1P Høst 2014

At prisen har økt lineært, vil si at den har økt med det samme kronebeløpet hvert eneste år i denne perioden. Det er altså en konstant, fast økning i kroner per år — ikke en prosentvis (eksponentiell) vekst, der økningen ville blitt større og større målt i kroner for hvert år.

Vi lar $x$ være antall år etter 2006, slik at $x=0$ svarer til 2006 og $x=8$ svarer til 2014.

En lineær funksjon har formen $f(x)=ax+b$, der $a$ er stigningstallet (økningen i kroner per år) og $b$ er startverdien.

Startverdien er prisen i 2006, altså $b=600$.

Stigningstallet finner vi ved å dele den totale prisøkningen på antall år den skjedde over:

Funksjonen blir dermed

der $f(x)$ er prisen i kroner $x$ år etter 2006.

2018 er $2018-2006=12$ år etter 2006, så vi setter $x=12$ inn i funksjonen:

Ifølge funksjonen vil varen koste $\underline{\underline{1200\mathrm{kr}}}$ i 2018.

Julie lar $x$ være antall barn inne før lunsj. Siden det da var fem ganger så mange barn ute som inne, blir antallet ute $5x$. Det gir den øverste raden i tabellen: $x$ inne og $5x$ ute.

Etter lunsj kom tre av barna som var inne, ut. Da ble det tre barn færre inne, altså $x-3$, og tre barn flere ute, altså $5x+3$. Det gir den nederste raden i tabellen.

Nå var det åtte ganger så mange ute som inne, altså er antallet ute lik $8$ ganger antallet inne:

Skriver vi likningen med uttrykket for “ute” på venstre side, får vi likningen Julie satte opp: $8(x-3)=5x+3$.

Vi løser likningen steg for steg.

Da var det $x=9$ barn inne og $5x=45$ barn ute før lunsj. Det totale antallet barn i barnehagen endret seg ikke da noen av barna gikk fra å være inne til å være ute, så det totale antallet barn er

Kontroll: Etter lunsj er det $x-3=6$ barn inne og $5x+3=48$ barn ute. Da er $48=8\cdot 6$, som stemmer.

Det var $\underline{\underline{54\text{ barn}}}$ i barnehagen denne dagen.

Annuitetslån: Terminbeløpet (det du betaler til banken hver termin) er det samme gjennom hele nedbetalingstiden. I starten består terminbeløpet mest av renter og lite avdrag, men etter hvert som lånet blir nedbetalt, blir rentedelen mindre og avdragsdelen større — mens summen av de to hele tiden er lik.

Serielån: Her er det avdraget (den delen som betaler ned selve lånet) som er det samme hver termin. Renten beregnes av det som til enhver tid gjenstår av lånet, og siden restgjelden minker for hver termin, minker også rentebeløpet. Terminbeløpet (avdrag + rente) blir derfor høyest i starten og synker etter hvert.

Med et serielån betaler Solveig ned et like stort avdrag hver termin, slik at restgjelden hennes minker raskere i starten enn det Sivs restgjeld gjør. Med et annuitetslån betaler Siv i starten mest renter og lite avdrag, slik at restgjelden hennes minker sakte.

Siden renten beregnes av restgjelden, betyr en høyere restgjeld over tid at det påløper mer rente totalt. Siv sitter derfor med høyere restgjeld lenger enn Solveig, og må derfor betale mer i renter i sum — og dermed mer totalt tilbake til banken — enn Solveig.

Et annuitetslån kan være gunstig fordi terminbeløpet er fast og forutsigbart gjennom hele nedbetalingstiden, noe som gjør det enklere å planlegge en fast økonomi. I tillegg er terminbeløpet lavere i starten enn ved et serielån (der de første terminbeløpene er høyest), noe som kan gjøre det lettere å ha råd til lånet tidlig i nedbetalingsperioden, for eksempel rett etter et boligkjøp.

I figur 2 er katetene til den rettvinklede trekanten lik diameteren til de to halvsirklene. Den minste halvsirkelen har radius $\mathrm{2,5}$, som gir diameter (og dermed katet) $2\cdot \mathrm{2,5}=5$. Den største halvsirkelen har radius $\mathrm{6,0}$, som gir diameter (katet) $2\cdot \mathrm{6,0}=12$.

$PQ$ er hypotenusen i den rettvinklede trekanten, så vi bruker Pytagoras’ setning:

Dermed er $\underline{\underline{PQ=13}}$, som skulle vises.

