1P Eksempeloppgave 2 — 2021

Oppslutningen økte med $2$ prosentpoeng, fra $5\,\%$ til $7\,\%$.

Prosentvis økning regnes ut som endringen i forhold til utgangsverdien:

$$\frac{7 - 5}{5} \cdot 100 = \frac{2}{5} \cdot 100 = 40$$

Oppslutningen økte med $\underline{\underline{40 \,\%}}$.

Siden prisen er omvendt proporsjonal med antall personer, gjelder:

$$\text{pris} \cdot \text{antall} = k$$

Vi finner konstanten $k$ ved å bruke verdiene vi kjenner:

$$k = 600 \cdot 4 = 2400$$

Når 12 personer blir med, får vi:

$$\text{pris} \cdot 12 = 2400$$ $$\text{pris} = \frac{2400}{12} = \mathbf{\underline{\underline{200 \, \mathrm{kr}}}}$$

Prisen per person blir $200 \, \mathrm{kr}$ når 12 personer blir med.

Programmet simulerer at et beløp på $10\,000 \, \mathrm{kr}$ vokser med $3 \,\%$ per år, og finner ut hvor mange år det tar før beløpet har doblet seg.

Hva variablene betyr:

• beløp = 10000 — startbeløpet, $10\,000 \, \mathrm{kr}$
• verdi = beløp — den løpende verdien (starter på $10\,000$)
• vekstfaktor = 1.03 — vekstfaktoren tilsvarer $3 \,\%$ vekst per år
• år = 0 — teller antall år

While-løkken:

Betingelsen verdi < beløp * 2 betyr «så lenge verdien er mindre enn det dobbelte av startbeløpet» (dvs. mindre enn $20\,000$).

For hvert steg inne i løkken skjer to ting:

1. verdi = verdi * vekstfaktor — verdien multipliseres med $1{,}03$, altså øker med $3 \,\%$
2. år = år + 1 — årstelleren økes med 1

Etter hvert steg sjekker programmet betingelsen på nytt. Slik fortsetter det til verdien er $\geq 20\,000$.

De tre første stegene ser slik ut:

År	Utregning	Verdi
1	$10\,000 \cdot 1{,}03$	$10\,300 \, \mathrm{kr}$
2	$10\,300 \cdot 1{,}03$	$10\,609 \, \mathrm{kr}$
3	$10\,609 \cdot 1{,}03$	ca. $10\,927 \, \mathrm{kr}$
…	…	…
24	$\ldots \cdot 1{,}03$	ca. $20\,328 \, \mathrm{kr}$

Etter 23 år er verdien ca. $19\,736 \, \mathrm{kr}$ — fortsatt under $20\,000$. Etter år 24 er verdien ca. $20\,328 \, \mathrm{kr}$ — nå er betingelsen brutt, og løkken stopper.

Hva tallene i linje 10 og 11 betyr:

• Linje 10 skriver ut verdi — den endelige verdien av beløpet når det har doblet seg: ca. $\underline{\underline{20\,328 \, \mathrm{kr}}}$
• Linje 11 skriver ut år — antall år det tok for beløpet å doble seg: $\underline{\underline{24 \text{ år}}}$

Programmet finner altså doblingstiden for et beløp med $3 \,\%$ årlig vekst: det tar 24 år før beløpet er mer enn doblet.

Arealet av det største kvadratet (på hypotenusen $BC$) er $100 \, \mathrm{dm}^2$, så

$$BC^2 = 100 \, \mathrm{dm}^2$$

Vi omregner $AB$ til desimeter:

$$AB = 0{,}8 \, \mathrm{m} = 8 \, \mathrm{dm}$$

Dermed er

$$AB^2 = 8^2 = 64 \, \mathrm{dm}^2$$

Pytagoras sier at arealet av kvadratet på hypotenusen er lik summen av arealene av kvadratene på katetene:

$$AC^2 + AB^2 = BC^2$$

Vi løser for $AC^2$:

$$AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 64 = 36 \, \mathrm{dm}^2$$

Vi tar kvadratroten:

$$AC = \sqrt{36} = 6 \, \mathrm{dm}$$

Vi omregner til centimeter:

$$AC = 6 \, \mathrm{dm} = \mathbf{\underline{\underline{60 \, \mathrm{cm}}}}$$

a)

Vi har to punkter fra tabellen: $(25, 450)$ og $(50, 650)$.

