Prismodell for Taxi A

Fra kvitteringene ser vi at Taxi A har tre separate poster: startpris, pris per minutt og pris per kilometer.

Pris per minutt:

Fra tur 1: 11 min koster 77 kr, og fra tur 2: 14 min koster 98 kr.

$$\frac{77}{11} = 7 \text{ og } \frac{98}{14} = 7$$

Prisen er $7 \mathrm{~kr/min}$.

Pris per kilometer:

Fra tur 1: 10,0 km koster 140 kr, og fra tur 2: 16,0 km koster 224 kr.

$$\frac{140}{10} = 14 \text{ og } \frac{224}{16} = 14$$

Prisen er $14 \mathrm{~kr/km}$.

Prismodell for Taxi A, der $t$ er reisetid i minutter og $d$ er avstand i km:

$$\boxed{P_A = 75 + 7t + 14d}$$

Vi kan verifisere mot tur 1: $75 + 7 \cdot 11 + 14 \cdot 10{,}0 = 75 + 77 + 140 = 292 \mathrm{~kr}$ ✓

Prismodell for Taxi B

Taxi B viser tid og avstand som én samlet post. Vi vet ikke prisene separat, men kan sette opp et likningssystem.

La $a$ = pris per minutt og $b$ = pris per kilometer.

Fra tur 1: $\quad 6a + 5{,}0b = 120$

Fra tur 2: $\quad 18a + 20{,}0b = 435$

Vi løser dette likningssystemet. Ganger tur 1 med 4:

$$24a + 20b = 480$$

Trekker tur 2 fra:

$$\begin{aligned} 24a + 20b &= 480 \\ -(18a + 20b &= 435) \\ \hline 6a &= 45 \\ a &= 7{,}5 \end{aligned}$$

Setter $a = 7{,}5$ inn i tur 1:

$$6 \cdot 7{,}5 + 5b = 120 \implies 45 + 5b = 120 \implies 5b = 75 \implies b = 15$$

Prismodell for Taxi B:

$$\boxed{P_B = 66 + 7{,}5t + 15d}$$

Vi kan verifisere mot tur 2: $66 + 7{,}5 \cdot 18 + 15 \cdot 20{,}0 = 66 + 135 + 300 = 501 \mathrm{~kr}$ ✓

Sammenlikning av prismodellene

	Taxi A	Taxi B
Startpris	$75 \mathrm{~kr}$	$66 \mathrm{~kr}$
Pris per minutt	$7 \mathrm{~kr/min}$	$7{,}5 \mathrm{~kr/min}$
Pris per km	$14 \mathrm{~kr/km}$	$15 \mathrm{~kr/km}$

Taxi A har høyere startpris ($75$ mot $66$ kr), men lavere pris per minutt ($7$ mot $7{,}5$ kr/min) og lavere pris per km ($14$ mot $15$ kr/km).

Differansen mellom de to selskapene er:

$$P_A - P_B = (75 + 7t + 14d) - (66 + 7{,}5t + 15d) = 9 - 0{,}5t - d$$

• Taxi A er billigst når $P_A - P_B < 0$, det vil si når $9 - 0{,}5t - d < 0$, altså $d + 0{,}5t > 9$.
• Taxi B er billigst når $d + 0{,}5t < 9$.
• De koster det samme når $d + 0{,}5t = 9$.

Eksempler:

Tur	Tid	Avstand	$d + 0{,}5t$	Taxi A	Taxi B	Billigst
Kort bytur	5 min	3 km	5,5	152 kr	148,50 kr	Taxi B
Mellomlang tur	10 min	8 km	13	257 kr	261 kr	Taxi A
Lang tur	20 min	15 km	25	425 kr	441 kr	Taxi A

Konklusjon: Taxi B lønner seg på korte turer der tid og avstand er liten. For lengre turer lønner Taxi A seg, fordi den lavere prisen per minutt og per kilometer mer enn oppveier den høyere startprisen. Breakeven-betingelsen $d + 0{,}5t = 9$ tilsvarer for eksempel en tur på 9 km uten ventetid, eller en tur på 18 minutters varighet uten kjørelengde.