Figur 1: Halvsirkelen har radius $\mathrm{5,5}$, altså diameter $2\cdot \mathrm{5,5}=11$. Triangelen er likesidet, og siden den står på diameteren som grunnlinje, er alle sidene i trekanten $11$. Omkretsen til figuren består av buen til halvsirkelen (den flate siden, som er diameteren, er dekket av trekanten og ligger inni figuren) og de to andre sidene i trekanten:

Figur 2: Omkretsen består av buene til de to halvsirklene (radius $\mathrm{2,5}$ og $\mathrm{6,0}$) og hypotenusen $PQ=13$ (siden hypotenusen ikke har noen halvsirkel liggende på seg):

Siden $O_2\approx \mathrm{39,70}>O_1\approx \mathrm{39,28}$, har figur 2 størst omkrets.

$\underline{\underline{\text{Figur 2 har størst omkrets}}}$, med en omkrets på ca. $\mathrm{39,7}$ mot ca. $\mathrm{39,3}$ for figur 1.

Det var $45$ pålogginger hvert sekund. Én time har $3600$ sekunder ($60\cdot 60$). Antall pålogginger i løpet av én time finner vi ved å multiplisere:

I løpet av én time hadde altså $\underline{\underline{162000}}$ personer logget seg på.

Det var i alt $900000$ skattytere som skulle logge seg på. Vi finner antall sekunder ved å dele på hvor mange som logget seg på per sekund:

Vi regner om til timer og minutter. Først regner vi om til minutter ved å dele på $60$:

Dette tilsvarer $5$ hele timer ($5\cdot 60=300$ minutter) og $\mathrm{333,3}-300\approx 33$ minutter til. Det ville altså gått $\underline{\underline{\text{omtrent }5\text{ timer og }33\text{ minutter}}}$ før alle hadde logget seg på.

Totalt antall skattytere i Norge er summen av dem som fikk skatteoppgjøret elektronisk, og dem som måtte vente:

Andelen elektroniske brukere av alle skattyterne finner vi ved å dele antall e-brukere på totalt antall skattytere, og gange med $100\%$:

Omtrent $\underline{\underline{\mathrm{19,6}\%}}$ av skattyterne i Norge er elektroniske brukere.

Funksjonen $f$ tegnes i et graftegningsprogram (GeoGebra) for $0\le x\le 18$:

Grafen viser at $f$ har nullpunkt i $x=0$ og i $x\approx \mathrm{15,52}$ (avlest med verktøyet, se Nullpunkt2 i utklippet over).

Toppunktet på grafen ligger i $(\mathrm{8,89};\mathrm{4,61})$ (avlest med verktøyet, se Toppunkt i utklippet over).

Svar:

$\underline{\underline{\text{Nullpunkter: }x=0\text{ og }x\approx \mathrm{15,52.}\text{Toppunkt: }(\mathrm{8,89};\mathrm{4,61})}}$

Variabelen $x$ er antall timer etter midnatt, og $f(x)$ er snødybden i centimeter.

• Nullpunktet $x=0$ forteller at snødybden var $0\mathrm{cm}$ ved midnatt, altså akkurat da snøfallet startet.
• Toppunktet $(\mathrm{8,89};\mathrm{4,61})$ forteller at snødybden var størst omtrent $\mathrm{8,89}$ timer etter midnatt, det vil si rundt kl. $08:53$. Da var snødybden ca. $\mathrm{4,61}\mathrm{cm}$.
• Det andre nullpunktet, $x\approx \mathrm{15,52}$, forteller at snøen var helt smeltet bort igjen ca. $\mathrm{15,52}$ timer etter midnatt, det vil si rundt kl. $15:31$.

Med andre ord: det snødde fra midnatt og utover, snøen la seg stadig tykkere til den nådde en topp på nesten $9$ om morgenen, og deretter smeltet den bort igjen slik at bakken var snøfri kl. $15:31$ på ettermiddagen.

Svar:

$\underline{\underline{\text{Snøen la seg opp til }\mathrm{4,61}\mathrm{cm}\text{ etter ca. 8 t 53 min, og var borte igjen etter ca. 15 t 31 min}}}$

Vi vet at $39\%$ abonnerer på lokalavisen, $32\%$ abonnerer på regionavisen, og $41\%$ abonnerer på ingen av avisene.