Vi bruker disse til å finne stigningstallet $a$:

$$a = \frac{\textcolor{steelblue}{y_2} - \textcolor{tomato}{y_1}}{\textcolor{steelblue}{x_2} - \textcolor{tomato}{x_1}} = \frac{\textcolor{steelblue}{650} - \textcolor{tomato}{450}}{\textcolor{steelblue}{50} - \textcolor{tomato}{25}} = \frac{200}{25} = \underline{\underline{8}}$$

Nå setter vi inn $a = 8$ og ett av punktene, for eksempel $(25, 450)$, for å finne $b$:

$$y = ax + b$$ $$450 = 8 \cdot 25 + b$$ $$450 = 200 + b$$ $$b = 450 - 200 = \underline{\underline{250}}$$

Den lineære modellen blir: $y = 8x + 250$

b)

$a = 8$ betyr at prisen for vognen med hageslange øker med 8 kroner per meter hageslangen øker i lengde.

$b = 250$ er prisen for selve vognen uten hageslange, altså 250 kroner.

Oppskriften bruker $5~\mathrm{dL}$ sukker per $1~\mathrm{kg}$ appelsiner.

Amalie bruker $26~\mathrm{kg}$ appelsiner, så hun trenger:

$$26 \cdot 5~\mathrm{dL} = 130~\mathrm{dL}~\text{sukker}$$

Vi gjør om til liter:

$$130~\mathrm{dL} = 13~\mathrm{L}~\text{sukker}$$

$1~\mathrm{L}$ sukker veier $0{,}8~\mathrm{kg}$, så massen av sukkeret er:

$$13 \cdot 0{,}8~\mathrm{kg} = 10{,}4~\mathrm{kg}~\text{sukker}$$

En pose sukker inneholder $1~\mathrm{kg}$. Amalie trenger $10{,}4~\mathrm{kg}$, og siden hun ikke kan kjøpe en halv pose, må hun runde opp:

Hun må kjøpe minst $\underline{\underline{11~\text{poser}}}$ sukker.

Formelen $F = \frac{9}{5}C + 32$ brukes til å omregne en temperatur (et fast punkt på skalaen), ikke en temperaturendring.

Johans nettside setter $C = 5$ inn i formelen og får

$$F = \frac{9}{5} \cdot 5 + 32 = 9 + 32 = 41$$

Men $F = 41$ betyr at $5~\degree\text{C}$ tilsvarer $41~\degree\text{F}$ — det vil si at $5~\degree\text{C}$ og $41~\degree\text{F}$ er samme temperaturen. Det sier ingenting om hvor mye temperaturen har endret seg.

For å finne hva en endring på $5~\degree\text{C}$ svarer til i fahrenheit, bruker vi at konstantleddet $+32$ forsvinner når vi tar differansen. Vi kan se det slik: hvis temperaturen øker fra $C_1$ til $C_2 = C_1 + 5$, blir endringen i fahrenheit

$$\Delta F = F_2 - F_1 = \left(\frac{9}{5}C_2 + 32\right) - \left(\frac{9}{5}C_1 + 32\right) = \frac{9}{5}(C_2 - C_1) = \frac{9}{5} \cdot 5 = 9$$

En endring på $5~\degree\text{C}$ tilsvarer altså en endring på $\mathbf{9~\degree\text{F}}$.

Påstanden er feil. Tallet 41 er fahrenheit-verdien som svarer til temperaturen $5~\degree\text{C}$, ikke endringen. Riktig svar er $9~\degree\text{F}$.

La $a$ være antall poster som gir $2$ poeng, og $b$ være antall poster som gir $5$ poeng.

