Rekken er geometrisk med $a_1=1$ og kvotient

En uendelig geometrisk rekke konvergerer hvis og bare hvis $|k|<1$.

For $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$:

Siden $|k|\approx \mathrm{1,30}>1$, divergerer rekken for $x=\frac{\pi }{6}$.

For $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$:

Siden $|k|=\mathrm{0,75}<1$, konvergerer rekken for $x=\frac{\pi }{3}$.

Rekken konvergerte kun for $x=\frac{\pi }{3}$, med $k=\frac{3}{4}$. Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er

Vi setter inn:

Rekken konvergerer for de $x$-verdiene der $|k|<1$, altså

Siden $\cos x$ er en kontinuerlig funksjon som antar alle verdier i $⟨-1,1⟩$, vil kvotienten $k=\frac{3}{2}\cos x$ anta alle verdier i det åpne intervallet $⟨-1,1⟩$ når rekken konvergerer (endepunktene $k=\pm 1$ tilsvarer divergens og er ikke med).

Summen er $S(x)={\displaystyle \frac{1}{1-k}}$, som er en strengt voksende funksjon av $k$ på $⟨-1,1⟩$. Vi ser på grenseverdiene:

Siden $S$ er kontinuerlig og strengt voksende, og endepunktene ikke oppnås (de tilsvarer $k=\pm 1$, som gir divergens), er verdimengden til $S(x)$

Likningen $S(x)=r$ har altså løsning nøyaktig når