Siden $41\%$ ikke abonnerer på noen av avisene, må $100\%-41\%=59\%$ abonnere på minst én av dem. Andelen som abonnerer på begge avisene finner vi ved at summen av «bare lokalavis», «bare regionavis» og «begge» skal bli $59\%$:

Dermed abonnerer $12\%$ på begge avisene. Da abonnerer $39\%-12\%=27\%$ på bare lokalavisen, og $32\%-12\%=20\%$ på bare regionavisen. Dette gir krysstabellen:

Vi vet at husstanden abonnerer på regionavisen. Vi skal finne sannsynligheten for at den også abonnerer på lokalavisen, altså en betinget sannsynlighet.

Av krysstabellen ser vi at $32\%$ av alle husstander abonnerer på regionavisen, og at $12\%$ av alle husstander abonnerer på begge avisene. Sannsynligheten for at husstanden også abonnerer på lokalavisen, blir da andelen med begge aviser delt på andelen med regionavis:

Sannsynligheten for at husstanden også abonnerer på lokalavisen, er $\underline{\underline{\mathrm{37,5}\%}}$.

Sannsynligheten for at en tilfeldig husstand abonnerer på lokalavisen er $p=\mathrm{0,39}$, og sannsynligheten for at den ikke gjør det, er $1-\mathrm{0,39}=\mathrm{0,61}$.

Vi skal finne sannsynligheten for at nøyaktig én av de tre husstandene abonnerer på lokalavisen. Det finnes tre ulike måter dette kan skje på: enten er det den første, den andre eller den tredje husstanden som abonnerer, mens de to andre ikke gjør det. Hver av disse tre hendelsene har sannsynlighet $\mathrm{0,39}\cdot \mathrm{0,61}\cdot \mathrm{0,61}$:

Siden det er tre slike muligheter, ganger vi med $3$:

Sannsynligheten for at akkurat én av de tre husstandene abonnerer på lokalavisen, er $\underline{\underline{\mathrm{43,5}\%}}$.

Siden trekantene er formlike, er forholdet mellom tilsvarende sider det samme for alle sidene. Vi finner forholdstallet (forstørrelsesfaktoren) fra trekant $ABC$ til trekant $EBD$ ved å bruke sidene $AB$ og $EB$, som begge er oppgitt:

Siden $AC$ tilsvarer $ED$, får vi $DE$ ved å multiplisere $AC$ med forholdstallet $k$:

Lengden av $DE$ er $\underline{\underline{\mathrm{12,0}\mathrm{cm}}}$.

Siden $BC$ tilsvarer $BD$, er også $BD=k\cdot BC=\mathrm{5,0}\cdot BC$.

Vi vet at $C$, $B$ og $D$ ligger på samme linje, slik at $BC$ og $BD$ til sammen utgjør hele $CD$:

Vi setter inn $BD=\mathrm{5,0}\cdot BC$:

Lengden av $BC$ er $\underline{\underline{\mathrm{2,8}\mathrm{cm}}}$.

Når to figurer er formlike med forstørrelsesfaktor $k$, blir forholdet mellom arealene $k^2$. Arealet av $△BDE$ blir derfor arealet av $△ABC$ multiplisert med $k^2$:

Arealet av $△BDE$ er $\underline{\underline{\mathrm{82,5}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}}$.

Soppen består av en sylinder med radius $r=\mathrm{2,0}\mathrm{dm}$ og en halvkule med radius $R=\mathrm{4,0}\mathrm{dm}$ på toppen. Høyden i sylinderen er lik radien i halvkulen, altså $h=\mathrm{4,0}\mathrm{dm}$.

Volumet av en sylinder er $V_{\text{sylinder}}=\pi r^{2}h$:

Volumet av en kule er $\frac{4}{3}\pi R^3$, så volumet av en halvkule er halvparten av dette, altså $\frac{2}{3}\pi R^3$:

Totalt volum av soppen er summen av de to delene:

Volumet av soppen er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{184,3}\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3}}$.

Overflaten som skal males, består av tre deler: den runde (krumme) overflaten av halvkulen, ringen på undersiden av “hatten” der halvkulen stikker utenfor sylinderen, og den krumme sideflaten av sylinderen. Bunnen av sylinderen males ikke, siden soppen står på den.