Vi vet at Adil finner $13$ poster til sammen, og at de til sammen gir $38$ poeng. Dette gir oss likningssettet:

$$\begin{cases} a + b = 13 \\ 2a + 5b = 38 \end{cases}$$

Vi bruker innsettingsmetoden. Fra den første likningen kan vi skrive:

$$a = 13 - b$$

Vi setter dette inn i den andre likningen:

$$2(13 - b) + 5b = 38$$ $$26 - 2b + 5b = 38$$ $$26 + 3b = 38$$ $$3b = 38 - 26$$ $$3b = 12$$ $$b = 4$$

Da er $a = 13 - 4 = 9$.

Svar: $\underline{\underline{9 \text{ av postene gir 2 poeng}}}$ (og $4$ poster gir $5$ poeng).

Vi skal begrunne at $x^2 > x^3$ når $x < 0$.

Fortegnsbetraktning:

Når $x < 0$ gjelder:

• $x^2$ er et negativt tall multiplisert med seg selv (negativt · negativt), som alltid gir et positivt tall: $x^2 > 0$.
• $x^3$ er $x^2$ multiplisert med $x$ (positivt · negativt), som alltid gir et negativt tall: $x^3 < 0$.

Et positivt tall er alltid større enn et negativt tall, så

$$x^2 > 0 > x^3$$

Dermed er $x^2 > x^3$ for alle $x < 0$.

Konkret eksempel (for å illustrere):

La $x = -2$:

$$x^2 = (-2)^2 = 4 \qquad \text{og} \qquad x^3 = (-2)^3 = -8$$

Vi ser at $4 > -8$, altså $x^2 > x^3$. ✓

a)

Vi skal lage en modell på formen $T(x) = a \cdot b^x + 20$, der $x$ er antall minutter etter at geléen ble satt til avkjøling og $T(x)$ er temperaturen i $\degree\text{C}$.

Stine har laget en ny tabell der hun har trukket fra $20~\degree\text{C}$ (romtemperaturen) fra alle temperaturverdiene. Da sitter hun igjen med verdier for $a \cdot b^x$.

Vi bruker GeoGebra til å kjøre eksponentiell regresjon på den nye tabellen (med verdiene «Temperatur − 20»). Vi legger inn datapunktene og ber GeoGebra om å finne best tilpasset eksponentiell kurve.

GeoGebra gir:

$$a = 75{,}0 \qquad b = 0{,}985$$

Modellen blir:

$$\boxed{T(x) = 75{,}0 \cdot 0{,}985^x + 20}$$

Grafen nedenfor viser modellen (blå kurve) og måledatapunktene (røde punkter). Kurven treffer alle 8 datapunktene svært nøyaktig.

Den stiplede linjen $y = 20$ viser romtemperaturen, som kurven nærmer seg asymptotisk.

b)

Modellen $T(x) = 75{,}0 \cdot 0{,}985^x + 20$ er matematisk definert for alle reelle verdier av $x$, men vi må vurdere hva som gir fysisk mening.

Nedre grense: Geléen ble satt til avkjøling ved $x = 0$. Da er $T(0) = 75{,}0 \cdot 1 + 20 = 95~\degree\text{C}$. Modellen gjelder fra $x = 0$.

Øvre grense: Modellen nærmer seg $20~\degree\text{C}$ asymptotisk — temperaturen vil matematisk sett aldri nå romtemperatur. I praksis er modellen meningsfull så lenge geléen er merkbart varmere enn romtemperaturen.

Vi kan for eksempel sette $25~\degree\text{C}$ som en praktisk nedre grense for hva som er «reell avkjøling». Det gir:

$$75{,}0 \cdot 0{,}985^x + 20 = 25$$ $$0{,}985^x = \frac{5}{75} = \frac{1}{15}$$ $$x = \frac{\ln\!\left(\frac{1}{15}\right)}{\ln(0{,}985)} \approx 179 \text{ min}$$

Et rimelig gyldighetsområde er derfor:

$$\underline{\underline{x \in [0, 150]}}$$

der $x$ er i minutter. Vi velger $x = 150$ som en rund øvre grense — da er temperaturen ca. $27{,}8~\degree\text{C}$, altså bare litt over romtemperaturen, og avkjølingen er i praksis ferdig. (Andre begrunnede valg, f.eks. $x \in [0, 180]$, er også godkjente.)

