$f^{\prime }(x)=0$ gir $x=1$ og $x=3$. Grafen til $f$ er tegnet i GeoGebra nedenfor, med toppunktet og bunnpunktet markert.

Fra grafen (og ved innsetting $f(1)=1-6+9-1=3$ og $f(3)=27-54+27-1=-1$) leser vi av

Stigningstallet til linjen $l$ gjennom toppunktet $(\mathrm{1,3})$ og bunnpunktet $(3,-1)$:

Linjen $l$ har stigningstall $\underline{\underline{a_l=-2}}$.

Midtpunktet $m$ er gjennomsnittet av $x$-koordinatene til toppunktet og bunnpunktet:

Stigningstallet til tangenten $t$ i punktet $(m,f(m))=(2,f(2))$ er $f^{\prime }(m)$:

Tangenten $t$ har stigningstall $\underline{\underline{a_t=-3}}$.

Forholdet mellom stigningstallene til $l$ og $t$ er da

som er det vi skulle vise. I figuren over ser vi at $l$ (grønn) og $t$ (rød) begge går gjennom punktet $M=(2,f(2))$, og at $t$ er brattere enn $l$ — i samsvar med at $|a_t|>|a_l|$.

Vi prøver hypotesen på to andre tredjegradsfunksjoner med toppunkt og bunnpunkt.

Eksempel 1: $g(x)=x^3-3x+1$

Nullpunkter i $x=-1$ og $x=1$. Innsetting gir $g(-1)=-1+3+1=3$ og $g(1)=1-3+1=-1$, altså toppunkt $(-\mathrm{1,3})$ og bunnpunkt $(1,-1)$.

Midtpunktet er $m={\displaystyle \frac{-1+1}{2}}=0$, og

Eksempel 2: $h(x)=-x^3+3x^2+1$

Nullpunkter i $x=0$ og $x=2$. Innsetting gir $h(0)=1$ og $h(2)=-8+12+1=5$, altså bunnpunkt $(\mathrm{0,1})$ og toppunkt $(\mathrm{2,5})$.

Midtpunktet er $m={\displaystyle \frac{0+2}{2}}=1$, og

Hypotese: For enhver tredjegradsfunksjon $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ som har både et toppunkt og et bunnpunkt, er forholdet mellom stigningstallet til sekanten $l$ gjennom ekstremalpunktene og stigningstallet til tangenten $t$ i punktet med $x$-koordinat lik gjennomsnittet av ekstremalpunktenes $x$-koordinater, alltid

uavhengig av hvilke koeffisienter $a,b,c,d$ funksjonen har.

Vi løser likningssystemet

med innsettingsmetoden. Fra likning 2 løser vi for $x$:

Setter vi dette inn i likning 1:

Vi deler på $50$:

som gir $y=3$ eller $y=4$.

• For $y=3$: $x=7\cdot 3-25=-4$
• For $y=4$: $x=7\cdot 4-25=3$

Kontroll: ${(-4)}^2+3^2=16+9=25✓$ og $3^2+4^2=9+16=25✓$

Løsningene er $\underline{\underline{(x,y)=(-\mathrm{4,3})}}$ og $\underline{\underline{(x,y)=(\mathrm{3,4})}}$.

Som en grafisk kontroll (andre metode) tegner vi sirkelen $x^2+y^2=25$ og linjen $7y-x=25$ i GeoGebra og finner skjæringspunktene:

Skjæringspunktene $(-\mathrm{4,3})$ og $(\mathrm{3,4})$ stemmer med regningen over.

Vi løser ulikheten $6x^2-11x+3\ge 0$. Først finner vi nullpunktene til $6x^2-11x+3$ med abc-formelen:

Siden $6x^2-11x+3$ er et andregradsuttrykk med positiv ledende koeffisient, er parabelen en oppoverbue. Uttrykket er da $\ge 0$ utenfor (og på) nullpunktene:

Vi løser logaritmelikningen $\lg (x-3)=3+\lg 2$. Vi flytter $\lg 2$ over på venstre side og bruker regelen $\lg a-\lg b=\lg {\displaystyle \frac{a}{b}}$:

Dette betyr at ${\displaystyle \frac{x-3}{2}}={10}^3=1000$:

Kontroll av definisjonsmengden: $x-3>0$, altså $x>3$. Siden $2003>3$, er løsningen gyldig.

Løsningen er $\underline{\underline{x=2003}}$.

Vi skal finne $a$ slik at likningen

bare har én løsning. Vi samler alle ledd på venstre side:

Tilfelle 1: $a=0$. Likningen blir da lineær, $2x+3=0$, som alltid har nøyaktig én løsning:

Tilfelle 2: $a\ne 0$. Da er likningen av andre grad, og den har nøyaktig én løsning når diskriminanten er null:

(Da blir løsningen $x=-{\displaystyle \frac{2}{2a}}=-{\displaystyle \frac{2}{2/3}}=-3$.)

Likningen har akkurat én løsning for $\underline{\underline{a=0}}$ eller $\underline{\underline{a={\displaystyle \frac{1}{3}}}}$.