Krum overflate av halvkulen. Overflaten av en hel kule er $4\pi R^2$, så en halvkule har halvparten av dette, $2\pi R^2$:

Ringen under hatten. Halvkulen har radius $R=\mathrm{4,0}\mathrm{dm}$, mens sylinderen bare har radius $r=\mathrm{2,0}\mathrm{dm}$. Ringen som blir synlig, er arealet av hele sirkelen med radius $R$ minus sirkelen med radius $r$:

Sideflaten av sylinderen. Sideflaten (mantelflaten) av en sylinder er $2\pi rh$:

Totalt areal. Vi legger sammen de tre delene:

Siden $1{\mathrm{m}}^2=100\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2$, regner vi om til kvadratmeter:

Én liter maling er nok til $6{\mathrm{m}}^2$. Vi finner hvor mange liter Stanley trenger, ved å dele arealet på $6$:

Stanley trenger omtrent $\underline{\underline{\mathrm{0,31}\mathrm{L}}}$ maling.

Månedsleien justeres i januar i samsvar med konsumprisindeksen fra året før. Leien i 2011 var $8000$ kroner, og vi justerer den med forholdet mellom konsumprisindeksen i 2011 og i 2010:

Månedsleien rundes alltid opp til nærmeste hele krone, så leien fra og med januar 2012 blir

Leien i 2012 er $8100$ kroner per måned (fra a)). I januar 2013 justeres leien på nytt, denne gangen med forholdet mellom konsumprisindeksen i 2012 og i 2011:

Rundet opp til nærmeste hele krone blir leien i 2013 lik $8163$ kroner per måned.

Per betaler altså $8100$ kroner per måned i hele 2012 (12 måneder) og $8163$ kroner per måned i hele 2013 (12 måneder):

Per betalte altså til sammen $\underline{\underline{195156\mathrm{kr}}}$ i husleie fra og med januar 2012 til og med desember 2013.

Arne setter inn $75000$ kroner 1. januar 2014 med en årlig rente på $\mathrm{1,75}\%$, altså vekstfaktor $\mathrm{1,0175}$. Fra 1. januar 2014 til 1. januar 2017 går det $3$ år, så beløpet vokser med rentes rente:

Arne vil altså ha om lag $\underline{\underline{79007\mathrm{kr}}}$ i banken 1. januar 2017.

Eirik setter inn $25000$ kroner tre ganger: 1. januar 2014, 1. januar 2015 og 1. januar 2016. Renten er $\mathrm{4,5}\%$ per år, altså vekstfaktor $\mathrm{1,045}$. Hvert innskudd vokser med rentes rente fram til 1. januar 2017, og vi må regne ut hvor mange år hvert innskudd står på kontoen:

• Innskuddet fra 2014 står i $3$ år: $25000\cdot {\mathrm{1,045}}^3\approx \mathrm{28529,15}\mathrm{kr}$
• Innskuddet fra 2015 står i $2$ år: $25000\cdot {\mathrm{1,045}}^2\approx \mathrm{27300,62}\mathrm{kr}$
• Innskuddet fra 2016 står i $1$ år: $25000\cdot {\mathrm{1,045}}^1=\mathrm{26125,00}\mathrm{kr}$

Til sammen får Eirik

Eirik vil altså ha om lag $\underline{\underline{81955\mathrm{kr}}}$ i banken 1. januar 2017.

Eirik setter inn $25000$ kroner tre ganger, til sammen $3\cdot 25000=75000$ kroner. Han får $20\%$ skattefradrag av hvert innskudd, så det totale skattefradraget over de tre årene er

Dette viser at Eirik til sammen betaler $\underline{\underline{15000\mathrm{kr}}}$ mindre i skatt i løpet av disse tre årene enn han ellers ville ha gjort.

Vi sammenligner den totale gevinsten (renter, og for Eirik også skattefradrag) de to har hatt av sparingen sin.

Arnes gevinst er bare renteinntekten på høyrentekontoen:

Eiriks gevinst er renteinntekten på BSU-kontoen pluss skattefradraget:

Vi finner hvor mange ganger større Eiriks gevinst er sammenlignet med Arnes:

Det betyr at Eiriks gevinst er om lag $\mathrm{5,479}$ ganger så stor som Arnes, altså $(\mathrm{5,479}-1)\cdot 100\%\approx 448\%$ mer. Dette viser at når vi ser på renter og skattefradrag, «tjener» Eirik omtrent $\underline{\underline{448\%\text{ mer enn Arne}}}$ ved å velge BSU framfor høyrentekonto.