Vi begynner med å telle fyrstikker i de første figurene for å finne et mønster.

Figurnummer $n$	Antall rader/kolonner	Horisontale fyrstikker	Vertikale fyrstikker	Totalt $m(n)$
1	$1 \times 1$	$1 \cdot 2 = 2$	$1 \cdot 2 = 2$	4
2	$2 \times 2$	$2 \cdot 3 = 6$	$2 \cdot 3 = 6$	12
3	$3 \times 3$	$3 \cdot 4 = 12$	$3 \cdot 4 = 12$	24

I figur $n$ er det $n \times n$ små kvadrater. Horisontalt trengs det $n$ fyrstikker i bredden, og det er $(n+1)$ horisontale rader. Tilsvarende for vertikale. Derfor er antallet fyrstikker i figur $n$:

$$m(n) = 2 \cdot n \cdot (n+1)$$

Sjekk: $m(1) = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$ ✓, $m(2) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ ✓, $m(3) = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ ✓

a)

Vi lager figurene én etter én: figur 1, figur 2, figur 3, … Vi trenger å finne det største $k$ slik at det totale antallet fyrstikker ikke overstiger $10\,000$.

Totalt antall fyrstikker for figurene 1 til $k$:

$$S(k) = \sum_{n=1}^{k} 2n(n+1)$$

Vi regner ut $S(k)$ for stigende $k$ til vi overstiger $10\,000$:

$k$	$m(k)$	$S(k)$
20	840	6160
21	924	7084
22	1012	8096
23	1104	9200
24	1200	10400

$S(23) = 9200 \leq 10\,000$, men $S(24) = 10\,400 > 10\,000$.

Vi har nok fyrstikker til figur 23, men ikke til figur 24.

Du kan lage $\underline{\underline{23 \mathrm{~figurer}}}$.

b)

Etter at du har laget alle 23 figurene har du brukt $9200$ fyrstikker.

$$10\,000 - 9200 = 800$$

Du har $\underline{\underline{800 \mathrm{~fyrstikker}}}$ igjen.

Regnearket nedenfor viser alle formler i de grønne cellene:

Forklaring av formlene:

Totalt per rett (D8, D9, D10) — antall porsjoner multiplisert med prisen per porsjon:

• D8: =B8*C8 (antall pasta $\times$ 100 kr)
• D9: =B9*C9 (antall suppe $\times$ 80 kr)
• D10: =B10*C10 (antall bagett $\times$ 110 kr)

Sum (B12 og D12) — summerer antall og kronebeløp:

• B12: =B8+B9+B10
• D12: =D8+D9+D10

Rabatt i kroner (D15) — $10\,\%$ rabatt gis kun dersom totalt antall retter er mer enn 4:

$$\text{D15: } \texttt{=HVIS(B12>4; D12*F2; 0)}$$

der F2 inneholder rabattprosenten $10\,\% = 0{,}10$.

Pris for levering (E19) — 70 kr dersom avstanden er kortere enn 8 km, ellers 150 kr:

$$\text{E19: } \texttt{=HVIS(B19<8; E3; E4)}$$

der E3 = 70 og E4 = 150.

Å betale totalt (B22) — sum minus rabatt pluss leveringskostnad:

$$\text{B22: } \texttt{=D12-D15+E19}$$

Verifisering: En kunde bestiller 3 pasta, 2 suppe, 1 bagett og har 5 km avstand.

• Totalt: $3 \cdot 100 + 2 \cdot 80 + 1 \cdot 110 = 300 + 160 + 110 = 570 \text{ kr}$
• Antall retter: $3 + 2 + 1 = 6 > 4$, så rabatt = $570 \cdot 0{,}10 = 57 \text{ kr}$
• Levering: $5 < 8$, så leveringspris = $70 \text{ kr}$
• Å betale totalt: $570 - 57 + 70 = \underline{\underline{583 \text{ kr}}}$

Prismodell for Taxi A

Fra kvitteringene ser vi at Taxi A har tre separate poster: startpris, pris per minutt og pris per kilometer.

Pris per minutt:

Fra tur 1: 11 min koster 77 kr, og fra tur 2: 14 min koster 98 kr.

$$\frac{77}{11} = 7 \text{ og } \frac{98}{14} = 7$$

Prisen er $7 \mathrm{~kr/min}$.

Pris per kilometer:

Fra tur 1: 10,0 km koster 140 kr, og fra tur 2: 16,0 km koster 224 kr.

$$\frac{140}{10} = 14 \text{ og } \frac{224}{16} = 14$$

Prisen er $14 \mathrm{~kr/km}$.

Prismodell for Taxi A, der $t$ er reisetid i minutter og $d$ er avstand i km:

$$\boxed{P_A = 75 + 7t + 14d}$$

Vi kan verifisere mot tur 1: $75 + 7 \cdot 11 + 14 \cdot 10{,}0 = 75 + 77 + 140 = 292 \mathrm{~kr}$ ✓

Prismodell for Taxi B

Taxi B viser tid og avstand som én samlet post. Vi vet ikke prisene separat, men kan sette opp et likningssystem.

La $a$ = pris per minutt og $b$ = pris per kilometer.

Fra tur 1: $\quad 6a + 5{,}0b = 120$

Fra tur 2: $\quad 18a + 20{,}0b = 435$

Vi løser dette likningssystemet. Ganger tur 1 med 4:

$$24a + 20b = 480$$

Trekker tur 2 fra:

$$\begin{aligned} 24a + 20b &= 480 \\ -(18a + 20b &= 435) \\ \hline 6a &= 45 \\ a &= 7{,}5 \end{aligned}$$

Setter $a = 7{,}5$ inn i tur 1:

$$6 \cdot 7{,}5 + 5b = 120 \implies 45 + 5b = 120 \implies 5b = 75 \implies b = 15$$

Prismodell for Taxi B:

$$\boxed{P_B = 66 + 7{,}5t + 15d}$$

Vi kan verifisere mot tur 2: $66 + 7{,}5 \cdot 18 + 15 \cdot 20{,}0 = 66 + 135 + 300 = 501 \mathrm{~kr}$ ✓

Sammenlikning av prismodellene

	Taxi A	Taxi B
Startpris	$75 \mathrm{~kr}$	$66 \mathrm{~kr}$
Pris per minutt	$7 \mathrm{~kr/min}$	$7{,}5 \mathrm{~kr/min}$
Pris per km	$14 \mathrm{~kr/km}$	$15 \mathrm{~kr/km}$

Taxi A har høyere startpris ($75$ mot $66$ kr), men lavere pris per minutt ($7$ mot $7{,}5$ kr/min) og lavere pris per km ($14$ mot $15$ kr/km).

Differansen mellom de to selskapene er:

$$P_A - P_B = (75 + 7t + 14d) - (66 + 7{,}5t + 15d) = 9 - 0{,}5t - d$$

• Taxi A er billigst når $P_A - P_B < 0$, det vil si når $9 - 0{,}5t - d < 0$, altså $d + 0{,}5t > 9$.
• Taxi B er billigst når $d + 0{,}5t < 9$.
• De koster det samme når $d + 0{,}5t = 9$.

Eksempler:

Tur	Tid	Avstand	$d + 0{,}5t$	Taxi A	Taxi B	Billigst
Kort bytur	5 min	3 km	5,5	152 kr	148,50 kr	Taxi B
Mellomlang tur	10 min	8 km	13	257 kr	261 kr	Taxi A
Lang tur	20 min	15 km	25	425 kr	441 kr	Taxi A

Konklusjon: Taxi B lønner seg på korte turer der tid og avstand er liten. For lengre turer lønner Taxi A seg, fordi den lavere prisen per minutt og per kilometer mer enn oppveier den høyere startprisen. Breakeven-betingelsen $d + 0{,}5t = 9$ tilsvarer for eksempel en tur på 9 km uten ventetid, eller en tur på 18 minutters varighet uten kjørelengde.